Арифметична прогресія

Арифметична прогресія та її застосування.

 

  « Недостатньо мати добрий розум, головне –

це раціонально застосувати його».

Р. Декарт

 

     Хід  уроку

І. Постановка мети і завдань уроку                            

                                                                

                      Організація класу до уроку

 

Вчитель: Шановні учні! Ми завершуємо з вами вивчати тему                                  «Арифметична прогресія». Мета нашого уроку – узагальнити і систематизувати знання з теми. Повторити означення арифметичної  прогресії. Перевірити знання формул по даній темі. Показати вміння використовувати ці знання при розв’язувані вправ. Показати практичне застосування теми на прикладах життєвих ситуацій.

Тип уроку :  Урок застосування знань, умінь і навичок 

 

 Завдання уроку: повторити означення, властивості, формули з теми «Арифметична  прогресія»; розв’язати задачі практичного змісту на  застосування арифметичної т прогресії.                                      

 Запишіть число і тему уроку. 

23 лютого

Класна робота

Арифметична прогресія та ії застосування

 

ІІ.   а) Актуалізація опорних знань учнів  ( усне опитування)

1. Яку послідовність називають арифметичною прогресією?
2. Як позначають  арифметичну прогресію ?
3. Яке число називають різницею арифметичної прогресії?
4. Яка характерна властивість арифметичної прогресії?
5.  Записати формулу n -го члена арифметичної прогресії.
6. Записати формули суми n перших членів арифметичної прогресії, якщо відомо ії перший і останній член.
7. Записати формули суми n перших членів арифметичної прогресії, якщо відомо ії перший член і різниця.

ІІІ.   Виконання  учнями тестів.

а) ( у формі  бліц-опитування  Learningapps.org) Знайди пару

б)  Усне розв’язування вправ ( презентація)

1. Назвати три наступні члени  арифметичної прогресії:

1; 6; 11; …

2. Чи буде  дана послідовність арифметичною прогресією?

1,5;   2;   2,5;  3;   4 …

3. Знайти різницю  арифметичної  прогресії:

-3;  -5;  -7;  -9;  -11…

4.  Знайти невідомий член прогресії :

             1,4;  х;  1,8;  2; …

5.    a₁ = 3,  d=2.  Знайти  11-й  член арифметичної прогресії.

      6.  Знайти суму перших двадцяти  натуральних чисел.

               Девіз:   «…покажи мені -  і я запам’ятаю, дай мені діяти самому – і я навчусь…»                        

                                китайська мудрість

б)  Тест в онлайн режимі на сайті “ На урок”

 

ІV.   Перевірка домашнього завдання (діти групами  презентують розв’язки задач)

 

Вчитель: Перші задачі на прогресії пов'язані із запитами господарського життя і суспільної практики: розподіл спадщини, куплі — продажу, одержання винагороди, із спостережень над явищами природи, з досліджень суспільно-економічних явищ.

Дослідженням арифметичної прогресії та складанням відповідних задач займалося багато любителів математики протягом багатьох століть. На домашнє завдання учні були розділені на три групи, мали розв’язати задачі історичного характеру і  зробити повідомлення. Представник із кожної групи робить презентацію «Цікавої задачі».

 

І група

Історична довідка. Задача Феофана Прокоповича

Якась людина мала багато коней, і всім їм різна ціна. Найгірший кінь коштував 4 золотих, а найкращий 55 золотих, і ціна від одного до другого весь час піднімається на 3 золотих.

Питання: скільки усього було коней?

 a₁ =4,   d = 3,   a_n = 55,  n -?            

  a_n = a₁ + d(n – 1),

55 = 4 + 3 ( n -1)

55 - 4 + 3 = 3n

n = 54 : 3

n = 18

Відповідь.     18 коней.

 

 ІІ група

Історична довідка «Карл Гаусс і його заслуги».

 Цікавий епізод з життя німецького математика К.Ф.Гаусса (1777-1855).

