Функція у=к/х, її властивості і графік

Тема. Функція у=к/х, її властивості і графік

Мета: домогтися засвоєння учнями основних понять, пов'язаних з означенням функції у=к/х та її властивостями (вид рівняння, область визначення, область значень, вид та назва графіка цієї функції); сформу­вати в учнів первинні вміння: виділяти серед запропонованого списку функцій обернено пропорційні; відтворювати властивості, обернено про­порційних функцій з урахуванням знака коефіцієнта k; будувати графіки функцій, які є оберненою пропорційністю із заданим коефіцієнтом k.

Тип уроку: засвоєння знань та вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Функції».

Хід уроку

I. Організаційний стан

II. Перевірка домашнього завдання
Тестова робота № 4

1. Який із записів є стандартним виглядом числа 0,3005?

2. Укажіть порядок числа 0,353.

3. В якому випадку дію (3 ∙ 10^-5) ∙ (1,2 ∙ 10²) виконано правильно?

4. В якому випадку ділення виконано правильно?

Після проведення тестової роботи обов'язково проводимо пере­вірку та обговорення допущених помилок.

У разі необхідності учням, які виконали роботу на недостатньо ви­сокому рівні, дається додаткове домашнє завдання: виконати роботу над помилками, підготуватися до повторної роботи з цієї теми.

III. Формулювання мети і завдань уроку

З метою створення відповідної мотивації навчальної діяльності учнів на уроці можна запропонувати їм кілька практичних (фізичних та геометричних) задач, в яких йде мова про добре відомі їм із повсяк­денного життя величини, залежність між якими виражається форму­лою виду , де k — деяке фіксоване число (константа), а x та у — саме ті величини, про які йдеться:   наприклад, залежність між швидкістю руху v за прямолінійного рівномірного руху та часом руху t за умови фіксованої відстані s: або залежність між шириною а та довжиною b прямокутника із фіксованою площею s: і т. д.

Після цього цілком логічно пов'язати таку залежність з вивченим попередньо матеріалом (раціональні дроби та функціональні залеж­ності) і поставити питання про існування та властивості загальної функції виду . Вивчення питання про означення та основні властивості функції та їх практичне застосування і становить основну дидактичну мету уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

 З метою успішного сприйняття учнями навчального матеріалу уроку перед вивченням нового матеріалу слід активізувати такі знання і вміння учнів: виконання арифметичних дій (особливо ділення) раціональних чисел; зміст та застосування терміно­логії, пов'язаної з поняттям «функція»; оперативні вміння працювати з рівнянням, що задає функцію (за даним значен­ням аргументу знайти відповідне значення функції, та навпаки, знайти, при якому значенні аргументу функція набуває цього значення; перевірити обчисленням, чи належить точка із зада­ними координатами графіку функції, рівняння якої відоме); побудова точок із заданими координатами в декартовій системі координат, і навпаки, відшукування координат точок, зобра­жених у системі координат.

Виконання усних вправ

1. Дайте означення числової функції. Що називають аргументом функції? Значенням функції?
2. Дайте означення області визначення функції; області значень фун­кції.
3. Що називається графіком функції?
4. Як знайти область визначення функції?
5. Поставте у відповідність рисунки і рівняння функцій:

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Означення оберненої пропорційності. Приклади.
2. Графік функції ; приклад. Як побудувати графік функції, .
3. Властивості функції (за графіком).

 Уведення поняття функції, що мас назву «обернена пропорцій­ність», проводиться на основі практичних уявлень учнів (див. вище). Після введення означення названої функції цілком при­родно перейти до побудови графіків конкретних функцій (для випадку, коли k > 0 і      k < 0 окремо); при цьому важли­во зауважити, що оскільки дана функція не є лінійною, то і графік її не буде прямою лінією, а отже, для більш точної по­будови графіка слід знайти якомога більше точок цього графіка (для більшої наочності на уроці доречним було б застосування відповідних комп'ютерних програм). Під час вивчення питання про особливості графіка функції слід зробити акцепт на таких його особливостях (сприймаючи які, учні найчастіше помиляються):

• графік функції у першу чергу відповідає загальному означенню графіка функції: кожна точка цього графіка мас координатами деяке значення аргументу (взяте з області визначення функції) та відпо­відне значення функції;
• графік функції складається з двох частин, кожна з яких, розгля­нута окремо, є лише частиною графіка;
• графік функції не є дугою кола (тому не можна його будувати, користуючись циркулем);
• графік функції є симетричним відносно початку координат (тобто вітки графіка функції можуть бути розташовані або в І та III координатних чвертях, або в іншому випадку у II та IV координат­них чвертях).

Після побудови графіків (прикладів) функцій та проведеного порівняння узагальнюємо властивості функції та записуємо їх у вигляді таблиці (див. опорний конспект).

VI. Формування вмінь

Виконання усних вправ

1. Яка із заданих функцій є оберненою пропорційністю?

а) y = 3х; б) ; в) ;  г) .

2. Яка область визначення функцій: ; у = 3х; ?
3. В яких координатних чвертях розміщені графіки функцій:; ?

Виконання письмових вправ

Для реалізації дидактичної мсти на цьому уроці слід розв'язати за­вдання такого змісту:

1. Знаходження значень функції (аргументу) при даному значенні аргументу (функції).

1) Знайдіть значення функції при х = -4; х = 2; х = 8.

2) Знайдіть значення х, при яких значення функції дорів­нює: -5; --1; 15.

3) Функцію задано формулою . Заповніть таблицю:

4) Обернену пропорційність задано формулою . Знайдіть значення функції, яке відповідає значенню аргументу, що дорівнює: 100; 1000; 0,1; 0,02. Чи належать графіку цієї функції точки: А (-0,05; -200), В (-0,1; 100),                  С (4О0; 0,025), D (500; -0,02)?

2. Перевірити, чи належать графіку функції точки із заданими коор­динатами (знайти невідому координату графіка функції за відомою іншою або задати обернену пропорційність, якщо відомі координати точки графіка цієї функції).

1) Чи належать графіку функції точки: А(-8; 1), В(-4; -2), С(-2;4), D(-0,5; 8)?

2) Відомо, що деяка функція — обернена пропорційність. Запишіть цю функцію формулою, знаючи, що значенню аргументу, що дорівнює 2, відповідає значення функції, що дорівнює 12.

3) Рухаючись зі швидкістю v км/год, потяг проходить відстань між містами А і B, яка дорівнює 600 км, за t год. Запишіть формулу, яка виражає залежність: a) v від t; б) t від v.

3. Побудова графіка оберненої пропорційності.
   1) Побудуйте графік функції:

a) ; б) ; в) , де -4 ≤ х ≤ 5 (х ≠ 0).

2) Побудуйте графік функції . Користуючись графіком, знай­діть значення функції, які відповідають таким значенням аргумен­ту: -2,5; 5.

3) Побудуйте графік функції, заданої формулою . Знайдіть за графіком:

а) значення у, яке відповідає значенню х, що дорівнює: 4; 2,5; 1,5; -1; -2,5;

б) значення х, якому відповідає у, яке дорівнює: 8; -2.

4) Побудуйте графік функції, заданої формулою:

а) ; б) ; в) ; г) .

5) Задайте формулою обернену пропорційність, знаючи, що її гра­фік проходить через точку:

а) A(8; 0,125); б) В ; в) С(-25; -0,2).

4. Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів, які мають достатній та високий рівні знань.

1) Відомо, що графік функції проходить через точку A(10; 2,4).

Чи проходить графік цієї функції через точку:

а) B(1; 24); б) С; в) D(-2; 12)?

2) Вставте пропущене число:

5. На повторення: вправи на перетворення раціональних виразів, на розв'язування раціональних рівнянь.

1) Спростіть вираз .

2) Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінних значення дробу не залежить від значень цих змінних:

а) ; б) .

3) Розв'яжіть рівняння:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

є) ; ж) ; з) .

 Вправи, винесені па урок, мають на меті, по-перше, сформувати в учнів уміння виділяти обернену пропорційність серед інших функцій, по-друге, вдосконалити обчислювальні навички та на­вички роботи із формулами, по-третє, розвивати графічну культу­ру учнів. Під час виконання всіх запропонованих вправ бажано вимагати від учнів коментарів із використанням матеріалу уроку.

VII. Підсумки уроку

На якому з наведених рисунків зображено ескіз графіка функції ?

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити означення та властивості оберненої пропорційності.
2. Розв'язати вправи на застосування вивчених властивостей.
3. На повторення: означення та властивості лінійної функції; виконати
   вправи на побудову графіка лінійної функції та аналітичного способу
   знаходження координат точок перетину графіків лінійних функцій.