Визначення висоти предмета

Практичне заняття Застосування подібності трикутників Визначення висоти предмета

Об’єктом практичної роботи є геометричні фігури . Дослідження і застосування їх властивостей в навколишньому середовищі. Методи дослідження: застосування теореми Фалеса , ознак подібності трикутників та властивостей рівнобедреного трикутника.

Мета : показати прикладну спрямованість геометрії; розвивати природне математичне бачення та інтуїцію, набути первинних навичок і вмінь несуперечливо й доказово міркувати, навчитись обирати кращий шлях для розв’язання певної проблеми в умовах їх варіативності.

Розглянемо на прикладах задач, як знайти висоту стовпа, башти, колони, водоспаду, дерева, скелі, піраміди , як знайти ширину річки, зріст людини і т.д. Перший спосіб найлегший і найдавніший, той, за допомогою якого грецький вчений Фалес (за 6 століть до н.е.) виміряв висоту піраміди в Єгипті. Він використав її тінь. Фалес вибрав день і годину, коли його власна тінь дорівнювала його зросту. В цей момент і довжина тіні піраміди дорівнює її висоті. Фалес виконав цю задачу за допомогою властивостей подібності рівнобедрених прямокутнихтрикутників.

Геометрична інтерпритація

Ще один з давніх способів застосування подібності трикутників цікаво описаний у творі Жюля Верна «Таємничий острів». В творі є опис, як виміряли висоту скелі герої роману. АКCDВх. У меншого першим катетом буде жердина(DК), другим--- відстань між кілком і основою жердини(DС). У більшому трикутнику катетами будуть скеля, висоту якої потрібно знайти(АВ) та відстань від кілка до основи гранітної скелі(АС). Гіпотенузою буде промінь зору(С,К,В). Отримуємо подібні трикутники АВС і DКС. Обидва горизонтальні виміри мали довжину СD=15 футів, СА=500футів, висота жердини над землею DК=10футів

Уривок з роману Жюля Верна «Таємничий острів»«---Сьогодні нам потрібно виміряти висоту ділянки дальнього виду, --- сказав інженер. --- Вам знадобиться для цього інструмент?---запитав Герберт.---Ні, не знадобиться, ми будемо діяти інакше. Задіємо більш простий і точний спосіб. Для цього потрібно взяти пряму жердину футів 12-ти завдовжки…Не доходячи футів 500 гранітної стіни, увіткнути жердину на 2 фути в пісок, поставити її вертикально за допомогою виска. Потім відійти від жердини на таку відстань, щоб лежачи на піску, можна було на одній прямій бачити кінець жердини і край скелі. Цю точку де лежиш, позначити кілком.»---Тобі знайомі початки геометрії? ---запитав він Герберта, піднімаючись з землі.---Так---Памятаєш властивості подібних трикутників?---Їх схожі сторони пропорційні.»

По закінченню вимірювань інженер зробив наступні записи. Це означає, що висота скелі фути.(1 фут=0,3048м). Якщо виразити в метрах, отримаємо висоту скелі≈101,5м

Перш за все ми можемо скористатися властивістю прямокутного трикутника, скориставшись досить простим приладом, який легко виготовити з дощечки і трьох шпильок. На дощечці будь-якої форми,навіть на шматку кори,якщо у нього є плоска сторона,намічають три точки-вершини прямокутного трикутника. Потім в них встромляють сторчма по шпильці . Використання його не складніше, а ніж виготовлення. Цілком можливо обійтись при вимірюванні висоти і без допомоги тіней та кілків. Таких способів багато.

Відійшовши від вимірюваного дерева,тримайте прилад так щоб один з катетів трикутника був спрямований прямовисно. Наближаючись до дерева, або віддаляючись від нього,ви завжди знайдете таке місце,з якого, дивлячись на шпильку, можна побачити що вони покривають верхівку дерева .

Як виміряв учень 8-го класу висоту дерева біля школи

Вимірювання ширини річки

Забив кілок у точці А , так, щоб точки А,М, В лежали на одній прямій. Вибрав на березі точку С, з якої добре видно точку В. Потім знайшов точку К , таку, що КЄАС і MK ll BC. Утворені трикутники ABC~AMK (за кутами), AM= 3 м , АК=4м, КС=16м, АС=20м. З подібності трикутників : АВ: АМ=АС: АК, АВ= АВ=15 м. отже ширина річки ВМ=15-3=12(м). Простіше дану задачу можна розв’язати за теоремою Фалеса. Розглянувши відношення. АМ: МВ=АК: КС, тому 3: МВ=4:16, звідки МВ=12м.

Задача з дзеркаломм

ΔАВD ͠ ΔEFD(за кутами), АВ=165-12=153(см)З подібності трикутників: Отже висота дерева наближено дорівнює 6м

А ще є ситуації, коли без знань геометрії дуже легко помилитись у визначенні подібності фігур. Ось, наприклад проста задача . Чи подібні прямокутники, зображені на рисункуmma-2mb-2m

Розв’язання: Позначимо розміри більшого прямокутника буквами a I b, а ширину рамки буквою m. Тоді розміри меншого прямокутникаa-2m i b-2m. Якщо a≠b і m≠0, то(a-2m):(b-2m)≠a:b. Отже сторони даних трикутників не пропорційні, тому дані прямокутники не подібні.

Дякую за роботу