Числові послідовності. Арифметична та геометрична прогресії

Числові послідовності. Арифметична та геометрична прогресії. Матеріал для узагальнення та систематизації знань з теми

Числові послідовності1. Послідовність – функція, задана на множині натуральних чисел. Числа, які утворюють послідовність називаються членами послідовності. Приклади:1, 2, 3, 4 … - послідовність натуральних чисел;2, 4, 6, 8, … - послідовність парних чисел;0, 1, 2, 3, …, 9 – послідовність цифр; 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 – послідовність квадратів перших 10- ти чисел. -1, -2, -3, -4, … - послідовність від'ємних цілих чисел. Членам числової послідовності надають номер, який дорівнює відповідному числовому значенню n (позначають буквою з індексом). Член an зі змінним номером n називають загальним членом послідовності. 

Способи задання послідовності Числову послідовність можна задати такими способами: 1) аналітичним ( формулою n-го члена); 2) графічним;   3)табличним;4) описовим;5) рекурентним( рекурентна формула показує, як виражається наступний член через попередній). Наприклад: 𝑎𝑛= n + 4 – аналітичний;𝑎𝑛= 𝑎𝑛−1 + 2,  𝑎1=1,  𝑛∈N – рекурентна формула;Послідовність двоцифрових непарних чисел – задана описом. 

Табличний спосіб задання послідовності Зв'язок між номером члена n і самим членом послідовності 𝑎𝑛 можна задати у вигляді таблиці.   Наприклад: 

Графічний спосіб задання послідовності Наприклад, графіком послідовності an = 𝑛 є множина точок, зображених на рис. Абсцисами цих точок є натуральні числа 1, 2, 3 …, 9, а ординатами — відповідно 1 , 2, 3 … 9. 

Види числових послідовностей 1) Скінченна (кількість їх членів дорівнює певному натуральному числу) та нескінченна (кількість її членів, вказати не можна); 2)Зростаюча -  кожен її член, починаючи з другого, більший від попереднього( 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 ) та спадна - кожен її член, починаючи з другого, менший від попереднього ( 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 );Приклади: 1; 4; 9; 16; … - зростаюча нескінченна полідовність;1; 0; -1; -2; … - спадна нескінченна послідовність. 

Арифметична прогресія Означення. Арифметичною прогресією називається числова послідовність, кожний член, якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме число. Це постійне для заданої послідовності число d називається різницею арифметичної прогресії. Приклади2, 5, 8, 11, 14 – зростаюча арифметична прогресія (d = 3 > 0)18, 13, 8, 3, -2 – спадна арифметична прогресія (d = -5 < 0)Позначення𝑎1, 𝑎2 𝑎3, 𝑎3, …, 𝑎𝑛 −1, 𝑎𝑛,𝑎𝑛+1 - арифметична прогресія 𝑑=𝑎2 - 𝑎1 = 𝑎3 - 𝑎2 = … = 𝑎𝑛 - 𝑎𝑛−1  - різниця прогресії 

Формула n-го члена арифметичної прогресіїЯкщо (𝑎𝑛 ) – арифметична прогресія:a2= 𝑎1 +𝑑a3= 𝑎2 +𝑑= 𝑎1+2𝑑a4=𝑎3 +d=𝑎1+2𝑑+d=𝑎1+3𝑑 an= 𝑎1 +𝑑(𝑛−1) Формула n-го члена арифметичної прогресії

Приклад 1 Знайти дев’ятий член арифметичної прогресії (аn): 5; 4, 2; 3, 4; …Розв’язання. Маємо: а1= 5. Знайдемо різницю прогресії: d = 4,2 – 5 = -0,8. Тоді а9= а1 + 8d = 5 + 8 ∙ (-0,8) = -1,4 Приклади розв'язування задач. Приклад 2 Знайти перший член арифметичної прогресії (аn), в якій d = -2, а8= 93 Розв’язання. Використавши формулу n-го члена арифметичної прогресії для n = 8, дістанемо: 93 = а1 + 7∙ (-2). Звідси а1= 93 + 14 = 107. 

Формули суми перших n членів арифметичної прогресії Формули суми перших n членів арифметичної прогресії𝑆𝑛 = 𝑎1+𝑎𝑛2∙𝑛  𝑆𝑛 = 2𝑎1+𝑑(𝑛−1)2∙𝑛  Приклад. Знайти суму перших дев'яти членів арифметичної прогресії 𝑎𝑛: 3; 7; 11; …Маємо: а1= 3, d = a2 – a1 = 7 – 3 = 4. Знайдемо а9: а9 = 3 + 8 ∙ 4 = 35 За формулою (1) знаходимо:𝑆9 = 3+352∙9=171  (1) (2)

Геометрична прогресія Означення. Геометричною прогресією називається числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожний член, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те ж саме число, що не дорівнює нулю. Це постійне для заданої послідовності число q називається знаменником геометричної прогресії. Приклади2, 6, 18, 54, 162, … ( q = 3);8, -2, 1/2, -1/8, 1/32, … ( q = -1/4) – геометричні прогресіїПозначенняb1 , b2, b3, …, bn-1, bn, bn+1 – геометрична прогресія 𝑞=𝑏2𝑏1=𝑏3𝑏2=…=𝑏𝑛𝑏𝑛−1 – знаменник прогресії

Формула n-го члена геометричної прогресії1. Якщо (bn) – геометрична прогресія зі знаменником 𝑞≠0, то 𝑏𝑛=𝑏1∙𝑞𝑛−1− формула n-го члена. 𝑏1= 𝑏𝑛𝑞𝑛−1,    𝑞𝑛−1=𝑏𝑛𝑏1 Приклад 1 Знайти шостий член геометричної прогресії 𝑏𝑛:15;1;5…Маємо: 𝑏1=15;𝑞=5÷1=5. Тоді 𝑏6=𝑏1∙𝑞5=15∙55=54=625 Приклад 2 Знайти перший член геометричної прогресії (𝑏𝑛), якщо 𝑏7=32, 𝑞=−2. Використавши формулу 𝑏𝑛=𝑏1∙𝑞𝑛−1для n = 7, одержимо32= 𝑏1∙(−2)6;     𝑏1=32 :64;  𝑏1=0,5. 

Формули суми перших n членів геометричної прогресіїЯкщо (bn) – геометрична прогресія зі знаменником 𝑞≠0, Sn – сума її перших n членів, то:  (1)𝑆𝑛=𝑏1𝑞−1𝑞−1=𝑏1−𝑏𝑛𝑞1−𝑞 (2)𝑆𝑛=𝑏1(𝑞𝑛−1)𝑞−1=𝑏1(1−𝑞𝑛)1−𝑞 Приклад. Знайти суму перших восьми членів геометричної прогресії (bn): 3; -6; 12; …Розв'язання: Маємо: 𝑏1=3;𝑞= −63=−2, тоді за формулою 𝑆𝑛=𝑏1(1−𝑞𝑛)1−𝑞знаходимо 𝑆8=3 (1−(−2)8)1+2=−225. 

Література. Бабенко С. П. Усі уроки алгебри. 9 клас. - Х.: Вид. Група «Основа», 2009. – 304 с. – Серія «12 – річна школа»). Мерзляк А. Г. Алгебра : підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. - Х. : Гімназія, 2017. – 272 с. : іл. Усі уроки алгебри. 9 клас. – Харьків: Вид. Група «Основа», 2009. – 304 с.

Дякую за увагу!