Квадратний корінь з числа. Арифметичний квадратний корінь

Тема. Квадратний корінь з числа. Арифметичний квадратний корінь

Мета: домогтися засвоєння учнями змісту понять «квадратний корінь з числа», «означення арифметичного квадратного кореня з невід'ємного числа» та розуміння співвідношення між цими поняттями; сформувати в учнів уявлення про зміст запису та спосіб знаходження ОДЗ цього виразу; сформувати уявлення про спосіб розв'язання найпростіших ірраціональних рівнянь виду

на основі означення арифметичного квадратного кореня з невід'ємно­го числа; формувати первинні вміння здобувати арифметичний квад­ратний корінь із числа, знаходити ОДЗ найпростішого виразу, що містить арифметичний квадратний корінь, а також розв'язувати най­простіші ірраціональні рівняння.

Тин уроку: засвоєння знань та вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Квадратний корінь та його властивості».

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

Перевірити виконання графічної частини домашнього завдання можна шляхом проведення невеликої тестової роботи № 5 із виконан­ням учнями (або готовими) графіків функції у = х² (завдання на чи­тання графіка та знаходження положення певних точок відносно побу­дованого графіка).

Тестова робота № 5

1. Графіком якої з наведених функцій є парабола з вершиною в точці (0;0)?

2. Функцію задано формулою у = х².  Знайдіть значення у, якщо х = -2.

3. Яке твердження с неправильним?

4. Визначте рівняння, розв'язання якого зображено на рисунку?

III. Формулювання мети і завдань уроку

З метою створення проблемної ситуації та відповідної мотивації діяльності учнів можна запропонувати завдання:

Розв'язати рівняння виду x + a = b, ax = b (відносно змінної х) та відповісти на запитання про спосіб обчислення коренів них рівнянь. х² = а (якщо такі існують) для різних значень змінної (параметра) а.

Далі вчитель пропонує (посилаючись на знання учнів щодо кіль­кості та існування коренів рівняння х² = а, набуті на попередньому уроці) розв'язати рівняння виду х² = а та відповісти на запитання про дію, яку слід виконати для відшукання коренів названого рівняння.

Усвідомлення проблеми, що при цьому виникає (учням поки що неві­дома дія, за допомогою якої можна знайти число, квадрат якого відомий), дозволяє вчителю за участі учнів сформулювати мету уроку: ознайомлення учнів з новою дією, що допоможе знайти число за значенням його квадра­та (вивчення означення цієї дії та особливостей її виконання).

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

 З метою успішного сприйняття учнями навчального матеріалу уроку перед вивченням нового матеріалу слід активізувати такі знання і вміння учнів: піднесення раціональних чисел до квад­рата; застосування властивості степеня з парним показником; застосування властивостей функції у = х² та властивостей її графіка; зміст поняття ОДЗ виразу та способи знаходження ОДЗ раціональних виразів.

Виконання усних вправ

1. Піднесіть до другого степеня числа:

0; 2; -2; 0,3; ; ; 1.

2. Квадрати яких чисел дорівнюють:

0; 1; -0,2; ; 0,004?

3. Точка А(k; 6) належить графіку функції у = х². Чи належить цьому графіку точки: В(k; -6); С(k; 6); М(-k; -6)? Відповідь обґрунтуйте.
4. Знайдіть ОДЗ виразу: 3х + 2; ; ; ; .

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Уявлення про квадратний корінь з невід'ємного числа як корінь рівняння х² = а.
2. Означення арифметичного квадратного кореня з невід'ємного чис­ла. ОДЗ виразу .
3. Як обчислити значення арифметичного квадратного кореня з не­від'ємного числа.
4. Як розв'язати рівняння = a.

 Традиційно формування уявлення учнів про зміст дії добуван­ня квадратного кореня проводиться на прикладі розв'язання задачі на знаходження коренів рівняння х² = а, де а — певне число (бажано для можливості порівняння розглянути кілька прикладів, різних за знаком значень а, використовуючи при цьому уявлення учнів про властивості графіка функції у = х²). Тоді квадратними коренями називають саме корені рівняння х² = а (а > 0). Після чого слід зауважити, що у випадку коли рівняння мас два корені, задача про знаходження квадратного кореня з додатного числа розв'язується неоднозначно, а це означає, то існує необхідність певною способу уточнення, про який саме квадратний корінь з додатного числа йде мова в за­дачі. Таким чином пояснюється необхідність уведення поняття арифметичного квадратного кореня з числа.

Означення арифметичного квадратною кореня з невід'ємного чис­ла формулюється як у словесному вигляді (див. опорний конспект), так і у формі традиційної тотожності. Обговорюючи сформульоване означення, слід ще раз підкреслити, що операція добування квадрат­ного кореня з числа виконується тільки для невід'ємних чисел (ОДЗ виразу є множина невід'ємних чисел).

