"Застосування визначеного інтегралу" Лекція

      ТЕМА: «Застосування визначеного інтегралу.»

Поняття інтеграла – важливе  як у шкільному курсі математики, так і в курсі вищої математики, що розгалужується на низку цікавих, хоч і складних, математичних дисциплін. Назву вам лише кілька з них:

• математичний аналіз,
• функціональний аналіз,
• теорія функції комплексної змінної,
• диференціальні рівняння,
• теорія ймовірностей,
• теорія оптимізації математичних процесів.

Окрім математичних, є науки, що широко використовують математичний апарат і нині дуже популярні, оскільки необхідні для ведення різноманітних справ, для гармонійного розвитку галузей виробництва, тощо. У цих науках також використовується поняття інтеграла. Серед них такі як

•   політична економія,
• фінансова справа,
• електроніка,
• програмування,
• фізика,
• хімія,
• радіофізика, тощо.

             Давайте з'ясуємо, як саме ми можемо застосувати визначений інтеграл в таких науках, як  фізика, економіка.

А де саме визначений інтеграл застосовується у фізиці?

Елементи інтегрування для фізичних величи

Розглянемо на прикладі.

Задача. Нехай швидкість руху тіла задана рівнянням:

v(t)= 3t²- 2t+1 (в метрах за секунду).

Знайдемо шлях руху тіла, який відбувся за 10 секунд від початку руху.

За умовою задачі позначимо, що дано: t₀= 0 секунд,t₁=10 секунд.

v (t) = 3t² -2t +1.

Застосуємо формулу, що виражає фізичний зміст визначеного інтеграла.

Знайдемо шлях, як функцію від х.

S(х)=

      Обчислимо, враховуючи дане рівняння швидкості.

S=

Відповідь: тіло за десять секунд подолало 910 м.

     Розглянемо, коли нам може знадобитися визначений інтеграл при розв’язуванні задач з економіки.

Задача. Продуктивність  праці  робітника протягом дня задається функцією z(t) = – 0,00645t² + 0,05t + 0,5 (грош. од./год), де t – час в годинах від початку роботи, 0 ≤ t ≤ 8. Знайти функцію   яка показує обсяг продукції (у вартісному виразі) та його величину за робочий день.

Розв’язання:

Відповідь: 4,5 грош. од.

Обчислення площ плоских фігур

Задача.  Знайти площу фігури, обмеженої лініями:

 ;   

Розв’язання

В одній системі координат будуємо дані лінії.

- парабола, вітки якої напрямлені вгору (а=1, а > 0).

(0;2) – вершина параболи.

- пряма, яка проходить через точки: (0;4), (2;2).

Межі інтегрування: ;

;

; .

а=-2, b=1 – межі інтегрування.

(кв.од).

Відповідь:  кв.од.

Тестування.

Розв’язування тестових завдань „Перевір себе”

1. За якою з наведенихформул визначається площа даної фігури?

                       1.

                       2.

                                       3.            

                                                                         4.

2. Знайдіть в яких записах є помилка.

5.                   6.

7.                   8. .

3. За якою з наведених формул обчислюється робота змінної сили, заданої формулою F(x)= 3x²–4x+8, вздовж відрізка довжиною 2 м?

9. А=       10. А=.

11. А=(3х²-4х+8)΄.           12.  А=.

4. За якою з формул обчислюється обсяг виготовленої за 4 години продукції, якщо продуктивність праці задається формулою f(x)= 4x³?

13. .     14. .      15. (4х³)΄.     16. .

5. В якому випадку вірно обчислено навантаження електростанції за 3 години, якщо її витрати визначаються функцією f(x) = ?

17.                         18.

19.                              20.

6. В якому з наведених випадків вірно визначений середній час, витрачений на засвоєння одного виробу від 10 до 20 виробів, якщо функція t= 3х описує зміни витрат часу t на виготовлення виробів в залежності від степеня засвоєння виробництва.

21.                  22.

23.                 24.

Номера правильних відповідей закресліть у бланку відповідей.