АЛГЕБРА ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ

Скарбничка математичних ідей

9 клас

АЛГЕБРА

ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ

НАВЧАННЯ МИСТЕЦТВУ РОЗВ´ЯЗУВАТИ ЗАДАЧІ – ЦЕ ВИХОВАННЯ ВОЛІ. Д. ПОЙА

Підготувала вчитель математики

Шеремет В.П.

Істотним для процесу розв´язування будь-якої задачі є бажання, прагнення мір її розв´язати. Задача, якою ви гадаєте зайнятись, яку ви досить добре зрозуміли, - це ще не зовсім ВАША ЗАДАЧА. Вона стає по-справжньому вашою, насправді опановує вас, коли ви пройнялися рішучістю належно її дослідити і ПРАГНЕТЕ її розв´язати. Задача може захопити вас більшою чи меншою мірою, ваше бажання розв´язати її може бути сильніше й слабше. Але я тверджу, що поки воно не стане ДУЖЕ СИЛЬНИМ, ваші шанси розв´язати по-справжньому важку задачу будуть мізерні.                                                Д. Пойа.

Прикладне спрямування задач сприяє формуванню вміння досліджувати реальні явища засобами математики, складати математичні моделі задач та зіставляти здобуті результати з реальними. Використання прикладних задач дозволяє вдало створювати на уроці проблемні ситуації. Розв´язування таких задач стимулює учнів до здобуття нових знань, збагачує теоретичними знаннями з технічних та інших дисциплін, готує до дорослого життя. Прикладна задача – це задача, що виникла поза математикою, але яку можна розв´язати математичними засобами.

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕМИ: прикладна задача, математична модель задачі.

СХЕМА РОЗВ´ЯЗУВАННЯ ПРИКЛАДНОЇ ЗАДАЧІ:

1. створення математичної моделі даної задачі;
2. розв´язування відповідної математичної задачі;
3. аналіз відповіді.

***Скласти математичні моделі задач у вигляді рівнянь або систем рівнянь і розв`язати  їх.

«ЗАНУРЕННЯ В ТЕМУ»: рівняння, корені рівняння, лінійне рівняння, рівносильні рівняння, подібні доданки, квадратне рівняння, дискримінант.

1. На двох полицях 67 книжок, причому на першій – на 5 книжок більше, ніж на другій. Скільки книжок на кожній полиці?
2. Дріт завдовжки 45 м розрізали на дві частини, одна з яких на 13 м коротша від другої. Знайди довжину коротшої частини.
3. Скільки років учневі, якщо відомо, що через 7 років він стане у 3 рази старшим, ніж був 7 років тому?
4. Катер проплив 100 км за течією річки і 64 км проти течії за 9 год. Іншим разом, рухаючись з тією самою швидкістю, за той самий час він проплив 80 км за течією і стільки ж проти течії. Знайди власну швидкість катера і швидкість течії річки.
5. Катер за 42 хв пройшов озером і 11 км річкою, що впадає в це озеро. Знайдіть власну швидкість катера, якщо він за 2 години проходить за течією річки на 10 км менше, ніж за 3 год проти течії.
6. Два робітники, працюючи разом, можуть виконати завдання за 4 години. За скільки годин може виконати завдання кожен робітник, працюючи самостійно, якщо один із них може це зробити на 6 год швидше, ніж другий?

«БЕЗ ТЕОРІЇ НЕМАЄ ПРАКТИКИ!»

Пропоную повторити теорію, закінчивши речення.

• Рівність із невідомим значенням змінної називається ….
• Значення змінної, для якої рівняння перетворюється у правильну числову рівність називається …
• Розв’язати рівняння означає…
• Опис якогось реального об’єкта чи процесу мовою математики називають…
• Математичною моделлю задачі є …
• Рівняння виду ах+b=0 називають …
• Рівняння виду ах²+bх+с=0, де а≠0 називають …
• Кількість дійсних коренів квадратного рівняння залежить від …

Важкість розв´язання якоюсь мірою входить у саме поняття задачі: там, де немає труднощів, немає і задачі. Д.Пойа.

СТОРІНКАМИ ІСТОРІЇ:

За допомогою пропорцій розв´язували задачі ще в стародавні часи. Повну теорію пропорцій було створено в Стародавній Греції в 4 ст. до н.е. переважно працями видатних учених Евдокса Кнідського і Теетета. Учення про відношення і пропорції стародавні греки називали музикою, яку вважали галуззю математики. Вони знали, що чим слабкіше натягнуто струну, тим нижчий звук, який вона дає, а чим тугіше натягнута струна, тим вищий вона дає звук. Але в кожному музичному інструменті не одна, а кілька струн. Щоб усі вони під час гри звучали узгоджено, довжина їх частин, які дають звук, повинна перебувати в певному відношенні. Поняття пропорційності мало і має широке застосування в мистецтві, архітектурі, живопису, скульптурі. Тут воно означає додержання певних співвідношень між окремими частинами споруди, картини, скульптури. Сучасний запис пропорцій у вигляді а:в=с:d увів на початку 18 ст. німецький математик і філософ Г.Лейбніц.

ЦЕ ВАЖЛИВО!

