Задачі для підготовки до олімпіади з математики

Готуємось до олімпіади

1. Учасники олімпіади зайняли місця в аудиторії. Залишились порожніми 10 місць. Якщо б учасників було вдвічі більше, то тоді б вільними було два місця. Скільки місць було в аудиторії?

Розв’язання. 1) 10 – 2 = 8 було учасників олімпіади.

                      2) 8 + 10 = 18 місць в аудиторії.

Відповідь: 18 місць.

2. На олімпіаді запропонували 4 задачі. Виявилось, що кожен учасник розв’язав різний набір задач. Чи могло бути на олімпіаді 17 учасників?

Розв’язання. Усього наборів задач 2⁴ = 16. Якщо учасників 17, то за принципом Діріхле, знайдеться такий набір задач, що повториться не менше 2-х разів.

Відповідь: Не могло.

Примітка. Можна розв’язати цю задачу перебором варіантів:

(++++), (+++–),(++–+), (+–++), (–+++), (++– –), (+–+–), (–++–),

(+– –+), (–+–+), (– –++), (+– – –), (–+– –), (– –+–), (– – –+), (– – – –). Усього 16.

 3. Олімпіаду писали три години. Для розв’язання було запропоновано 5 задач. Рівно через 1 годину після її початку троє учнів закінчили розв’язання і здали роботи. Після цього з інтервалом рівно у 4 хвилини учасники один за одним здавали роботи, причому останній – рівно через 3 години після початку олімпіади. Чи можна стверджувати, що хоча б двоє учасників розв’язали однаковий набір задач?

Розв’язання. Підрахуємо загальну кількість учасників. 3 + 120:4 = 33.

Усього наборів завдань 2⁵ = 32. За принципом Діріхле, знайдеться такий набір задач, що повториться не менше 2-х разів.

Відповідь: Можна.

4. Учень розв’язував 24 задачі, готуючись до ЗНО. Як виявилось, на кожну правильно розв’язану задачу він витрачав по 4 хвилини, а на кожну неправильно розв’язану задачу він витрачав по 3 хвилини. Після цього його репетитор, перевіряючи його роботу, витрачав по 1 хвилині на коментування правильно розв’язаної задачі і по 5 хвилин на пояснення кожної неправильно розв’язаної задачі. Разом на все це було витрачено 144 хвилини. Скільки задач учень розв’язав правильно?

Розв’язання. Нехай учень розв’язав х задач правильно, тоді неправильно розв’язаних задач було 24 – х. Складаємо рівняння:

4х + 3(24 – х) + х + 5(24 – х) = 144,

4х + 72 – 3х + х + 120 – 5х = 144,

3х = 48, х = 16.

Відповідь: 16.

5. Переписали прізвища всіх учасників олімпіади. Виявилось, що кожне прізвище складається рівно з 7 букв, причому всі дівочі прізвища закінчувались «ова», а всі прізвища хлопців – на «нко». Одна з букв використовувалась 7 разів, інша – 6 разів, по 5 разів – букви «е» і «н», тричі – буква «а», по 2 рази – букви «в» і «ш» та «і», інші були використані по одному разу. Якою найбільшою могла бути кількість хлопців на олімпіаді?

Розв’язання. Враховуючи, що в кожному прізвищі є хоча б одна буква «о», робимо висновок, що учасників олімпіади не більше, ніж 7. Враховуючи інформацію про букву «н», робимо висновок, що хлопців не більше, ніж 5. А беручи до уваги, що букв «в» усього дві, робимо висновок, що дівчат не більше, ніж 2. Підрахуємо, скільки усього букв задіяні в прізвищах учасників. 7 + 6 + 10 + 3 + 6 + х = 32 + х, де х – кількість букв, використаних по 1 разу, причому 3 ≤ х ≤ 25 (сума повинна ділитись на 7, а з 33 букв абетки вже враховані 8). Та учасників не більше, ніж 7, тобто

32 + х ≤ 49, а х ≤ 17. Найбільша кількість хлопців буде, якщо х = 17. Учасників рівно 7, хлопців – рівно 5.

Приклад:

Букв «о» – 7, букв «к» – 6, букв «н» – 5, букв «е» – 5, букв «а» – 3, букв «в», «ш» та «і» – по 2, інші сімнадцять – по одному разу.

Відповідь: 5.