Сума нескінченної геометричної прогресії, для якої |q|

Тема. Сума нескінченної  геометричної прогресії, для якої .

Мета. Ознайомити учнів із нескінченно спадною геометричною прогресією Ввести поняття суми нескінченно геометричної прогресії, вивести формулу для її знаходження Формувати вміння застосовувати виведену формулу при розв’язуванні вправ.

Завдання:

Навчальні:  

                       - відтворити знання про геометричну прогресію і її      види, вміння знаходити знаменник, n-ий член, суму перших n членів геометричної прогресії;

                       -  довести формулу суми нескінченної геометричної прогресії, у якої  і використовувати її при розв’язуванні вправ.

Розвивальні:

                     -  розвивати увагу, мислення, пам'ять, культуру математичного мовлення;

                     -  вміння працювати самостійно, в  парах; вміння спілкуватися, допомагати іншим, оцінювати свої дії та дії інших учнів;

                     - сприяти розвитку комунікативної, інформаційної, соціальної компетентностей;

Виховні:

                     - виховувати уважність, кмітливість, акуратність, працьовитість, самокритичність.

Хід уроку

І. Вступне слово вчителя

Добрий день, діти! Наш урок я хотіла б почати зі слів   Е. Ільєнкова:

«Досягнення успішного результату

 при розв’язуванні задач – зовсім

не привілей математики.  

Усе людське життя – це не що інше,

 як постійне бажання досягти успіху

під час розв’язування все нових

 питань та проблем ».

 Як досягти успіху ?  Це  питання  постає  перед  нами  практично  щодня.              І як доречно  буде  вам  винести  зі  школи  не  тільки  багаж  теоретичних знань та практичних умінь, а й деякі рецепти досягнення успіху. Тому я пропоную  вам  не  тільки  попрацювати  з  математичним  матеріалом, а  й відповісти  на  запитання — що  саме  допоможе нам досягти успіху, та поповнити  свій  життєвий  досвід  щодо  цього.

 Підготуємо наші зошити до роботи. Хочу нагадати, що під час роботи з діловими паперами запорукою успіху є охайне, старанне ставлення до цієї роботи.

    ІІ. Актуалізація опорних знань

 Математик М. Єругін сказав таке «… Нескінченне міститься і в скінченному.»  Давайте переконаємося, чи це можливо. Для цього пригадаємо знання, які будуть нам потрібні.

• (повторення теоретичного матеріалу)

    - Яку тему ми вивчали на попередніх уроках? 

    -  Геометричною прогресією називається …….

    -  n-ий член геометричної прогресії дорівнює……. Що ще можна знайти з цієї формули і за якої  умови?

    -  Сума перших n членів геометричної прогресії обчислюється за формулою……. А з цієї формули можна знайти щось іще? І за якої  умови?

• Назвіть знаменник і наступні два члени геометричної прогресії:

• ;
• 3 ;9;…….;
• 

Охарактеризуйте кожну з послідовностей.

 ІІІ. Мотивація 

Тепер, подумаємо над такою задачею.

Вам потрібно пройти від першої парти до дошки, відстань між якими дорівнює 3 м, виконуючи такі умови: 1-й крок дорівнює 1 м, другий — м,  третій — м і т. д.,  тобто кожний наступний крок у 2 рази менший від попереднього. Чи вдасться вам це зробити?

Якщо діти погоджуються (не погоджуються) прошу пояснити свою відповідь. Після, аналізуємо задачу.

• Що утворюють довжини кроків, які потрібно зробити?

()

• А що потрібно зробити з членами цієї нескінченно спадної геометричної прогресії?(Знайти суму)

IV. Повідомлення теми уроку

 Отже, тема сьогоднішнього уроку:

Сума нескінченної  геометричної прогресії, в якої  

 Досягти успіху можна тільки тоді, коли є певна мета. Тому скористаємося такою таблицею:

 Учні в парах обговорюють, що вони знають з цієї теми і записують у своїх зошитах. Вчитель  записує їх варіанти у першу колонку за допомогою методу-коло ідей). Пізніше, знову в парах, обговорюють запитання, на які вони хотіли б отримати відповідь. Варіанти вчитель   записує  у другу колонку.

1. Опрацювання нового матеріалу

Тепер пропоную  попрацюємо над тим, що ви хочете дізнатися.

Нехай задана геометрична прогресія 

,

 із знаменником  /q/. Знайдемо суму перших n членів :

,     бо  .

Таким чином, сума нескінченної геометричної прогресії дорівнює

.

 Розглянемо  квадрат зі стороною 1 од.   Чому дорівнює площа цього квадрата? Візьмемо його половину, потім половину частини, що залишилась,і  т. д.  Чому дорівнюватиме  сума цих площ ?

VІ. Відпрацювання нового матеріалу

Повертаємось до проблеми.

(м).

Відповідь:не вдасться, бо сума довжин кроків дорівнює 2м.

Розв’язування вправ:

     Щоб кожний міг з упевненістю сказати, що він досяг успіху, необхідно попрацювати над розв’язуванням завдань самостійно. Давня китайська мудрість говорить «…покажи мені -  і я запам’ятаю, дай мені діяти самому -  і я навчуся…».  Ще для досягнення успіху в житті важливим є наявність друзів і партнерів, тому, працюючи самостійно, ви в разі потреби можете скористатися допомогою сусіда по парті, тобто працювати в парі.

(По рядах і в парах)

1. Знайти суму нескінченної геометричної прогресії:

І ряд:   2. Знайти четвертий член нескінченної геометричної прогресії, сума якої дорівнює 18, а знаменник дорівнює  .

ІІ ряд:   2.Знайти третій член нескінченної геометричної прогресії, сума якої дорівнює 21, а знаменник дорівнює  .

ІІІ ряд:  2. Знайти п’ятий  член нескінченної геометричної прогресії, сума якої дорівнює - 24, а знаменник дорівнює  .

1.              Сума нескінченної геометричної прогресії дорівнює 27, а сума перших трьох її  членів дорівнює 35. Знайти перший член і знаменник прогресії.

2. Домашнє завдання   

 Отже, працюючи разом, маючи поряд надійних партнерів, ми досягли успіху. Але в житті і в навчанні  треба вміти працювати без допомоги. Тому продовжувати працювати над використанням формули суми нескінченної геометричної прогресії ви будете дома. Під час виконання домашнього завдання.                                            

Параграф 18.  Вправи  №  297,306,304.

   VIII. Рефлексія

Пропоную учням оцінити результати уроку, відповівши на запитання:

• Що ми сьогодні вивчили на уроці?
• Чи досягли мети уроку?