Формули доповнення. Значення тригонометричних фун¬кцій кутів 30°, 45°, 60°

Тема. Формули доповнення. Значення тригонометричних фун­кцій кутів 30°, 45°, 60°

Мета: сформувати в учнів свідоме розуміння змісту та доведення теореми, що містить формули доповнення, а також наслідку з неї; до­могтися засвоєння учнями способу обчислення та значень тригономет­ричних функцій кутів 30°, 45° і 60°. Закріпити знання вивчених формул та сформувати вміння їх застосовувати під час розв'язування задач.

Тип уроку: засвоєння вмінь та навичок.

Наочність та обладнання: конспект «Формули доповнення. Значен­ня тригонометричних функцій кутів 30°, 45° і 60°».

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

З огляду на досить великий об'єм матеріалу, який слід вивчити на уроці, перевірку здійснюємо усно, за записами, виконаними на дошці заздалегідь.

III. Формулювання мети і завдань уроку

Поштовхом до інтелектуальної діяльності учнів може бути завдання, одного разу вже запропоноване та вдосконалене вчителем.

Завдання. Виконайте зображення прямокутного трикутника з катетами а, b і гіпотенузою с. Кути, протилежні катетам а, b, позначте відповідно α, β. Запишіть, чому дорівнюють sin α та cos β. Порівняйте записані відношення. Що ви помітили? Чи зміниться результат, якщо взяти інший прямокутний трикутник? Сформулюйте здобутий результат у вигляді твердження.

Мета запропонованого завдання — наочно продемонструвати учням існування певних залежностей між тригонометричними функціями гострих кутів прямокутного трикутника. Далі слід  наголосити на тому, що для гострих кутів будь-якого прямокутного, трикутника існує загальна властивість. Тому, узагальнивши проведені Спостереження для кутів, що мають із гострими кутами прямокутного Трикутника спільну властивість, ми дістанемо нові твердження. Вивченн_{я цих} тверджень та способу їх застосування — основна мета уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

Учням слід відтворити набуті ними раніше знання про властивість гострого кута прямокутного трикутника, медіани рівностороннього трикутника, а також теореми Піфагора, та поновити вміння викори­стовувати ці знання під час розв'язування задач. Для цього учнями пропонується виконати усні вправи.

Виконання усних вправ

1. Знайдіть кут х на рис. 1.

2. За даними рисунка 2 знайдіть DAC, AD, якщо АВ = ВС, B = 60°.
3. Знайдіть х на рис. 3.

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Теорема (формули доповнення).
2. Наслідок з теореми.
3. Значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60°.

 Зміст матеріалу, поданого в п. 20.1 і 20.2 нового підручника, відріз­няється від змісту відповідного пункту традиційного підручника лише тим, що з теореми (формули доповнення) виведено наслі­док для тангенсу і котангенсу гострого кута. Доведення теореми та знаходження значень тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60° здійснюється традиційним способом (через застосування теореми Піфагора, означення тригонометричних функцій та формул допов­нення до прямокутних трикутників із гострими кутами 30° і 45°). Оскільки зміст матеріалу уроку ґрунтується на добре засвоєних знаннях учнів і вимагає спостережливості  та  вмінь  виконувати обчислення відповідно до змісту теореми  Піфагора, то вивчення матеріалу уроку проводиться у формі практичної роботи (можна в малих групах), результати якого після закінчення оголошуються, коригуються та узагальнюються, а також фіксуються в зошитах учнів у вигляді записів, аналогічних до записів конспекту 22.

Після виконання цієї частини роботи вчитель має зробити акцент на тому, що, з огляду на широку вживаність записаних у таблиці чисел, їх треба вивчити напам'ять. Кращому запам'ятовуванню сприятиме за­стосування формул доповнення та існування певного закону у послі­довності запису чисел (значення синусів кутів 30°, 45°, 60° є дробами, в знаменнику яких стоїть число 2, а в чисельнику — значення квадрат­ного кореня з перших трьох натуральних чисел: = 1, , ), а та­кож використовування інших мнемонічних прийомів (наприклад, виді­лення однакових чисел у таблиці однаковим кольором).

VI. Формування первинних умінь

Виконання усних вправ

1. У прямокутному трикутника ABC з гіпотенузою АВ sin В = а. Чому дорівнює косинус кута А?
2. Чи можуть синус і косинус гострого кута прямокутного трикутни­ка дорівнювати один одному? В якому випадку?
3. У прямокутному трикутнику ABC з гіпотенузою АВ tg А > tg B. Чи може один із цих тангенсів дорівнювати одиниці?
4. Кути α і β — гострі кути прямокутного трикутника. Знайдіть до­буток   tg α · tg β.

Виконання письмових вправ

1. Знайдіть гострий кут х, якщо:

а) sin x = cos 36°;   б) cos x = sin 82°;   в) tg x = ; г) cos x = sin x.

2. Обчисліть:
   а) sin 30° + tg 45°;   б) cos 30° · tg 60°; в) sin 45° – cos 60°.
3. Кути А і В — гострі кути прямокутного трикутника. Знайдіть:

а) sin В і cos В, якщо cos A = 0,6;

б) cos А і tg А, якщо sin В = 0,5.

4. Знайдіть гострий кут х, якщо:

a) tg х = ctg 22°;  б) cos (90° – x) = 0,5.

 Розв'язування запропонованих вправ сприяє закріпленню знань формул доповнення та значень тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60°, а також формуванню вмінь використовувати ці знан­ня під час розв'язування стандартних завдань на розуміння.

VII. Підсумки уроку

Знайдіть помилки в таких рівностях:

1) sin 12° = cos 78°; 2) sin 70° = sin 10°; 3) cos 53° = sin 47°; 

4) cos 25° = sin 65°; 5) cos 21° = sin 69°; 6) sin 34° = cos 56°.

VІІІ. Домашнє завдання

Вивчити зміст і доведення теореми та наслідку з неї, значення тригонометричних функцій кутів 30°, 45°, 60°.

Розв'язати задачі.

1. Накресліть прямокутний трикутник.

а) Виміряйте катет і гіпотенузу трикутника й обчисліть їх відно­шення.

б) Виділіть червоним кольором кут, синус якого знайдено, і синім
кольором — косинус якого знайдено.

2. Знайдіть гострий кут х, якщо:

a) cos x = sin 50°; б) sin x = 0,5; в) tg х = 1.

3. Обчисліть:

а) cos 30° – cos 60°; б) cos 45° · sin45°; в) sin 60° · tg 30°.

4. Знайдіть:
   a) cos α і sin α, якщо sin (90° – α) = 0,8;

б) tg(90° – α), якщо sina = .

Повторити теорему Піфагора; тригонометричні тотожності; нерів­ність трикутника.