Задачі для учнів 5-7 класів на логіку

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Хорошівська гімназія

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Логічні задачі

як засіб активізації

творчої діяльності учнів

на уроках математики

у 5-7 класах

 

 

 

 

 

 

З досвіду роботи

вчителя математики

Микитенко А. П.

 

 

смт Хорошів

Предмет математики

настільки серйозний, що

корисно не пропустити

нагоди зробити його цікавим.

Б. Паскаль

Пограйтеся

№1

На столі лежить 20 сірників. Двоє по черзі беруть 1 або 2 сірники. Перемагає той, хто бере останній сірник. Як виграти?

№2

П'ятнадцять сірників розміщені в ряд. Треба зібрати їх у 5 купок по 3 в кожній, перекладаючи їх по одному і кожний раз перестрибуючи при цьому через три сірники.

№3

На малюнку зображено ліс (із сірників) і хлопчика, що їде до бабусі. Перекладіть два сірники так, щоб він повертався назад.

№4

На малюнку 35 сірників розкладено так, що спіраль, «закручена» за годинниковою стрілкою. Перекладіть 4 сірники, щоб одержати спіраль, «закручену» проти годинникової стрілки.

№5

У кожному горизонтальному рядку перекладіть по одному сірнику, щоб усі шість горизонтальних і вертикальних рівностей були правильні.

№6

Візьмемо смужку паперу в клітинку і занумеруємо клітинки числами 0;1;2;3;4… На одній із клітинок стоїть фішка. Грають двоє. Вони по черзі пересувають фішку вліво на одну, дві, три або чотири клітинки. Програє той, кому нікуди ходити (виграє той, хто поставить фішку на нуль). При якому початковому положенні фішки виграє той, хто починає гру, а при якому його партнер?

№7

Двоє почергово говорять довільні числа, які не більші, ніж 10. Ці числа додаються одне за одним. Виграє той, хто першим скаже «сто». Як виграти?

Вказівки. Розв’язання

№4 Треба зробити 12 таких перекладань: 2 до 6; 1 до 6; 8 до 12; 7 до 12; 9 до 5; 10 до 5; 4 між 5 і 6; 3 між 5 і 6; 11 між 5 і 6; 13 на місце з номером 11, 14 на те ж місце, 15 на те ж місце.

№6 Розглянемо клітинку. Якщо фішка стоїть у цій клітинці, то той, хто починає не може виграти. А його партнер при правильній грі виграє. Аналогічну властивість мають клітинки 10, 15, … . Отже, той, хто починає, виграє, якщо кожного разу буде ставити фішку на клітинку, номер якої кратний 5.

№7 Треба називати числа, щоб отримати послідовність сум: 1; 12; 23; 34; 45; 56; 67; 78; 89.

Поміркуйте

№1

Мишці до дірки 20 кроків, кішці до мишки 5 стрибків. Доки кішка робить один стрибок, мишка робить 3 кроки, а 1 стрибок кішки дорівнює 10 крокам мишки. Чи дожене кішка мишку?

№2

Три мисливці варили кашу. Один з них всипав 2 склянки пшона, другий – 1 склянку, а в третього пшона не було. Вони з’їли кашу порівну. Третій мисливець і каже: «Дякую за кашу. У мене лишилось 5 патронів, - і от завдання, як поділити патрони відповідно до вашого вкладу при приготуванні каші?»

№3

На білу площину розлили чорне чорнило. Чи правильно, що:

а) знайдуться дві точки одного кольору віддалені на 10м;

б) знайдуться дві точки різного кольору віддалені на 10м.

№4

На озері росло латаття. Кожного дня його кількість подвоювалась і на 20-ий день заросло все озеро. На який день заросла четвертина озера?

№5

Сергійкова кімната має таку властивість: якщо її поставити на «бік» (на будь-яку бічну стіну), то її площа не зменшиться. Якою може бути найбільша площа цієї кімнати, якщо її висота 3м?

№6

Вставте пропущене число.

 

4	9	20
8	5	14
10	3	?

№7

Вставте пропущену букву.

 

А	Г	Ж
Г	З	Л
З	М	?

 

 

 

 

 

№8                                            

 

Є дві сковороди. На кожній з них можна підсмажити один млинець. Кожний бік млинця смажиться 1 хвилину. Треба підсмажити 3 млинці з двох боків. За який найменший час це можна зробити?

 

 

№9

Серед 80 однакових на вигляд монет одна фальшива (легша). Як за допомогою чотириразового використання шалькових терезів без важків знайти фальшиву монету?

 

№10

В сім’ї  четверо дітей, їм 5, 8, 13, 15 років. Дітей звуть Марійка, Борис, Віра і Галя. Скільки років кожній дитині, якщо одна дівчинка ходить у дитячий садок, Марійка старша Бориса, а сума років Марійки і Віри ділиться на 3?

№11

Микола і Віктор живуть в одному будинку. На кожному поверсі в усіх під’їздах є по 4 квартири. Микола живе на п’ятому поверсі в квартирі №83, а Віктор на третьому поверсі в квартирі №169. Скільки поверхів у цьому будинку?

