Заняття на тему: "Показникова функція, її властивості та графік"

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

МОГИЛІВ – ПОДІЛЬСЬКИЙ ТЕХНОЛОГО – ЕКОНОМІЧНИЙ КОЛЕДЖ

ВІННИЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО  АГРАРНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заняття – лекція  на тему:

"Показникова функція, її властивості та графік"

 

методична розробка відкритого заняття

з дисципліни «Математика»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   Методична мета заняття: реалізація інформаційно – комунікативних технологій,  творчої складової в процесі формування вмінь та навичок студентів, застосування активних  форм і методів  виховання особистості компетентного спеціаліста.    

 

Узагальнення – це, мабуть, найлегший найочевидніший шлях розширення

 математичних знань.

                                                                                                             В.Сойер

 

Тема заняття:  Показникова функція, її властивості та графік.

Вид заняття:   інтерактивна лекція.

 

Мета заняття:

Навчальна:  розглянути фізичні моделі, пов‘язані з процесами органічної зміни 

                       величин, що дозволяють дати означення показникової функції,

                       перелічити її властивості та побудувати її графік

Розвиваюча: розвивати продуктивне мислення студентів

Виховна:       виховувати толерантність, вміння співпрацювати, культуру

                       математичних записів, інтерес до вивчення математики.

 

Предметні компетенції заняття: навчальна, соціально – трудова, стимулювально – мотиваційна.

 

 Функції:

Теоретична:  поняття показникової функції , властивості, графік .

Практична: будувати графіки показникової функції.

 

МПЗ: Забезпечуючі:    Математика «Степінь з довільним показником та 

                                його властивості», «Графіки функцій та їх властивості»

Забезпечувані:  Фізика «Фізика атомного ядра»,

                              Біологія «Молекулярні основи біології»

                              Мікробіологія «Розмноження бактерій».

Забезпечення заняття:

1. Література:  М.І. Шкіль. Алгебра і початки аналізу.  10 клас

                 О.М. Роганін. Плани – конспекти уроків.

                 Т.Г.Роєва. Алгебра в таблицях.

2. Наочні посібники: презентація “Показникова функція, її властивості і графік“,         
3. Роздатковий матеріал: опорний конспект. «Показникова функція».      
4. Технічні засоби навчання. Мультимедійний проектор.

 

Хід заняття

1. Організаційна частина заняття

     (Метод: психолого – педагогічної підтримки роботи студентів на занятті, рефлексія)2 хв.

Мета етапу: створення сприятливого психологічного клімату на занятті.

Викладач. Шановні студенти сьогодні на занятті ми працюватимемо разом, я розраховую на вашу підтримку та допомогу. Кожному з вас я хочу побажати, щоб на цьому занятті ви були:

„У"- усміхненими

„С"- спокійними

„П"- прогресивними

„І"- ініціативними

„X"- хоробрими

Іншими словами, я бажаю вам УСПІХУ!

І не тільки на заняттях математики, бо якщо звернутись до слів філософа Е.Ільєнков. то можна зазначити: Досягнення успішного результату під час розв'язування задач - зовсім не привілей математики. Усе людське життя - це не що інше, як постійне бажання досягти успіху у вирішенні нових питань та проблем.

Підніміть руку, хто бажає досягти успіху? Я теж бажаю досягти  успіху.

 

ІI. Підготовка студентів до заняття.

Мета етапу: організувати цілеспрямовану діяльність студентів:

•     розвинути внутрішню мотивацію студентів до теми, що вивчається;
•     навчити студентів прогнозувати очікувані результати заняття;
•     відтворити необхідні знання та вміння для досягнення результатів заняття.

 

2.1 Повідомлення теми, мети та плану заняття.

(Метод:  інструктування).

 

Тема заняття: Показникова функція, її графік та властивості.

Викладач. Підготуємо наші зошити до роботи. Пам'ятайте, що під час роботи з діловою документацією до успіху веде старанне, охайне, уважне ставлення до цієї справи.

Для досягнення успіху нам потрібно сформулювати мету. Сформулюйте і ви нашу мету користуючись словами «знати» та «вміти».

Очікувана відповідь:

Мета заняття: знати показникову функцію, розпізнавати графік  показникової 

                           функції, властивості показникової функції;

                           вміти: будувати графіки і на них ілюструвати властивості    

                           функції, застосовувати показникові функції до опису

                           найпростіших реальних процесів.

 

План заняття:

1. Означення показникової функції.

2. Побудова графіка показникової функції.

3. Властивості показникової функції.

 

2.2 Мотивація навчальної діяльності студентів

( методи – проблемно - пошуковий,  реалізація МПЗ)

Викладач. Ми з'ясували, чого хочемо досягти, але на цьому етапі не менше важливим є питання, нащо нам це потрібно, навіщо вивчається ця тема?

