Вектор (площинний випадок)

Про матеріал

Вектор як напрямлений відрізок (площинний випадок). Матеріал до уроку з геометрії у 9 класі під час вивчення тем: "Поняття вектора", "Координати вектора", "Додавання і віднімання векторів", "Множення вектора на число", "Скалярний добуток векторів ".

Перегляд файлу

Вектор як напрямлений відрізок

(площинний випадок)

1) Розкриття поняття вектора, як напрямленого відрізка

Поняття вектора є одним із фундаментальних понять сучасної математики. Його можна визначати по-різному:

➢ як напрямлений відрізок;

➢ як упорядковану пару точок, що є кінцями напрямленого відрізка; ➢як паралельне перенесення.

Вектор характеризується числовим значенням (модулем) і напрямом.

Вектор зображають напрямленим відрізком, тобто відрізком зі стрілкою, яка показує напрям вектора.

Для позначення векторів використовують малі латинські букви: а, b, c...

або АВ… Перша з букв позначає початок, друга – кінець.

Риска або стрілка над назвою відрізка заміняє слово «вектор».

Щоб задати вектор, достатньо вказати його початок його кінець.

Рис. 1

2) Нульовий вектор

Вектор, у якого початок і кінець - одна й та сама точка, називають нульовим

вектором або нуль-вектором і позначають 𝟎 або 𝟎⃗

Про напрям нуль-вектора не говорять.

Довжина нуль-вектора дорівнює нулю: l⃗0 l=0. Нульовий вектор вважають колінеарним будь-якому вектору.

3) Колінеарні вектори

Ненульові вектори називають колінеарними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій.

Рис. 3

Колінеарні вектори 𝑎 і 𝑏⃗ , які мають однаковий напрям, називають однаковонапрямленими (співнапрямленими), якщо промені АВ і СD однаково напрямлені, і записують:⃗а ⇈ 𝑏⃗ .

Колінеарні вектори⃗⃗⃗𝑎 і 𝑏⃗ , які мають протилежні напрями, називаютьпротилежнонапрямленими, якщопромені АВ і СD протилежно напрямлені,і записують:𝑎 ↑↓ 𝑏⃗ . Властивість та ознака колінеарних векторів:

у колінеарних векторів відповідні координати пропорційні і, навпаки:

якщо у двох векторів відповідні координати пропорційні, то ці вектори колінеарні.

4) Співнапрямлені і протилежно напрямлені вектори

Якщо колінеарні вектори мають однаковий напрям, то їх називають співнапрямленими.

Якщо колінеарні вектори мають протилежний напрям, то їх називають протилежно напрямленими.

5) Рівні вектори

Вектори рівні тоді і тільки тоді, коли їх відповідні координати рівні. Рівні вектори співнапрямлені і рівні за абсолютною величиною. І навпаки, якщо вектори співнапрямлені і рівні за абсолютною величиною, то вони рівні.

Отже, вектори є рівними, якщо виконано дві умови:

1) вони однаково напрямлені;

2) їхні модулі рівні, тобто

6) Координати вектора

Нехай вектор ⃗а має початком точку А₁(х₁;𝑦₁), а кінцем – точка А₂(х₂;𝑦₂).

Координатами вектора ⃗а називаються числа 𝑎₁= х₂- х₁, 𝑎₂= 𝑦₂- 𝑦₁

Коротко записують:

➢ 𝑎̅(𝑎₁; 𝑎₂) і читають: вектор а з координатами𝑎₁ і 𝑎₂; ➢ ̅АВ̅̅̅ (𝑎₁; 𝑎₂) і читають: вектор̅ АВ̅̅̅̅ з координатами 𝑎₁ і 𝑎₂;

➢ (𝑎₁; 𝑎₂) і читають: вектор з координатами𝑎₁ і 𝑎₂.

Координати нуль-вектора дорівнюють нулю: 0̅ (0; 0).

Протилежні вектори мають протилежні відповідні координати.

Рис. 4

Важливо: поняття координат вектора відрізняється від поняття координат точки на площині. Наприклад, точку М (2;1) можна позначити на координатній площині і ця точка буде єдиною. Знаючи координати точки, завжди можна знайти її положення на площині (у даному випадку І чверть). А ось векторів з координатими (2; 1) на площині можна зобразити безліч, головне, щоб різниці координат кінця і початку векторів були однакові, а вказати конкретно чверть, де знаходиться вектор з координатими (2; 1), – неможливо.

Рис. 5

7) Абсолютна величина вектора

Абсолютною величиною (або модулем) вектора називається довжина відрізка, що задає вектор.

Вектор, який має довжину рівну одиниці, називається одиничним вектором. Тобто, якщо |⃗е |=1, то ⃗е −одиничний вектор

8) Сума векторів

Якщо тіло перемістилося з точки A в точку B, а потім із точки B у точку C, то сумарне переміщення з точки A в точку C природно подати у вигляді

вектора АС, вважаючи цей вектор сумою векторів AB і BC, тобто AB + BC = AC.

Рис. 6 Правила додавання двох векторів: правило трикутника: відкладемо від довільної точки A вектор AB, рівний

вектору 𝑎. Далі від точки B відкладемо вектор BC, рівний вектору b. Вектор AC називають сумою векторів a і b і записують: a + b = AC.

Рис. 7

За правилом трикутника можна додавати й колінеарні вектори.

