Урок "Геометрична прогресія. Знаходження суми п членів геометричної прогресії"

Комісарівська ЗОШ І-ІІІ ступенів

 

 

 

 

 

Геометрична прогресія.

Знаходження суми п перших членів геометричної прогресії

 

 

 

Відкритий урок у 9 класі

 

 

 

Вчитель: Гаркуша Н.Д.

 

 

 

 

 

2018р.

Тема уроку: Знаходження суми п перших членів геометричної прогресії

 

Мета уроку: вивести формулу знаходження суми п перших членів геометричної прогресії, показати її практичне застосування, розв’язувати вправи на застосування цієї формули.

                        розвивати уміння застосовувати формули при розв’язуванні задач, раціонально виконувати обчислення,

                        виховувати любов до математики, культуру мовлення.

 

Обладнання: роздатковий матеріал.

 

 

Хід уроку

 

Організаційний момент

Використовуючи форму «мікрофон», повторити вивчений матеріал, відповівши на питання:

• Дати означення геометричної прогресії
• Що називають знаменником геометричної прогресії ?
• Як обчислити п-й член геометричної прогресії?
• Як визначити з цієї формули в₁?, q ?
• Дати історичну довідку поняття геометричної прогресії
• Яку властивість має кожний член геометричної прогресії, починаючи з другого?

 

 

Самостійна робота(робота в групах)

 

І група

1. в₁ =2,4;   в₂ =24.     Знайти: q.

2. в₁ =4,       q =½.    Знайти: в₂.

3. в₁= -2,5; q =2.      Знайти: в₅.

4. в₁= 3;     q = -2; в_п = 3072.   Знайти: п.

5. в₄= -432; q =2;     Знайти:в₁.

6. в_п=;      Знайти: в₁

7. Між числами 40 і 2,5 вставити таке число, яке разом з даними утворило б геометричну прогресію.

 

Відповіді записати в таблицю і відгадати зашифроване слово

 

1	2	3	4	5	6	7

 

ІІ група

1. в₁ = 3;     в₂ =6.       Знайти: q.

2. в₁ =5,      q = -4       Знайти: в₂.

3. в₁ = -2;  q =3.         Знайти: в₄.

4. в ₅= 80;    q= -2;      Знайти: в₁.

5. в₁ = 3;    в₃ =48;    Знайти:в₂.

 

Відповіді записати в таблицю і відгадати зашифроване слово

 

1	2	3	4	5

 

ІІІ група

 

1. в₁ =4;     q =7.          Знайти: в₂.

2. в₁ = -12,  в₂ = -60        Знайти:q.

3. в₁ = 10;  q =2.         Знайти: в₆.

 

Відповіді записати в таблицю і відгадати зашифроване слово

 

1	2	3

 

Шифр:

 

10	-20	-0,06	320	-54	2	5	11	12	28	-40
А	Ю	Р	Я	Б	Л	О	Е	В	М	Г

 

 

 

 

Пояснення нового матеріалу:

 

Пояснення нового матеріалу почнемо з стародавньої легенди.

Шахи – одна із самих древніх ігор, була придумана в Індії. Коли індуський цар Шерам познайомився з нею, він був у захваті від її оригінальності. Узнавши, що вона була винайдена одним із його підданих, цар приказав його привести, щоб особисто нагородити за вдалу видумку.

 Винахідник, його звали Сета, з’явився до трону повелителя. Це був скромно одітий вчений, який заробляв на життя, навчаючи своїх учнів.

•      Я достатньо багатий, щоб виконати саме сміливе твоє бажання, - сказав цар. - Назви нагороду, яка тебе задовольнить, і ти отримаєш її.

 Сета,  подумавши, сказав: прикажи видати мені за першу клітинку шахової дошки одну пшеничну зернину.

• Просту пшеничну зернину? –перепитав цар.
• Так, повелителю. За другу клітинку прикажи видати 2 зернини, за третю – 4, за четверту -8….
•      Достатньо, сердито перервав його цар. - Ти одержиш свої зернини за всі 64 клітини дошки відповідно до твого бажання: за кожну наступну вдвічі більше від попередньої. Але знай, що твоя просьба недостойна моєї щедрості. Як учитель, ти міг би показати кращий приклад поваги до свого повелителя. Іди. Слуги мої винесуть тобі твій мішок з пшеницею.

