Застосування теореми синусів

Тема. Теорема синусів

Мета: сформувати поняття теореми синусів ; розвивати вміння застосовувати набуті вміння і знання для розв’язування різних задач; формувати культуру математичної мови, свідоме ставлення до праці; розвивати пізнавальний інтерес.

Типи уроків: засвоєння нових знань, комбіновані.

Розум полягає не лише в знаннях, але й у вмінні застосовувати ці знання.

 Аристотель

І. Організаційний момент

ІІ. Актуалізація опорних знань

Фронтальна бесіда

•   Яку можливість надає теорема косинусів? (пов’язати сторони з кутами)
•   Чи може квадрат сторони трикутника дорівнювати сумі квадратів двох інших сторін плюс подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними? (так)
•   Скільки є способів розв’язання в залежності від величини кута? ( три)
•   Чи можна визначити величину кута, якщо квадрат сторони трикутника дорівнювати сумі квадратів двох інших без добутку цих сторін? (так, 60°)
•   Чи можна сказати, що теорему використовують до паралелограма? (так)

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

Історичні відомості.

Математики давнини зводили розв’язання трикутників до прямокутних, отже, не знали теорему синусів.  Лише в  ХІ ст. довів її індійський математик і астроном Аль-Беруні. Європейські математики теоремою синусів починають користуватися з ХVІ ст., а в 1801 році французький математик Жозеф-Луї Лагранж вивів її з теореми косинусів.

Теорема синусів: сторони трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів. Відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, описаного навколо трикутника: = 2R.

Доведення.

В ∆АСВ проведемо висоту СD. 1) Якщо А – гострий, то з прямокутних ∆АСD і ∆СВD маємо СD = і СD = Тоді або Аналогічно доводиться, що. Отже що і треба було довести.

2) Якщо А – тупий, то СD . Аналогічно доводиться теорема синусів.

ІV. Засвоєння знань та формування навичок

Вправа 1

За даними рисунка знайдіть х.

Відповідь. 1) 2; 2) 45°.

Вправа 2

В ∆АВС сторона ВС=20см, А=75°, В=60°. Знайдіть С і сторону АВ.

Відповідь.45° і

Вправа 3

В ∆АВС сторона АВ=15см, АС=10см. Чи може

Відповідь. Ні.

Вправа 4

В ∆АВС сторона АС=6см, С=15°, В=135°. Знайдіть А і сторону ВС.

Відповідь.30° і 6см.

Вправа 5

В рівнобедреному ∆АВС основа АВ, сторона АС=6см, С=120°. Знайдіть діаметр кола описаного навколо трикутника.

Відповідь. 12см.

Вправа 6

В ∆АВС кути А, В, С відносяться як 4:2:3, ВС=4см Знайдіть сторону АВ.

Відповідь.

Вправа 7

В рівносторонньому трикутнику радіус описаного кола 8см. Знайдіть сторони даного трикутника.

Відповідь. 8см.

Вправа 8

В коло діаметром 24см вписано трикутник із стороною 12см. Знайдіть кут який лежить напроти даної сторони.

Відповідь. 30° або 150°.

Вправа 9

Сторони трикутника 2см, 3см і 4см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника, і висоту проведену до сторони 3см.

Відповідь.см і

Вправа 10

Вершину гори видно з точки А під кутом 3842, а при наближенні

до гори на 200 м стала видна під кутом 42°. Знайдіть висоту гори.

Відповідь

Вправа 11

Основа  рівнобедреного трикутника відноситься до бічної сторони 4:3, а висота 20см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

Відповідь. 18см.

Вправа 12

Навколо трикутника з кутами 45° і 30°, описано коло радіус якого дорівнює 2см. Знайдіть висоту трикутника, яка проведена до сторони, для якої дані кути є прилеглими.

Відповідь. 2см.

V. Підбиття підсумків

Вставити пропущені слова.

1. Сторони трикутника пропорційні…протилежних кутів. ( синусам)

2. У будь-якому трикутнику відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює… ( діаметру кола описаного навколо трикутника)

3. У трикутнику проти… лежить більший кут. (сторони)

VІ. Домашнє завдання.

Вивчити теоретичний матеріал, розв’язати завдання з підручника на закріплення вмінь і навичок знаходити невідомі елементи трикутника.