 

Вказівки. Розв’язання

№1 Доки кішка зробить 7 стрибків, мишка зробить 21 крок.

№2 Кожен мисливець з’їв кашу, зварену з 1 склянки пшона.

№4 На 18-ий день.

№8 3 хв.

№9 Покладемо на обидві шальки терезів по 27 монет. У випадку рівноваги фальшива монета у групі з 26 монет. Якщо терези в рівновазі, то фальшива монета в легшій групі з 27 монет. З групи, де фальшива монета, беремо по 9 монет і т. д.

№10 5+13=18. Отже, Вірі 5 років, Марійці – 13 років, Борису – 8 років, Галі – 15 років.

№11 Число квартир, що передують квартирі Миколи і розміщені в попередніх під’їздах та на перших чотирьох поверхах даного під’їзду, є найбільше число кратне 4, яке менше 83, тобто 80. Тоді в попередніх під’їздах є 64 квартири. Тобто добуток числа поверхів на число під’їздів дорівнює 16. Провівши аналогічні міркування відносно квартири Віктора отримаємо, що добуток числа поверхів на число під’їздів у цьому випадку дорівнює 40. Оскільки 16=2*8; 40=5*8, а числа 2 і 5 взаємно прості, то кількість поверхів дорівнює 8.

 

 

Підрахуйте

№1

Зустрілись троє друзів і вирішили зіграти в шахи. Домовились, що кожен з них зіграє з кожним один раз. Скільки було зіграно партій? А скільки було б зіграно партій, якби друзів було шестеро?

№2

На площині відмічено 4 точки, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Скільки різних прямих визначають ці точки? А скільки можна було б провести прямих, якби точок було п’ять?

 

№3

Скільки можна провести прямих через n точок, якщо жодні три з них не лежать на одній прямій?

 

№4

Знайдіть таке розміщення трьох точок, щоб вони визначали рівно три прямі; чотирьох точок, щоб вони визначали рівно 4 прямі; n точок, щоб вони визначали рівно n прямих.

№5

На площині дано 7 точок, три з яких лежать на одній прямій, а решта чотири не лежать на одній прямій і ніякі три з них не лежать на одній прямій. Скільки всього прямих можна провести через дані 7 точок?

№6

На першій прямій через рівні проміжки поставили 10 точок. Вони зайняли відрізок довжиною l. На другій прямій через такі ж проміжки поставили 100 точок. Вони зайняли відрізок довжиною L. У скільки разів L більше l?

№7

Відомо, що пряма поділяє площину на 2 частини, 2 прямі, що перетинаються – на 4 частини. А на скільки частин можуть поділити площину 3 прямі (розгляньте всі випадки).

№8

Листок паперу розрізали на 3 частини, потім одну з цих частин розрізали ще на 3 частини і так зробили 40 разів. Скільки одержали частин?

№9

Є дев’ять різних квадратиків, з яких три червоні, три білі, три сині.

Скількома способами їх можна розмістити у вигляді квадрата 3х3 так, щоб у кожному рядку і кожному стовпці зустрічались квадратики всіх кольорів?

№10

Щоб пронумерувати сторінки книжки використали 337 цифр. Скільки сторінок має книжка, якщо її почали нумерувати з третьої сторінки?

 

Вказівки. Розв’язання

№2 З кожної точки до трьох інших можна провести пряму. А оскільки прямі ВА і АВ це одна і та ж пряма, то загальна кількість прямих буде 4*3/2=6.

№3 n(n-1)/2

№4 Чотири точки визначають чотири прямі при такому розміщенні.

№8 При кожному розрізуванні кількість частин збільшується на дві.

 

 

Дослідіть трикутник

№1

Визначте вид трикутника, у якого сума двох кутів:

а) менша третього; б) дорівнює третьому; в) більша третього.

№2

Який вид має трикутник, якщо один з його зовнішніх кутів менший від внутрішнього, суміжного з ним?

№3

Чи може висота трикутника співпадати з його стороною? Чи може тільки одна висота співпадати з його стороною?

№4

Основа рівнобедреного трикутника в 2 рази більша за висоту, проведену до основи Знайдіть кути цього трикутника.

№5

Якщо відношення гострих кутів прямокутного трикутника 1:3, то бісектриса найбільшого кута дорівнює одному з катетів. Доведіть.

№6

У трикутнику медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює одному із катетів. Яке відношення величин гострих кутів цього трикутника?

№7

Бісектриса і медіана, проведенні з вершини прямого кута трикутника є сторонами рівнобедреного трикутника. Знайдіть кути цього трикутника.

№8

Бісектриси двох внутрішніх кутів трикутника перетинаються під кутом 45^о. Визначте вид трикутника.

№9

Кут між висотою і медіаною, проведеними до гіпотенузи, дорівнює одному з кутів трикутника. Знайдіть відношення гострих кутів трикутника.

№10

У трикутнику кут між медіаною і висотою, проведеними до гіпотенузи, дорівнює 22^о. Знайдіть гострі кути цього трикутника.