        Сета посміхнувся і залишив залу.

        Вранці царю доповіли, що старшина придворних математиків просить вислухати важливе донесення.

•      Ми добросовісно цілу ніч рахували всю кількість зернин, які бажає одержати Сета. Це число дуже велике і не у твоїй владі, повелителю, виконати подібне бажання. Не знайдеться такої кількості зерна на всіх просторах планети Земля. І якщо бажаєш видати обіцяну нагороду, то прикажи перетворити всі царства в поля, прикажи висушити всі моря і океани, прикажи розтопити всі льоди і сніги і весь цей простір засіяти пшеницею. Віддавши весь урожай з цих полів, ти розрахуєшся з Сетою.

 

Щоб узнати, чим закінчилася ця історія, нам необхідно вияснити, як же рахували придворні математики , тобто, як обчислюється сума п перших членів геометричної прогресії?

  Отже,

нехай   S_n = b₁+b₁q+b₁q²+b₁q³+…+b₁q^n-2+b₁q^n-1.

 

Помножимо обидві частини цієї нерівності на q:

            S_nq = b₁q+b₁q²+b₁q³+…+b₁q^n-1+b₁qⁿ.

 

Віднімемо почленно від цієї рівності попередню. При цьому їх однакові доданки взаємно знищаться. В результаті маємо:

 

                   S_nq – S_n = b₁qⁿ – b₁,

 

або            S_n(q – 1) = b₁(qⁿ – 1),

 

звідки       S_n = .

 

 

 

Закріплення вивченого матеріалу:

 

 Розв’яжемо задачу:

     Володя продавав на базарі  10 гусенят за 100 гривень.

Але один покупець надто вперто вимагав зменшити ціну і тоді він купить всіх гусенят. Володя, знаючи  хорошо алгебру, запропонував йому: «Дай мені за перше гусеня - 1коп., за друге – 3коп., за третє – 9коп. і далі за кожне гусеня втричі більше копійок, ніж за попереднє. Покупець радісно згодився на цю пропозицію, подумавши, що він зекономив немалу суму грошей. Скільки ж він заплатив за тих 10 гусенят?

S₁₀ = = 29544,5 коп. = 295,45 грн.

 

Розв’язати вправу: № 285, 287(д).

 

А тепер повернемося до нашої легенди:

• Назви ж мені це страшне число,- сказав цар.
• Вісімнадцять квінтильйонів чотириста сорок шість квадрильйонів сімсот сорок чотири трильйони сімдесят три більйони сімсот дев’ять мільйонів п’ятсот п’ятдесят одна тисяча шістсот п'ятнадцять, о повелителю!

18446744073709551615.

 

Якщо побудувати зерносховище шириною 10м і висотою 4 м, то його довжина буде на відстань 300 000 000 км, тобто вдвічі більша, ніж від Землі до Сонця!

Домашнє завдання.

 

Підрахувати, скільки зерна мав одержати Сета.

Розв’язати № 287,293(для бажаючих)

 

1. в₁ =2,4;   в₂ =48.     Знайти: q.

2. в₁ =1,       q =½.    Знайти: в₂.

3. в₁= -2,5; q =2.      Знайти: в₅.

4. в₁= 3;     q = -2; в_п = 3072.   Знайти: п.

5. в₄= -432; q =2;     Знайти:в₁.

6. в_п=;      Знайти: в₁

7. Між числами 40 і 2,5 вставити таке число, яке разом з даними утворило б геометричну прогресію.

 

Відповіді записати в таблицю і відгадати зашифроване слово

 

1	2	3	4	5	6	7

 

ІІ група

1. в₁ = 3;     в₂ =6.       Знайти: q.

2. в₁ =5,      q = -4       Знайти: в₂.

3. в₁ = -2;  q =3.         Знайти: в₄.

4. в ₅= 80;    q=2;      Знайти: в₁.

5. в₁ = 3;    в₃ =48;    Знайти:в₂.

Відповіді записати в таблицю і відгадати зашифроване слово

 

1	2	3	4	5

 

ІІІ група

 

1. в₁ =4;     q =3.          Знайти: в₂.

2. в₁ = -12,  в₂ = -4       Знайти:q.

3. в₁ = 10;  q =2.         Знайти: в₆.

Відповіді записати в таблицю і відгадати зашифроване слово

 

1	2	3