Урок "Застосування похідної до розв'зяування прикладних задач"

Про матеріал

Матеріал даного заняття можна використати при вивченні теми "Похідна". Задачі представлені в даному документі можна розбити на кілька уроків, або як просто зразок підготовки свого.

Перегляд файлу

Науково - методичне обґрунтування та актуальність теми

Характерною рисою сучасності є застосування математичних методів в різних областях людської діяльності.

Математика є не тільки знаряддям кількісного розрахунку, але також методом точного дослідження. Вона служить засобом гранично чіткого і ясного формулювання понять і проблем.

Диференціальне числення – одне з фундаментальних понять математики, іншими словами диференціальне числення – це опис навколишнього середовища, виконане на математичній мові. З його допомогою можна розв’язувати не тільки математичні задачі, а й задачі практичного характеру в різних областях науки та техніки.

Похідна функції використовується скрізь, де є нерівномірне протікання процесу: це і нерівномірний механічний рух, і змінний струм, і хімічні реакції, і радіоактивний розпад, і багато іншого. За допомогою похідної можна виконати розрахунки в короткі терміни.

Поняття похідної зустрічається ще в XV столітті. Великий італійський математики Нікколо Тарталья розглядав питання – наскільки залежить дальність польоту кулі від кута нахилу зброї.

Саме ж поняття похідної з’явилось дещо пізніше, в XXVII столітті та пов’язане з необхідністю розв’язання задач фізики та математики, в першу чергу: з визначенням швидкості прямолінійного руху та побудові дотичної до графіка функції.

Відкриттю похідної та основ диференціального числення передували роботи французьких математиків П’єра Ферма (1601 – 1665), який у 1629 р. запропонував способи знаходження найбільших і найменших значень функцій, проведення дотичних до довільних кривих, що фактично спиралися на застосування похідних, а також Рене Декарта (1596 – 1650), який розробив метод координат і основи аналітичної геометрії. У 1670-1671 рр. англійський математик і механік Ісаак Ньютон (1643 – 1727) і дещо пізніше у 1673 – 1675 рр. німецький філософ і математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646 – 1716 ) незалежно один від одного побудували теорію диференціального числення .

І. Ньютон прийшов до поняття похідної, розв’язуючи задачі про миттєву швидкість, а Лейбніц – розглядаючи геометричну задачу про проведення дотичної до кривої.

Термін «похідна» ввів у 1797 р. французький математик Жозеф Луї Лагранж (1736 – 1813 ). Він ввів і сучасні позначення для похідної у вигляді та . До Лагранжа похідну за пропозицією Лейбніца називали диференціальним коефіцієнтом і позначали.

Цікавою є легенда про відшукання найбільшого значення функції, за якою засновниця м. Карфагену Дідона, дочка царя тірів, посварившись з братом Пігмаліоном, втекла від свого батька і після багатьох пригод з’явилася на південному узбережжі Середземного моря. Тут, у царя Нарбаса, за невеликі гроші вона купила шматок землі «не більше, ніж можна виміряти шкурою бика» – як зазначається в угоді. Місцеві жителі вважали умову буквальною і розраховували, що Дідоні для нового поселення дістанеться дуже маленький клаптик узбережжя. Проте спритна Дідона розрізала шкуру бика на найтонші смужки, зв’язала їх мотузкою і, закріпивши один її кінець на березі моря, пішла з іншим вздовж берега. Перед нею постало питання: яку форму потрібно надати мотузці, щоб «виміряти шкурою бика» найбільшу площу? Зокрема, це є задача на пошук замкненої кривої заданої довжини, що обмежує найбільшу площу. Виявляється, що такою кривою є коло. Дідоні, щоб розв’язати задачу, потрібно було обійти півколо з центром у точці О, довжина якого дорівнювала довжині мотузки.

Групу поділено на проектні групи, кожна з яких завчасно отримала домашнє завдання: знайти прикладну задачу, яку розв’язують за допомогою диференціального числення, розробити проект її розв’язання та презентацію до нього.

Основні вимоги

У результаті вивчення теми студенти повинні

Знати:

Визначення похідної функції;
Таблицю похідних;
Правила диференціювання, похідну складеної функції;
Геометричний та фізичний зміст похідної;
Рівняння дотичної;
Ознаки сталості функції; умови зростання та спадання функції, екстремуми функції;
Правила знаходження найбільшого та найменшого значення функції на проміжку;
Загальну схему дослідження функції;

Вміти:

Знаходити похідні функцій;
Застосовувати правила диференціювання до розв’язування задач;
Складати рівняння дотичної до графіка функції в заданій точці;
Знаходити проміжки зростання та спадання функції;
Знаходити екстремуму функції та точки екстремуму;
Проводити дослідження функції та побудувати графік;
Знаходити найбільше та найменше значення функції на проміжку;
Розв’язувати нескладні прикладні задачі на знаходження найбільшого та найменшого значень реальних величин;

Пряме не може бути кривим, а криве прямим. І все ж диференціальне числення, всупереч усім протестам людського розуму, прирівнює за певних умов пряме і криве одне до одного і досягає цим таких, яких ніколи не досягнути людському здоровому розумові.

