Завдання для І (шкільного) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики у 2019/2020 н.р.

Про матеріал

Дані завдання можна використати при проведенні І (шкільного) етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики у 9класі. Крім завдань є ключі та критерії оцінювання робіт учнів.

Перегляд файлу

Завдання для І (шкільного) етапу

Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики у 2019/2020 н.р.

9 клас

1. Знайти всі тризначні числа, у яких друга цифра у чотири рази більша від першої, а сума всіх трьох цифр дорівнює 14. (7 балів)

2. При яких натуральних х вираз є квадратом натурального числа? (7 балів)

3. Рибалка спіймав велику кількість риби вагою 3,5 кг і 4,5 кг. Але його рюкзак вміщує не більше ніж 20 кг. Яку максимальну вагу риби він може взяти з собою? Відповідь обґрунтуйте. (7 балів)

4. В прямокутному трикутнику з катетами 3 і 4 см проведені висота прямого кута і медіана більшого з гострих кутів. У якому відношенні висота ділить медіану? (7 балів)

Ключі для І (шкільного) етапу

Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики у 2019/2020 н.р.

9 клас

Критерії оцінювання

Бали	Пояснення
7	Повний правильний розв’язок .
6	Правильний розв’язок , але є невеликі недоліки, які в цілому не впливають на розв’язок.
5	Розв’язок у цілому правильний, але він має ряд помилок, або не розглядає окремих випадків, але може стати правильним після невеликих виправлень або уточнень.
4	Правильно розглянутий один з двох існуючих випадків.
3	Доведені додаткові твердження, які допомагають при розв’язанні задачі.
2	Розглянуті окремі важливі випадки при відсутності розв’язку (або при неправильному розв’язку).
1	Записана тільки одна відповідь і вона є правильною, але розв’язку немає.
0	Розв’язок неправильний, просування відсутнє. Розв’язок відсутній і відповідь неправильна.

1. Якщо перша цифра не менше ніж 3, то друга цифра – не менше ніж 12, що неможливо. Отже, перша цифра 1 або 2. А далі число будується згідно умови задачі.

Відповідь: 149; 284.

2. Нехай . Відомо, що – квадрат деякого цілого числа , меншого за t. Тоді отримуємо . Числа і – натуральні і перше число більше, ніж друге. Значить, , а . Розв’язавши цю систему, отримаємо , , що дає .

Відповідь: при х=5.

3. В рюкзак можна вмістити 0, 1, 2, 3 або 4 штук риби вагою 4,5 кг (не більше, тому що Для кожного з цих варіантів залишок місткості рюкзака не ділиться націло на 3,5 і тільки у крайньому випадку можливо удасться упакувати кг риби.

Відповідь: 19, 5 кг.

4. Проведемо відрізок DF паралельно висоті АЕ. За теоремою Фалеса він поділить відрізок BE навпіл. За теоремою Піфагора гіпотенуза трикутника АВС дорівнює 5 см. Крім цього і . Звідси маємо: , . Тобто ВЕ=3,2, FE=1,6, EC=1,8. З паралельних відрізків DF і GE витікає, що