Допоміжний матеріал до уроку «Скалярний добуток векторів»

Допоміжний матеріал до уроку «Скалярний добуток векторів»

Дорогі десятикласники!

Розв’яжемо декілька оригінальних задач на застосування скалярного добутку векторів.

Задача 1. Дано вектори (2; 4;– 3) і  (х; 1;  6). При яких значеннях х кут між векторами  і  :

1)гострий;     2) прямий;      3) тупий?

Відповіді на ці питання дає поняття скалярного добутку векторів: якщо він додатний, то кут – гострий (бо cos 0), якщо від’ємний, то кут – тупий (бо cos 0), і, якщо він дорівнює 0, то ці вектори перпендикулярні, тобто кут між ними – прямий.

Отже,   * = 2х + 4*1 + (–3)*6 = 2х + 4 –18 = 2х – 14;

1). 2х – 14 0, 2х 14, х 7 – кут гострий.

2) 2х – 14 0,  2х 14, х 7 – кут тупий.

3) х = 7 – кут прямий.

Задача 2. Довести, що чотирикутник АВСД з вершинами

А(5; –3; 2), В(9; –1; 3), С(12; –5; –1), Д(8; –7; –2) – прямокутник.

Доведення: пригадуємо, що прямокутник – це паралелограм у якого всі кути прямі. Спочатку доведемо, що АВСД – паралелограм. Це можна зробити декількома способами: можна показати, що його діагоналі в точці перетину діляться пополам. Якщо після цього ми покажемо, що вони рівні, то АВСД – прямокутник (але все це можна зробити без застосування векторів).

   Покажемо, що = (тоді АВСД – чотирикутник у якого дві протилежні сторони паралельні й рівні, а, отже, за ознакою паралелограма АВСД паралелограм):

(9–5; –1+3; 3–2),   (12–8; –5+7; –1+2),

  ( 4;        2;     1),     (    4;       2;        1),

= , отже, АВСД – паралелограм.

Далі доведемо, що у нього є прямий кут, тобто доведемо, що

,  (8–5; –7+3; –2–2), (3; –4; –4). Знаходимо скалярний добуток векторів і :

* = 4*3 + 2*(–4) + 1*(–4) = 12 –8 –4 = 0.

Отже, АВСД – прямокутник.

Бажаю успіху!