" ДПА та ЗНО. Обчислюємо раціонально: застосування властивостей ділення "

Віктор Кицун

вчитель математики Старосинявської ЗОШ І-ІІ ступенів №1

«ДПА та ЗНО.  Обчислюємо раціонально:     застосування властивостей  ділення»           

Хто вміє ділити,  тому ніяка справа                                                                                                     не видасться  важкою.

Беда  Достойний 

Ділення – це дія, за допомогою якої за  добутком і одним із множників знаходять інший  множник. Так, поділити  число 10 на 5 означає:  знайти число,  при множенні  якого на 5 отримаємо 10.  10 : 5 = ? Шуканим  числом є 2, оскільки 2·5 = 10.   25 : 0 = ?  Потрібно знайти число,  при множенні якого на 0 отримаємо 25. Очевидно, що такого числа не існує, бо  добуток  будь-якого числа і нуля дорівнює  нулю.  Ось чому,  на нуль ділити не можна!  Варто відмітити, що й вираз  0 : 0  не має певного значення.  

Основна властивість частки:  частка не зміниться, якщо ділене та дільник одночасно помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від 0.    a:b = (a:т):(b:m) = (a·n):(b·n).

216 : 25 = (216·4):(25·4) = 864:100 = 8,64;  252 : 42 = (252:2):(42:2) = 126:21 = 6.

435 : 15 = ?  Зручно  спочатку домножити ділене та дільник на 2 і виконати дію над отриманими результатами:   435 : 15 = 870 : 30 = 29.

336 : 42 = ?    Зручно  спочатку поділити  ділене та дільник на 6  і виконати дію над отриманими результатами:  336 : 42 = (336 : 6) : (42 : 6) = 56 : 7 = 8.

Щоб  суму  кількох  чисел поділити  на  число, можна поділити на нього кожний доданок окремо й отримані результати  додати: 

 (a + b + c):d = a:d + b:d + c:d.

864 : 27 = (810 + 54):27 =  810:27 + 54:27 = 30 + 2 = 32.

784 : 7 = 700:7 + 70:7 + 14:7 = 100+10+2 = 112.

Щоб  різницю  двох  чисел поділити на третє число, можна поділити на нього  зменшуване та від’ємник і від першого результату відняти другий:   

(a-b): c = a:c - b:c. 

888 : 3 = (900 - 12):3 = 900:3 - 12:3 = 300 - 4 = 296.

 Щоб алгебраїчну суму поділити на  число, можна поділити на нього кожен її член і  послідовно виконати дії над отриманими результатами:   

(a + b - c):d = a:d + b:d - c:d.

Тотожності  можна застосовувати в зворотному порядку та комбінувати:   

123:5 + 27:5 = (123 + 27):5 = 150:5 = 30;

600:7 + 25:4 + 100:7 -  9:4 = (600+100):7 + (25-9):4 = 700:7 + 16:4 = 100 + 4 = 104.

Щоб добуток двох чисел поділити на третє число, можна поділити на це число один із множників і отриманий результат помножити на другий множник:    (a·b):c =  (a:c)·b = a·(b : c).

За аналогією виконується ділення  добутку  кількох множників на дане число:

(a·b·c):d = (a:d)· b· c =  a·(b:d)·c = a·b·(c:d).

(54·63):81 = (54·3·21):81 = (162·21):81 = (162:81)·21 = 2·21 = 42.

Щоб поділити  число на добуток  двох  чисел, можна поділити це число на один із множників  і отриманий результат поділити на другий множник:   a:(b·c) = (a:b):c = (a:c):b.  Аналогічно виконується ділення на добуток кількох чисел:   a:(b·c·d) = (a:b):c:d = (a:b) : (c·d) = (a:c):b:d =  = (a:c) : (b·d) = a:d):b:c = (a:d) : (b·c).  

2025 : (27·75)  = 2025 : ( 27·3·25) = (2025:25) : (27·3) = 81:81 = 1.

Щоб поділити частку на число, можна поділити на це число  ділене  й отриманий результат поділити на  дільник або  перемножити дільники  та поділити на отриманий результат:      (a:b):c  = (a:c):b =  a:(b·c).

(345:4):25 = 345:(4·25) = 345:100 = 3,45; (2170:31):7 =  (2170:7):31 = 310:31 = 10.

  Щоб поділити число на частку, можна поділити його на ділене й отриманий результат помножити на дільник або виконати дії  в зворотному порядку: спочатку помножити на дільник та отриманий результат поділити на ділене:   a: (b:c)  = (a:b) · c =  (a·c) : b.

240 : (60:7) = (240:60)·7 = 4·7 = 28; 125 : (100:8) = (125·8):100 = 1000:100 = 10.

Значна частина способів та прийомів раціонального ділення  ґрунтується на властивостях цієї дії та залежностях між її компонентами.  Під час підготовки до ДПА та ЗНО з метою вдосконалення обчислювальних навичок  учнів, необхідно спочатку повторити навчальний матеріал цієї теми і лише після цього  вивчати спеціальні способи та прийоми  раціональних обчислень відносно ділення.  

Навчаємось, усміхаючись!

J  –  Синку! Вставай, до школи пора.

–    Не хочу! –  відповідає  той спросоння. 

–    Вставай!  Невже  в тебе немає сили  волі? 

–    Є,  – каже  малий, –  але  вона ще  спить.   J

J  –  Іванку, скажи мені  мерщій, скільки буде  32:8?

–    Вісім.

–    Ну, як тобі  не соромно ?  Адже 32:8 = 4, а не  8… 

–    Але  ж  ви  вимагали  відповісти швидко, а не правильно?!  J

Використано матеріали посібника   «Цікаво. Про100. Зручно» Способи та прийоми раціональних

обчислень для школярів та студентів і не тільки…/ упоряд. Кицун В. П.,  Кицун О.В – Хмельницький., ФОП Мельник А. А. 2018. – 150 с. 

ISBN 978-617-7600-26-7   

УДК 519.813       

При копіюванні матеріалів посилання на видання обов’язкове. 

     Всі права застережені

     All rights reserved