Дослідницька робота з числом π

Про матеріал

Ця робота тісно пов'язана зі шкільною програмою, особливо під час вивчення тем з математики у 5,6 класах (коло, круг) тем з геометрії у 7-9 класах, де часто зустрічається число π, під час вивчення ірраціональних чисел на уроках алгебри у 8 класі.Новизна дослідження полягає в тому, щоб ознайомитися з елементами дослідницької роботи пошукового характеру, основою якої є спостереження,яке може призвести до відкриття, висловлювання гіпотез, встановлення деяких властивостей досліджуваного об'єкта. Ця робота скерована на поглиблення знань з історії виникнення ірраціональних чисел, понять кола, довжини кола, площі круга, процесу виведення та обчислення числа π.

Перегляд файлу

Відділ освіти виконавчого комітету Апостолівської міської ради

Широчанський навчально-виховний комплекс

Роботу виконували

учні 8 класу

Широчанського НВК

Вчитель математики

Капітонова С.С.

2017

Предмет дослідження:таблиця десяткових знаків числа π

Мета дослідження:розвиток дослідницьких навичок учнів

-ознайомити учнів з елементами дослідницької роботи пошукового характеру, основою якої є спостереження;

-формувати у школярів уміння до відкриття, висловлювання гіпотез, встановлення деяких властивостей досліджуваного об’єкта.

Результат дослідження: експериментально встановлено, що всі цифри 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 зустрічаються серед десяткових знаків числа π наближено з однаковою частотою.

Зміст

І.Вступ

ІІ.З історії розрахунків числа π

ІІІ. Експериментальна частина

ІV. Висновки

Предмет дослідження:таблиця десяткових знаків числа π

Об'єкт дослідження: таблиця десяткових знаків числа π

Мета дослідження:

Основні завдання дослідження:

1. Встановити, яка з цифра зустрічається найчастіше серед десяткових знаків числа π.

2.Знайти найбільший інтервал(найбільшу групу цифр) який не містить

- цифри 0;

-цифри 1;

-цифри 2;

-цифри 3;

-цифри4;

-цифри 5;

-цифри 6;

-цифри 7;

-цифри 8;

-цифри 9.

3.Встановити рівномірність їх розподілу

Зв'язок даної роботи зі шкільною програмою: ця робота тісно пов’язана зі шкільною програмою, особливо підчас вивчення тем з математики у 5,6 класах (коло, круг) тем з геометрії у 7-9 класах, де часто зустрічається число π, під час вивчення ірраціональних чисел на уроках алгебри у 8 класі.

Новизна дослідження:новизна дослідження полягає в тому, щоб ознайомитися з елементами дослідницької роботи пошукового характеру, основою якої є спостереження,яке може призвести до відкриття, висловлювання гіпотез, встановлення деяких властивостей досліджуваного об’єкта.

Практичне значення: ця робота скерована на поглиблення знань з історії виникнення ірраціональних чисел, понять кола, довжини кола, площі круга, процесу виведення та обчислення числа π.

Вступ

14 березня у всьому світі відзначається одне з самих цікавих та незвичайних свят – Міжнародний день математичної константи «Пі». Вперше цей День був відзначений у 1988 році в науково-популярному музеї Exploratorium в Сан-Франциско.
З числом “Пі” ми вперше стикаємося в молодших класах школи, коли тільки розпочинаємо вивчати коло та круг. Це незвичайне число π – математична константа. Вона виражає відношення довжини кола до довжини його діаметру. В цифровому вираженні число π починається як 3,141592 …далі має нескінченну тривалість.

Саме позначення числа “Пі” походить від початкової букви грецьких слів περιφέρεια, що означає периферія, оточення та περίμετρος, що означає периметр.

У повсякденних обчисленнях ми практично завжди користуємося спрощеним написанням числа, тобто залишаємо тільки дві цифри після коми – 3,14. Ось тут і криється секрет, чому саме 14 березня святкується день народження цього символу: 14 числа третього місяця.

Фахівці вважають, що ця константа було відкрита ще вавілонськими магами. Вона використовувалося в будівництві знаменитої Вавилонської вежі. А оскількі, числення значення «Пі» не дуже точне, то це призвело до краху всього проекту. Також, фахівці припускають, що ця константа також лежала в основі будівництва легендарного Храму царя Соломона.

ІІ.З історії розрахунків числа π

Число́ пі (позначається ) — математична константа, що визначається у Евклідовій геометрії як відношення довжини кола до його діаметра або як площа круга одиничного радіуса. Число виникло в геометрії як відношення довжини кола до довжини його діаметра, проте воно з'являється і в інших областях математики. Вперше позначенням цього числа грецькою літерою π скористався британський математик Джонс (1706), а загальноприйнятим воно стало після робіт Ейлера. Це позначення походить від початкової букви грецьких слів περιφέρεια — оточення, периферія та περίμετρος — периметр. Довжина кола дорівнює π, якщо його діаметр 1.

Оскільки π є ірраціональним числом, його не можна виразити дробом (або що те саме, його десяткове представлення є нескінченним та неперіодичним). Проте дроби такі як 22/7 і інші часто застосовуються для наближення числа π.