*** Основна властивість пропорції: Добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку її середніх членів.

«СКРИНЬКА ЗАДАЧ»:

1. Довжина прямокутника втричі більша за ширину. Знайдіть площу прямокутника, якщо його периметр дорівнює 48,8 см.
2. В одному бідоні молока вдвічі більше, ніж у другому. Якщо з першого бідону перелити 12 л молока в другий бідон, то в обох бідонах стане порівну. Скільки молока було спочатку в першому бідоні?
3. На одному складі було у 3 рази більше телевізорів, ніж на другому. Після того, як з першого складу взяли 20 телевізорів, а на другий привезли 14, телевізорів на обох складах стало порівну. Скільки телевізорів було на кожному складі спочатку?
4. Дріт завдовжки 456 м розрізали на три частини, причому перша частина в 4 рази довша за третю, а друга – на 114 м довша за третю. Знайдіть довжину кожної частини дроту.

ПРИКЛАДНІ ЗАДАЧІ ДО ТЕМИ «КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ».

«ЗАНУРЕННЯ В ТЕМУ»: квадратне рівняння, коефіцієнти, дискримінант, зведене квадратне рівняння, теорема Вієта.

А ЧИ ПАМ´ЯТАЄТЕ ВИ?

***Загальний вигляд квадратного рівняння;

***Формулу для визначення дискримінанта квадратного рівняння;

***Формулу коренів квадратного рівняння;

***Теорему Вієта.

1. На скільки відсотків вдвічі потрібно знизити ціну на підручник, щоб його вартість досягла 64% від початкової?
2. Моторний човен рухався річкою зі швидкістю 10 км/год. Таким чином він проплив 18 км за течією та 14 км проти течії, витративши 3 год 15 хв. Необхідно знайти швидкість течії річки.
3. У футбольному турнірі зіграно 480 матчів, причому кожна команда грала з усіма іншими на своєму та на чужому полі по одному разу. Скільки всього футбольних команд брало участь у турнірі?

 Контрольна робота.

1. Яку суму отримає вкладник на рахунок через               2 роки, якщо він поклав на рахунок 6 000 грн під 12% річних?
2. Робітник щогодини виготовляв 13,12,16,12,10,9,12,13 деталей. Знайдіть моду, медіану та середнє значення вибірки.
3. У коробці лежить 6 зелених, 8 жовтих і 7 червоних кульок. Яка ймовірність того, що навмання витягнута кулька буде не червоною?
4. х²+4х-5=0.
5. Довжини сторін паралелограма відносяться як 2:5. Його периметр дорівнює 140 см. Знайдіть сторони паралелограма.
6. х³-8х²+8х-1=0.
7. З 20 кг насінні соняшнику можна отримати 3,5 кг олії. Скільки олії можна одержати з 400 кг такого самого насіння?
8. Сторони трикутника відносяться як 6:7:8. Знайдіть периметр подібного йому трикутника, середня сторона якого дорівнює 21 см.

Прикладні задачі.

1. Знайти середнє значення та моду вибірки:  12; 13; 11; 10; 10; 12;  13; 13; 13; 15; 16; 10.
2. Вкладник вніс до банку   1200 грн під 7% річних. Скільки грошей він отримає через 2 роки.
3. Турист проплив на моторному човні 30 км проти течії річки і повернувся назад на плоту. Знайдіть швидкість течії річки, якщо на плоту турист плив на 3 год більше, ніж човном, а власна швидкість човна становить 15 км/год.
4. Після того як змішали 50% і 20% розчини кислоти, отримали 900 г 30% розчину. Скільки грамів кожного розчину змішали?
5. Один із катетів прямокутного трикутника менший від другого на   3 см, а від гіпотенузи – на 6 см. Знайти периметр цього трикутника.

Якщо ви хочете навчитися плавати, то сміливо ступайте у воду, а якщо хочете навчитися розв´язувати задачі, то розв´язуйте їх!  Д. Пойа.

ЦЕ ВАЖЛИВО!

СИСТЕМУ РІВНЯНЬ МОЖНА РОЗВ´ЯЗАТИ:

***графічним способом;

***способом підстановки;

***способом додавання.

ЗАДАЧІ З ДПА:

1. Знайдіть чотири послідовних непарних натуральних числа, якщо добуток другого і третього числа на 111 більший, ніж потроєна сума першого та четвертого чисел.
2. Човен, власна швидкість якого 18 км/год, проплив 30 км за течією і 16 км проти течії, затративши на весь шлях 2,5 год. Знайдіть швидкість течії.
3. Два робітники повинні за планом разом виготовити 250 деталей. Перший робітник перевиконав план на 10%, а другий – на 15%, тому було виготовлено 280 деталей. Скільки деталей за планом повинен був виготовити кожний робітник?
4. Сплав золота зі сріблом містить 20 г золота. До цього сплаву додали 5 г срібла і 10 г золота. Отриманий сплав містить на 5% більше срібла, ніж початковий. Скільки грамів срібла було в початковому сплаві?
5. На склад завезли апельсинів на 100 кг більше, ніж бананів. Після того як продали 80% апельсинів і 30% бананів, на складі апельсинів залишилося на 105 кг менше, ніж бананів. Скільки кілограмів апельсинів і скільки кілограмів бананів завезли на склад?

Література

1. Адруг Л.М.,Чепурна Т.В. Алгебра 8-10. Моніторинг рівня навчальних досягнень. – Х.:2010.
2. Бевз Г.П.,Бевз В.Г. Математика, 8. – К.:Зодіак-ЕКО,2008.
3. Бевз Г.П., Бевз В.Г.,Алгебра, 9. -К.:Зодіак-ЕКО,2008.
4. Журнал «Математика в школах України».
5. Журнал «Відкритий урок. Розробки. Технології. Досвід».