14 квітня о 18:00Вебінар: Як урізноманітнити вивчення французької мови в класі та дистанційно

«Властивість бісектриси трикутника» для узагальнення даної теми при підготовці до ДПА і ЗНО з математики.

Про матеріал
Дана розробка призначена для повторення деяких тем планіметрії, що входять до тематичного плану вивчення геометрії в 8 класі . У цій роботі розглядається одна з тем, за якими розроблені такі ж навчально-методичні матеріали, які містять в собі теоретичні факти, завдання різного рівня складності з рішеннями і добірка завдань для учнів з метою більш якісного закріплення матеріалу. Їх можна також використовувати для домашнього завдання або контролю знань. За навчальним часу заняття може бути організовано для 1-3 уроків, в залежності від рівня підготовки учнів.
Перегляд файлу

Тема : «Властивість бісектриси трикутника»

для узагальнення даної теми при підготовці до ДПА і ЗНО з математики.

 

Пояснювальна записка

            Дана розробка призначена для повторення деяких тем планіметрії, що входять до тематичного плану вивчення геометрії в 8 класі .

        У цій роботі розглядається одна з тем, за якими розроблені такі ж навчально-методичні матеріали, які містять в собі теоретичні факти, завдання різного рівня складності з рішеннями і добірка завдань для учнів з метою більш якісного закріплення матеріалу. Їх можна також використовувати для домашнього завдання або контролю знань. За навчальним часу заняття може бути організовано для 1-3 уроків, в залежності від рівня підготовки учнів.

Про трикутники цікаве

Кожен старшокласник вчить.

На якихось три кути

Йдуть століття – не роки!

І. Організаційний  момент: постановка теми і мети уроку

(Мотивація). Історично геометрія починалася з трикутника, тому ось уже два з половиною тисячоліття трикутник є символом геометрії. Без перебільшення можна сказати, що вся або майже вся геометрія будується на трикутнику.     Дивно, але трикутник, незважаючи на свою уявну простоту, є невичерпним об'єктом вивчення – ніхто, навіть в наш час не наважиться сказати, що вивчив і знає все властивості трикутника.

 

ІІ. Актуалізація опорних знань

А які трикутники ми з вами розглядали?  (Очікувані відповіді: рівнобедрений, рівносторонній, різносторонній, тупокутний, прямокутний, гострокутний). Сьогодні ми з вами дуже коротко ознайомимося з трикутниками, які мають своє власне «ім'я», або носять ім'я того, хто їх відкрив або досліджував. Єгипетський трикутник - прямокутний трикутник із співвідношенням сторін 3: 4: 5. Єгипетський трикутник із співвідношенням сторін 3: 4: 5 застосовувався єгиптянами - землемірами і архітекторами для побудови прямих кутів. Незважаючи на вік, це спосіб побудови прямого кута активно використовується будівельниками і тепер. Трикутник Паскаля такий простий, що побудувати його зможе навіть десятирічна дитина. У той же час він таїть в собі невичерпні скарби і пов'язує воєдино різні аспекти математики, що не мають на перший погляд між собою нічого спільного. Трикутник Рело - це геометрична фігура, утворена перетином трьох рівних кіл однакового радіуса з центрами в вершинах рівностороннього трикутника. Свердло, зроблене на основі трикутника Рело, дозволяє свердлити квадратні отвори (з неточністю в 2%). Один з найзагадковіших і цікавих трикутників - "Бермудський трикутник". Ще це місце називають аномальною зоною. Насправді це місце, яке традиційно вважається найжахливішим, найстрашнішим місцем планети. Тут безслідно зникала безліч кораблів і літаків - більшість з них після 1945 року. Тут загинуло більше тисячі чоловік. Однак при пошуках нікого і нічого не вдалося виявити. Бермудський трикутник не має чітких меж, не можна Penrosetrianglemodel.jpgзнайти на карті його точне позначення. Трикутник Пенроуза — одна з  основних неможливих фігур, відома також під назвами неможливий трикутник. Був відкритий в 1934 році шведським художником Оскаром Реутерсвардом, який зобразив його у вигляді набору кубиків. У 1980 році цей варіант неможливого трикутника був надрукований на шведських поштових марках .

Які лінії в трикутнику можна провести?

  • Висоту (перпендикуляр, який проведений з вершини трикутника на протилежну сторону).
  • Медіану ( відрізок, який з’єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони).
  • Бісектриса (промінь, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл)

Усна фронтальна робота з узагальнення теоретичного матеріалу.

Які з наступних тверджень вірні?

  • Бісектриса завжди проходить через середину сторони трикутника.
  • Будь-яка бісектриса рівнобедреного трикутника є його медіаною.
  • Бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена з вершини, протилежної основи, ділить основу на дві рівні частини.
  • Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.
  • Бісектриса завжди проходить через середину сторони трикутника.
  • Будь-яка бісектриса рівнобедреного трикутника є його медіаною.
  • Бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена з вершини, протилежної до основи, ділить основу на дві рівні частини.
  • Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.

Визначення теми уроку і постановка цілей уроку спільно з учнями.

 

ВЛАСТИВОСТІ    БІСЕКТРИСИ    КУТА    ТРИКУТНИКА

 

Властивість бісектриси кута трикутника    Однією з цікавих властивостей бісектриси кута трикутника, про яку інколи забувають абітурієнти, є поділ сторони на відрізки пропорційні бічним сторонам.

    На даному малюнку наведено й доведення цієї властивості.

Отже, теорема:

  1. Бісектриса кута трикутника ділить сторону. до якої вона проведена, на відрізки, пропорційні прилеглим до них сторонам.

Тобто: АD:DC=AB:BC

  1. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці.

  1. Бісектриса кута паралелограма відсікає рівнобедрений трикутник

 

  1. Бісектриси кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма і трапеції перетинаються під прямим кутом.

ІІІ. Закріплення навчального матеріалу розглянемо на прикладі рішення

деяких завдань.

Завдання № 1

Сторони трикутника дорівнюють 10 см, 11 см і 12 см. Знайти відрізки, на які ділить бісектриса трикутника середню сторону.

Дано: AC = 10 см, BC = 11 см, AB = 12 см, AP = бісектриса.

Знайти: CP і BP.

Розв’язання:

По властивості бісектриси трикутника:    

     

Нехай CP=x см, тоді  BP=11-x см:

        За основною властивістю пропорції маємо:

  •                                

CP=5 см, BP=6 см.

Відповідь: 5 см, 6 см.

Задача № 2

У трикутника ABC проведена бісектриса AD. Знайти периметр трикутника ABC,

якщо АС = 4см; DC = 2см; BD = 3см.

Розв’язання:

За властивістю бісектриси BD/AB = DC/AC; 3/AB = 2/4; АВ = 6.

Периметр трикутника АВС Р= 6 + 5 + 4 = 15 см.

Відповідь: 15 см.

Задача №3

У прямокутному трикутнику бісектриса гострого кута ділить протилежний катет на відрізки 20 см і 12 см. Обчислити периметр трикутника.

Розв’язання: Оскільки катет ділиться бісектрисою на відрізки 20см та 12 см, то довжина гіпотенузи відноситься до довжини іншого катета як 20:12=5:3. Нехай гіпотенуза АВ=5к, катет ВС=3к, складемо рівняння за теоремою Піфагора:

25k2=9k2+322

к=8, 5к=40, 3к=24.

 

Отже Р=24+40+32=96(см)

 

Задача №4

Дано трикутник ABC, в якому  BD - бісектриса . АВ = 4 см, ВС = 6 см. АD : DС = 2 : 3. Знайти довжини відрізків, на які розділяє бісектриса сторону АС.

Розв’язання: за властивістю бісектриси AD/DC = AB/BC = 4/6 = 2/3.

Нехай AD = 2х; DC = Зх. Складемо пропорцію:

;                         12х = 12х;    х =1.

АD = 2·1 = 2см; DС = 3 · 1 = 1см.

 

Протягом декількох років серед завдань ЗНО не раз пропонувалися планіметричних задачі, які в разі застосування цієї властивості вирішувалися б простіше. Розглянемо кілька прикладів таких завдань.

 

Задача 1. В рівнобедреному трикутнику ABC с основою АС проведено висоти ВТ и AF. Вони перетинаються в точці К. Відомо, що АВ = 15 см, АК= 5 см. Знайти  площу трикутника АВК (рис. 1).

Розв’язання. Так як висота ВТ, проведена до основи рівнобедреного трикутника ABC, є бісектрисою кута В, то відрізок ВК - бісектриса кута В ​​трикутника ABF. За властивості бісектриси трикутника:

      звідки                                            

Нехай  KF= х, тоді BF = Зх, AF = = 5 + х. Розглянемо трикутник ABF. За теоремою Піфагора , де AF = AK + KF.

Маємо: 225=   .  Отже, BF = 3х = 3 • 4 = 12.

Звідси,          

 

Задача 2.

Площа рівнобедреного трикутника ABC дорівнює 90, а бічна сторона дорівнює 10 . До основи АВ і стороні ВС проведено висоти СР і АН відповідно, які перетинаються  в точці К. Знайдіть площу трикутника СКН .

Розв’язання:

Звідки  sin 

Розглянемо трикутник АСН. У ньому АН = . За теоремою Піфагора 

Так як висота СР, проведена до основи рівнобедреного трикутника ABC, є бісектрисою кута С, то відрізок СК - бісектриса кута С трикутника АСН. За властивістю бісектриси трикутника маємо:

Нехай  АК = 5х і КН = 4х. Тоді:

9х=6 , х= , КН = .

Таким чином,

Відповідь: 32

Задача 3.

Дано ромб ABCD з гострим кутом В. Площа ромба дорівнює , а синус кута В ​​дорівнює . Висота СН перетинає діагональ BD в точці К. Знайдіть довжину відрізка СК.

Розв’язання:

Так як діагональ ромба є бісектрисою його кута, то BD - бісектриса кута В, а значить, ВК - бісектриса кута В ​​трикутника НВС. Далі знаходимо сторону і висоту ромба.

Площа ромба: , з формули площі шукаємо сторону ромба:

;    ;    .

Також площу ромба можна знайти за формулою:  ,

де h=. В прямокутному трикутнику ВСН

Нехай НК = х, КС = 4 –х. За властивістю бісектриси маємо:

;     ;  х = 1. СК = 4 – 1 = 3.

Відповідь: СК = 3.

 

ІV. Домашнє завдання

  • Повторити  зміст теореми о властивості бісектриси трикутника.
  • Розв'язати задачі:

1. Бісектриса рівнобедреного трикутника ділить бічну сторону на відрізки завдовжки 2 см і 4 см, починаючи від основи трикутника. Знайдіть основу трикутника.

2. Бісектриса прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки, різниця яких складає 5 см. Знайдіть сторони трикутника, якщо відношення катетів дорівнює 3 : 4.

3. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника ділить висоту, проведену до основи, на відрізки завдовжки 16,5 см і 27,5 см. Знайдіть відрізки, на які ця бісектриса ділить бічну сторону трикутника.

Повторити теорему про вписані кути та її наслідки.

docx
До підручника
Геометрія (академічний, профільний рівень) 11 клас (Бевз Г.П., Бевз В.Г., Владімірова Н.Г., Владіміров В.М.)
Додано
26 грудня 2020
Переглядів
466
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку