Застосування різних способів розкладання многочленів на множники

Тема. Застосування різних способів розкладання многочленів на множники

Мета: відпрацювати навички застосування спеціальних прийомів та класичних методів розкладання многочленів на множники; продовжувати знайомство учнів зі сферою застосування розкладання многочленів на множники; узагальнити та систематизувати набуті з теми знання та уміння і навички.

Тип уроку: комбінований.

Хід уроку

I. Організаційний момент

Перевіряємо готовність учнів до уроку, повідомляємо план роботи.

II. Перевірка домашнього завдання

 Запропоноване домашнє завдання не є простим для учнів, тому слід перевірити його ретельно; учні ставлять запитання та разом з учите­лем шукають відповіді на них.

Особливу увагу звертаємо на завдання № 1 (3, 4, 5) та 2 (4), бо в № 1 (3) маємо різницю кубів (не зовсім знайоме, принаймні на попередньому уроці таких завдань не було).

№ 1 (4) — маємо одразу два повні квадрати (нове!).

№ 1 (5) — традиційно складне, бо треба «побачити» вираз, протилеж­ний повному квадрату.

№ 2 (4) — обов'язково розібрати, бо містить такий контрольний мо­мент: ділення на вираз зі змінною звужує ОДЗ рівняння, а отже, може призвести до втрати кореня рівняння.

III. Формулювання мети й завдань уроку

 Згідно з визначеним на першому уроці планом, на цьому відпрацьо­вуємо навички застосування різних способів та прийомів розкладан­ня многочленів на множники та розширюємо сферу застосування набутих умінь і навичок, а також узагальнюємо та систематизуємо свій досвід.

IV. Актуалізація опорних знань

Фронтальна бесіда

1. Що означає розкласти многочлен на множники?
2. Які способи розкладання многочленів на множники ви знаєте?
3. Які з названих способів розкладання многочленів на множники і в яко­му порядку використаєте, щоб подати у вигляді добутку такі вирази:

1) х² – ху; 2) х² – у²; 3) х³ – х; 4) х² – 2х + 1; 5) х³ – 2х² + х;

6) х² – 2х + 1 – у²;   7) х² – у² + 2х – 2у;  8) х³ – х² + х – 1;  9) (х – 1)² – х²?

V. Робота з випереджальним домашнім завданням

Завдання 1. Виділіть повний квадрат у виразах:

1) х² + 2х – 8; 2) а² – 8а + 12; 3) 4с² – 4с – 3; 4) х² – 6ху + 5у²;

5) а² + 12аb + 11b²;  6*) (х – 1)² – 6(х – 1) + 8.

Завдання 2. Подайте вираз, що стоїть після повного квадрата, у вигляді квадрата деякого виразу. Прочитайте вираз, що утворився. Що спільного мають дані вирази? Як їх розкласти на множники?

Зробіть висновки.

 Якщо вся підготовча робота належно проведена, то висновок, який роблять учні, може бути приблизно таким, до якого хоче підвести учнів учитель, а саме: щоб розкласти тричлен на множники за фор­мулою різниці квадратів двох виразів, можна використати прийом «виділення повного квадрата двочлена».

Завдання 3. Розкладіть дані тричлени на множники:

1) х² + 6х + 8; 2) х² + 12х + 35; 3) х² – 10х – 24; 4*) х² – 7х + 12.

(4*) — контрприклад — у цьому тричлені зручніше розбити -7х на два доданки і згрупувати, бо -7х має непарний коефіцієнт.)

VI. Засвоєння вмінь та навичок

 Розв'язуємо вправи достатнього та високого рівнів складності. Якщо рівень підготовки учнів досить високий і відповідний темп виконання, то можна запропонувати кілька специфічних прийомів роботи з виразами: перегрупування тощо.

Виконання письмових вправ

1. Розкладіть на множники:

1) х² – 4х + 3; 2) х² + 2х – 8; 3) t² + t – 6; 4) k⁴ + 6k² + 5;

5) и⁴ + 2и² – 35; 6) (3x² – 4)² – 8(3x² – 4) – 9.

2. Розкладіть на множники:

1) (х – у)(х + у) + 2(2х – у) + 3; 2) (х – у)(х + у) + 2(3х – 2у) + 5.

3. Розв'яжіть рівняння:

1) х² – 8х + 7 = 0; 2) у² + 12у + 20 = 0; 3) (х – 1)² + 6(х – 1) + 8 = 0;

4) (х – 1)(х – 3)(х² – 3) = (x – 1)(х – 3).

4. Доведіть, що значення виразу 3³⁴ + 9⁹² – 3³⁰ – 9⁹⁰ ділиться на 80.

5*. Відомо, що а + b = 5, ab = 4. Знайдіть значення виразу:

1) a²b + ab²; 2) a² + b²; 3) a³ + b³.

VII. Підсумки уроку

 Найважливішим підсумком є формування в учнів правильного розуміння: 1) будови системи форм та методів (способів) розкладан­ня многочленів на множники; 2) сфери застосування названих по­нять та способів дій на уроках математики (або там, де мова йде про математичні об'єкти: числові та буквені вирази, рівняння тощо).

Тому бажано цей етап уроку присвятити саме систематизації та уза­гальненню знань та вмінь учнів.

Учитель може підготувати заздалегідь (або робити записи під час бесіди) картки із записами основних понять з теми «Розкладання на множники»: винесення спільного множника за дужки і т. д.

Учитель пропонує учням назвати основні математичні поняття, що за­своюються в ході вивчення цієї теми (для пожвавлення роботи можна улаштувати «Математичний аукціон» — див. математика, 6 кл.), і відповід­но відкриває картки (або робить запис на дошці).

Після того як будуть названі усі поняття, пропонуємо учням розташувати ці картки в порядку, що відповідає логіці теми (послідовність застосуван­ня способів тощо), і класифікуємо види завдань, що були розв'язані в цій темі. Врешті-решт можна всі міркування подати у вигляді схеми:

VIII. Домашнє завдання. Домашня самостійна робота

№ 1. Розкладіть на множники:

1) 6а³ – 6а; 2) 2х² + 24ху + 72у²; 3) а³ – ab – a²b + a²;

4) х² + 2ху + у² – 49; 5) а³ + 8 – а² – 2а; 6) т³ + 27п⁵ + т² + 6тп + 9п²;

7) а² – b² + 4а + 4; 8) х² – 2х – 3; 9) х² + 4х – 5.

№ 2. Розв'яжіть рівняння:

1) х² – 2х – 35 = 0; 2) х³ – 9 = х – 9х².

№ 3. Доведіть, що значення виразу 11¹⁰ + 4∙7⁴⁹ + 11¹¹ – 4∙7⁴⁸ ділиться на 12.

Додатково: попрацювати зі схемою — див. «Підсумки» (вдосконалення).