 

Вказівки. Розв’язання

№5 Кут В=22,5^о; кут А=67,5^о; кут АСD=45^о. Треба знайти кут ADC.

№6 Медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.

№7 Нехай кут ά, тоді кут МСВ= ά; кут АСD=45^о. Треба знайти кут DСМ;

кут DСМ =кут СМD.

№8 Кут ВОМ- зовнішній кут трикутника АОВ. Кут ВОМ= кутА/2+кутВ/2

№10 Кут СОН=90^о-22^о=68^о, трикутник СОВ-рівнобедрений.

 

Побудуйте графік

№1

Побудуйте графік функції:

а) у=|х|;  б) у=|х|+2;  в) у=|х|-3;  г) у=4-|х|;  д) у=|х|+3х;  е) у=-|х|;  є) у=|-х|;  ж) у=|-х|+3

№2

Побудуйте графік функції:

а) у=|х-1|;  б) у=|х+2|;  в) у=|х+1|+3;   г) у=-|2-х|;  д) у=-|х+3|.

№3

Побудуйте графік рівняння:

а) |х|+х=2у;  б) |у|= ху;  в) |х|+у=0;  г) |х|-х = у;  д) |х|+|у|=2;  е) |х+у|=1.

 

Вказівки. Розв’язання

№1 г) Якщо х>=0, то у= 4-х; якщо х<0, то у=4+х. є) |х|=|-х|.

№2 г) у=-|2-х|. Якщо х<=2, то 2-х>=0, тоді у=-(2-х)=х-2; якщо х>2, то 2-х<0, тоді у=2-х.

№3 б) |у|=ху. Якщо у>0, то у=ху; х=1; якщо у<0, то –у=ху; х=-1; якщо у=0, то х-будь-яке число.

е) |х+у|=1. х+у=+1, тобто х+у=1 або х+у=-1.

 

Доведіть

№1

У класі вчиться 26 учнів. Доведіть, що хоча б троє з них відзначають день народження протягом одного місяця.

№2

Доведіть, що коли від тризначного числа відняти суму його цифр, то одержана різниця ділиться на 9.

№3

Дано дріб, чисельник і знаменник якого містять однакову кількість цифр. Якщо до чисельника приписати чисельник, а до знаменника-знаменник, то одержимо дріб, що дорівнює даному. Доведіть.

№4

Одне з чисел більше від другого на 2. Доведіть, що добуток цих чисел, збільшений на 1, є точним квадратом.

№5

Доведіть, що 11¹¹+12¹²+13¹³ ділиться на 10.  

 

 

 

 

№6

Візьмемо два двозначних числа і перемножити їх. Нехай А-їх добуток. Тепер у кожному співмножнику переставимо цифри і числа знову перемножимо. Одержимо число В. Доведіть, що число А-В ділиться на 99.

 

№7

Якщо сторона і медіана  та висота, проведені до цієї сторони, одного трикутника, відповідно дорівнюють стороні, медіані і висоті, другого трикутника, то такі трикутники рівні. Доведіть.

№8

Якщо кут і бісектриса та висота, проведені з вершини цього кута одного трикутника, відповідно дорівнюють куту, бісектрисі і висоті другого трикутника, то такі трикутники рівні. Доведіть.

№9

На прямій відмічено 45 точок, що лежать поза відрізком АВ цієї прямої. Доведіть, що сума відстаней від цих точок до точки А не дорівнює сумі відстаней від них до точки В.

№10

На кожній із сторін трикутника АВС побудовані прямокутники однакової ширини так, що вони попарно дотикаються вершинами і мають рівні  сторони, що не належать сторонам трикутника. Доведіть, що прямі, які з’єднують вершини трикутника АВС з відповідними вершинами трикутника А₁В₁С₁, перетинаються в одній точці.

 

Вказівки. Розв’язання

№3 Нехай дріб ab…l/cd…m містить по n цифр у чисельнику і знаменнику. Якщо допишемо до чисельника чисельник, а до знаменника - знаменник, то одержимо дріб ab…lab…l/cd…mcd…m=ab…l*10ⁿ+ab…l/cd…m*10ⁿ+cd…m.

№5 11¹¹- закінчується цифрою 1, 12¹²-цифрою 6, 13¹³-цифрою3, тому сума 11¹¹+12¹²+13¹³ закінчується нулем.

№6 Двозначні числа: 10a+b і 10c+d. Коли цифри переставимо, то одержимо числа 10b+a і 10d+c.

№9 45- число непарне.

№10 Точка А₁ рівновіддалена від двох сторін трикутника АВС.

 

Знайдіть помилку

І. Знайдіть помилки в записах.

№1

а) а²+а²=а⁴;   б) (а³)²=а⁶;   в) а³*а⁴=а¹²;   г) (-2а²)³=-6а⁶4   д) (3а⁴)³=27а⁷

№2

а) якщо |х| =5, то х=5;  б) якщо|х|=0, то х=0;   в) якщо|х-2|=3, то х=5;   г) якщо      х(х-6)=0, то х=6.

№3

а) -15х=5; х=3;   б) ах=4; 4/а;   в) (а-1)х=а²-1; х=а²-1/а-1;   г) ах=в; х=в/а.

№4

а) завжди х лежить лівіше 2х;   б) х² завжди більше х;   в) інколи -3х лежить правіше х.

ІІ. Знайдіть помилку в міркуваннях.

№5

 Нехай b - будь-яке число і а=1,5b. Тоді 10а=15b і 14а=21b. Звідки 14а-10а=21b-15b, або 15b-10а=21b-14а. Отже, 5(3b-2а)=7(3b-2а).

Скоротивши на 3b-2а, одержимо5=7.

№6

Візьмемо очевидну рівність 6:6=7:7. Після винесення за дужки спільного множника з кожної частини рівності будемо мати: 6(1:1)=7(1:1), або 2*3(1:1)=7(1:1). Знаючи, що 1:1=1, з останньої рівності одержуємо 2*3=7.

№7

Продавець мав дві корзини з грушами різних сортів, по 60 штук у кожній. За цей товар передбачалось вторгувати 9 гривень 50 коп. при таких розрахунках: 30 коп. за 4 груші з першої корзини і 50 коп. за 6 груш з другої корзини. Однак продавець для спрощення роботи змішав груші обох сортів і продавав десяток за 80 коп. продавши груші, він порахував гроші і отримав 9 гривень 60 коп. Звідки взялися 10 копійок?

 

Знайдіть число

№1

Задача-фокус.

Візьміть тризначне число, запишіть цифри у зворотному порядку (347-743). Одержите ще одне число. Від більшого з них відніміть менше. Останню цифру різниці повідомте фокуснику. Він назве різницю. Як він це зробить?

№2

У таблицю вписано числа за певним правилом. Знайдіть це правило і впишіть число, якого не вистачає.

1

5

6

11

?

28

№3

Число, що записано на дошці, можна подвоювати або витирати останню цифру. Як за допомогою цих операцій з числа 458 одержати число 14?

№4

Якщо між цифрами двоцифрового числа вписати це саме двоцифрове число, то одержане чотирицифрове число буде більше за початкове у 77 разів. Знайдіть це число.

№5

До суми цифр двозначного числа додали квадрат цієї суми і одержали це саме двозначне число. Знайдіть це число.

№6

Петрикові в домашньому завданні потрібно було піднести деяке натуральне число до квадрата.  Він, допустивши помилку, подвоїв задане число і одержав двоцифрове число, записане тими ж цифрами, що і квадрат даного, але в зворотному порядку. Знайдіть задане число.

№7

Якщо до 20 додати 16, то одержимо 36=6². Якщо від 20 відняти 16, то одержимо 4=2². Чи існують ще числа, які стають повними квадратами після додавання і віднімання числа 16.

№8

Знайдіть число, яке при діленні на 2 дає в остачі 1 , при діленні на 3 дає в остачі 2, при діленні на 4 – 3, а на 5 – 4.

 

Вказівки. Розв’язання

 

№3

458 – 916 – 91 – 182 – 18 – 36 – 72 – 7 – 14.

№4

Двоцифрове число ab=10a+b; чотирицифрове число aabb=1000a+100a+10b+b=

=1100a +11b.   1100a+11b=77(10a+b); 1100a+11b=770a+77b. 330a=66b; a,b – цифри.

№5

(a+b)+(a+b)²=100a+b; (a+b)²=9a; 9a – точний квадрат, тому а=1, а=4, а=9.

№6

Нехай а – шукане число, тоді а²=10х+у, а 2а=10у+х. Віднімемо від першої рівності другу, одержимо а²-2а=9(х-у) або а(а-2)=9(х-у). За умовою а>5. Тому а=9.

№8

A=2k+1=2(k+1)-1; a=3m+2=3(m+1)-1; a=4n+3=4(n+1)-1; a=5h+4=5(h+1)-1. Якби а було на 1 більше, воно б ділилося на 2;3;4;5. Отже, а=3*4*5-1=59.

 

 

 

Розв’яжіть

№1

Розв’яжіть рівняння.

а) |x+5|=7;           б) |x-3|=0;             в) |x+3|=-2;

г) |3x-5|=8;          д) |5-4x|=-3;         е) |4-3x|=1;

є) аIx|=5;              ж) (а-3)х=4;         з) (а-2)х|=а²-4;

и) (а+3)х=а²;        і) |3x+1|=а;          ї) |а+x|=а+1;

й) |1-5x|=а.         

№2

Знайдіть натуральні розв’язки рівняння:

а) 5х+3у=27; б) 7х+5=49; в) 3х+10у=354 г) 11х+5у=66.

№3

Розв’яжіть рівняння в цілих числах:

а) ху=у+3; б) ху=х+5; в) ху=х-5; г) 3х²-2ху-у²=51; д) х²-2ху-3у²=9.

№4

У двох рибалок спитали: «Скільки рибин у ваших кошиках?» «У моєму кошику половина кількості рибин, які є у нього, та ще 10», - відповів перший. «А у мене в кошику стільки рибин, скільки у нього та ще 20», сказав другий. Скільки рибин в обох рибалок?