Коли йому було 9 років, учитель, прагнучи надовго зайняти дітей, задав на уроці наступну задачу:

“Порахувати суму всіх натуральних чисел від 1 до 100”

 Гаусс через хвилину викрикнув: “Я вже розв'язав”. У зошиті хлопчика  було тільки одне число, але зате вірне.

 

Розв’язання:

І спосіб: 1+2+3+4+…+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101x50=5050.

ІІ спосіб: a₁ =1,     a₁₀₀ = 100,  S₁₀₀ - ? 
S_{100 =} 1/2 ( а_{1 +} а₁₀₀ )·n

 S_n = 1/2 (1+100)·100=5050

Відповідь: 5050

 

 Вчитель : Із цього факту відбулася проста формула арифметичної прогресії

 

ІІІ група  Історична задача   

Чоловік продавав коня. Просив за нього 20 рублів. Купець, який забажав  купити коня, обурився, що дорого.  «Добре, - відповів продавець. Бери коня даром , а мені заплати тільки за цвяхи , на його підковах. А цвяхів у всякій підкові 6. І будеш ти мені платити за них у такий спосіб: за перший цвях – 10 коп., за другий – 20 коп., за третій цвях  - 30 коп. і.. т.д.» Купець, подумавши,  що заплатить набагато менше, чим 20 рублів, погодився.

 Чи проторгувався  покупець?

Розв’зання

a₁ =10,   d = 10,  n = 4*6=24,    S_n =?

S₂₄= 1/2*(2*10+10*(24-1))*24=1/2*250*24=3000 (коп)

Відповідь.  Проторгувався на 10 рублів, заплативши 30 руб.

 

 

V. Розв’язування задач. ( метод « Навчаючи- вчусь»)

 

Задачі по групам по сесійним залам на дошці “jamboard”

У нашім житті таких задач зустрічається дуже багато в різних галузях науки. Розв’яжемо  задачі  прикладного характеру

 

1.  Штангіст підіймає штангу вагою 45кг. З кожною наступною

спробою вага штанги збільшується на 5кг. Скільки кг підіймає штангист за  сьому  спробу ?

Відповідь.     75 кг

2.  Тіло під час вільного падіння за першу секунду проходить 4,9 м, а за кожну наступну – на 9,8 м більше, ніж за попередню. Який шлях пройде тіло, що вільно падає, за шосту секунду після початку падіння?

Відповідь. 53,9  м

3.  Гальмуючи, автомобіль за першу секунду проїхав 15 м, а за кожну наступну – на 3 м  менше, ніж за попередню. Знайдіть гальмівний шлях автомобіля.

Відповідь. 45 м

4.  Бігун за першу хвилину бігу пробіг 400 м, а за кожну наступну

хвилину пробігав на 5 м менше, ніж за попередню. Який шлях пробіг він за 20 хвилин ?

Відповідь.     7050 м

 5.  Батьки до дня народження свого сина Андрія вирішили купити

мобільний телефон. Для цього вони в перший місяць відклали 650

гривень, а кожного наступного місяця вони відкладали на 50 гривень

більше, ніж у попередній. Яка сума грошей буде у батьків Андрія

через рік?

Відповідь.     11100 грн

6. Людям, які копають криницю, обіцяно заплатити за перший метр 300 грн, а за кожний наступний на 200 грн більше, ніж за попередній метр. Яку суму грошей вони одержать, коли викопають 12-метрову криницю.

Відповідь. 16800 м.

VІ. Обговорення виступів

Намалюйте прапорець, де ви знаходитесь: біля підніжжя гори, на середині шляху або підкорили чергову математичну вершину

 

 

VIІ. Підсумок уроку

Учні висловлюють свої враження від виступів, аналізують їх, вносять доповнення, роблять поправки.

Вчитель  підсумовує учнівські виступи та доповнення до них, вказує на культуру математичного мовлення і мовлення взагалі, на лаконічність та ясність виступів та відповідей на запитання.