Властивості медіани і бісектриси трикутника

Геометрія, 8 клас. Властивості бісектриси і медіани трикутника

Теорема. Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам. Доведення Нехай АВС – довільний трикутник, а BL - його бісектриса. Покажемо, що AL : LC = AB : BC. Проведемо пряму СК, паралельну BL, до перетину з прямою AB у деякій точці К. Занумеруємо кути, як на малюнку. Тоді ∠1=∠3 (як відповідні кути при паралельних прямих BL і KC і січній AK), ∠2=∠4 (як різносторонні кути при паралельних прямих BL і KC і січній AK). Оскільки ∠1=∠2, то і ∠3=∠4, тобто трикутник ВКС – рівнобедрений, ВК=ВС. За узагальненою теоремою Фалеса AL : LC = AB : BК. Оскільки ВК=ВС, то AL : LC = AB : BC. Що і треба було довести.

Теорема. Усі три медіани трикутника проходять через одну точку і діляться цією точкою у відношенні 1 : 2. Доведення Нехай медіани АА1 і ВВ1 трикутника АВС перетинаються в точці М. А1 В1 - середня лінія ∆АВС, тому А1 В1 ӀӀ АВ і А1 В1=12 АВ .∆МАВ ∾ ∆МА1 В1 (за двома кутами), звідки А1 М : МА = В1 М : МВ = А1 В1: АВ = 1 : 2. Отже, медіани АА1 і ВВ1 точкою перетину діляться у відношенні 1 : 2. Медіани АА1 і СС1 точкою перетину діляться у відношенні 1 : 2. А точка, яка ділить медіану АА1 у відношенні 1:2, починаючи від основи, одна – точка М. Отже, і медіана СС1 проходить через точку М і ділиться нею у відношенні 1 : 2. Що і треба було довести. 

Контрольні запитання. Які два трикутники називаються подібними?Сформулюйте ознаки подібності трикутників. Сформулюйте теорему про властивість бісектриси трикутника. Сформулюйте теорему про властивість медіан трикутника.