Стародавні цивілізації користувалися приблизним значенням числа π у практичних цілях. У V столітті н. е. китайські математики за допомогою геометричних методів обчислювали його до сьомого знаку після коми, а індійські - до п'ятого. Першою зручною формулою для наближеного обчислення числа π є формула, що ґрунтується на сумі збіжного числового ряду, яка називається формулою Ляйбніца.

Найраніші писемні наближені значення числа датуються майже 1900 роком д.н. е.; це 256/81 ≈ 3.160 (Єгипет) і 25/8 = 3.125 (Вавилон), обидва в межах 1 відсотка істинного значення. Індійський текст Шатапатха-Брахмана дає значення як 339/108 ≈ 3.139. Вважається, що у параграфі із книги Царів 7:23 і Хронік 4:2, в якому описується церемоніальний басейн у церкві Царя Соломона діаметром в десять ліктів і периметром в тридцять ліктів, йдеться про число приблизно рівним трьом, що певні вчені намагались пояснити через різні припущення такі як шестикутний басейн або вигнутий назовні обідок. Архімед (287—212 до н.е), можливо, першим запропонував метод обчислення математичним способом. Для цього він вписував у коло і описував біля нього правильні багатокутники. Приймаючи діаметр кола за одиницю, Архімед розглядав периметр вписаного багатокутника як нижню оцінку довжини кола, а периметр описаного багатокутника як верхню оцінку.

Птоломей в своєму Альмагесті дає значення 3.1416, яке він міг отримати в Аполлонія з Перги.

Близько 265 року н. е. математик Лю Хуей знайшов простий і точний спосіб ітераційного алгоритму розрахунку числа з будь-якою точністю. Він особисто довів розрахунок до 3072-кутника і отримав наближене значення ≈ 3.1416. Пізніше Лю Хуєй винайшов швидкий спосіб розрахунку і отримав наближене значення 3.14, провівши розрахунок тільки для 96-кутника та скористався з того факту, що різниця в площі між серією багатокутників утворюють геометричну прогресію кратну 4.

Близько 480 року китайський математик Цу Чунчжі продемонстрував. що ≈ 355/113 (≈ 3.1415929), і показав що 3.1415926 < 3 < 3.1415927, використавши алгоритм Лю Хуєйя довів розрахунок до 12288-кутника. Це значення залишалось найточнішим наближенням протягом 900 років.

В Індії Аріабхата і Бхаскара використовували наближення 62832/20000 = 3,1416

До другого тисячоліття н. е. число було розраховане з точністю не більшою ніж 10 цифр в записі числа. Наступний великий поступ у вивченні числа прийшов з розвитком нескінченних рядів і, відповідно, з відкриттям математичного аналізу, що дозволило розраховувати з будь-якою бажаною точністю розглядаючи необхідну кількість членів такого ряду.

Настанням епохи цифрових комп'ютерів в 20-му столітті призвело до зростання кількості нових рекордів в розрахунку числа . Джон фон Нейман та його команда використали ENIAC щоб розрахувати 2037 цифр числа 1949 року, цей розрахунок тривав 70 годин. Додаткові тисячі десяткових розрядів отримали в наступні десятиріччя, а рубіж в мільйон цифр перетнули в 1973 році. Прогрес був спричинений не тільки швидшими комп'ютерами, але й новими алгоритмами. Один з найзначніших проривів було відкриття швидкого перетворення Фур'є в 1960-х, що дало можливість комп'ютерам робити швидко арифметичні дії з надзвичайно великими числами.

На початку 20-го століття індійський математик Срініваса Рамануджан відкрив багато нових формул для числа , деякі з них стали знамениті через свою елегантність та математичну глибину. Обчислювальні алгоритми, засновані на формулах Рамануджана працюють дуже швидко.

Використання у фізиці

Число пі, хоча й не є фізичною константою, дуже часто фігурує у фізичних формулах, завдяки тому, що у них часто неявно закладені властивості кола, особливо у випадку симетрії, при якій зручно використовувати полярну, циліндричну або сферичну систему координат.

Практично, фізикам потрібно тільки 39 цифр числа , щоб зробити коло розміром як видимий всесвіт з точністю до розміру атома водню

Експериментальна частина.

1. Встановлення, яка з цифра зустрічається найчастіше серед десяткових знаків числа π.

Таблиця частоти розподілу цифр серед десяткових знаків числа π.

Числа	Кількість (650 дес.знаків)	Числа	Кількість (2035 дес.знаків)	Числа	Кількість (2035 дес.знаків)
1	189	11	22	111	2
2	187	22	12	222	2
3	187	33	17	333	1
4	188	44	15	444	0
5	183	55	18	555	3
6	171	66	20	666	0
7	188	77	21	777	1
8	185	88	17	888	0
9	187	99	17	999	1
0	213	00	13	000	3

Висновки: різні цифри у десятковому представленні числа πзустрічаються однаково часто (тобто π є нормальним числом), проте це не доведено. Також π є трансцендентним числом - тобто не є коренем жодного ненульового поліному з раціональними коефіцієнтами. З цього випливає що неможливо розв'язати відому античну задачу про квадратуру круга за допомогою циркуля та лінійки

Список використаних джерел