Формула Брахмагупти для обчислення площі чотирикутника

Про матеріал

Формула Брахмагупти узагальнює формулу Герона для площі трикутника : для цього досить вважати, що довжина однієї із сторін дорівнює нулю (наприклад, d = 0 ).

Перегляд файлу

Обчислення площі чотирикутників

Формула Брахмагупти

Теорема Брахмагупти. Якщо вписаний у коло чотирикутник має довжини сторін a, b, c, d і півпериметр р, то його площа .

Доведення. Площа вписаного в коло чотирикутника ABCD дорівнює сумі площ $\ Triangle ADB$ і $\ Triangle BDC$ . Маємо рівність:

$S = \ frac {1} {2} ab \ sin A + \ frac {1} {2} cd \ sin C.$

Так як ABCD є вписаним, то $\ Angle DAB = 180 ^ \ circ - \ angle DCB.$ Отже, sin A = sin C :

$S = \ frac {1} {2} ab \ sin A + \ frac {1} {2} cd \ sin A$

$S ^ 2 = \ frac {1} {4} \ sin ^ 2 A (ab + cd) ^ 2$

$4S ^ 2 = (1 - \ cos ^ 2 A) (ab + cd) ^ 2 \,$

$4S ^ 2 = (ab + cd) ^ 2 - \ cos ^ 2 A (ab + cd) ^ 2. \,$

Запишемо теорему косинусів для сторони D B, в $\ Triangle ADB$ і $\ Triangle BDC,$ отримаємо:

$a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ cos A = c ^ 2 + d ^ 2 - 2cd \ cos C. \,$

Використаємо cos C = - cos A ( A і C протилежні), а потім винесемо за дужки 2cos A :

$2 \ cos A (ab + cd) = a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 - d ^ 2. \,$

Підставимо отриману рівність в записану раніше формулу площі:

$4S ^ 2 = (ab + cd) ^ 2 - \ frac {1} {4} (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 - d ^ 2) ^ 2$

$16S ^ 2 = 4 (ab + cd) ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2 - d ^ 2) ^ 2, \,$

Застосуємо формулу x ² - y ² = (x + y) (x - y) :

$(2 (ab + cd) + a ^ 2 + b ^ 2-c ^ 2 - d ^ 2) (2 (ab + cd) - a ^ 2 - b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2) \,$

$= ((A + b) ^ 2 - (c-d) ^ 2) ((c + d) ^ 2 - (a-b) ^ 2) \,$

$= (A + b + c-d) (a + b + d-c) (a + c + d-b) (b + c + d-a). \,$

Так як півпериметр чотирикутника $p = \ frac {a + b + c + d} {2},$ то

$16S ^ 2 = 16 (p-a) (p-b) (p-c) (p-d). \,$

Скоротимо рівність на 16 і добудемо квадратний корінь:

Отже, площа вписаного в коло чотирикутника дорівнює . Теорему доведено.

На випадок довільних (не вписаних) чотирикутників формула Брахмагупти може бути записана таким чином:

, де φ- півсума протилежних кутів чотирикутника. Яку саме пару протилежних кутів взяти, ролі не грає, бо якщо півсума однієї пари протилежних кутів дорівнює φ, то півсума двох інших кутів буде 180⁰– φ; а cos² φ = cos²(180⁰– φ).

Іноді цю більш загальну формулу записують так:

, де u, v – довжини діагоналей чотирикутника. Формули Брахмагупти, , , значно спрощують розв’язування геометричних задач та доведення теорем, тим самим дають можливість обчислити площу чотирикутників без зайвих пояснень і добудов. Це значно економить час і виключає допускання помилок при написанні повного обґрунтування. Така вимога особливо важлива при здачі ЗНО.