Розв'язування вправ на застосування перетворень виразів

Тема. Розв'язування вправ на застосування перетворень виразів

Мета: узагальнити та систематизувати знання та вміння учнів щодо способів перетворень цілих виразів, набутих учнями в ході вивчення алгебри в 7 класі; систематизувати знання щодо видів завдань, які передбачають за­стосування цих знань та способів дій; відпрацювати навички класифікації, вибору відповідного способу розв'язання названих видів виразів.

Тип уроку: узагальнення та систематизація знань.

Хід уроку

I. Організаційний момент

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, наявність учнів (фіксує прізвища відсутніх), повідомляє тему уроку.

II. Перевірка домашнього завдання

 Оскільки основна частина домашнього завдання — самостійна ро­бота, то збираємо зошити на перевірку; якщо в учнів виникли запи­тання під час виконання домашнього завдання, то розв'язуємо їх одразу ж після збирання зошитів.

III. Формулювання мети й завдань уроку

 Учитель дохідливо для учнів формулює мету розділу («Застосування перетворення виразів») і повідомляє учням завдання на урок — сис­тематизувати свої знання щодо пошуку відповіді на запитання: «Якого найменшого (найбільшого) значення може набувати вираз і при якому значенні змінної, що входить до його складу?»

IV. Мотивація навчальної діяльності

Учитель пропонує учням виконати завдання. Чи може значення вира­зу

а² – 4а + 7 дорівнювати 1 ?

Після деяких міркувань учні можуть дійти висновку, що розв'язання цієї задачі можна довести до розв'язування рівняння а² – 4а + 7 = 1, подібне до якого на попередніх уроках уже розв'язували, розклавши ліву частину на множники (виділивши повний квадрат).

а² – 4а + 7 = 1;  (а² – 4а + 4) + 3 = 1; (а – 2)² + 3 = 1.

Але що робити з цим далі? (Можливо, хтось запропонує перенести 3 у праву частину із протилежним знаком (а – 2)² = -2 і скористатись власти­вістю степеня з парним показником.)

Але вчитель спрямовує думку учнів в інший бік: чи можна впізнати знак та найменше значення лівої частини рівності (а – 2)² + 3 = 1?

Навчитись оцінювати знак та значення (найменше та найбільше, якщо існує) виразу — то і є головним мотивом дій на цьому уроці.

V. Актуалізація опорних знань

Виконання усних вправ

1. Укажіть знак виразу: а²; |а|; a² + 7; |а| + 3; a² + b² + 3; (а – 1)²; (а – 1)² + 3.
2. Якого найменшого значення набуває вираз: а²; |а|; а² + 7; |а| – 3;

а² + b² + 3; (а – 1)²; (а – 1)² + 3?Чому?

3. Який знак має вираз: -а²; -|а|; -а² - 7; -|а| – 3; -а² - b² - 3?
4. Якого найбільшого значення набувають вирази в п. 3? При яких значен­нях змінних це відбувається?

Висновок. Запам'ятаймо, що

1) (А)² ≥ 0, отже, (А)² +В ≥ В, тобто А² = 0 при А = 0 і найменше значення виразу А² + В дорівнює В.

2) -А² ≤ 0, отже, -А² + В ≤ В, тобто найбільше значення виразу -А² +В дорівнює В при А = 0.

VI. Систематизація й узагальнення знань та вмінь

 Основна робота полягає в тому, щоб встановити логіку процесу розв'язування задач на оцінку значення квадратного тричлена та окреслити коло завдань, що передбачають здійснення оцінки зна­чення квадратного тричлена.

Отже, з попереднього етапу уроку ми одержали:

1) Висновки, які можна ще раз озвучити:

• Квадрат будь-якого виразу є число невід'ємне.
• Квадрат будь-якого виразу дорівнює нулю, якщо цей вираз дорів­нює нулю.
• Якщо квадрат деякого виразу змінити на деяке число, значення но­вого виразу буде відрізнятися від квадрата на це саме число.
• Вираз, протилежний квадрату деякого виразу, є числом недодатним.

Бажано проілюструвати ці умовиводи достатньою кількістю прикла­дів, бо це єдиний поки що спосіб домогтися свідомого розуміння даного співвідношення (на жаль, учні ще не знайомі із властивостями числових нерівностей).