№5

Бідон з молоком важить 30 кг., наповнений на половину – 15,5 кг. Скільки важить бідон?

№6

Шестизначне число починається цифрою 1. Якщо цю цифру перенести на останнє місце в записі числа, то одержимо число у три рази більше початкового. Знайдіть початкове число.

№7

До людини, що стоїть на тротуарі, під’їхав міліціонер. «Ви не звернули уваги на номер самоскида. Який тільки-що проїхав?» «Звичайно, звернув. Друге двозначне число одержується з першого перестановкою цифр. А якщо від першого відняти друге, то одержується сума цифр одного з них». Який номер самоскида?

№8

Двозначне число в сумі з числом, що записане тими ж цифрами, але в зворотному порядку, дає повний квадрат. Знайдіть всі такі числа.

№9

Вік людини в 1962 р. дорівнював сумі цифр року її народження. Скільки їй років?

№10

Людина жила в ХІХ ст. Відомо, що сума цифр її року народження і смерті однакова і число років, які вона прожила, починається цифрою 8. Знайдіть рік народження цієї людини.

 

№11

У 1987 р. вік старшого брата дорівнював сумі цифр року народження молодшого, а вік молодшого – сумі цифр року народження старшого. Скільки їм років, якщо один брат старший за другого на 7 років?

 

Вказівки. Розв’язання

№1

е) |4-3х|=1; 4-3х=1 або 4-3х=-1; х=1 або х=5/3.

й) |1-5х|=а. Якщо а>=0 то 1-5х=а або 1-5х=-а; х=(1-а)/5 або х=(1+а)/5; якщо а<0, то рівняння не має розв’язків.

№2

б) 7х+5у=49; 7х=49-5у; х=7-5у/7. Значення у повинно ділитись на 7, тому найменше значення у=7, тоді х=2. Інших значень немає.

№6

Початкове шестицифрове число можна записати так 100000+х, де х – п’ятицифрове число, отримане з шестицифрового без цифри 1. Тоді утворене число буде 10х+1.

№8

Двозначне число ху можна записати так 10х+у; число, записане тими ж цифрами. Але у зворотному порядку, буде 10у+х. Сума цих чисел 10х+у+10у+х=11(х+у). За у мовою 11(х+у)=k²,причому x+y<=18, тому х+у=11.

№9

Ця людина народитися у 18ху році, бо сума цифр 1+8+х+у<=27, а вік її не може бути менший за 63 роки. Нехай людина народилася у 19ху році. За умовою задачі маємо: 1962-19ху=1+9+х+у; 52=11х+2у; х=4; у=4.

№11

Нехай рік народження старшого брата 19ху=1900+10х+у, тоді рік народження молодшого брата (1900+10х+у+7). Вік старшого брата у 1987 році буде такий: 187-19ху=87-10х-у. За умовою задачі отримаємо: 87-10х-у=1+9+х+у+7, звідки 11х+2у=70. Знаючи, що х і у – цифри, маємо: х=6, у=2. отже, старшому брату 25 років, а молодшому – 18 років.

 

 

Побудуйте геометричну фігуру

№1

За допомогою циркуля і лінійки побудуйте кут 45^о, 60^о, 30^о.

№2

Треба прокласти стежку від дороги так. Щоб кут між напрямом стежки і дороги дорівнював 60^о. Як помітити на місцевості напрямок стежки, якщо є можливість скористатися довгою стрічкою.

№3

Дано кут 54^о. За допомогою циркуля і лінійки поділіть його на три рівні кути.

 

№4

Дано кут 17^о. Як можна, використавши цей кут, за допомогою циркуля і лінійки побудувати кути 10^о,  22^о,  11^о?

№5

Дано трикутник АВС. Побудуйте таку точку D, яка б знаходилась на однаковій відстані від прямих АВ і ВС і при цьому АD=DС.

(Розглянути випадки АВ=ВС і АВ=ВС)

№6

Дано відрізок  АВ і пряму DЕ, що перетинає його. Знайдіть таку точку С, щоб у трикутнику АВС бісектриса лежала на прямій DЕ.

№7

Побудуйте прямокутний трикутник за двома його висотами: найбільшою і найменшою.             

№8

Побудуйте прямокутний трикутник за гострим кутом і бісектрисою другого гострого кута.

№9

Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і сумою гіпотенузи і другого катета.

 

Вказівки. Розв’язання

 

№3

54^о*2=108^о;    108^о-90^о=18^о.

№4

10^о=180^о-17*10^о.

№5

Точка D належить прямим, на яких лежать бісектриси кутів з вершиною в точці В.

№7

Найбільшою висотою є більший з катетів, найменшою висотою є перпендикуляр, проведений з вершини прямого кута на гіпотенузу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача про трьох мудреців

 

Стомившись від суперечок і літньої спеки, три давньогрецькі філософи прилягли відпочити під деревом у садку Академії і позасинали. Поки вони спали, жартівники забруднили вугіллям їх чола. Прокинувшись і глянувши один на одного, всі розвеселились і почали сміятися, але це нікого не тривожило, адже кожному здавалося природним, що двоє інших сміються один над одним. Раптом один із мудреців перестав сміятися, оскільки він здогадався, що його власне чоло також забруднене. Як він міркував?

