Функція , її властивості та графік.

Тема уроку. Функція , її властивості та графік.

Мета уроку: сформувати знання учнів про означення, вид графіка та алгоритм побудови графіка квадратичної функції. Сформу­вати первинні вміння розпізнавати квадратичну функцію серед інших елементарних функцій, знаходити координати вершини та напрям віток графіка квадратичної функції, виконувати побудову графіка квадратичної функції за ви­вченими алгоритмами. Повторити загальні властивості функцій, а також схеми виконання основних видів геоме­тричних перетворень графіків функцій.

Тип уроку: формування знань, вироблення первинних умінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект № 15, роздавальний матеріал (картки з розв'язаннями домашніх вправ).

Хід уроку

І. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Учитель збирає зошити з виконаним домашнім завданням на перевірку (роботи можна оцінити як домашню самостійну роботу). На уроці можна озвучити найскладніші моменти домашнього за­вдання. Правильні розв'язання можна дати учням для самостій­ного опрацювання у вигляді роздавального матеріалу.

III. Формулювання мети і завдань уроку.

Мотивація навчальної діяльності учнів

Якщо учні мають хоча б первинне уявлення про структуру шкільного курсу алгебри (цю інформацію вчитель міг надати учням раніше, ще на початку вивчення даного розділу), то вони знають, що функціональна лінія є однією з п'яти основних зміс­товних ліній шкільного курсу алгебри, а тому вивчення способів побудови графіків функцій шляхом геометричних перетворень пов'язане з необхідністю розгляду інших, окрім названих нижче, елементарних функцій. Також учні мають усвідомити той факт, що, вивчивши способи геометричних перетворень графіків функ­цій, можна побудувати графік будь-якої алгебраїчної функції, рівняння якої утворене з найпростіших рівнянь функцій: y = kx; у = ; у = х²; у = х³; у = . Тому цілком логічно після вивчен­ня способів перетворень графіків елементарних функцій вивчити питання про інші, крім названих, види функцій та їхні графіки. Однією з таких функцій є функція, графік якої можна утворити з графіка функції у = х² шляхом виконання одного або кількох геометричних перетворень, — квадратична функція. Ці слова вчи­теля визначають основну дидактичну мету уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1. Виділіть повний квадрат у виразі:

1) х² + 2х + 1;  2) х² + 2х + 2;  3) х² + 2х;

4) -х² – 2х – 1;  5) -х² – 2x – 2;  6) -х² – 2х + 2.

2. Опишіть перетворення, за Допомогою якого з графіка y = f(x) можна побудувати графік функції g(x), якщо:

1) g(x) = -f(x);  2) g(x) = 2f(x);  3) g(x) = f(x);

4) g(x) = f(x + 2);   5) g(x) = f(x) – 2.

3. Розв'яжіть рівняння:

1) х² + х = 0;  2) х² + 2x + 1 = 0;

3) x² – 3x + 2 = 0;  4) 2х² – 5х + 2 = 0.

4. Назвіть коефіцієнти квадратного тричлена:

1) 3х² – 5х + 2;   2) х² – 5х;   3) -х² – 2;   

4) -х²;    5) х².

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1. Означення квадратичної функції.
2. Графік квадратичної функції.
3. Алгоритм побудови графіка функції y = ax² + bx + c.

Опорний конспект № 15

Методичний коментар

На даному уроці починається кропітка робота з вивчення влас­тивостей квадратичної функції та вироблення сталих умінь учнів виконувати побудову графіка квадратичної функції за загальною схемою [7, с. 48].

Традиційно вивчення цього питання проводилось у два етапи: спочатку вивчалось питання про вид графіка та властивості функ­ції у = ах², а далі вже вивчались властивості та вид графіка функ­ції у = ах² + bх + с. Проте відповідно до змін у програмі 12-річної школи в порівнянні з попередньо діючою програмою вивчення пи­тання про вид графіка та властивості квадратичної функції у 9 кла­сі 12-річної школи доцільно провести дедуктивним методом: сфор­мулювати загальне означення квадратичної функції у = ах² + bх + с, потім довести, що її графіком буде парабола певного виду (через перетворення рівняння квадратичної функції виділення квадрата двочлена), після чого сформулювати загальний алгоритм побудови графіка квадратичної функції; а вже після цього розглянути окре­мі випадки квадратичної функції та зробити відповідні поправки до загального алгоритму побудови її графіка.

При формуванні знань учнів про зміст означення квадратичної функції слід звернути увагу на той факт, що в означенні вказано лише обмеження для старшого коефіцієнта квадратного тричлена в правій частині рівняння                у = ах² + bх + с, а це означає, що інші коефіцієнти кожний окремо та разом можуть набувати різних за знаком значень, а також дорівнювати 0 (слід розглянути відпо­відні приклади).

При вивченні питання про побудову графіка квадратичної функції слід нагадати учням, що графік функції у = х², з якого, власне, і починається побудова графіка квадратичної функції, бу­дується по точках (з урахуванням симетричності параболи).

VI. Формування первинних умінь

Усні вправи

1. Яка з наведених функцій є квадратичною:
   1) у = х²; 2) у = х² + 2;  3) у = -х² – 2х + 1;  4) у = х² – х + х³?
2. На рисунку зображено графік функції у = ах² + bх + с. Використавши подані на ри­сунку умови, укажіть:

Письмові вправи

Зміст вправ уроку може бути таким:

1. визначити, чи є дана функція квадратичною;
2. за даним рівнянням квадратичної функції визначити напрям віток, координати вершини, нулі функції (якщо вони є) та ко­ординати точки перетину параболи з віссю ординат;
3. побудувати графік квадратичної функції загального вигляду та окремих випадків;
4. на повторення: для функцій, графіки яких будуть побудовані протягом уроку, визначити область значень, проміжки зростання та спадання, проміжки, на яких функція додатна або від'ємна.

Методичний коментар

Як усні, так і письмові вправи уроку передбачають закріплен­ня знань учнів про зміст вивчених на уроці понять та вироблення вмінь використовувати ці поняття та алгоритми для побудови гра­фіків квадратичних функцій. Вправи на повторення (на визначен­ня основних властивостей квадратичної функції за побудованим графіком) спрямовані, по-перше, на вироблення навичок роботи з графіками, а по-друге, підготовляють учнів до сприйняття мате­ріалу наступного уроку (узагальнення властивостей квадратичної функції).

VII. Підсумки уроку

Контрольні запитання

1. Опишіть, що являє собою графік функції:
   1) y = х²; 2) у = 2х²; 3) y = 2(x – 1)² + 1;     4) у = 2х² – 4х + 1.
2. Який із наведених графіків відповідає рівнянню у = х² – 2х? Відповідь обґрунтуйте.

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити означення квадратного рівняння, алгоритм побудови графіка квадратичної функції (див. опорний конспект № 15).
2. Розв'язати вправи різного рівня складності на застосування вивченого алгоритму.
3. Повторити властивості функції, формулу коренів квадратного рівняння.