  1. В природі і техніці часто зустрічаються процеси, які мають спільну назву процесів органічної зміни величин. Ця назва пов‘язана із тим, що такі процеси часто зустрічаються в біології. Значна властивість цих процесів полягає в тому, що за однакові проміжки часу значення величини змінюється в одному і тому ж самому відношенні.

Ці процесів математично виражаються за допомогою показникової функції:

- задача про радіоактивний розпад;

- задача про зміну атмосферного тиску;

- задача про розмноження бактерій;

- задача про вакуумування;

- задача про приріст деревини.

Проблема.

Наведемо приклади, в яких величини змінюються по вказаному вище закону.

Приклад 1. Ще в XVII ст. було встановлено, що чисельність популяцій зростає за законом геометричної прогресії, а вже в кінці XVIII ст. Томас Мальтус (1766-1834) висунув свою відому теорію про зростання народонаселення в геометричній прогресії. Ця закономірність зростання виражається кривою, зображеною на рис.                                                   Сучасною математичною мовою ця крива відображає експоненційний ріст чисельності організмів і описується рівнянням:

N_t = N₀e^r,

де: N_t - чисельність популяції в момент часу t;
N₀ - чисельність популяції в початковий момент часу t₀; е - основа натурального логарифма (+2,7182); r - показник, що характеризує темп розмноження особин в даній популяції.                                                                                                                  Якщо колонія бактерій має достатній простір і достатню кількість поживних речовин, то її маса за рівні проміжки часу збільшується в одному і тому ж відношенні. В таких випадках говорять про процеси органічного росту.

 

 

Приклад 2. Радіоакти́вність(радіоактивний розпад)  (від лат. radio — «випромінюю» radius — «промінь» і activus — «дієвий») — явище мимовільного перетворення нестійкого ізотопа хімічного елементу в інший ізотоп (зазвичай іншого елемента) шляхом випромінювання гамма-квантів, елементарних частинок або ядерних фрагментів.

При радіоактивному розпаді маса речовини змінюється по наступному закону: за рівні проміжки часу вона змінюється в одному і тому ж відношенні. Такі процеси називають процесами органічного спадання.

Взагалі, частка частинок, що залишаються  залежить від часу t таким чином:

Величини періодів напіврозпаду для різних ізотопів різні; для одних ізотопів, що швидко розпадаються, період напіврозпаду може бути рівним мільйонним часткам секунди, а для інших ізотопів, таких як ²³⁸U або ²³²Th, він дорівнює 4,5 млрд років та 14 млрд років відповідно.

 

У всіх розібраних прикладах значення виразу а ^t при всіх значеннях t додатнє. При а>1 значення а ^t збільшується (як у випадку розмноження бактерій), а при 0< а<1    значення а ^t зменшується з ростом t (як у випадку радіоактивного розпаду). Отже, для описання таких процесів, як радіоактивний розпад або розмноження бактерій, потрібна функція а^х, де а>0.

Отже ми розуміємо актуальність того над чим працюємо для виконання різних завдань, підсумкового оцінювання, домашніх завдань, для продовження навчання та вивчення інших наук.

 

2.3 Актуалізація опорних знань та вмінь студентів

( методи – метод „ Мікрофон ", пояснювально – ілюстративний;

форма роботи -  презентація,  діалог)       

 

1. Пригадати властивості  степеня з довільним показником:

1.  
2. 
3. 
4. 

 

5.  

 

     6.

 

 

 

2. Записати властивості функції по її графіку.

Очікувана відповідь:

D (f) = R

E (f): ( -3; +∞)

Функція ні парна, ні непарна.

Функція зростає при х( -2,2; 1,2)U( 4,1; +∞)

Функція спадає при х( -∞; -2,2)U( 1,2; 4,1)

 

IІІ. Вивчення нового матеріалу

( метод – інформаційно - комунікативний).

1. Означення показникової функції.

Показниковою функцією називається функція виду у=а^х, де а>0 і а1.

Наприклад:  у=2^х, у=^х, у=^х, у=^х – показникові функції.

ІV. Закріплення вивченого матеріалу

( метод – навчальний тренажер)

 

1. Які із поданих функцій є показниковими:

а) у = 5^х;   б) у = х³;   в) у = (-5)^х;   г) у = ()^х;    д) у = (0,3)^х;    е) у = ?

 

2. Побудова графіка показникової функції.

2.1. Функція виду у = 2^х.

Графіком показникової функції є крива, яка називається екс­понентою.

      1. Нехай з початку спостережень маса колонії бактерій дорівнювала 1 г, причому за кожну наступну годину вона зростала в 2 рази. Побудуємо графік зміни маси m в залежності від часу х.

Залежність між масою і часом виражається формулою m=2^х. Для побудови графіка обчислимо масу колонії через 1, 2, 3, години до початку і після початку спостереження.

Дані обчислювання занесемо в таблицю, вважаючи, що час до початку спостереження був відємним.

Складемо таблицю значень функції:

х	-2	-1	0	1	2
у= 2х			1	2	4

 

Побудуємо на координатній площині точки з таблиці і з'єднає­мо ці точки плавною лінією. Одержимо графік функції у = 2^х

Показникова функція у = 2^х має вла­стивості:

1. Область визначення — множина всіх дійсних чисел. D(a^x)=R

2. Область значень — множина всіх до­датних чисел. Е(a^x)=(0;+)

3. Функція у = 2^х — зростаюча на мно­жині всіх дійсних чисел.   

4. Графік функції перетинає вісь у в точці(0; 1).

 

На цьому графіку наочно видно уже відомі властивості цієї функції: із зростанням х значення функції зростають, при чому при достатньо великих значеннях х значення 2^х стають як завгодно великими (наприклад, 2¹⁰=1024, 2²⁰=1048576 і т.д.).

Схожі на вигляд графіки функцій а^х при будь-якій основі а, більшій за 1.

 

2.2. Функція виду у = .

       2) Маса радіоактивної речовини змінюється по закону m=m₀()^t. Побудуємо графік зміни маси радіоактивної речовини в часі, вважаючи, що початкова маса m₀=1 г.

Для цього використаємо рівність . Ця рівність показує, що таблицю значень функції одержуємо із таблиці значень функції 2^х зміною знаків у першому рядку

Побудуємо графік функції у = , для цього складемо таб­лицю значень функції:       

х	-2	-1	0	1	2
у =	4	2	1

 

Побудуємо на координатній площині точки з таблиці і з'єднаємо ці точки плавною лінією. Одержимо графік функції у = .

Показникова функція у = має вла­стивості:

1. Область визначення — множина всіх дійсних чисел. D(a^x)=R

2. Область значень — множина всіх до­датних чисел. Е(a^x)=(0;+)

3. Функція у = — спадна на множині всіх дійсних чисел.

4. Графік функції перетинає вісь у в точці (0; 1).

По рис. бачимо, що всі значення також додатні, але ці значення зменшуються при збільшенні х.

Схожий вигляд мають графіки показникової функції а^х при 0< а<1.

Вісь Ох  є горизонтальною асимптотою.

 

ІV. Закріплення вивченого матеріалу

( методи – тренувальні вправи).

 

2. Які з наведених показникових функцій є зростаючими, а які — спадними:

а) y = π^x ;     б) y = (0,5)^x;  в) у = ; г) y = 2^-x.

Відповідь: а) зростаюча; б) спадна; в) зростаюча; г) спадна.

 

3. Побудуємо графіки функцій  у = 2^х і у = 3^х. Чим відрізняються ці функції? Їхні графіки?

Відповідь: ці функції мають одинакові властивості, функція у = 3^х зростає більш швидше (графік цієї функції піднімається вгору більш круто).

4. Чим відрізняються властивості і графіки функцій                     у = і у=   ?

Відповідь: вони мають однакові властивості, функція                   у = спадає більш швидше.

3. Властивості показникової функції.

1) Область визначення: хR.         D(a^x)=R

2) Область значень: у>0                   Е(a^x)=(0;+)

3) Функція ні парна, ні непарна

4) Вірні рівності а¹= а і а⁰=1.

5) Якщо  а>0, то функція а^х зростає на всій області визначення;

     якщо 0< а<1, то вона спадає на всій області визначення.

6) Найбільшого і найменшого значень функція не має.

7) Для будь-яких дійсних значень m і n (а>0; b>0) виконуються рівності:                                    

1. 
2. 
3. 
4. 

 

5.  

 

 

6.  

 

ІV. Закріплення вивченого матеріалу

( методи – закріплення і корекції знань, умінь, навичок).

5. Порівняйте значення виразів:

а) і ;       б) 2^-3 і 2^-4;   в) 0,3^0,7 і 1      

Відповідь: а) < ; б) 2^-3 > 2^-4; в) 0,3^0,7 < 1 .

 

6. Порівняйте х і у, якщо відомо, що вірна нерівність:

а) 0,02^х < 0,02^y;             б) π^x > π^y.

Відповідь: а) х > у; б) x < у.

7. Обчислити:    а) ;   б)

Показникова функція у = ах, а > 0, а ≠ 1
а > 1	0 < а < 1
1. D(y) = R 2. Е(у) = (0; + ) 3. Зростає x1 > x2 > 4. Якщо х = 0, то у = 1 5. Якщо х < 0, то у < 1 6. Якщо х > 0, то у > 1	1. D(y) = R 2. E(y) = (0; +). 3. Спадає x1 > x2 < 4. Якщо х = 0, то у = 1 5. Якщо х < 0, то у > 1 6. Якщо х > 0, то у < 1

1

2

п

о

к

а

з

н

и

к

о

в

а

3

з

р

о

с

т

а

є

4

а

л

г

е

б

р

а

5

ф

у

н

к

ц

і

я

6

а

с

и

м

п

т

о

т

а

7

е

к

с

п

о

н

е

н

т

а

8

д

і

й

с

н

и

х

9

д

о

д

а

т

н

и

х