Рис. 8

Для будь-яких трьох точок A, B і C виконується рівність AB+ BC = AC, яка виражає правило трикутника для додавання векторів; правило паралелограма (для знаходження суми двох неколінеарних векторів, відкладених від однієї точки):

відкладемо від довільної точки A вектор AB, рівний вектору 𝑎, і вектор AD,

рівний вектору b. Побудуємо паралелограм ABCD. Тоді шукана сума 𝑎 + b дорівнює вектору AC.

Правила додавання кількох векторів: сума кількох векторів визначається за допомогою правила многокутника, яке є узагальненням правила трикутника. Якщо вектори відкладені так, що початок другого вектора збігається з кінцем першого, початок третього – із кінцем другого і т.д., то сума дорівнює вектору, початок якого збігається з початком першого, а кінець – із кінцем останнього вектора, тобто 𝑎 + b + c + d = e

Властивості додавання векторів:

для будь-яких векторів 𝑎, b і c виконуються рівності:

1) a +0 = a – додавання нуль-вектора;

2) a + b = b + a – переставна властивість;

3)(a+b)+c= a +(b + c)– сполучна властивість; 4) a + ( - a ) = 0– додавання протилежних векторів.

9) Різниця векторів Означення різниці векторів:

різницею векторів a і b називають такий вектор c , сума якого з вектором b дорівнює вектору a.

Пишуть: c= a - b.

Побудова вектора, який є різницею двох векторів:

a і b. Тоді вектор BA дорівнює різниці a - b.

Рис. 11

Описаний алгоритм можна застосовувати й для знаходження різниці колінеарних векторів.

Вектор BA дорівнює різниці колінеарних векторів a і b.

Рис. 12

10) Множення вектора на число Означення множення вектора на число:

добутком ненульового вектора 𝑎 і числа k, причому k≠0, називають

такий вектор b, що:

1) |b| = |k| | 𝑎|;

2) якщо k > 0, то b ↑↑𝑎; якщо k < 0, то b↑↓𝑎. Пишуть: b = k 𝑎.

Якщо 𝑎=0 або k = 0, то вважають, що k 𝑎=0.

Рис. 13

Властивості множення вектора на число:

для будь-яких чисел k, m і будь-яких векторів 𝑎, b виконуються рівності:

1) 1 𝑎 = 𝑎;

2) - 1 𝑎 = 𝑎;

3) k 0 = 0 𝑎 = 0;

4) k 𝑎 = 𝑎k

5) (km)𝑎 = k (m𝑎) - сполучна властивість;

6) (k + m)𝑎 = k 𝑎 + m 𝑎 — перша розподільна властивість;

7) k (𝑎 + b) = k 𝑎 + kb — друга розподільна властивість.

Абсолютна величина вектора ka: |ka| = |k| | 𝑎| Умова колінеарності двох ненульових векторів a і b:

якщо вектори 𝑎 і b -колінеарні й ≠0, то існує таке число k, що b = k 𝑎.

Дії над векторами у координатному поданні

Позначення вектора, заданого своїми координатами: якщо вектор𝑎 має координати 𝑎₁ і 𝑎₂, то його позначають:

𝑎(𝑎₁ ;𝑎₂) або (𝑎₁ ;𝑎₂).

Сума двох векторів:

сумою векторів 𝑎 і b з координатами (𝑎₁ ;𝑎₂) і (𝑏₁ ;𝑏₂) називається вектор с з координатами (𝑎₁ + 𝑏₁; 𝑎₂ + 𝑏₂), тобто

𝑎(𝑎₁ ;𝑎₂) + b(𝑏₁ ;𝑏₂) = c(𝑎₁ + 𝑏₁; 𝑎₂ + 𝑏₂). Різниця двох векторів:

різницею векторів 𝑎(𝑎₁ ;𝑎₂) і b(𝑏₁ ;𝑏₂)називається такий вектор с(с₁; с₂) який у сумі з вектором b дає вектор 𝑎: b + c = 𝑎. Добуток вектора 𝒂(𝒂_𝟏 ;𝒂_𝟐) на число k:

добутком вектора (𝑎₁ ;𝑎₂) на число k називається вектор (k𝑎₁ ;𝑘𝑎₂),

тобто(𝑎₁ ;𝑎₂)k=(k 𝑎₁ ;𝑘𝑎₂). Ознака колінеарності двох векторів : у колінеарних векторів відповідні координати пропорційні і, навпаки: якщо у двох векторів відповідні координати пропорційні, то ці вектори колінеарні,

𝑎¹ 𝑎² 𝑎¹ 𝑏¹

тобто = або = 𝑏1 𝑏2 𝑎2 𝑏2

11) Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком двох векторів ⃗𝒂⃗ і ⃗𝒃⃗ буде скалярна величина (число), що дорівнює добутку модулів цих векторів, помножене на косинус кута між ними: ⃗𝒂⃗ =cosα

Рис. 14

̂ ⃗𝒃⃗ =α.

Кут між векторами позначають ⃗𝒂⃗

Скалярний добуток векторів:

➢скалярний добуток векторів a(𝑎₁ ;𝑎₂) і b(𝑏₁ ;𝑏₂) дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів:

ab = 𝑎₁𝑏₁+ 𝑎₂𝑏₂;

➢скалярним добутком двох ненульових векторів називають число, що

дорівнює добутку їх довжин та косинуса кута між ними: ab = )

𝑎⃗ 𝑏⃗

𝑐𝑜𝑠 =

Властивості скалярного множення векторів:

для будь-яких векторів a, b, c і будь-якого числа k виконуються рівності:

1) ab=ba- переставна властивість;

2)(ka)b=k(ab) - сполучна властивість (відносно скалярного множника); 3) (a+b )c = ac + bc - розподільна властивість. Скалярний квадрат вектора а: