Електронний опорний конспект ліцеїста «Графічний аналіз формули тонкої лінзи» (9 клас)

Графічний аналіз формули тонкої лінзи

Категорія: МАТЕРІАЛИ ДО УРОКІВ (ЕЛЕКТРОННИЙ ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ ЛІЦЕЇСТА)

Навчальна серія: «Математичні інструменти у шкільній фізиці». Випуск 1

Цільова аудиторія: Учні 9 класу профільного фізико-математичного ліцею

Рекомендований формат використання: Цифровий PDF-довідник для екранів смартфонів, планшетів або Google Classroom

1.   Вступ.

Під час занять з геометричної оптики ми маємо справу з дещо спрощеним уявленням про світло, що розповсюджується у вигляді променів, які відбиваються від дзеркальної поверхні згідно із законами відбиття і заломлюються на границях двох середовищ з різними показниками заломлення (що описується законом Снеліуса). Однак, існує ціла низка задач, для розв’язання яких подібних спрощених уявлень (наближень) цілком достатньо. Зокрема, задачі, пов’язані з розрахунком та побудовою зображень, з використанням різних оптичних систем, наприклад, таких як лінза. Лінза – це такий об’єкт, що складається з двох поверхонь, які (або одна з них) мають кривизну, наприклад, сферичну форму певного радіусу. Аналіз заломлення геометричних променів показує, що ці промені при проходженні крізь лінзу, змінюють свій напрямок. Так, наприклад, промені, що розповсюджуються паралельно до оптичної осі лінзи (уявної лінії, що проходить через центри кривизни сферичних поверхонь) мають здатність сходитись близько біля точки на оптичній осі, яку називають фокусом. Власне, це і є визначення фокусу – як точки на оптичній осі, де сходяться промені, що направлені паралельно оптичній осі (або продовження цих променів, якщо ми маємо справу з розсіювальною лінзою). І ця точка тим точніше визначається, чим ближче по відношенню до оптичної осі проходять промені (такі промені називають параксіальними). Додаткові спрощення моделі з’являються, коли ми розглядаємо лінзу з досить великим радіусом кривизни, при цьому товщина лінзи вважається достатньо малою. Такі лінзи називають тонкими лінзами. Для подальшого розгляду формування зображень в такій лінзі важливою є ще одна характерна особливість: промені, що проходять через оптичний центр лінзи (точки, де зливаються полюси^[1] обох сферичних поверхонь) не змінюють свого напрямку розповсюдження. Таким чином, для побудови зображення для нас важливими є дві характерні ознаки поведінки променів:

 паралельні промені (або їхні продовження у випадку розсіювальної лінзи) сходяться у фокусі;  промені проходять через центр лінзи, не змінюючи напрямку.

На рис.1 а показано, як використовуючи ці дві ознаки ми будуємо зображення в тонкій збиральній лінзі.   

2.   Виведення формули тонкої лінзи.

Для розрахунків нам потрібно формула, яка пов’язувала б три просторові параметри: відстань від об’єкта до лінзи, відстань зображення до лінзи та фокусну відстань самої лінзи. Для позначення цих довжин в шкільному підручнику використовуються літери  відповідно. В нашому розгляді ми замінимо дві з них на більш логічні та асоціативні міжнародні індексовані позначення (слайд 2), де залишимо базову літеру  для позначення відстані ( – distance), а індекси нестимуть змістове навантаження:  (distance of the object) – відстань від оптичного центра до предмета;  (distance of the image) – відстань від оптичного центра до зображення (рис.1 а); фокусна відстань системи (залишаємо без змін, як у підручнику). 

Проаналізуємо одержане зображення. Як видно з рис.1 б) та в) заштриховані трикутники попарно подібні: синій трикутник подібний червоному на кожному з рисунків, отже довжини відповідних сторін пропорційні, що показано на рисунках у вигляді рівнянь. Розділивши ці рівняння одне на одне одержимо:

Тепер розділимо обидві частини рівняння на :

звідки слідує формула тонкої лінзи, яка широко відома у такому вигляді:  

                                                                                  .                    (3)

Ось перед нами два шляхи аналізу зображення для заданої оптичної системи: перший шлях – графічна побудова зображення (рис.1а); другий – аналіз формули (3). Перший, наочний, потребує щоразу ретельно

вибудовувати всі необхідні промені. Другий дає  

Рис. 1. Графічна ілюстрація до виведення

можливість аналізувати всі варіанти одразу:              формули тонкої лінзи з геометричної побудови.

 та .  Для цього нам потрібно побудувати залежність  (слайд 3), на якій ми чітко

побачимо на співвідношення  та  для кожного зі згаданих діапазонів, що дасть можливість одразу встановити на яких відстанях  ми матимемо збільшене або зменшене зображення (по співвідношенню яке, як видно з рис.1 б дорівнює співвідношенню , яке в свою чергу, є лінійним збільшенням^[2]), а також за яких значень 𝑑_𝑜 зображення буде дійсним (𝑑_𝑖 > 0), або уявним (𝑑_𝑖 < 0). У випадку ж коли об’єкт рухається, застосування графічної побудови взагалі стає неможливим, і тоді аналітичний аналіз графіку 𝑑_𝑖(𝑑_𝑜) взагалі лишається єдиним варіантом для аналізу. 

3. Побудова графіку залежності 𝒅_𝒊(𝒅_𝒐).

Для відшукання форми кривої, що описує залежність 𝑑_𝑖(𝑑_𝑜) зробим деякі перетворення формули (3), а саме – розв’яжемо це рівняння відносно 𝑑_𝑖 (слайд 4) і зробимо відповідні перетворення щоб виділити базову функцію, тобто відому елементарну функцію, яку шляхом перетворень графіку (переміщення вздовж осей та стискання або розтягнення масштабу по осях – слайд 7) можна буде привести до одержаної нами залежності:

                                                                                                       .                                                                                                                                                     (4)

Із відомих елементарних функцій (слайд 5), для одержання залежності (4) нам підходить гіпербола

(слайд 6) 𝑦 = 1/𝑥, яку треба зсунути вгору і вправо на одиницю, після чого одержимо функцію виду (4).

Для цього варто розділити ліву і праву частини рівняння (4) на 𝐹, після чого одержимо:

                                                                                          .                                           (5)    

Рівняння (5) це і є рівняння   , яке одержимо з (5) після підстановки . З алгебри

(тема «перетворення функцій») відомо, що з графіка функції 𝑦 = 𝑓(𝑥) можемо одержати графік функції 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎) + 𝑏, змістивши графік базової функції  𝑦 = 𝑓(𝑥)  на 𝑎 одиниць праворуч та на  𝑏 одиниць вгору (слайди 8 і 9), за умови, що  𝑎 та 𝑏 – додатні. В нашому випадку 𝑎 = 𝑏 = 1. Отже графік зсуваємо на одиницю праворуч і на одиницю вгору.   

Увага! Корисний лайфгак. Метод перенесення осей координат. Ми значно спростимо собі життя, якщо при побудові нашої функції  будемо переміщувати не саму криву, а осі координат, з тією лише різницею, що осі пересуватимемо в протилежному напрямку. Тобто, для рівняння виду 𝑦 − 𝑏 = 𝑓(𝑥 − 𝑎) початок відліку по відношенню до початкової кривої 𝑦 = 𝑓(𝑥) зміститься на 𝑎 одиниць ліворуч та на 𝑏 одиниць донизу, що еквівалентно тому, що осі потрібно перемістити, відповідно Oy на 𝑎 одиниць ліворуч (слайд 10)  а вісь Ox – на 𝑏 одиниць донизу (слайд 11). При цьому, ми зовсім не змінюємо саму базову криву, яку креслимо лише один раз (слайд 12). Далі трансфомовану функцію одержуємо виключно за рахунок нового розміщення осей (рис.2). Для запам’ятовування зручно використовувати трансформовану залежність саме у такому симетричному вигляді  𝑦 − 𝑏 = 𝑓(𝑥 − 𝑎) (слайд13).

                                      Базова функція                                                            Перетворена функція

Рис. 2. Побудова графіку переміщеної вздовж осей функції методом перенесення осей координат.

 Метод стискання масштабу. На рис.2 ми накреслили графік залежності , а нам потрібно графік . Для того, щоб з’ясувати, що нам потрібно зробити, дотримуючись нашого «принципу незмінної кривої» (ми один раз накреслили криву – і далі маніпулюємо лише з осями), проаналізуймо, що означає для осей масштаб. Так, наприклад, якщо на кривій абсцис  відмічено масштаб 1, 2 і т.д., то це означає, що при значенні 1 ми зчитуємо значення , при значенні 2 – значення  , тобто  і , відповідно. 

За таким самим принципом значенням 1 і 2 на осі ординат відповідають значення , .

Детально метод побудови трансформованого графіку функції згідно з дотриманням принципу незмінної кривої, проілюстровано на слайді 15, де видно, як використовуючи лише одну побудову базової кривої і використовуючи один і той самий аркуш і відведене для побудови місце в зошиті ми одержуємо графік шуканої функції .

4. Використання графіку функції 𝒅_𝒊(𝒅_𝒐).

Ми повторили метод, засвоєний на уроках алгебри побудови функції з допомогою перетворень базової функції. В результаті одержали графік, зображений на рис. 4. Цей графік – універсальна шпаргалка, що одразу дає ключ до аналізу типу зображення яке одержуємо в збиральній лінзі, тобто маючи цей графік а також значення відстаней 𝐹 та 𝑑_𝑜 ми одержуємо інформацію про тип зображення (дійсне або уявне) та його характеристику (збільшене або зменшене). Як видно з графіка, Y- асимптота (вертикальна сіра лінія) розділяє простір на два напівпростори, які характеризуються різними знаками величини 𝑑_𝑖 (помічено стрілками): область І – значення 𝑑_𝑖  від’ємне, отже зображення уявне; області ІІ і ІІІ – значення 𝑑_𝑖  додатне, зображення дійсне. Стосовно того збільшене зображення чи зменшене, ми одержуємо інформацію, співставляючи абсолютні величини 𝑑_𝑖  та 𝑑_𝑜: збільшення (області І та ІІ, де відстань до зображення за модулем більша); зменшення (область ІІІ – тут 𝑑_𝑜 > 2𝐹, а 𝑑_𝑖 < 2𝐹).

Рис. 4. Графік функції 𝒅_𝒊(𝒅_𝒐) для збиральної лінзи/увігнутого дзеркала.

Слід також загадати, що формула (3) має універсальний характер. Вона застосовна як для лінз так і для дзеркал, як для збиральних систем так і для розсіювальних. Для цього використовуємо правило знаків для 𝐹: якщо лінза збиральна (або дзеркало увігнуте) 𝐹 > 0; якщо лінза розсіювальна (або опукле дзеркало) 𝐹 < 0. На рис. 5 показано, як будувати залежність 𝑑_𝑖(𝑑₀) для систем з 𝐹 < 0, що дає нам чітке пояснення про характер зображення у таких системах, а саме, при 𝑑_𝑜 > 0 зображення завжди буде уявним ( 𝑑_𝑖 < 0) та зменшеним ( |𝑑_𝑖| < 𝑑_𝑜).

Рис. 5. Побудова графіку функції 𝒅_𝒊(𝒅_𝒐) для розсіювальної лінзи/опуклого дзеркала.