Урок з теми "Методи розв’язування планіметричних задач"

10 клас

 

Тема. Методи розв’язування планіметричних задач.

Мета:вдосконалювати вміння і навички учнів застосовувати різні методи розв’язування задач: геометричний, аналітичний, координатний, векторний; розвивати  здібності учнів та креативний підхід до розв’язування  нестандартних задач та проблем;  формувати зацікавленість у результаті роботи; виховувати культуру записів.

Тип уроку:  урок  застосувань знань, вмінь та навичок.

Обладнання: підручник  Геометрія (академічний рівень, профільний рівень) 10 клас, (Г.П.Бевз, В.Г.Бевз, Н.Г.Владімірова, В.М.Владіміров), мультимедійна дошка.

 

 

Хід уроку

 

І. Організація  учнів до уроку

                                   Освічена людина – та, яка знає, де знайти      

                                                        інформацію про те, чого вона не знає.

                                                                       Георг Зіммель

 

Слово вчителя

(доцільно застосувати з метою розвитку креативних компетентностей)

Під час симпозіуму Ради Європи на тему «Ключові компетентності для Європи»  однією з пріоритетних думок була  креативність мислення випускника: вміння одержувати користь з досвіду; вміння вирішувати проблеми; організовувати взаємозв’язок минулих і дійсних подій; вміння знаходити нові рішення.

Сьогодні на уроці  ми спробуємо реалізувати,  по можливості, ці вимоги в задачах, які необхідно розв’язати різними методами.А цей чудовий вислів надасть натхнення для  пошуку розв’язків.

 

Спочатку я відкривав істини, відомі багатьом,

потім я став відкривати істини, відомі лише деяким,

і нарешті став відкривати істини, нікому ще невідомі. 
К.Ціолковський

 

І. Актуалізація опорних знань.

Фронтальна бесіда.

Планіметричні задачі бувають різних видів. В більшості це задачі на обчислення, побудову, доведення чи дослідження.

З’ясуємо,якими ж методами ми їх розв’язуємо? Продовжіть,будь-ласка, твердження.

- Якщо в розв’язуванні використовують тільки геометричні відомості, таке розв’язування називають геометричним.

- Якщо ж використовують відомості з алгебри чи математичного аналізу, то розв’язання називають аналітичним (через рівняння або системи рівнянь).

- Якщо ж розглядувані фігури розміщають на координатній площині, приписавши окремим точкам фігур координати, а лініям – рівняння, далі обчислюють координати інших точок, виводять рівняння інших ліній, знаходять відстані між точками, то такий метод називають координатним. Раціональність розв’язання задачі цим методом значною мірою залежить від того, як розглядувану фігуру розмістити відносно координатних осей. Найзручніше цим методом користуватися тоді, коли в задачі мова йде про прямі кути або суму квадратів якихось відстаней.

- Якщо ж задачу розв’язують використовуючи властивості векторів, то це – векторний метод розв’язування задачі.

Розв’язування задачі векторним методом складається з кількох кроків:

- подані в задачі співвідношення «перекладають мовою» векторів, тобто записують їх відповідними векторними рівностями;

- отримані векторні рівності перетворюють, використовуючи правила векторної алгебри;

- від мови векторів переходять до мови геометрії.

 

ІІ. Мотивація навчання.

       В чому складність  цікавих планіметричних задач?

Чи вірно, що«родзинки» розв’язання містяться саме в планіметричних задачах? А чи знаєте ви, що для стародавніх греків математика була насамперед геометрією. А тому над дверима Академії, де Платон навчав своїх учнів, було зроблено напис: «Нехай сюди не входить ніхто, хто не знає геометрії».

Одного разу цар Птолемей запитав у Евкліда, чи немає в гео­метрії коротшого шляху для її вивчення, ніж той, що пропонує Евклід. На що вчений відповів: «Для царів немає окремого шляху в геометрії».

 

ІІІ. Розв’язування задач.

