Елементарні геометричні фігури та їх властивості

ГЕОМЕТРІЯ, 7 КЛАС

Тема 1. Елементарні  геометричні фігури та їх властивості 

Вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учня

Учень/учениця: наводить приклади геометричних фігур, указаних у змісті; пояснює, що таке: точка, пряма, належати, лежати між, відрізок, промінь, кут, довжина відрізка, градусна міра кута, рівні відрізки, рівні кути, бісектриса кута, відстань між точками; формулює властивості: розміщення точок на прямій; вимірювання та відкладання відрізків і кутів; класифікує кути (гострі, прямі, тупі, розгорнуті); вимірює та обчислює довжину відрізка, градусну міру кута, використовуючи властивості їх вимірювання; зображує та знаходить на малюнках геометричні фігури, вказані у змісті; застосовує вивчені означення і властивості до розв’язування задач.

 

Підручник: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир, Геометрия:  учебник для 7 классов общеобразовательных учебных заведений, Х.: Гимназия, 2015.

 

Геометрія — розділ математики, який вивчає фігури та їх властивості.

Розділ геометрії, який вивчає фігури на площині, називається планіметрією.

Основні геометричні фігури планіметрії - це точка і пряма. Усі геометричні фігури складаються з точок.

      А ●                        В ●

                 С●

Точки позначаються великими латинськими буквами, а прямі позначаються маленькими латинськими буквами.

  а

 

Пряму можна позначати двома великими латинськими буквами за назвами точок, які належать даній прямій.

                                                   М

            К

 

Точки і прямі мають такі властивості:

1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.

 

                                                           а

                   ●А

                                                  В ●

2. Через дві різні точки можна провести пряму і тільки одну.

                                                                                  ●А                                                 

                            В ●

3. Із трьох точок на прямій одна й тільки одна лежить між двома іншими.

                               ●А                                                 

                                                  ● В

                                                                      ● С

 

Якщо дві різні прямі перетинаються, то вони мають одну спільну точку.

Якщо дві прямі мають дві спільні точки, то ці прямі співпадають.

Будь-яка точка прямої розбиває його на два промені (півпрямі).

Промінь — це частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, що лежать з одного боку від даної її точки. Цю точку називають початком променя.

                                                  О ●                                               А

Два променя, які мають спільний початок і утворюють пряму, називаються доповняльними променями.

               В                                      О ●                                         А

 

Історична перерва:

Перші геометричні уявлення в людей виникли ще за давніх-давен, коли людина виготовляла й використовувала у своїх цілях найпростіші знаряддя праці – кремнієві пластинки, що мали форму трикутника, ромба або трапеції. Вони використовувались як рубило, шкребок, ніж і т. д. Але більш глибокого розвитку геометричні уявлення досягли із зародженням землеробства, будівництва, гончарної і ткацької справи.

Згодом розв’язання багатьох практичних задач вимагало усе більшого обсягу глибоких і різнобічних знань. От як описав давньогрецький історик Геродот (V ст. до н. е.) початок зародження геометрії в Стародавньому Єгипті близько 2000 років до н. е.: «Єгипетський фараон розділив землю, давши кожному єгиптянину ділянку землі за жеребом, і стягував податок з кожної ділянки. Траплялося, Ніл заливав той чи інший ділянку, тоді потерпілий звертався до царя, а цар посилав землемірів, щоб встановити, на скільки зменшився ділянку, і відповідним чином зменшити податок».

Так виникла геометрія в Єгипті, звідти вона потрапила до Греції.

Слово «геометрія» грецьке за походженням й означає землемірство.

Свій розвиток геометрія здобула у працях Фалеса, Піфагора, Архімеда й інших давньогрецьких математиків, що жили в VІ-ІІІ ст. до н. е. Першу, що дійшла до нас, книгу з геометрії – «Начала», за якою протягом двох тисячоліть люди вивчали геометрію, написав александрійський учений Евклід. 

Вивчити: п.1 с.12-14, питання с.14.

Виконати: №№ 9, 10, 13, 15.

Інтернет - ресурси: https://www.youtube.com/watch?v=oUlvT2DVh3k

 

       Виконайте усно завдання:
 

1. Поясніть взаємне розташування точок А, В, К прямої а.  Зробіть  висновок.

            ●                  ●                               ●
          А                В                            К

2.                Використовуючи малюнок, дайте відповідь на питання:
    

а) Яким прямим належать точки А, В, С, і D?

б) Які прямі проходять через кожну з точок А, В, С, D?

в) Як інакше можна позначити прямі m, c і b?

г) Які точки лежать на прямих АВ і СD?

3. Пряма АВ перетинає пряму АС у точці А, а пряму ВС – у точці В. Чи належить точка С прямій АВ?

                          А                   В
                                     С
 

 

4. Позначте точки  К, Р і Т так, щоб через них можна було провести пряму. Як можна назвати цю пряму?