А міркував мудрець мабуть так:

«Кожен із нас може думати, що його обличчя чисте. Перший із двох моїх товаришів упевнений, що його обличчя чисте, і глузує з забрудненого чола іншого мудреця. Але якби перший мудрець бачив що моє обличчя  чисте, то його б здивував сміх другого мудреця, тому що в цьому випадку в другого мудреця не було причин для сміху. Однак перший мудрець не здивований, він вважає, що другий мудрець сміється наді мною. Отже. Моє обличчя теж чорне».

 

№1

Три подруги вийшли на прогулянку. Одна з них була в білій, друга – у зеленій, а третя – у синій сукні. Їхні туфлі – одного з тих самих кольорів. Відомо, що тільки в Ганни колір сукні і туфель збігаються. Ні сукня, ні туфлі Валі не були білими, Наталка була в зелених туфлях. Визначте колір сукні і туфель кожної з дівчинки.

№2

У селі Простоквашино на ослоні перед будинком сидить дядько Федір, кіт Матрос кін, пес Шарик і листоноша Пєчкін. Якщо Шарик, який сидить крайнім ліворуч, сяде між Матроскіним і Федором, то Федір виявиться крайнім ліворуч. Хто де сидить?

 

Вказівки. Розв’язання

№1

Зробимо наступні висновки:

1. Туфлі Валі не були білими й не були зеленими тому що Наталка була в зелених туфлях, отже Валя – у синіх туфлях.
2. У Ганни туфлі і сукня білого кольору.
3. Тільки у Ганни туфлі і сукня одного кольору, отже, у Валі та Наталки колір сукні й туфель не збігається.
4. У Валі – зелена сукня, у Наталки – синя.

      Відповідь. Ганна була в сукні і туфлях білого кольору, Валя – у зеленій сукні та синіх туфлях, Наталка – у синій сукні та зелених туфлях.

 

 

 

 

 

№2

У задачі йдеться про чотири місця: ****. Будемо на них поступово поміщати «персонажі». За умовою Шарик сидить крайнім ліворуч: Ш***. Після того як шарик сяде між Матроскіним і Федором, Федір виявиться крайнім ліворуч: ФШМ*. Тоді крайній праворуч – листоноша Пєчкін: ФШМП. Отже. Послідовність персонажів така: Шарик, Федір, Матрос кін і листоноша Пєчкін.

Відповідь. Шарик, Федір, Матрос кін і листоноша Пєчкін.

 

Табличний метод розв’язування логічних задач

 

№1

Микола, Боря, Вова і Юра посіли перші 4 місця в змаганні, причому жодне місце не поділялось між декількома хлопцями. На питання, які місця вони посіли, троє відповіли:

1. Микола – не перше і не останнє;
2. Боря – друге;
3. Вова - не був останнім.

Які місця посіли хлопчики?

№2

На вулиці, вставши в коло, розмовляють чотири дівчинки: Ганна, Валя, Галя і Надя. Дівчинка в зеленій сукні (не Ганна і не Валя) стоїть поміж дівчинкою в блакитній сукні і Надею. Дівчинка в білій сукні стоїть поміж дівчинкою в рожевій сукні і Валею. Якого кольору сукня на кожній із дівчаток?

 

№3

Три клоуни Бім, Бом і Бам вийшли на арену цирку відповідно в червоній, зеленій і синій сорочках.  Їхні черевики були цих самих кольорів. У Біма кольори сорочки і черевиків збігалися. У Бома ні черевики, ні сорочка не були червоними. Бам був у зелених черевиках і в сорочці іншого кольору. Як були одягнені клоуни?

 

Вказівки. Розв’язання

№1

Оформимо розв’язання задачі у вигляді таблиці. Будемо ставити знак «+», якщо твердження правильне, і знак «–», якщо це не так. З умови випливає:

	1 місце	2 місце	3 місце	4 місце
Микола	-			-
Боря		+
Вова				-
Юра

 

 

 

 Оскільки Боря посів  друге місце, то його не посіли ані Микола, ані Вова, ані Юра.

 Позначимо це в таблиці:

 

	1 місце	2 місце	3 місце	4 місце
Микола	-	-		-
Боря		+
Вова		-		-
Юра		-

Боря е міг посісти кілька місць одночасно, отже, Боря не міг посісти 1,3 чи 4 місця.

	1 місце	2 місце	3 місце	4 місце
Микола	-	-		-
Боря	-	+	-	-
Вова		-		-
Юра		-

З таблиці видно, що четверте місце не посіли ані Микола, ані Боря, ані Вова. Можна зробити висновок, що четверте місце посів Юра. Отже, Юра не посів 1, 2 чи 3 місця.

	1 місце	2 місце	3 місце	4 місце
Микола	-	-		-
Боря	-	+	-	-
Вова		-		-
Юра	-	-	-	+

Микола не посів 1, 2 чи 4 місця, отже, Микола посів 3 місце.

	1 місце	2 місце	3 місце	4 місце
Микола	-	-	+	-
Боря	-	+	-	-
Вова		-		-
Юра	-	-	-	+

Тоді 3 місце не посів Вова. Отже, Вова не посів 2, 3 чи 4 місця, тому Вова посів 1 місце.

	1 місце	2 місце	3 місце	4 місце
Микола	-	-	+	-
Боря	-	+	-	-
Вова	+	-	-	-
Юра	-	-	-	+

Отже, Микола посів 3 місце, Боря – 2, Вова – 1, Юра – 4.

 

 

 

 

 

 

 

Графічні способи розв’язання логічних задач

 

№1

Із міста А у місто В ведуть три дороги, а з міста В у місто С – чотири дороги. Скількома способами проїхати із міста А у місто С через місто В ?

№2

Розмовляють троє друзів: Білокуренко, Чорненко і Руденко. Брюнет сказав Білокуренку: «Цікаво, що один із нас блондин, інший брюнет, а третій рудий, але в жодного з нас колір волосся не відповідає прізвищу». Який колір волосся має кожен із друзів?

№3

Наталка, Оля, Тарас і Мишко прийшли на новорічний бал у маскарадних костюмах Лисички, Зайчика, Грибочка і Сніжинки. У костюмі сніжинки була одна з дівчаток, але не Оля. Тарас не був у костюмі Лисички і не був в костюмі Зайчика. Мишко теж не був в костюмі Лисички. У яких костюмах були Наталка, Оля, Тарас і Мишко?

№4

Льоня, Євген і Мишко мають прізвища Орлов, Соколов і Яструбов. Яке прізвище має кожен хлопчик, якщо Євген, Мишко і Соколов – члени математичного гуртка, а Мишко і Яструбов займаються музикою?

№5

Хлопці відвідують спортивну школу. Сергій не любить бокс. Олег із тенісистом живуть в одному будинку. Павло дружить із боксером, а Сергій – із фехтувальником. Хто яким видом спорту займається?

№6

Юра, Толя, Микола і Вітя зустрілися в турпоході. Сидячи ввечері біля вогнища, вони розповідають про свої рідні міста: Київ, Москву, Ростов й Одесу. Москвич сидить поміж киянином і Вітею, одесит – поміж Вітею і Толею. Микола ніколи не бував у Москві і Києві, а москвич з Толею давно беруть участь у спільних походах. Хто з якого міста?

№7

У пляшці, склянці, глечику і банці знаходяться молоко, лимонад, квас і вода. Відомо, що вода і молоко не в пляшці, посудина з лимонадом стоїть між глечиком і посудиною з квасом, у банці не лимонад і не вода. Склянка стоїть біля банки і посудини з молоком. Куди налита кожна рідина?

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачі-жарти та евристичні задачі

 

№1

На столі в ряд стоїть шість склянок: перші три з водою, решта порожні. Що треба зробити, щоб порожня склянка чергувалася зі склянкою води? Брати можна тільки одну склянку і тільки один раз.

№2

Летіла зграя качок. Одна попереду й дві позаду, одна позаду і дві попереду, одна поміж двома і три в ряд. Скільки летіло качок?

№3

У кожному з чотирьох кутків кімнати сидить кіт. Навпроти кожного кота сидить три коти. Скільки котів у кімнаті?

№4

Візок, запряжений трійкою коней, проїхав за годину 12 км. Скільки кілометрів за годину пробіг кожен кінь?

№5

Опівночі шов дощ. Чи можна чекати сонячної погоди через дві доби?

№6

Що знаходиться між берегом і річкою?

№7

Поставте двох хлопчиків так, щоб кожен стояв позаду другого.

№8

У сітці п’ять груш. Треба їх поділити між п’ятьма дівчатками (по одній), але так, щоб одна груша залишилася у сітці.

№9

У трикутнику відрізали три кути. Скільки кутів залишилось?

№10

П’ять картоплин зварили в каструлі за 30 хвилин. За скільки хвилин зварено одну картоплю?

№11

Летіла зграя качок. Всього п’ять. Одну вбили. Скільки залишилося?

№12

Кут в 1^о розглядають в лупу, яка збільшує в чотири рази. Якої величини здаватиметься кут?

№13

Яку останню цифру має добуток усіх непарних двоцифрових чисел?

 

№14

Уяви собі, що ти машиніст паравоза, що веде пасажирський состав з станції Кіров у Ленінград. Всього в поїзді 13 вагонів. Обслуговує його бригада з 30 чоловік. Начальникові поїзда 46 років. Кочегар на 3 роки старший за машиніста. Скільки років машиністу паравоза?

№15

У батька шість синів. Кожний син має сестру. Скільки всього дітей у батька?

№16

Двоє пішли – п’ять грибів знайшли.

Четверо підуть – чи багато знайдуть?

№17

П’ятикласник написав про себе так: «Пальців у мене двадцять п’ять на одній руці, стільки ж на другій, а на обох ногах 10». Як це так?