 

Задача 1(застосувати метод мозкового штурму - висловлювати свої думки, ідеї, захищати їх,здійснити відбір раціональних ідей розв’язання) 

 

Площі трикутників утворених основами трапеції та відрізками діагоналей дорівнюють S₁ i S₂ . Визначити площу трапеції та обчислити її значення, якщо S₁ = 4, S₂ = 1.

 

Розв’язання

 Нехай АВСD – дана трапеція,  АС і  ВD – її діагоналі.

. За умовою: , .

Очевидно, що , то .

Відомо, що , то , тому .

Врахувавши, що , одержимо, що .

Отже, (кв.од.)

Відповідь: 9 кв.од.

 

Задача 2 (застосувати роботу в  групах)

 

На відрізку як на діаметрі побудували півколо. На дузі півкола відмітили дві точки В і С так, що . Знайти довжину хорди СD.

Розв’язання

 

Нехай О – центр півкола – середина AD. Е – точка перетину ОВ і АС. Так як умовою , то ВО – серединний перпендикуляр хорди АС.

Очевидно, що і , то трикутники ВЕС і АВD подібні за кутами.

Тому: ; , тоді .

Так як , то СD=

Відповідь: см.

Фізкультхвилинка

1.    Встали, підняли руки вверх, за голову, вирівняли спину. Опустили руки. Зробили 3-4 повороти голови в один і другий бік.

2.   Руки до плечей, лікті в сторону. Спину вирівняти і зробити 3-4 кругових рухи в один і другий бік.

3.  Сіли. Вправи для очей. Підняти очі на дошку, далі подивитися в зошит. Так 3-4 рази.

 

Задача 3 (застосувати метод самостійної творчості)

 

Нехай а і b – довжини катетів прямокутного трикутника, с – довжина його гіпотенузи. Довести, що .

Розв’язання

Оскільки , то одержимо, що , тоді доводжувана нерівність набирає вигляд: .

Звідси отримаємо очевидну нерівність: .

 

Задача 4(застосуватиметод мозкового штурму)

 

Знайдіть суму відстаней від довільної точки кола радіуса 5 см до вершин описаного навколо нього квадрата.

 

Розв’язання

Нехай М - довільна точка кола. Коло радіуса 5 см і описаний навколо нього квадрат ABCD розмістимо в системі координат так, щоб її осі були серединними перпендикулярами до сторін квадрата. Тоді даному колу відповідатиме рівняння:

, а вершини квадрата матимуть координати: А (5; -5), В (5; 5), С(-5; 5), D (-5; -5). Тоді

(см²).

Відповідь: 300 см².

 

Задача 5(застосувати метод створення проблемної ситуації – проблемний діалог)

 

Точка К – середина гіпотенузи АВ прямокутного трикутника АВС, а M – точка, яку відмітили на катеті АС так, що АМ = 2 см. Довести, що .

 

Розв’язання

Оскільки К – середина АВ, то ВК = АК = СК, - рівнобедрений. Нехай N – середина МА, тоді К N – середня лінія трикутника ВМА. Отже, , і як відповідні.

(за двома сторонами , і кутом між ними).

Звідси .

Отже, .

 

IV. Підсумки уроку.

1.                     Повторити основні методи розв’язування планіметричних задач.
2.                     Проаналізувати використані опорні факти планіметрії в розв’язаних задачах.
3.                     Вказівки до задачі 6 (розв’язання векторним способом).

 

V. Домашнє завдання.

Повторити опорні факти планіметрії.

 Розвязати задачі 43; 47; 53; 6.

 

Задача 6.

Точка перетину прямих, яким належать бічні сторони трапеції, та середини її основ лежать на одній прямій. Доведіть.

Розв’язання

Нехай О – точка перетину прямих АВ і CD, М і N – середини сторін ВС і АD.

Щоб довести, що М, N і O лежать на одній прямій, покажемо, що вектори і - колінеарні. Оскільки М – середина ВС, N – середина AD, то:

.

і - подібні, то .

Звідси ,  , ; .

Звідси точки М, N і O лежать на одній прямій.