Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

Про матеріал

Перегляд файлу

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть в определенном интеграле нижний предел ɑ закреплен, а верхний предел b меняется. Тогда будет меняться и значение интеграла, т.е. интеграл есть функция верхнего предела.

Для того чтобы иметь привычные обозначения, верхний предел b обозначим через x, а чтобы не смешивать его с переменной интегрирования, последнюю обозначим через t (от обозначения переменной интегрирования значение интеграла не зависит). Получим интеграл . При постоянном ɑ этот интеграл будет представлять собой функцию верхнего предела x. Эту функцию мы обозначим через F(x):

F(x)= (1)

Если f(t) - неотрицательная функция, то величина F(x) численно равна площади криволинейной трапеции aАXx.

Очевидно, что эта площадь изменяется в зависимости от изменения x. Найдем производную от F(x) по x, т.е. найдем производную определенного интеграла (1) по верхнему пределу.

Теорема 1. Если f(x) – непрерывная функция и F(x)=, то имеет место равенство F^'(x)=f(x)

Иными словами, производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела (при условии, что подынтегральная функция непрерывная).

Доказательство. Дадим аргументу x положительное или отрицательное приращение x; тогда (учитывая одно из свойств определенного интеграла) получим:

F(x+x)==+.

Приращение функции F(x) равно

= F(x+x) – F(x)= +-

т.е. =

К последнему интегралу применим теорему о среднем значении

(свойство определенного интеграла)

=f(µ)(x+-x) = f(µ), где µ- заключено между x и x+

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

= = f(µ). Следовательно, F^'(x)==.

Но так как µ→x при , то =, а вследствие непрерывности функции f(x): =f(x). Таким образом F^'(x)=f(x). Теорема доказана.

Данная теорема просто иллюстрируется геометрически (на рисунке выше): приращение f(µ) равняется площади криволинейной трапеции с основанием , а производная F^'(x)=f(x) равна длине отрезка xX.

Замечание. Из доказанной теоремы, в частности, следует, что всякая непрерывная функция имеет первообразную. Действительно, если функция f(t) непрерывна на отрезке [a, x], то, в этом случае определенный интеграл существует, т.е. существует функция F(x)=. Но по доказанному выше она является первообразной от f(x).

Теорема 2. Если F(x) есть какая-либо первообразная от непрерывной функции f(x), то справедлива формула: F(b)-F(a). Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство. Пусть F(x) есть некоторая первообразная от функции f(x). По теореме 1 функция есть также первообразная от f(x). Но две любые первообразные от данной функции отличаются на постоянное слагаемое С. Следовательно, можно написать : = F(x)+С.

Это равенство при соответствующем выборе С справедливо при всех значениях x, т.е. является тождеством. Для определения постоянного С положим в этом тождестве x=a; тогда= F(x)+С, или 0= F(a)+С, откуда С= -F(a). Следовательно, = F(x)-F(a). Полагая x=b, получим формулу Ньютона-Лейбница: F(b)-F(a), или заменив обозначение переменной интегрирования на x: F(b)-F(a).

Отметим, что разность F(b)-F(a) не зависит от выбора первообразной F, так как все первообразные отличаются на постоянную величину, которая при вычитании все равно умножается. F(b)-F(a)= F (x)| , то формулу (2) можно переписать так: F (x)| = F(b)-F(a).

Формула Ньютона-Лейбница дает практически удобный метод вычисления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции. Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог получить то значение в математике, какое он имеет в настоящее время. Хотя с процессом, аналогичным вычислению определенного интеграла как предела интегральной суммы, были знакомы еще в древности (Архимед), однако приложения этого метода ограничивались теми простейшими случаями, когда придел интегральной суммы мог быть вычислен непосредственно. Формула Ньютона-Лейбница значительно расширила область применения определенного интеграла, так как математика получила общий метод для решения различных задач частного вида и поэтому смогла значительно расширить круг приложений определенного интеграла к технике, механике, астрономии и т. д.

Примеры: