Довідковий матеріал з теми "Квадратні корені. Дійсні числа"

Довідковий матеріал

з теми

«Квадратні корені. Дійсні числа»

(алгебра 8 клас)

 

1. Функція та її графік

Графіком функції - є парабола, яка має дві нескінченні гілки, які плавно сходяться в одній точці.

Властивості функції:

1. область визначення – всі числа;
2. область значень – всі невід’ємні числа;
3. додатні значення - ;
4. від’ємні значення – не має;
5. проміжки спадання - ;
6. проміжки зростання - .

 

 

2. Арифметичний квадратний корінь

Арифметичним квадратним коренем з числа називається невід’ємне число, квадрат якого дорівнює .

Арифметичний квадратний корінь з числа позначають так: .

Знак називають знаком арифметичного квадратного кореня; вираз, який знаходиться під знаком кореня, називають підкореневим виразом. Запис читають: «Квадратний корінь з числа ».

 

Наприклад:

, так як 2 – число невід’ємне та ;

, так як 1,1 – число невід’ємне та ;

, так як 0 – число невід’ємне та .

Рівність є вірною, якщо виконується дві умови:

                                                              

Якщо вираз не має змісту, так як квадрат будь-якого числа невід’ємний.

 

Наприклад:

вирази - не мають змісту.

 

3. Тотожність

При будь-якому , при якому вираз має зміст, є вірним рівність

 

Наприклад:

1) ;

2)  .

 

4. Рівняння

Якщо , то рівняння коренів немає. Дійсно, не існує числа, квадрат якого дорівнює від’ємному числу.

Якщо , то рівняння має єдиний корінь, який дорівнює нулю.

Якщо , то рівняння має два кореня.

 

Наприклад:

рівняння має корені та , тобто та ;

рівняння має корені та , тобто та .

При будь-якому рівняння має невід’ємний корінь ; іншими словами, яке б число ми не взяли, знайдеться невід’ємне число, квадрат якого дорівнює . Це означає, що вираз має зміст при будь-якому .

 

5. Числові множини. Ірраціональні та дійсні числа

 

 

Кожне раціональне число можна уявити у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу; будь-який нескінченний періодичний десятковий дріб зображує деяке раціональне число.

 

Наприклад:

1) ;

2) ;

3) .

 

6. Властивості арифметичного кореня

1.   Корінь із добутку невід’ємних множників дорівнює добутку коренів з 

          цих множників

та , то .

2. Корінь із дробу, чисельник якого невід’ємний, а знаменник додатній,

     дорівнює кореню з чисельника, поділеному на корінь із знаменника

та , то .

3. Корінь із невід’ємного числа піднесеного до натурального степеня , дорівнює числу у натуральній степені

.

Наприклад:

1) ;

2) ;

3)  .

 

 

 

 

 

 

7. Тотожності

При будь-якому значенні є вірною рівність

Тотожність застосовується для добування квадратного кореня із степені з парним показником. Щоб добути корінь із степені з парним показником, достатньо уявити підкорінний вираз у вигляді квадрату деякого виразу і скористатися тотожністю 

Наприклад:

1)

2) ;

3) .

 

8. Винесення множника за знак кореня

Якщо підкореневий вираз розкладається на множники, серед яких будуть такі, що з них можна добути квадратний корінь, то ці множники після добування з них кореня виходять з-під знаку кореня.

 

Наприклад:

1) ;

2) .

 

9. Внесення множника під знак кореня

При внесенні множника під знак квадратного кореня вони підносяться до квадрату та множаться на підкореневий вираз.

 

Наприклад:

1) ;

2) .

 

10. Звільнення від ірраціональності в знаменнику або чисельнику дробу

Алгоритм звільнення від ірраціональності в знаменнику або чисельнику дробу:

1. розкласти на множники чисельник або знаменник дробу;
2. якщо чисельник або знаменник має вигляд , або містить множник , то чисельник та знаменник необхідно помножити на . Якщо знаменник або чисельник має вигляд або , або містить множник такого вигляду, то чисельник та знаменник необхідно помножити на , або на ;
3. перетворити чисельник та знаменник дробу, якщо можливо, скоротити дріб.

Вирази вигляду та називаються спряженими.

 

Наприклад:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

11. Функція

Властивості функції :

1. область визначення – всі невід’ємні числа;
2. область значень – всі невід’ємні числа;
3. додатні значення – всі числа, крім ;
4. від’ємні значення – не має;
5. проміжки спадання – не має;
6. проміжки зростання - .

Графіком функції - є одна гілка параболи, яка виходить з початку координат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наприклад: