Арифметична прогресія. Формула п-го члена арифметичної прогресії.

Тема уроку. Арифметична прогресія. Формула п-го члена арифметичної прогресії.

Мета уроку: домогтися засвоєння учнями: означення арифметичної прогресії, відповідної термінології (різниця арифметичної прогресії); рекурентної формули та основних властивостей арифметичної прогресії (включаючи характеристичну влас­тивість). Виробити вміння: відтворювати зміст вивчених понять, а також використовувати їх для розв'язування задач, що передбачають виділення арифметичної про­гресії серед інших числових послідовностей, використання рекурентної формули арифметичної прогресії, а також використання її властивостей.

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект № 29.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Для з'ясування рівня засвоєння учнями змісту понять по­переднього уроку вчитель пропонує їм виконати тестові завдан­ня [9, тест 19] з наступною перевіркою і корекцією.

III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Для усвідомлення учнями необхідності виділення та подаль­шого вивчення властивостей послідовностей, винесених у тему уроку, можна запропонувати їм виконати вправу на порівняння або логічну вправу на виключення зайвого.

Після виконання таких вправ учні усвідомлюють, що серед не­скінченної кількості різних за видами числових послідовностей, крім названих на попередньому уроці видів, можна виділити (за іншими критеріями) інші види. Серед них окремо стоять послідов­ності, у яких наступний член дорівнює попередньому члену, дода­ному до того самого числа. Після такого умовиводу формулюється основна дидактична мета уроку: вивчити означення, дати назву та дослідити властивості таких послідовностей і їх застосування.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів
Усні вправи

1. Дано скінченну послідовність: (х_п): 3; 0; -3; -6; -9; -12.
   Укажіть:

1) перший, третій, шостий члени цієї послідовності;

2) чи є ця послідовність зростаючою, спадною;

3) формулу її п-го члена.

2. Послідовність (а_п) задана формулою а_п = 3п – 1. Укажіть:

1) а₁, а₂, а₃;

2) номер члена, який дорівнює 26;

3) чи є членом цієї послідовності число 47; 58?

3. Розв'яжіть рівняння:

1) х = ; 2) х² – 3х = 0; 3) х² – 2х +1 = 0; 4) х² – 3х – 4 = 0; 5) = 0.

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1. Означення арифметичної прогресії. Різниця арифметичної про­гресії.
2. Рекурентна формула арифметичної прогресії.
3. Властивості арифметичної прогресії:

1) характеристична властивість арифметичної прогресії;

2) сума членів скінченної арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців;

3)* теорема про задання арифметичної прогресії формулою a_n = kn + b, де k, b — деякі числа.

Опорний конспект № 29

Методичний коментар

Вивчення матеріалу уроку починається з формулювання озна­чення арифметичної прогресії (учні підготовлені до його сприй­няття на попередньому етапі уроку), у якому слід звернути увагу учнів на словосполучення «починаючи з другого», а також на те, що число, яке додається до кожного члена, починаючи з другого, є сталим для даної арифметичної прогресії, при цьому воно може бути яким завгодно (додатним або від'ємним; цілим або дробовим; воно може дорівнювати навіть 0; це бажано проілюструвати вели­кою кількістю прикладів). Після цього формулюється уявлення про зміст поняття «різниця арифметичної прогресії» та записуєть­ся відповідна формула. Далі традиційно записується рекурентна формула арифметичної прогресії, яка напряму випливає з озна­чення арифметичної прогресії.

Для розв'язування багатьох прикладних задач важливи­ми є властивості арифметичної прогресії, зокрема характерис­тична властивість (хоча програма з математики не дає її серед обов'язкових знань у цій темі). Також не обов'язковою, проте ці­кавою для застосування є теорема про задання арифметичної про­гресії формулою a_n = kn + b, де k, b — деякі числа. Тому, якщо дозволяють особливості класу, можна запропонувати названі влас­тивості арифметичної прогресії розглянути як додатковий матеріал.

VI. Формування вмінь
Усні вправи

1.  Знайдіть третій член і різницю арифметичної прогресії:
   1) 2; 7; 12; ...; 2) 6; 5,5; 5; ...; 3) 0,7; 1; 1,3; ...;  4) -9; -7; -5; ... .
2. Знайдіть перші чотири члени арифметичної прогресії (а_п), у якої:

1) a₁ = 5, d = 2; 2) a₁ = 7, d = -2.

3. Знайдіть четвертий член арифметичної прогресії:

1) 7; 11; 15; ...;  2) 13; 10; 7; ... .

4. Знайдіть пропущений член арифметичної прогресії:

1) 1; а₂; 7; а₄; ...;  2) a₁; 5; 3; ... .

Письмові вправи

Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв'язати завдан­ня такого змісту:

1. серед запропонованих послідовностей вибрати арифметичні прогресії;
2. указати п-й член та різницю арифметичної прогресії, заданої переліком її перших членів;
3. за рекурентною формулою знайти кілька перших членів ариф­метичної прогресії;
4. вправи на використання властивостей арифметичної прогресії;
5. на повторення: вправи на розв'язування раціональних рівнянь.

Методичний коментар

При розв'язуванні вправ крім закріплення термінології та фор­мул, що виражають властивості, проводиться відпрацювання та­ких ключових моментів: як перевірити, чи є задана послідовність арифметичною прогресією (за означенням, або за характеристич­ною властивістю, або за теоремою, залежно від умови); як знайти різницю арифметичної прогресії (від будь-якого члена, починаючи з другого, відняти попередній до нього член); як знайти член, на­ступний за даним членом арифметичної прогресії (знайти різницю арифметичної прогресії й додати її до даного члену).

VII. Підсумки уроку

Контрольні запитання

1. Що називається арифметичною прогресією? Наведіть приклади.
2. Як знайти різницю арифметичної прогресії?
3. Сформулюйте властивості арифметичної прогресії.

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити означення понять, розглянутих на уроці (див. опо­рний конспект № 29).
2. Розв'язати вправи, аналогічні за змістом та рівнем складності виконаним на уроці.
3. Повторити схему розв'язування задач складанням математич­ної моделі.