Елементи комбінаторики

Первомайський ліцей «Лідер» Миколаївської області Елементи комбінаторики 11 клас Турко О.Г., учитель математики вищої категорії, учитель-методист

Мета: Формування в учнів первинних імовірнісних уявлень; Отримання знань про комбінаторику; Оволодіння вміннями вирішувати задачі; Складання задач, пов’язаних з конкретною життєвою ситуацією;

Комбінаторика розділ математики, в якому розглядаються властивості сполук (комбінації, розміщення, перестановки)

Вибір правила або а, або b і а, і b Правило суми Якщо елемент а можна вибрати m способами, а елемент b – n способами, то вибір а або b можна здійснити (m+n способами) Правило добутку Якщо елемент а можна вибрати m способами, а елемент b – n способами, то вибір а і b (пари а і b) можна здійснити (m*n способами)

Правило суми Задача В одній вазі лежать 5 яблук, а в другій 8 мандаринів. Скількома способами можна вибирати яблуко або мандарин? Розв'язування N = 5+8 = 13 (способами) Правило добутку Задача В магазині є три види ручок і два види олівців. Скільки різних комплектів, які складаються з ручки та олівця можна придбати? Розв'язування N = 3*2 = 6 (комплектів)

Вибір формули Чи враховується порядок розміщення елементів Чи всі елементи входять у сполуку? Розміщення An m = n! (n-m)! An m = n(n-1)…(n-m+1) Комбінації Cn m = n(n-1)…(n-m+1) 1*2*…*m n! (n-m)!m! Cn m = Перестановки Pn = n! так так ні ні

Перестановкою з n елементів називається будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів. Число перестановок з n елементів позначається Pn Формула Pn = n! n! = 1 • 2 • 3 … (n -1) • n Характеристичні ознаки предмети різні всі місця зайняті порядок елементів важливий

У класі навчається 10 юнаків. Скількома способами можна їх вишикувати у шеренгу? Р10 1*2*....*9*10 = 10! Скількома способами можна скласти список із 9 прізвищ? Скількома способами можна розкласти 8 різних листів у 8 різних конвертів, якщо в кожний конверт кладеться лише 1 лист? Р9 = 9! 1*2*....*8*9 = 362880 Р8 = 8! 1*2*....*7*8 = 40320 Задачі

Розміщенням з m елементів по n називається будь-яка впорядкована підмножина з n елементів даної множини М, яка містить m елементів, де n  m. Число розміщень з m елементів по n позначається Am n Обчислюються за формулою: Am n = m(m - 1)(m - 2) …(m – n +1) Am n m! = (m-n)!

Характеристичні ознаки розміщень предмети і місця різні 0 ≤ n ≤ m усі n місць необхідно зайняти порядок елементів важливий

Учню треба скласти 4 екзамени на протязі 8 днів. Скількома способами це можна зробити? 10 спортсменів розігрують одну золоту, одну срібну і одну бронзову медалі. Скількома способами ці медалі можуть бути розподілені між спортсменами? У класі з 32 учнів для проведення зборів обирають голову, заступника і секретаря. Скількома способами це можна зробити? Задачі A8 4 8х7х6х5 = 1680 = A10 3 = 10х9х8 =720 A32 3 = 32х31х30=29760

Характеристичні ознаки порядок вибору елементів не має значення 0 ≤ n ≤ m предмети різні

Основні властивості комбінацій Cm 0 Cm n Cm 2 Cm 1 2 n + + + + … = Cm n = Cm-1 n-1 Cm-1 n + Cm n = Cm m-n Cm n+1 = Cm n m-n n+1

Запишемо всі можливі значення (m = 0, 1, 2, ..., n = 0, 1, 2, ... m) у вигляді трикутної таблиці: Cm n C1 0 C0 0 C1 1 C2 0 C2 1 C3 0 C2 2 C3 1 C3 3 C3 2 C4 1 C4 0 Cn 2 Cn 1 Cn n-1 Cn 0 C4 4 C4 3 C4 2 Cn n … … … … … … … … … … … … …

Трикутник Паскаля 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 6 6 6 5 5 10 10 15 15 20

Для проведення іспиту створюється комісія із двох викладачів. Скільки різних комісій можна скласти із п’яти викладачів? Із 20учнів треба виділити 6 для чергування. Скількома способами це можна зробити? На полиці є 35 книжок. Скількома способами можна вибрати дві із них? Задачі C5 2 5!:(2! 3!) = (5 • 4) : 2 = 10 = C20 6 = 20! : (6!14!) = (15•16•17•18•19•20) : (1•2•3•4•5 •6) = 38760 C35 2 = 35! : ( 2! 33!) = (35 • 34): 2 = 595

Формула бінома Ньютона (a+b) n = Cn 0 * a n + Cn 1 a n-1 * * b + … + Cn m a n-m * * b m + … + Cn n * b n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 4 6 6 6 5 5 10 10 15 15 20 Коефіцієнти розкладу (a+b) збігаються з n-м рядком трикутника Паскаля n

n = 0 (a+b)0=1 1 110=1 n = 1 (a+b)1=1a+1b 11 111=11 n = 2 (a+b)2=1a2+2ab+1b2 121 112=121 n = 3 (a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3 1331 113=1331 n = 4 (a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4 14641 114=14641

Задачі (x+a) 7 0,97 5  0,659