Дане заняття буде підсумковим у вивченні теми «Похідна та її використання». Вашим домашнім завданням було повторити теоретичний матеріал з даної теми, а також підготувати цікаві задачі, в яких використовується похідна. .

Актуалізація опорних знань

Сформулюйте означення похідної в точці;
У чому полягає геометричний зміст похідної (фізичний зміст похідної)?
Як знайти похідну добутку, частки, складеної функції?
Що таке кутовий коефіцієнт прямої та чому він дорівнює?
Що таке критичні точки? Як їх знайти?
Що таке екстремуми функції та точки екстремуму?

Виконання вправ

Завдання 1. Укажіть в яких прикладах допущені помилки. Виправте їх.

	Функція	Похідна
1
2
3
4
5

Завдання 2. Знайти проміжки зростання, спадання та точки екстремуму функції .

Розв’язання

, ;
Знайдемо похідну функції: ;

;

– критичні точки;

Функція зростає: ;

Функція спадає: ;

Точки екстремуму: ,

Завдання 3. Дослідити функцію та побудувати її графік .

Розв’язання

;
– ні парна, ні непарна;

Графік функції несиметричний ні відносно осі ординат, ні початку системи координат.

Точки перетину з віссю абсцис (нулі функції): , ;

Отримаємо: або ;

Точки перетину з віссю ординат: ,

Дослідимо функцію на зростання спадання та точки екстремму. Знайдемо похідну.

– критичні точки.

Функція зростає: ;

Функція спадає: ;

Точки екстремуму: , ;

Екстремуми функції: , ;

Будуємо графік (рис. 11)

Рис. 11

Завдання 4. На рисунку зображено графік функції і дотична до нього в точці з абсцисою . Знайти значення похідної функції в точці

Рис. 1

Розв’язання

За геометричним змістом , тому задача зводиться до знаходження тангенса гострого кута (рис. 2).

Рис. 2

Завдання 5. Скільки критичних точок має функція зображена на рисунку.

Рис. 3

Розв’язання

Так як на рисунку зображено графік функції , то критичними точками будуть ті точки, де функція змінює знак. Таких точок 2 (рис. 4)

Рис. 4

Завдання 6. Вказати проміжки спадання функції на відрізку [a;b], якщо на рисунку зображено графік похідної .

Рис. 5

Розв’язання

Так як на рисунку зображено графік похідної функції, то вихідна функція спадатиме на проміжку там, де похідна має від’ємний знак, тобто

Рис. 6

Завдання 7. Вказати проміжки спадання функції на відрізку [a;b], якщо на рисунку зображено графік похідної .

Рис. 7

Розв’язання

Так як на рисунку зображено графік похідної функції, то вихідна функція зростатиме на проміжку там, де похідна має додатній знак, тобто .

Рис. 8

Завдання 8. На рисунку зображено графік похідної функції на інтервалі (-7;7). Скільки точок екстремуму має функція?

Рис. 9

Розв’язання

Так як на рисунку зображено графік похідної функції, то точки екстремуму будуть ті точки, де похідна змінює знак. На даному графіку таких точок 5 (рис. 10).

Рис. 10

Задачі прикладного характеру

Задача геометричного змісту

Яким слід зробити нахил мосту, щоб перехід з мосту на схил був плавним, при довжині мосту 20 м і стріли підвісу 0,5 м.

Розв’язання

З точки зору математики міст має форму параболи, яку можна задати рівнянням . Так як довжина м, а стріла підвісу м, то точки і є координатами кінцевих точок мосту.

З рівняння параболи . Маємо функцію .

Для знаходження кута нахилу, використаємо геометричний зміст похідної . Для цього знайдемо похідну функції.

Знайдемо значення похідної в точці 10 .

Маємо: . Знаходимо обернену функцію

Задача цариці Дідони

Парканом довжиною 80 м потрібно обгородити прямокутну ділянку найбільшої площі. Знайдіть розміри ділянки.

Розв’язання

Позначимо одну сторону прямокутника , тоді друга сторона буде дорівнювати , площа прямокутника . З умови задачі випливає, що . Таким чином, задача зводиться до знаходження найбільшого значення функції на відрізку .