 

Вказівки. Розв’язання

 

№1

Потрібно з другої склянки перелити воду в п’яту й поставити її на попереднє місце

№2

Три качки.

№3

Чотири коти

№4

12км.

№5

Ні, бо буде ніч.

№6

Буква «і».

№7

Поставити хлопчиків спинами один до одного.

№8

Потрібно п’яту грушу віддати одній дівчинці разом із сіткою.

№9

Шість кутів.

№10

30 хв.

№11

Вбита залишилася, решта полетіла.

№12

1^о.

№13

П’ять.

№14

Машиністу паравоза стільки років, скільки томі хто розв’язує цю задачу, бо в умові сказано: «Уяви собі, що ти машиніст паравоза»

№15

Сім.

№16

Задача не визначена.

№17

Учень забув поставити кому між словами «двадцять» і «п’ять».

 

Виявлення закономірностей

 

№1

Знайдіть закономірність та продовжте ряд: 2, 4, 6, 8, 10, 12…

№2

Знайдіть закономірність та продовжте ряд: 1, 7, 2, 7, 3, 7…

№3

Знайдіть закономірність та продовжте ряд: 3, 3, 4, 4, 5, 5…

№4

Візьмемо слова: білка, вовк, кролик, баран. Яке з них лишнє?

 

Вказівки. Розв’язання

№1

Очевидно, що тут записані підряд парні натуральні числа, починаючи із найменшого. Тому природно вважати, що наступні два числа – 14, 16.

№2

На парних місцях стоїть число 7, а на непарних – кожне число відрізняється від попереднього на 1. Отже, наступні два числа – 4, 7.

№3

      У цій послідовності кожне натуральне число, починаючи з 3, повторюється двічі. Можна припустити, що наступні два числа – 6, 6.

№4

Звичайно вовк! Він єдиний з чотирьох – хижак.

 

 

 

 

 

Переливання

№1

Три посудини заповнили водою (не доверху). В одній посудині 11л, у другій-7л, у третій-6л. У кожну посудину можна налити з другої стільки води, скільки в ній було налито. Як поділити воду в усіх трьох посудинах порівну?

№2

Чи можна маючи лише дві посудини місткістю 3л та 5л набрати з водопровідного крана 4л води?

№3

Маємо дві посудини. Одна містить 9л, інша-4л. Як за допомогою цих посудин набрати з бака 6л деякої рідини?

№4

Як за допомогою двох посудин місткістю 5л, 9л набрати з водосховища 3л води?

№5

Маємо три посудини місткістю 8л, 5л, 3л. Перша наповнена водою. Як розлити воду так щоб у двох із них було 4л води?

№6

Є посудини місткістю 12л, 9л і 5л. перша з них наповнена рідиною, а дві інші порожні. Скільки літрів можна відлити з першої посудини, користуючись другою та третьою? Чи можна відлити 6л?

№7

У трьох бочках знаходиться 22л, 14л та 12л фарби. Потрібно шляхом трьох переливань зрівняти кількість фарби в кожній бочці за умови з будь-якої бочки можна перелити стільки скільки в другій бочці вже є.

№8

Троє мають по деякій сумі грошей кожен. Перший дає двом іншим стільки, скільки є в кожного. Після нього другий дає двом іншим стільки, скільки вони мають. Після цього в кожного є по 8 грн. Скільки грошей було в кожного на початку?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зважування

№1

Серед 15 монет, однакових за зовнішнім виглядом, одна фальшива. Невідомо чи вона важча, чи легша, ніж решта монет. Як це з’ясувати, використавши не більше двох зважувань на шалькових терезах без гир?

№2

У коробці лежать 242 діаметри, з яких один-природного походження, інші-його копії, які виготовили в лабораторії(штучні). Маси штучних діамантів однакові, маса природного діаманта менша за масу штучного. Придумайте систему дій для знаходження природного діаманта за допомогою п’яти зважувань на шалькових терезах без гирь7

 

№3

Є 9кг крупи та гирі 50г і 200г. Як зважити 2кг крупи на шалькових терезах за допомогою трьох зважувань?

№4

 Серед 9 монет  одна фальшива(легша за інші). Як виявити фальшиву монету двома зважуваннями на терезах з двома шальками без гир?

№5

 На одному шальку поклали шматок мила, а на іншу ¾ такого самого шматка мила і ще 50г. Терези знаходяться у рівновазі. Знайти масу шматка мила?

№6

Серед 28 монет одна фальшива. Знайти фальшиву монету за допомогою чотирьох зважувань на терезах без гир, коли відомо, що вона важча за справжню.

№7

Серед 85 монет одна фальшива. Знайти її за допомогою чотирьох зважувань на шалькових терезах без гир?

№8

Серед 12 монет є одна фальшива. Знайти її 4-ма зважуваннями на терезах, без гир, якщо невідомо важча вона за справжню чи легша?

№9

 Серед 15 монет одна фальшива. Як, виконавши не більше ніж два зважування, визначити-легша чи важча вона за інші.