Задачі для узагальнення та систематизації по темі "Планіметрія"

Задачі з планіметрії

1. Градусні міри кутів трикутника відносяться як 2 : 3 : 4. Знайдіть кути трикутника.
2. У △ABC ∠C =43°, ∠B =100°. Знайдіть градусну міру зовнішнього кута при вершині А.
3. Знайдіть гіпотенузу у трикутнику з катетами  см і  см.
4. В прямокутному трикутнику один катет дорівнює 2 см, а гіпотенуза – 8 см. Знайдіть другий катет.
5. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а інший – на 8 см менший за гіпотенузу. Знайдіть периметр трикутника.
6. Знайдіть радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника з катетами  см і  см.
7. У рівнобедреному трикутнику висота, що проведена до бічної сторони, поділяє її на відрізки завдовжки 4 см і 1 см, рахуючи від вершини кута між бічними сторонами. Знайдіть основу рівнобедреного трикутника.
8. Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки 15 см і 20 см. Знайдіть радіус кола, вписаного у трикутник.
9. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 12 см і 16 см. Знайдіть довжину бісектриси трикутника, що проведена з вершини більшого гострого кута.
10. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 9 см, а один з катетів – 6 см. Знайдіть проекцію даного катета на гіпотенузу.
11. Діагональ квадрата дорівнює 6 см. Чому дорівнює радіус кола, описаного навколо цього квадрата?
12. У квадрат, сторона якого дорівнює 14 см, вписано коло. Знайдіть довжину цього кола.
13. Сторона правильного трикутника, вписаного в коло, дорівнює см. Знайдіть сторону квадрата, вписаного в це коло.
14. У △MNK ∠K =45°, MK = 6, ∠N =60°. Знайдіть MN.
15. Сума двох сторін трикутника, кут між якими 60°, дорівнює 11 см, а довжина третьої сторони дорівнює 7 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.
16. Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює 10 см. Знайдіть сторону трикутника, яка лежить проти кута 30°.
17. Висоти паралелограма дорівнюють 6 см і 4 см. Більша сторона паралелограма дорівнює 12 см. Знайдіть меншу сторону паралелограма.
18. Знайдіть полощу паралелограма, діагоналі якого 10 см і 8 см, кут між якими 60°.
19. Знайдіть площу прямокутника, діагоналі якого дорівнюють 4 см, а кут між ними 30°.

20. Знайти площу ромба, діагоналі якого 6 см і 8 см.
21. У чотирикутнику, описаному навколо кола, сума двох протилежних сторін дорівнює 20 см. Знайдіть периметр цього чотирикутника.
22. Навколо кола описано чотирикутник ABCD, у якого AB = 7 см, BC = 8 см, AD = 9 см. Знайти довжину сторони CD.
23. У прямокутну трапецію можна вписати коло. Знайдіть площу трапеції, якщо її більша бічна сторона дорівнює 9 см, а висота – 7 см.
24. У прямокутній трапеції гострий кут дорівнює 45°. Менша бічна сторона і менша основа трапеції – по 6 см. Знайдіть площу трапеції.
25. Діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл її тупий кут, а середню лінію трапеції на відрізки 4 см і 5 см. Знайдіть периметр трапеції.
26. Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до її бічної сторони. Знайдіть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють 12 см і 20 см.
27. Центр кола, описаного навколо трапеції, належить найбільшій основі. Знайдіть кути трапеції, якщо основи відносяться як 1 : 2.
28. Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють 10 см і 14 см, а бічні сторони – 13 см і 15 см.
29. Знайдіть кути паралелограма, якщо сума двох з них дорівнює 260°.
30. Знайдіть діагональ квадрата, сторона якого дорівнює  см.
31. Чому дорівнює радіус кола, вписаного в правильний трикутник зі стороною 18 см?
32. Обчисліть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 3 см і 2 см, а кут між ними - 60°.
33. Обчисліть площу ромба, одна з діагоналей якого дорівнює 16 см, а сторона - 10 см.
34. Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його проекція на гіпотенузу дорівнює 2 см, а гіпотенуза – 8 см.
35. Діагоналі рівнобічної трапеції ділять середню лінію на три рівні відрізки. Знайдіть площу трапеції, якщо її більша основа дорівнює 12 см і в трапецію можна вписати коло.
36. Знайдіть кути ромба, якщо один з них на 30 ° більший за другий.
37. Обчисліть периметр рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого 20 см, а висота, проведена до основи, - 12 см.
38. Чому дорівнює площа паралелограма, сторони якого дорівнюють 8 см і 10 см, а кут між ними - 60°.
39. Діагональ прямокутника дорівнює 15 см, а одна із сторін – 9 см. Знайдіть периметр прямокутника.

40. Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 25 см і 29 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в даний трикутник.
41. Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює 6 см і ділить гіпотенузу на відрізки, пропорційні числам 1 і 4. Знайдіть довжину гіпотенузи.
42. Діагоналі рівнобічної трапеції ділять середню лінію на три рівні частини, одна з яких дорівнює 7 см. Знайдіть площу трапеції, якщо в неї можна вписати коло.
43. Знайдіть кути паралелограма, якщо різниця двох з них дорівнює 40°.
44. Знайдіть діагональ прямокутника зі сторонами 5 см і 12 см.
45. Обчисліть площу трикутника, дві сторони якого 3 см і 2 см, а кут між ними - 30°.
46. Два кути трикутника дорівнюють 30° і 45°. Знайдіть сторону, протилежну куту 30°, якщо сторона, протилежна куту 45°, дорівнює см.
47. Висоти паралелограма дорівнюють 5 см і 6 см, а більша сторона 12 см. Знайдіть меншу сторону паралелограма.
48. Катет прямокутного трикутника 10 см, а його проекція на гіпотенузу 8 см. Знайдіть довжину гіпотенузи.
49. Діагоналі рівнобічної трапеції ділять середню лінію на три рівні відрізки. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює 7 см і в трапецію можна вписати коло.
50. Знайдіть кути ромба, якщо один з них у 3 рази більший за другий.
51. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, якщо AB = см, ∠C = 60°.
52. Основи трапеції відносяться як 2 : 5, а її середня лінія дорівнює 28 см. Знайдіть основи трапеції.
53. Чому дорівнює більша із сторін паралелограма, якщо вона на 8 см більша за іншу сторону, а периметр паралелограма дорівнює 40 см.
54. Висота, проведена до основи рівнобедреного трикутника, дорівнює 6 см. Знайдіть висоту, проведену до бічної сторони, якщо основа дорівнює 8 см, а бічна сторона 12 см.
55. Знайдіть висоту прямокутного трикутника, проведену до гіпотенузи, якщо вона ділить гіпотенузу на відрізки 3 см і 12 см.
56. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 15 см і 33 см, а діагональ ділить її гострий кут навпіл. Знайдіть площу трапеції.
57. Обчисліть площу ромба, сторона якого дорівнює см, а один з кутів - 60°.
58. Обчисліть площу рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого дорівнює 13 см, а основа – 10см.
59. Знайдіть сторону квадрата, діагональ якого дорівнює 4 см.

60. Знайдіть площу паралелограма, сторони якого утворюють кут 45° і дорівнюють 10 см та 16 см.
61. Знайдіть радіус кола, вписаного у прямокутній трикутник, гіпотенуза якого дорівнює 13 см, а один із катетів на 7 см більший за інший.
62. Перпендикуляр, опущений з точки перетину діагоналей ромба на його сторону, ділить її на відрізки, один з яких на 5 см більший за інший. Знайдіть периметр ромба. Якщо довжина цього перпендикуляра – 6 см.
63. Точка перетину бісектрис тупих кутів при меншій основі трапеції належить її більшій основі. Знайдіть площу трапеції, якщо її бічні сторони дорівнюють 25 см і 30 см, а висота – 24 см.
64. Знайдіть площу круга, вписаного в трикутник зі сторонами 13 см, 14 см і 15 см.
65. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 12 см, а радіус описаного навколо цього трикутника кола – 6,5 см. Обчисліть площу даного трикутника.
66. Діагоналі рівнобічної трапеції ділять середню лінію на три рівні відрізки. Знайдіть площу трапеції, якщо її бічна сторона дорівнює 15 см і в трапецію можна вписати коло.
67. Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, основи якої дорівнюють 23 см і 17 см, а діагональ – 25 см.
68. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 18 см, а висота, проведена до основи, - 3 см. Знайдіть площу трикутника.
69. Бісектриса гострого кута паралелограма ділить його сторону у відношенні 2 : 5, рахуючи від вершини тупого кута, який дорівнює 120°. Обчисліть площу паралелограма, якщо його периметр дорівнює 54 см.
70. Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 9 см і 13 см. Знайдіть медіану трикутника, проведену до його найбільшої сторони.
71. Сторони паралелограма дорівнюють 10 см і 12 см, а менша з висот – 5 см. Знайдіть більшу висоту паралелограма.
72. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см, а висота, проведена до неї, 8 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.
73. Знайдіть площу прямокутника, якщо його діагональ дорівнює 10 см і утворює зі стороною кут 30°.
74. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює 8 см, а кут при основі 30°.
75. Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 30°. Знайдіть площу паралелограма, якщо його висоти дорівнюють 6 см і 16 см.  
76. Знайти бічну сторону АВ трапеції АВСD, якщо кути АВС та ВСD відповідно дорівнюють 60 та 135, а бічна сторона DС = 24 см.