З означенням арифметичного квадратного кореня з невід'ємного числа тісно пов'язана схема розв'язання рівняння = а. При цьому слід показати учням, що так само, як і під час розв'язування рівняння х² = а, наявність коренів залежить від знака числа а. Але, на відміну від рівняння х² = а, корені рівняння = а знаходяться за означенням арифметичного квадратного кореня як квадрат значення цього кореня. Для кращого засвоєння учнями змісту цього фрагменту, схему розв'я­зання рівняння виду = а записуємо у вигляді алгоритму (див. опор­ний конспект).

Важливо, щоб учні усвідомили різницю в поняттях квадратного ко­реня і арифметичного квадратного кореня (як у формі запису, так і у означеннях). Цьому сприятиме велика кількість розв'язаних на уро­ці і вдома різнопланових задач.

VI. Формування вмінь

Виконання усних вправ

1. Знайдіть усі квадратні корені з чисел; арифметичний квадратний корінь із чисел: а) 49; б) 1; в) 0; г) - 25.
2. Доведіть, що: а) = 9; б) = 0,3; в) .
3. Чи має зміст вираз: а) ; б) ; в) ?
4. Знайдіть квадрати чисел: 10; -8; ; 0,9.
5. Знайдіть значення виразів при х = -5:

х²; (х – 2)²; (х + 1)²; (х + 4)²; |х|; |х – 5|; 2|х| – 3; ; |х| – 5; |х + 5|.

Виконання письмових вправ

Традиційно для письмового розв'язання на першому уроці вивчен­ня означення квадратного кореня і арифметичного квадратного коре­ня пропонуються вправи такого змісту:

1. Доведення, що дане число є (або не є) значенням арифметичного
   квадратного кореня з даного числа.

1) Доведіть, що:

а) число 5 є арифметичним квадратним коренем із 25;

б) число 0,3 є арифметичним квадратним коренем із 0,09;

в) число - 7 не є арифметичним квадратним коренем із 49;

г) число 0,6 не є арифметичним квадратним коренем із 3,6.

2) Доведіть, що: а) ; б) ; в) ; г) .

3) Доведіть, що: а) ; б) .

4) Чи правильна рівність: а) ; б) ; в) ?

5) Доведіть, що: а) ; б) .

2. Знаходження значення арифметичного квадратного кореня (виразу), що містить арифметичний квадратний корінь.

1) Обчисліть:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; є) ; ж) ; з) .

2) Обчисліть: а) ; б) ; в) ; г) .

3) Знайдіть значення виразу: а) + ; б) ·;

в) ; г) ; д) ;

є) ; ж) ; з) .

3. Визначення, чи мас зміст вираз, що містить арифметичний квад­ратний корінь із числа.

1) Чи має зміст вираз: а) ; б) ; в) ?

2) При яких значеннях х має зміст вираз: а) ; б) ; в) ?

3) Чи має зміст вираз:

а) ; б) ; в) ?

4. Розв'язування рівнянь виду (або зводиться до виду) = а.

1) Чи існує значення змінної х, при якому:

а) = 0,1; б) = – 10; в) + 1 = 0; г) – 3 = 0?

2) Знайдіть значення змінної х, при якому правильна рівність:

а) ; б) ; в) .

5. Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів,
   які мають достатній та високий рівні знань.

1) Розв'яжіть рівняння:

а) 5 = 3; б) ; в) ; г) ; д) 1 + = 10.

2) Вставте пропущене число:

 Вправи, запропоновані для розв'язування на уроці, сприяють засвоєнню учнями означень квадратного кореня та арифметич­ного квадратного кореня (див. перший і другий вид завдань), засвоєнню знань про ОДЗ виразу та формуванню вмінь зна­ходити підкореневий вираз за означенням арифметичного квадратного кореня. У розв'язуванні вправ кожного виду не­абияку роль відіграють знання учнями таблиці квадратів нату­ральних чисел та вміння застосовувати значення квадратів з цієї таблиці для піднесення до квадрата цілих та дробових чи­сел, а також подання раціональних чисел у вигляді квадрата де­якого натурального або дробового чисел та вміння «впізнавати» такі числа. Тому впродовж вивчення цієї та інших тем курсу ал­гебри 8 класу корисно буде в систему усних вправ включити за­вдання на відпрацювання цих умінь (корисними для успішного подальшого вивчення алгебри для учнів є знання напам'ять значень квадратів натуральних чисел від 1 до принаймні 20).

VII. Підсумки уроку

В якому з випадків правильно виконано дію?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити означення квадратного кореня та арифметичного квадрат­ного кореня, зміст властивостей та алгоритмів, вивчених на уроці.
2. Розв'язати вправи на застосування вивчених понять (за змістом аналогічні до завдань класної роботи).
3. Повторити: означення рівняння з однією змінною та зміст супутніх понять; графіки функцій у = а та у = х²; розв'язати завдання на по­будову таких графіків.