           ●               ●                      ●
           К           Р                     Т

Дайте відповіді на запитання:

1.      Що таке геометрія?
2.      Наведіть приклади геометричних фігур.
3.      Назвіть найпростіші геометричні фігури.
4.      Опишіть поняття точка, пряма, площина.
5.      Яким символом позначають слова «належить» і « не належить»?
6.      Сформулюйте основні властивості розміщення точок на прямій.
7.      Що таке планіметрія?
8.      Наведіть приклади плоских фігур.
9.      Наведіть приклади неплоских фігур.
10.  Що означає вислів «точка В лежить між точками А і С»?
11.  Що таке промінь? Його позначення?
12.  Які промені  називаються доповняльними?

 

 

 

Відрізок — це частина прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками, які називаються кінцями відрізка. Точки відрізка, які лежать між його кінцями, називаються внутрішніми точками відрізка.

Кожний відрізок має певну довжину, що виражається додатним числом. Знаходження довжини відрізка засноване не порівнянні його з деяким відрізком, який приймається за одиницю вимірювання. Вибравши одиницю вимірювання, можна знайти довжину будь-якого відрізка. На практиці для вимірювання довжин відрізків частіше за все використовують міліметр, сантиметр, дециметр, метр, кілометр. Ці одиниці вимірювання довжин пов’язані між собою, зокрема, 1 км=1000 м, 1 м=100 см, 1 дм=10 см, 1 см=10 мм.

Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою точкою, тобто якщо С – точка відрізка АВ, то АВ=АС+ВС.

Серединою відрізка називається точка цього відрізка, яка ділить його навпіл (тобто на два рівних відрізки).

  Точка С – середина відрізка АВ,оскільки АС=СВ (рівні відрізки на малюнках познають однаковою кількістю рисок).

Два відрізки називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину.

На будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок даної довжини і тільки один.

Відстанню між двома точками називається довжина відрізка з кінцями в цих точках.

Це цікаво.

Для вимірювання довжин відрізків у школі найчастіше використовують лінійку зі шкалою.

Доказом існування лінійки ще в стародавні часи, стало її знаходження на розкопках на території стародавньої Помпеї. Вона представляла собою ретельно відстругану дощечку, яка допомагала архітекторам у плануванні споруд.

Є факти, що в середні століття німецькими ченцями також були винайдені свого роду лінійки. Вони були у вигляді розміток ліній і колонок на аркушах, які робилися за допомогою спеціальних свинцевих пластинок. У багатьох країнах Європи лінійки мали трохи інший вигляд. Це були залізні прути - «шильця». У російських переписувачів також існував свій вид лінійок, який вони назвали «правільца».

Лінійка, якою зараз широко користуємося ми, з'явилася в післяреволюційній Франції. Тоді найкращим академікам було поставлено завдання розробити новий покращений вигляд лінійки з новою системою заходів.

Вивчити: п.2 с.17-20, питання с.20.

Виконати: №№ 21, 25, 29, 31, 33.

      Інтернет - ресурси: https://www.youtube.com/watch?v=vE3CrLxVW9

 Виразіть: у міліметрах: а) 4 см; б) 6 см 3 мм; в) 5 дм;

                   у сантиметрах: а) 3 дм; б) 5 дм 4 см; в) 6 м; г) 900 мм;

                   у дециметрах: а) 5 м; б) 3 м 7 дм; в) 800 см; г) 1200 мм.

Дайте відповіді на запитання:

1. Означення вiдрiзка; його елементи та позначення.

2. Означення рiвних вiдрiзкiв.

  3. Середина вiдрiзка.

 4. Одиницi вимiрювання вiдрiзкiв.

 5. Рівні відрізки.

 6. Аксiома вимiрювання  вiдрiзкiв.

Логічна зупинка. Накреслити лінію, не відриваючи руки від аркуша.

  

 

   

або

Кут ABC (ABC, В): В — вершина кута (точка); ВА, ВС — сторони кута (два промені, що виходять з точки);  — внутрішня область кута (частина площини, обмежена променями)

Промені ВА і ВС — до­повняльні, тому ABC — розгорнутий.

 

Вимірювання кутів

а) одиниці вимірювання:

1° (1 градус) — це частина розгорнутого кута;

1' (1 мінута) — це  частина 1 градуса;

1" (1 секунда) — це частина мінути, тому розгорнутий кут — 180°, 1° = 60', 1' = 60"

 

Властивості вимірювання

ABC = α, α > 0, α — градусна міра ку­та ABC

BD — внутрішній промінь кута ABC: ABD + DBC = ABC

Види кутів

 

 

                                                     ●

      Прямий                   Розгорнутий                       Гострий                                     Тупий

Рівні кути

ABC = MNK , бо вони суміщаються при накладан­ні, або

ABC = MNK , бо мають однакову градусну міру, α > 0

Бісектриса кута

BD — внутрішній про­мінь кута ABC, причому ABD = CBD, тому BD — бісектриса кута ABC.

Вивчити: п.3 с.25-30, питання с.31.

Виконати:  №№ 55, 57, 61, 64, 66,70.

Інтернет - ресурси: https://www.youtube.com/watch?v=8tgesad-cdQ

Дайте відповіді на запитання:

1. Що таке кут?
2. Які види кутів ви знаєте?
3. В яких одиницях вимірюють кути?
4.        Кут, величина якого дорівнює 180⁰ називається …
5.        Якщо величина кута дорівнює 90⁰, то цей кут…
6.        Кут від 0⁰ до 90⁰ називається …
7.        Градусна міра тупих кутів …
8.        Рівні кути…
9.         Бісектриса кута…

 

Історична пауза.

Транспортир відомий з давніх часів. Імовірно вченими, транспортир винайшли в стародавньому Вавилоні. Припускають, що створення транспортира пов'язано з історією виникнення першого календаря.

Коли ж з'явився транспортир? Виявляється, ця кутова міра виникла багато тисяч років тому. Припускають, що це було пов'язано зі створенням першого календаря. Стародавні математики намалювали коло і розділили його на стільки частин, скільки днів у році. Але вони думали, що в році 365 або 366 днів, а 360. Тому коло, що позначає рік, вони розділили на 360 рівних частин. Таке зображення було дуже корисним, на ньому можна було відзначати кожен минулий день, і бачити, скільки днів залишилося до кінця року. Кожної частини дали назву – градус. Градусна міра збереглася і до наших днів. Картинку з давнім календарем легко зробити, маючи транспортир.

Виконайте тест: ВЛАСТИВОСТІ ВИМІРЮВАННЯ ВІДРІЗКІВ І КУТІВ.

1. Яке з тверджень неправильне?

А) Кутом називається фігура, яка складається з двох різних півпрямих.

Б) Промінь проходить між сторонами даного кута, якщо він виходить з його вершини і перетинає якийсь відрізок з кінцям на сторонах цього кута.

В) Якщо сторони кута є доповняльними півпрямими однієї прямої, то кут називається розгорнутим.

Г) Якщо промінь с проходить між сторонами кута (аb), тo кут (аb) дорівнює сумі кутів (ас) і (bс).

2.  Які з тверджень не виражають основні властивості вимірювання кутів?

А) Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля.

Б) Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, н які він розбивається будь-яким променем, що проходить між йог сторонами.

В) Розгорнутий кут дорівнює 180°.

Г) Кути вимірюються градусами за допомогою транспортира.

3. Точки А, В, С лежать на одній прямій, причому АВ = 17 см, CB = 11 см, AС = 6 см. Яке з наведених тверджень правильне?

А) Точка А лежить між точками В і С.

Б) Точка В лежить на відрізку АС.

В) Точка С лежить справа від точки В.

Г) Точка С лежить між точками А і В.

4. Яку градусну міру має кут, якщо він становить п’ять шостих прямо­го кута?

А)  30°; Б) 75°; В) 15°; Г) 60°.

5. Промінь с проходить між сторонами кута (аb), який стано­вить 90°. Чому дорівнюють кути (ас) і (bс), якщо кут (ас) в два рази більший за кут (bс)?

А) 20° і 70°; Б) 60° і 30°; В) 25° і 65°; Г) 35° і 55°.

 

Готуємося до контрольної  роботи № 1 з теми  «Елементарні  геометричні фігури та їх властивості »

У завданнях 1- 4 позначте одну правильну, на вашу думку, відповідь!

1.  Укажіть кількість прямих, які можна провести через 1 точку:

 А) 0;                         Б) 1;                       В) нескінчену кількість;                    Г) 2.                

2.  Точка С лежить між точками А і В на одній прямій. Знайдіть ВС,  якщо  АВ = 10 см; АС= 4 см.

            А) 14;                        Б) 6;                        В) 10;    Г) 18.

3.  Промінь b проходить між променями a і с. Знайдіть , якщо,.

            А)  90°;                       Б) 112°;                   В) 50°;                   Г) 94°. 

4.  Промінь ОС – бісектриса кута  знайдіть , якщо .

            А) 30°;                                 Б) 40°;                    В) 120°;                   Г) 160°.                                                      

5.  Відкладіть на промені AN відрізки АВ = 2 см, АС = 5 см, АD= 9 см. Знайдіть відстань між серединами відрізків АВ і CD.

6.  На відрізку AD позначено точки В і С так, що АВ = СD, AC=5 см. Знайдіть довжину відрізка BD.

7.  За допомогою транспортира поділіть на 3 рівні частини прямий кут та розгорнутий кут.

8.  Точки A, B, C лежать на одній прямій AB=10см, відрізок АС у 6 разів більший за відрізок BC. Знайди довжину AC.

 

Логічна зупинка. Порахуйте, скільки кутів зображено на малюнку.