2) Приклади щодо застосування висновків:

а) Доведіть, що вираз х² + 2х +1 набуває невід'ємних значень при будь-яких х.

б) Доведіть, що вираз х² +2х+2 набуває лише додатних значень при будь-яких х. Якого найменшого значення набуває цей вираз? При якому значенні х?

в) Розв'яжіть рівняння (х – 1)² + (х – 3)² = 0.

г) Доведіть, що не існує таких значень х та у, для яких виконувалася б рівність х² + у² – 2х – 2у + 3=0.

Наведені приклади підкреслюють, що властивості квадрата (зокрема вміння виділити квадрат двочлена) використовуються під час розв'я­зування різноманітних задач:

а) х² + 2х + 1 = (х + 1)². Отже, (х + 1)² ≥ 0.

б) х² + 2х + 2 = (х² + 2х + 1) + 1= (х + 1)² + 1.

    Оскільки (х + 1)² ≥ 0, то (х + 1)² + 1 ≥ 1, отже, вираз набуває найменшого значення, що дорівнює 1, при х + 1 = 0, тобто при х = -1.

в) (х – 1)² + (х – 3)² = 0. Оскільки (х – 1)² ≥ 0, (х – 3)² ≥ 0, то їх сума буде до­рівнювати 0, якщо кожний з доданків дорівнює 0: (х – 1)² = 0 і (х – 3)² = 0, тобто х = 1 і водночас х = 3. Бачимо, що такого значення х немає.

Відповідь. Коренів немає.

г) х² + у² – 2х – 2у + 3 = 0; (х² – 2х + 1) + (у² – 2у + 1) + 1 = 0;

    (х – 1)² + (у – 1)² + 1 = 0, оскільки (х – 1)² ≥ 0, (у – 1) ≥ 0, 1 > 0, то сума

    (х – 1)² + (у – 1) +1 > 1 при будь-яких значеннях х та у, а отже, не існує таких х та у, щоб виконува­лася б рівність.

VII. Засвоєння вмінь та навичок

Виконання письмових вправ

1. Доведіть, що вираз 4т² + 4тп + п² + 3 набуває лише додатних значень. Яке найменше значення цього виразу?
2. Знайдіть найменше значення виразу та значення змінної, при якому ви­раз набуває найменшого значення:

1) х² – 4х + 4; 2) х² – 4х + 7; 3) х² – 4х – 1.

3. Розв'яжіть рівняння:

1) а² – 4а + 7 = 1; 2) х² – 2х – 15 = 0; 3) (х² – 1)² + (х – 1)² = 0.

4. Доведіть, що не існує чисел х та у, для яких виконувалася б рівність
   2х² + 2у² – 2ху – 2х – 2у + 3 = 0.
5. Доведіть, що вираз набуває лише від'ємних значень:
   1) -(а² – 2а + 4);  2) - х² + 4х – 5.
6. Знайдіть найбільше значення виразу та значення змінної, при якому
   вираз набуває найбільшого значення.

VII. Підсумки уроку

Складаємо схему.

IX. Домашнє завдання

№ 1. Доведіть, що вираз не набуває від'ємних Значень. Знайдіть най­менше значення виразу та значення змінної, при якому цей вираз набуває найменшого значення:

1) а² – 4а + 4; 2) х² – 2ху + у² + 4; 3) а² + 6а + 9; 4) х² – 6х + 10.

№ 2. Знайдіть найбільше значення виразу та значення змінної, при якому вираз набуває свого найбільшого значення:

1) -(х² – 2х + 1); 2) -(х² – 2х + 2); 3) -у² + 2у – 4; 4) -х² + 2х – 8; 5) -а² – 4а + 3.

№ 3. Випереджальне домашнє завдання.

1) За довідником (математика, 5-6 клас) повторити зміст поняття «число а
ділиться на число b»; «дільник числа а», «кратне числу а»; як записати
у вигляді рівності, що натуральне число а ділиться на натуральне число b.

2) Розкладіть на множники вираз:

а) 245² – 236²; б) 52³ – 36³; в) 5³³ – 5³⁰; г) 4п² – 4п + 4.