Арифметична прогресія. Формула п-го члена арифметичної прогресії.

Тема уроку. Арифметична прогресія. Формула п-го члена арифметичної прогресії.

Мета уроку: закріпити знання учнів про зміст означення та супутніх понять арифметичної прогресії, а також про її основні властивості. Доповнити ці знання знанням формули п-го члена арифметичної прогресії. Закріпити вміння: вирізняти арифметичну прогресію серед числових послідовностей, відшукувати різницю арифметичної прогресії, перші чле­ни арифметичної прогресії, а також використовувати властивості арифметичної прогресії. Сформувати вміння записувати формулу п-го члена арифметичної прогресії, а також розв'язувати різні за змістом задачі на викорис­тання цієї формули.

Тип уроку: доповнення і закріплення знань, відпрацювання вмінь та навичок.

Наочність та обладнання: опорний конспект № 30.

Хід уроку

І. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Для усвідомленої роботи учнів на цьому етапі уроку можна провести перевірку домашнього завдання за зразком.

Інший варіант проведення цього етапу уроку — виконання тестових завдань (див. нижче) з наступною перевіркою та обго­воренням результатів їх виконання, що дозволить повторити зміст основних понять попереднього уроку, а також схеми застосування вивчених на цьому уроці понять для розв'язування типових задач.

Тестові завдання

1. 1. Яка з наведених послідовностей є арифметичною прогресією?
   а) 1; 3; 5; 8;  б) 10; 7; 4; 1; в) 2; 6; 11; 15; г) 4; -5; 6; -7.
2. Перший член арифметичної прогресії дорівнює -3, а різни­ця 2. Чому дорівнює другий член цієї прогресії?

а) 7;   б) 9;   в) -1;   г) 5.

3. Знайдіть різницю арифметичної прогресії (а_п), якщо а₂ = 3, а₃ = -3.

а) -2;   б) -6;   в) 2;   г) 6.

4. Чому дорівнює різниця арифметичної прогресії (а_п), якщо а₂ = 4 , а₄ = 28.

а) -12;  б) 12;   в) 4;   г) .

III. Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів

Для усвідомлення учнями необхідності вивчення формули п-го члена арифметичної прогресії та подальшого її застосування можна запропонувати їм виконати таку вправу: знаючи перший член та різницю арифметичної прогресії, знайти її деякий член (номер якого є достатньо великим). Усвідомивши нераціональність розв'язування задачі відомим учням способом (через застосування рекурентної формули), вони приходять до запитання: чи не існує способу знаходження будь-якого члена арифметичної прогресії без необхідності знаходити попередні кілька її членів? Пошук відпо­віді на це запитання — основна мета уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1. Дана скінченна послідовність: 2; -1; -4; -7; -10; -13.

1) Перевірте, чи є ця послідовність арифметичною прогресією.

2) Назвіть її перший член та різницю.

3) Задайте її рекурентною формулою.

4) Продовжіть її ще трьома числами, які разом із даними утворювали б арифметичну прогресію.

2. Яка з даних послідовностей (х_п) є арифметичною прогресію:

1) х_п = 2п + 5;  2) х_п = 3п² + 6п;   3) х_п = ?

Для арифметичної прогресії знайдіть перші три члени та різ­ницю.

V. Доповнення знань

План вивчення нового матеріалу

1. Формула п-го члена арифметичної прогресії.
2. Приклади застосування виведеної формули.

Опорний конспект № 30

Методичний коментар

Єдиний новий момент, який додається до вивчених на попере­дньому уроці означення та властивостей арифметичної прогресії,— це формула п-го члена арифметичної прогресії, яка виводиться че­рез означення і сама надалі буде основою для виведення формули суми п перших членів арифметичної прогресії. Як процес отриман­ня цієї формули, так і способи застосування її для розв'язування задач, а також ситуації, у яких ця формула «працює», не зміни­лися в порівнянні з попередніми роками. Приблизний зміст на­вчального матеріалу вміщено в опорний конспект № 30.

VI. Відпрацювання вмінь

Усні вправи

1. Знайдіть а₁ і d за формулою п-го члена арифметичної прогре­сії (а_п):

1) а_п = 1 + 3(п – 1);  2) а_п = 0,1 – 3(п – 1).

2. Запишіть формулу першого члена арифметичної прогресії, у якої:

1) а₁ = 2; d = -3; 2) а₁ = 0,5; d = ; 3) а₁ = -0,2; d = -2.

3. Для деякої арифметичної прогресії запишіть формулу її 10-го члена; 21 члена; п + 1 члена.

Письмові вправи

Зміст письмових вправ уроку може бути таким:

1. задачі на пряме застосування формули п-го члена арифметич­ної прогресії, у якої задано перший член та різниця або яка задана переліком перших кількох своїх членів;
2. знайти п-й член, якщо відомі кілька перших членів арифме­тичної прогресії;
3. знайти номер деякого члена арифметичної прогресії або пере­вірити, чи є дане число членом арифметичної прогресії;
4. прикладні задачі на застосування означення арифметичної про­гресії та формули її n-го члена.

Методичний коментар

Зміст вправ та мета, якої добивається вчитель при розв'язування цих вправ, такі самі, як і на попередньому уроці: закріплення озна­чення та формули, вивчених на цих уроках, а також вироблення оперативних умінь із застосування формул при розв'язуванні задач в різних ситуаціях. (Якщо дозволяють успіхи учнів, підвищується рівень складності задач за рахунок задач на застосування власти­востей арифметичної прогресії.)

VI. Підсумки уроку

Контрольні запитання

1. Який вигляд має формула п-го члена для арифметичної про­гресії, у якої: 1) b_п членів; 2) х_n членів.
2. Відомо, що (а„) — арифметична прогресія. Заповніть пропуски так, щоб рівності стали правильними:

1) a_n =... + d ...;  2) d = ;  

3) а₁ = а_п –  ...(п – 1);  4) п = 1 + .

VII. Домашнє завдання

1. Вивчити зміст матеріалу за опорними конспектами № 29, 30.
2. Виконати самостійну роботу (див. нижче) за варіантом, указа­ним учителем.

Самостійна робота

Варіант 1

Розв'яжіть задачі.

1. Знайдіть перші чотири члени арифметичної прогресії (а_n), якщо а₁ = 1,2,  d = -0,l.
2. Знайдіть різницю і сотий член арифметичної прогресії (а_п): 2,7; 3,1; 3,5; ... .
3. Між числами -4 і 5 вставте п'ять таких чисел, щоб вони разом із даними числами утворювали арифметичну прогресію.
4. Дана арифметична прогресія: 2; 1,8; 1,6; ... . Знайдіть її най­більший від'ємний член.

Варіант 2

Розв'яжіть задачі.

1. Знайдіть перші чотири члени арифметичної прогресії (а_n), якщо a₁ = -1,2, d = 0,3.
2. Знайдіть різницю і сотий член арифметичної прогресії (а_п): 5,4; 4,8; 4,2; ... .
3. Між числами -3 і 11 вставте шість таких чисел, щоб вони ра­зом із даними числами утворювали арифметичну прогресію.
4. Дана арифметична прогресія: -3,6; -3,3; -3; ... . Знайдіть її найменший додатний член.