Знайдемо похідну: . Знайдемо критичні точки: , , – належить проміжку . Знайдемо значення функції у критичній точці та на кінцях проміжку:

Звідси отримуємо, що функція на інтервалі набуває найбільшого значення при .

Таким чином, із усіх прямокутників периметромом 80 м найбільшу площу має квадрат зі стороною 40 м.

Задача фізичного змісту

Задача 1. При виверженні вулкану камені гірської породи викидаються перпендикулярно вгору з початковою швидкістю 120 м/с. Якої найбільшої висоти досягне каміння?

Увага!Речовина викидається перпендикулярно вгору. Висота каменя h дорівнює шляху

Розв’язання

Початкові умови: м/с.

За фізичним змістом похідної: .

Знайдемо критичні точки функції: , , с.

12,3 – критична точка максимуму, тодім

Задача 2. Автомобіль наближається до мосту зі швидкістю 72 км/год. Біля моста стоїть дорожній знак 36 км/год. За 7 с до виїзда на міст водій нажав на гальма. Чи з дозволеною швидкістю автомобіль виїхав на міст, якщо шлях зупинки визначається формулою ?

Розв’язання

Знайдемо швидкість автомобіля під час зупинки. Для цього знайдемо похідну даної функції: .

Гальмівний шлях за умовою задачі дорівнює 7 с. Обчислимо швидкість м/с.

Переведемо отриману швидкість у потрібні одиниці виміру:

м/с = км/год = м/год.

Отже, автомобіль виїхав з дозволеною швидкістю.

Задача біології

У живильне середовище вносять популяцію з 1000 бактерій. Чисельність популяції зростає за законом , t – виражається у годинах. Знайти через який час настане максимальний розмір цієї популяції.

Розв’язання

- закон зростання популяції. Для знаходження часу максимального розміру популяції, використаємо знаходження точок екстремуму. Для цього знайдемо похідну даного закону:

Знайдемо критичні точки, тобто прирівнюємо похідну до нуля.

Маємо критичну точку год. Визначимо знак похідної на кожному проміжку.

Як бачимо, відбувається зміна знаку з «+» на «–», тому ця точка є точкою максимуму. Максимальний розмір популяції настане через 10 год.

Задачі економіки

Задача 1. Розрахувати зміни продуктивності праці на початку робочого дня та за годину до її закінчення, якщо обсяг виготовлення продукції залежить від часу і описується рівнянням , – робочий день у годинах.

Розв’язання

Згідно економічного змісту похідної продуктивність праці є похідною від обсягу виготовленої продукції.

(од/год.)

Знайдемо продуктивність праці на початку робочого дня та за годину до кінця.

(од/год.);

(од/год.).

Як бачимо, продуктивність праці на початку робочого дня вище, чим в кінці. Даний факт підтверджують і закони біології, і життєві спостереження.

Задача 2. На підприємстві виготовляють продукцію одного виду. Витрати на виробництво одиниць продукції виражається функцією , а дохід, отриманий від реалізації (у грн.). Визначте скільки продукції треба виготовити, щоб дохід був максимальний.

Розв’язання

– витрати

– дохід, то прибуток

Оскільки, за умовою задачі потрібно знайти кількість продукції, тому функцію розглядаємо на проміжку .

, , – квадратне рівняння;

, – критичні точки.

Проміжку належить одна критична точка, .

Дана точка є точкою максимуму, оскільки похідна змінює знак з «+» на «–». Обчислюємо прибуток - максимальний прибуток.

Використання похідної в задачах медицини

Концентрація ліків у хворого через деякий час після ін'єкції задається формулою . Знайти максимальну концентрацію і час, коли вона стане максимальною.

Розв’язання

або с.

Максимальна концентрація досягне максимуму через 2 с і по величині буду дорівнювати

Задача 2. Розчинення лікарської речовини з таблетки описують рівнянням , де – початкова маса на момент часу ; – нерозчинна маса на момент часу ; – стала розчинення при заданих зовнішніх умовах. Визначте швидкість розчинення даної речовини за 30 хв, якщо г, .

Розв’язання

Масу лікарської речовини, що розчинилася на момент часу , записують у вигляді Швидкість розчинення визначають за похідною: . Швидкість розчинення пропорційна масі розчиненої частини таблетки.

Нехай константа швидкості розчинення ліків дорівнює 0,02 , початкова маса 25 г. Розграхуємо швидксть розчинення препарату за 30 с.

г маса розчиненої речовини;

г/с = мг/с

Задача 3. Ємність легенів людини, вік якої не менше 10 років наближено виражається формулою , де – вік людини в роках, – ємність легенів в літрах. Встановити, в якому віці ємність легенів найбільша і чому дорівнює.