Дослідницька робота на уроках алгебри у 8 класі.

Вчитель: Ласкіна С.М

Тема:  Теорема Вієта

 Мета: Вивести теорему Вієта. Формувати уміння застосовувати теорему при розв’язуванні квадратних рівнянь. Розвивати традуктивне мислення.

 

                                Завдання групам:

1. Розв’ язати квадратні рівняння.

Знайти корені х₁; х₂.

2. Знайти  х₁ + х₂

                              х_{1 *} х₂

3. Чи можливо, не розв’ язуючи  рівняння знайти

                                                     х₁ + х₂

                                                      х_{1 *} х₂

Група 1 (середній рівень).

1. х² – 6х + 8 = 0
2. х² – 2х - 3 = 0
3. х² – 7х + 12 = 0

 

Група 2 (середній рівень).

1) х² + 3х + 2 = 0

           2) х² + 2х  -  24 = 0

           3) х² + 6х  - 7 = 0

Група 3 (достатній рівень).

1. х² – 2х - 1 = 0

х₁ = 1 -

х₂ =  1 +

х₁ + х₂ = 2

х₁  * х₂ = 1 – 2 = -1

2.                      z² – z – 1 = 0

z₁ =

z₂ =

z₁ + z₂  = 1

z₁ * z₂ = -1

   Група 4 (достатній рівень).

1. х² – 4х – 1 = 0

х₁ = 2 -

х₂ = 2 +

х₁ + х₂ = 4

х₁ * х₂ = -1

2. х² -

х₁ = ;  х₂ =

3. у² + 6у + 5 = 0

  Група 5 (високий рівень).

1.  х² + х – 1 = 0
2. х² + вх + с = 0

D = в² – 4с

х₁ + х₂ = -в

х₁ * х₂ =

  Група 6 (високий рівень).

                  1)  х² + х – 1 = 0

3. х² + рх + q = 0

                      Висновок:

1. Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток - вільному члену.

Це є теорема Вієта.

2. Теорема ( обернена до теореми Вієта ).

Якщо сума і добуток чисел m  і  n дорівнюють відповідно  – р і q, то m  і  n  - корені рівняння     х² + рх + q = 0.

3)   Цілі розв’ язки рівняння   х² + рх + q = 0  є дільниками числа q.

   Завдання за індивідуальними варіантами

а – власний варіант ( порядковий номер у журналі ).

1⁰. Рівняння  х² + рх + q = 0  має корені

      х₁ = а;    х₂ = .  Знайти р і q.

                              Розв’ язок

Наприклад   а  = 10 варіант

                     х₁ = 10 ;  х₂=

За теоремою Вієта : х₁ + х₂ = - р

                                 р = - ( 10 + ) = - 10,

                                q = х₁* х₂ = 10* = 1

                                 х² - 10х + 1 = 0.

2⁰. Складіть зведене квадратне рівняння, кореня якого

            х₁=  а; х₂= а  - 10

                                   Розв’ язок

Наприклад:    а  = 7 варіант

                        х₁ = 7 ;  х₂= 7 – 10 = -3

                        За теоремою Вієта : х_{1 *} х₂ = q

                        q = 7 * (-3) = -21

                         х₁ + х₂ = - р

                         р  = - (  7 – 3)  = -4

                        х²– 4х – 21 = 0

3^*. Один з коренів рівняння

            х² – а х  + t = 0

            х₁= а   + 3

Знайти :  х₂ ; t

                                   Розв’ язок

Наприклад  а  = 20 варіант.

        х² – 20х + t = 0

                     х₁= 23

За теоремою Вієта : х₁ + х₂ = 20

                                  23 + х₂ = 20

                                  х₂ = -3

                                  х_{1 *} х₂ = t

                                  t = - 23 *3 = - 69.

 

       

 

 

 

 

 

 

 

4^*. Знайдіть корені рівняння, q

      х²+ 3ах + q =  0, якщо один з них удвічі більше від другого.

                                      х₁= 2 х₂

                                 Розв’ язок

Наприклад  а  = 5варіант.

                     х² + 15х + q = 0

                     х₁+ х₂ = -15

                    2х₂+ х₂ = -15

                      3х₂= -15

                      х₂= -5

                      х₁ = -10

                 q = х₁* х₂= 50

 

 

 

 

 

 

 

 

5^**. Найти суму квадратів коренів рівняння

               х²– ах – 1 = 0  не  знаходячи  х₁і х₂

                                                                      Розв’ язок

Наприклад  а  = 17 варіант.

               х²– 17 х – 1 = 0

               х₁+  х₂= ( х₁₊х₂)² - 2 х₁х₂= 17 + 2 = 291

 

За теоремою Вієта : х₁ + х₂ =17

                                  х ₁ * х₂ = -1

 

 

 

 

 

 

 

 

6^***. Найти суму кубів рівняння

        х²– ах – 1 = 0  не  знаходячи  х₁і х₂

                                                                      Розв’ язок

Наприклад  а  = 20 варіант.

               х²– 20 х – 1 = 0

      х₁+  х₂= ( х₁₊х₂)( х₁ – х₁ * х₂ + х₂ ) = ( х₁ + х₂ )( ( х₁ + х₂ )² – 3х₁х₂ ) = 20 ( 20² + 3 ) = 8060