Розв'язування прямокутних трикутників

Тема. Розв'язування прямокутних трикутників

Мета: працювати над засвоєнням учнями змісту поняття «розв'язати трикутник» та схем розв'язання чотирьох основних задач на знаход­ження невідомих сторін прямокутного трикутника. Сформувати вмін­ня відтворювати зміст вивчених схем, а також застосовувати їх для розв'язування прямокутних трикутників.

Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок.

Наочність та обладнання: конспект 2.3.

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

За готовими рисунками проводиться усне обговорення плану розв'язання задачі, оголошується правильна відповідь.

Засвоєння теоретичного матеріалу (правил обчислення сторін пря­мокутного трикутника) перевіряється під час виконання математично­го диктанту.

Математичний диктант

1. Закінчіть речення: Катет, що лежить проти гострого кута, дорівнює добутку гіпотенузи на ...
2. Закінчіть речення: Катет, що лежить проти гострого кута, дорівнює добутку іншого катета на ...
3. Закінчіть речення: Катет, прилеглий до даного гострого кута, дорів­нює добутку гіпотенузи на ...
4. Закінчіть речення: Гіпотенуза дорівнює відношенню ...
5. У трикутнику ABC C = 90° AC = а см,  B = β. Як знайти АВ ВС ?
6. У трикутнику MNK N = 90°, MN = а см, M = α. Як знайти МК ? NК ?

III. Формулювання мети і завдань уроку

З метою формування розуміння учнями логіки вивчення матеріалу уроку, та кращого його засвоєння, а також щоб мати можливість провести певні аналогії, вчитель ставить учням такі запитання:

1. Для яких фігур вивчались співвідношення на уроках геометрії ос­таннім часом?
2. Які властивості прямокутного трикутника ви знаєте?
3. За якими ознаками можна встановити, шо-два прямокутні трикут­ники рівні?
4. За якими елементами можна побудувати прямокутний трикутник?
   Скількома способами це можна зробити в певному положенні від­носно даної півпрямої ?
5. Порівняйте відповіді на запитання 3 і 4. За якими елементами, ви­ходячи з цього порівняння, визначається певний прямокутний три­кутник? Чи можна знайти за цими даними всі інші невідомі еле­менти цього трикутника?

Відповідаючи на запитання, учні поступово усвідомлюють, що, ви­ходячи з ознак рівності прямокутних трикутників, певний прямокут­ний трикутник однозначно задається такими парами елементів: гіпо­тенузою та гострим кутом; катетом і гострим кутом; гіпотенузою і катетом; двома катетами.

Отже, завдання на урок — з'ясувати способи обчислення невідомих елементів прямокутного трикутника за кожним із чотирьох виділених пар елементів, а також закріплення вмінь використовувати ці способи для розв'язування практичних задач.

IV. Актуалізація опорних знань

Виконання усних вправ

1. Обчисліть: a) cos α · tg α; б) sin α · tg α (0° < α < 90°), якщо cos α = .
2. Заповніть   пропуски:   a = c · ... B,   b = a · ... A, , .
3. АВ = 10 см, cos А = 0,6  (рис. 1), Знайдіть BC, AC, sin В, tg A.
4. AC = 20 см, tg В = 2 (рис. 1). Знайдіть ВС, sin А.
5. На рисунку 2 ACB = 90°, BD AD .

а) CАВ = α, АC = b, DAB = β. Знайдіть ВС.

б) BC = c, ABC = α, ABD = β. Знайдіть P_AKD.

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Що означає термін «розв'язати трикутник (прямокутний)»?
2. Приклади задач на розв'язування прямокутних трикутників.

 На відміну від традиційного підручника геометрії, у новому під­ручнику вже у 8 класі пояснюється зміст поняття «розв'язати три­кутник (прямокутний)», а також містяться приклади розв'язування чотирьох видів задач на знаходження невідомих елементів прямо­кутного трикутника. Це дозволяє сформувати в учнів алгорит­мічний підхід до розв'язування трикутників і спростити процес розв'язування багатьох геометричних задач.

Вивчення матеріалу проводиться таким чином: спочатку розбирається зміст поняття «розв'язати трикутник (прямокутний)», далі вивчаються розв'язання кожної задачі з тим, щоб далі узагальнити види задач та схеми розв'язання задач окремого виду. Результати цієї роботи фіксуються в зошитах учнів, від яких вимагається не стільки бездумне відтворення формул, скільки розуміння геометричних співвідношень, що за цими формулами стоять (записи схем розв'язання задач — див. конспект 23).

IV. Формування первинних умінь

Виконання усних вправ

1. Дано: АВ = ВС, BD — медіана (рис. 3). Знайдіть BD, AC.
2. Дано: AC = ВС, CD — медіана (рис. 4). Знайдіть АВ.

Виконання письмових вправ

1. Розв'яжіть прямокутний трикутник (рис. 5) за гіпотенузою і гострим кутом с = 8, α = 30°.
2. Розв'яжіть прямокутний трикутник (рис. 5) за катетом і гострим кутом   а = 2, β = 45°.
3. Розв'яжіть прямокутний трикутник (рис. 5) за гіпотенузою і катетом:      с = 9, а = 9.
4. Розв'яжіть прямокутний трикутник (рис. 5) за двома катетами: а = 6, b = 6.
5. Відрізок BD — висота прямокутного трикутника ABC, проведена до гіпотенузи. Розв'яжіть трикутник ABC, якщо:

a) BD = 4, DBC = 60°; 5) AD = 9, C = 10°.

6. У рівнобічну трапецію вписано коло, радіус якого дорівнює 12 см. Знайдіть основи трапеції, якщо довжина бічної сторони дорівнює 25 см.
7. У колі з центром О і радіусом 10 см проведено хорду АВ довжи­ною 16 см. Із центра кола до хорди проведено перпендикуляр, який перетинає хорду в точці Е, а коло — у точці F. Знайдіть довжину відрізка EF.
8. Радіуси двох кіл дорівнюють 8 см і 3 см, а відстань між їх центра­ми — 13 см. Знайдіть довжину їх зовнішньої спільної дотичної.

 Вправи на закріплення алгоритмів, вивчених на уроці, підібрані таким чином, щоб обчислення невідомих елементів трикутників можна було виконати, використовуючи значення тригонометрич­них функцій кутів 30°, 45°, 60°.

Підготовкою до наступного уроку є додаткові вправи. Розв'язавши їх, учні повторюють властивості чотирикутників, які наступного уроку треба буде використовувати разом із алгоритмами розв'язання прямокутник трикутників.

VII. Підсумки уроку

Які елементи слід знати додатково, щоб мати можливість розв'язати трикутники, що зображені на рисунку 6.

VIII. Домашнє завдання

Вивчити зміст матеріалу «Приклади розв'язання прямокутних трикутників».

Розв'язати задачі.

1. Розв'яжіть прямокутний трикутник (рис. 5), якщо:

а) с = 12, α = 28°; б) а = 8, β = 40°.

2. Розв'яжіть прямокутний трикутник (рис. 5), якщо:

а) а = 6, с = 10; б) а = 5, b = .

3. Відрізок BD — висота прямокутного трикутника ABC, проведена до гіпотенузи. Розв'яжіть трикутник ABC, якщо BD = 3, DC = 4.

Повторити властивості рівнобічної трапеції, прямокутної трапеції, метричні співвідношення в прямокутному трикутнику.