Тема. Сума нескінченної геометричної прогресії, для якої .
Мета. Ознайомити учнів із нескінченно спадною геометричною прогресією Ввести поняття суми нескінченно геометричної прогресії, вивести формулу для її знаходження Формувати вміння застосовувати виведену формулу при розв’язуванні вправ.
Завдання:
Навчальні:
- відтворити знання про геометричну прогресію і її види, вміння знаходити знаменник, n-ий член, суму перших n членів геометричної прогресії;
- довести формулу суми нескінченної геометричної прогресії, у якої і використовувати її при розв’язуванні вправ.
Розвивальні:
- розвивати увагу, мислення, пам'ять, культуру математичного мовлення;
- вміння працювати самостійно, в парах; вміння спілкуватися, допомагати іншим, оцінювати свої дії та дії інших учнів;
- сприяти розвитку комунікативної, інформаційної, соціальної компетентностей;
Виховні:
- виховувати уважність, кмітливість, акуратність, працьовитість, самокритичність.
Хід уроку
І. Вступне слово вчителя
Добрий день, діти! Наш урок я хотіла б почати зі слів Е. Ільєнкова:
«Досягнення успішного результату
при розв’язуванні задач – зовсім
не привілей математики.
Усе людське життя – це не що інше,
як постійне бажання досягти успіху
під час розв’язування все нових
питань та проблем ».
Як досягти успіху ? Це питання постає перед нами практично щодня. І як доречно буде вам винести зі школи не тільки багаж теоретичних знань та практичних умінь, а й деякі рецепти досягнення успіху. Тому я пропоную вам не тільки попрацювати з математичним матеріалом, а й відповісти на запитання — що саме допоможе нам досягти успіху, та поповнити свій життєвий досвід щодо цього.
Підготуємо наші зошити до роботи. Хочу нагадати, що під час роботи з діловими паперами запорукою успіху є охайне, старанне ставлення до цієї роботи.
ІІ. Актуалізація опорних знань
Математик М. Єругін сказав таке «… Нескінченне міститься і в скінченному.» Давайте переконаємося, чи це можливо. Для цього пригадаємо знання, які будуть нам потрібні.
- Яку тему ми вивчали на попередніх уроках?
- Геометричною прогресією називається …….
- n-ий член геометричної прогресії дорівнює……. Що ще можна знайти з цієї формули і за якої умови?
- Сума перших n членів геометричної прогресії обчислюється за формулою……. А з цієї формули можна знайти щось іще? І за якої умови?
Охарактеризуйте кожну з послідовностей.
ІІІ. Мотивація
Тепер, подумаємо над такою задачею.
Вам потрібно пройти від першої парти до дошки, відстань між якими дорівнює 3 м, виконуючи такі умови: 1-й крок дорівнює 1 м, другий — м, третій — м і т. д., тобто кожний наступний крок у 2 рази менший від попереднього. Чи вдасться вам це зробити?
Якщо діти погоджуються (не погоджуються) прошу пояснити свою відповідь. Після, аналізуємо задачу.
()
IV. Повідомлення теми уроку
Отже, тема сьогоднішнього уроку:
Сума нескінченної геометричної прогресії, в якої
Досягти успіху можна тільки тоді, коли є певна мета. Тому скористаємося такою таблицею:
Що ми знаємо? |
Чого хочемо дізнатися? |
Що дізналися? |
|
|
|
Учні в парах обговорюють, що вони знають з цієї теми і записують у своїх зошитах. Вчитель записує їх варіанти у першу колонку за допомогою методу-коло ідей). Пізніше, знову в парах, обговорюють запитання, на які вони хотіли б отримати відповідь. Варіанти вчитель записує у другу колонку.
Тепер пропоную попрацюємо над тим, що ви хочете дізнатися.
Нехай задана геометрична прогресія
,
із знаменником /q/. Знайдемо суму перших n членів :
, бо .
Таким чином, сума нескінченної геометричної прогресії дорівнює
.
Розглянемо квадрат зі стороною 1 од. Чому дорівнює площа цього квадрата? Візьмемо його половину, потім половину частини, що залишилась,і т. д. Чому дорівнюватиме сума цих площ ?
VІ. Відпрацювання нового матеріалу
Повертаємось до проблеми.
(м).
Відповідь:не вдасться, бо сума довжин кроків дорівнює 2м.
Розв’язування вправ:
Щоб кожний міг з упевненістю сказати, що він досяг успіху, необхідно попрацювати над розв’язуванням завдань самостійно. Давня китайська мудрість говорить «…покажи мені - і я запам’ятаю, дай мені діяти самому - і я навчуся…». Ще для досягнення успіху в житті важливим є наявність друзів і партнерів, тому, працюючи самостійно, ви в разі потреби можете скористатися допомогою сусіда по парті, тобто працювати в парі.
(По рядах і в парах)
І ряд: 2. Знайти четвертий член нескінченної геометричної прогресії, сума якої дорівнює 18, а знаменник дорівнює .
ІІ ряд: 2.Знайти третій член нескінченної геометричної прогресії, сума якої дорівнює 21, а знаменник дорівнює .
ІІІ ряд: 2. Знайти п’ятий член нескінченної геометричної прогресії, сума якої дорівнює - 24, а знаменник дорівнює .
Отже, працюючи разом, маючи поряд надійних партнерів, ми досягли успіху. Але в житті і в навчанні треба вміти працювати без допомоги. Тому продовжувати працювати над використанням формули суми нескінченної геометричної прогресії ви будете дома. Під час виконання домашнього завдання.
Параграф 18. Вправи № 297,306,304.
VIII. Рефлексія
Пропоную учням оцінити результати уроку, відповівши на запитання: