"Геометрична прогресія". Презентація до уроку.

Геометрична прогресія9 клас Учитель Рудник Р. О. Школа 210

16.31.• Чи є послідовність (an) арифметичною прогресією, якщо її задано формулою n-го члена: 1) an = –6n + 3; 2) an = 2n2 – n; 3) an = –2,8n ?У разі ствердної відповіді вкажіть перший член і різницю прогресії.1. Яку послідовність називають арифметичною прогресією?2. Яке число називають різницею арифметичної прогресії? Як позначають це число?Повторення матеріалу. Арифметична прогресія.

Розглянемо різницю двох довільних послідовних членів послідовності: 1). 𝒂𝒏 = –6n + 3; 𝑎𝑛+1 - 𝑎𝑛= -6( n + 1)+3 –( -6n + 3)= -6n – 6 +3 +6n - 3== -6. Отже, при будь-якому натуральному n виконується рівність 𝑎𝑛+1= 𝑎𝑛- 6, тобто кожний член даної послідовності, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додано одне й тесаме число (-6). Таким чином, дана послідовність є арифметичною прогресією, 𝑎1= - 3; d = - 6. Р о з в ’я з а н н я.

2) 𝑎𝑛 = 2𝑛2 - n. Розглянемо різницю двох довільних послідовних членів послідовності:  Р о з в ’я з а н н я.𝑎𝑛+1 - 𝑎𝑛= 2(𝑛+1)2− 𝑛+1 −2𝑛2 - n = 2𝑛2+ 4n ++2- n - 1 −2𝑛2 - n = 2n + 1. Дана послідовність не є арифметичною прогресією. 3) 𝑎𝑛=-2,8n . Знайдемо різницю двох довільних послідовних членів послідовності: 𝑎𝑛+1 - 𝑎𝑛= -2,8(n+1)-( -2,8n)= -2,8n – 2,8 +2,8n= -2,8. Дана послідовність є арифметичною прогресією, 𝑎1=-2,8; d=-2,8. 

1, 3, 9, 27, 81, 243, ...,5; –0,5; 0,05; –0,005; 0,0005; ... .кожний наступний член послідовності отримано в результаті множення попереднього члена на одне й те саме число. Для першої послідовності це число дорівнює 3, для другої це число дорівнює –0,1. Розглянемо числові послідовності:

З подібними послідовностями можна зустрітися, наприклад, під час вивчення зростання колонії бактерій, при щомісячній оцінці суми грошей на рахунку, що покладені в банк під відсотки. Такі послідовності називають геометричними прогресіями.

Г е о м е т р и ч н о ю п р о г р е с і є ю називають послідовність із відмінним від нуля першим членом, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену,помноженому на одне й те саме відмінне від нуля число. Наведіть приклади числових послідовностей, які будуть геометричними прогресіями. О з н а ч е н н я.

𝑏2 = 𝑏1.q; 𝑏3 = 𝑏2. q = 𝑏1. q . q = 𝑏1.𝑞2; 𝑏4 = 𝑏3. q = 𝑏1. 𝑞2.q = 𝑏1. 𝑞3;    𝑏5 = 𝑏4  . q = 𝑏1. 𝑞3 . q = 𝑏1. 𝑞4 …. Формула n – го члена геометричної прогресії : 𝒃𝒏= 𝒃𝟏𝒒𝒏−𝟏  З означення геометричної прогресії випливає:

Число, що дорівнює відношенню наступного і попереднього членів послідовності, називають знаменником геометричної прогресії та позначають буквою q : bn + 1 = bnq. Отже, щоб задати геометричну прогресію, потрібно вказати її перший член і знаменник. 𝒃𝒏 = 𝒃𝟏𝒒𝒏−𝟏 

Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, крім першого (і останнього, якщо прогресія є скінченною), дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів. 𝒃𝒏𝟐= 𝒃𝒏−𝟏. 𝒃𝒏+𝟏 Властивість геометричної прогресії

Шахи було вигадано в Індії, і коли індуський цар Шерам побачив їх, то був вражений тим, яка це розумна гра. Дізнавшись, що їх винайшов один із його підлеглих, цар наказав покликали його, щоб особисто нагородили за такий вдалий винахід. Винахідник, якого звали Сету, прийшов до трону володаря  Я хочу гідно тебе винагородити, Сету, за чудову гру, - сказав цар. – Я достатньо багатий, щоб виконати твоє найсміливіше бажання.– Доброта твоя безмежна, володарю, але дай мені час подумати над відповіддю. А коли Сету наступного дня знову з`явився до трону, то скромність його дуже вразила царя.- Володарю, - сказав Сету, - накажи видати мені першу клітину шахівниці одне одне пшеничне зернятко.- Звичайне пшеничне зернятко? – здивувався цар.- Так. За другу клітинку – 2 зернятка, за третю – 4,  за четверту – 8, за п’яту – 16, за шосту – 32…- Годі, - роздратовано перебив його цар. – Ти отримаєш свої зернятка за всі 64 клітинки! Наступного дня цар поцікавився, чи отримав Сету свою винагороду.   Легенда про шахи.

 Але з`ясувалося, що в усіх коморах царства немає такої кількості зерен. Нема й на всій Землі. І якби навіть цар наказав обернути всі землі царства на поля, висушити моря й океани, розтопити сніги й кригу, що вкривають північні пустелі, а весь цей простір засіяти пшеницею, то все, що зійшло б на цих полях, потрібно було б відати Сету.– Скажи мені це дивовижне число, - попрохав цар.– Вісімнадцять квінтильйонів чотириста сорок шість квадрильйонів сімсот чотири трильйони сімдесят три більйони сімсот девя⁢т⁢ь ⁢м⁢і⁢л⁢ь⁢й⁢о⁢н⁢і⁢в ⁢п⁢’⁢я⁢т⁢с⁢о⁢т ⁢п’ять мільйонів п’ятсот пятдесят  одна тисяча шістсот п'ятнадцять, о володарю!  і незабаром монарх зрозумів, що такої кількості зерна немає на всій планеті (вона дорівнює 264 − 1 = 18 446 744 073 709 551 615 ≈1,845×1019).

Також до нас дійшли задачі, датовані ХІІІ століттям, для розв’язку яких використовується геометрична прогресія. Наприклад, задача про сім старців, написана Леонардом Пізанським в «Книзі про абаке», в якій йдеться мова про 7 паломників, прямуючих до Риму, у кожного з яких 7 мулів, на кожному з яких по 7 мішків, в кожному з яких по 7 хлібів, в кожному з яких по 7 ножів, кожен з яких в 7 піхвах. У задачі питається, скільки всього предметів. Леона́рдо Піза́нський, відоміший як Фібоначчі - італійський математик 13 століттяІСТОРИЧНІ ЗАДАЧІ НА ГЕОМЕТРИЧНУ ПРОГРЕСІЮ

Єгипетський папірус - близько 2000 років до н. е. Геометрична прогресія відома людству вже давно. Уже в Стародавньому Єгипті знали і використовували геометричну прогресію, про що свідчить задача, знайдена археологами на папірусі: «У семи осіб по сім кішок, кожна кішка з'їдає по сім мишей, кожна миша з'їдає по сім колосків, з кожного колоса може вирости по сім мір ячменю. Як великі числа цього ряду і їх сума? »

Розв’язати задачу. У семи осіб сім кішок, кожна кішка з’їдає по сім мишей, кожна миша з’їдає по сім колосків ячменю, із кожного колоска може вирости по сім мір зерна. Скільки мір  зерна збережеться завдяки цим кішкам? (𝑏𝑛) - геометрична прогресія. 𝑏1= 7, q = 7, n = 5.𝑏5 = 7 * 74 = 7 * 49* 49= 16807 ( мір зерна). 

Задача із „ Арифметики „ Л. Магницького. Дехто хотів підкувати свого коня і звернувся до коваля з проханням взяти з нього подешевше. Коваль запропонував:  „Заплати мені тільки за цвяхи, яких я затрачу 24 штуки. За перший цвях заплати мені 14  к., за другий  12 к., за третій — 1 к., і т. д., весь час подвоюючи плату за кожен наступний цвях”. Скільки б прийшлось заплатити при такому способі розрахунку тільки за останній цвях?  

(𝑏𝑛) геометрична прогресія.𝑏1 = 14 ; 𝑏2 = 12 ; 𝑏3 =1,…Знайти 𝑏24 - ?𝑏24  = 𝑏1 . 𝑞23 = 14 . 223 = 2−2 . 223 = 221 = 210 .210 . 2 == 1024* 1024 *2 = 20971p. 52 коп. Розв’язання задачі.

18.1.° Середы наведениях послідовностей укажіть геометричні прогресії, перший член і знаменник кожної з них:1) 2, 6, 18, 36; 4) 81, 27, 9, 3; 7) –9, –9, –9, –9;2) 4, 8, 16, 32; 5) 2, –2, 2, –2; 8) 1, 2, 3, 5;3) 10, 20, 30, 40; 6) 2, 2, 2 2, 4. 18.6.° Чому дорівнює перший член геометричної прогресії (bn), якщо b2 = 12, а знаменник прогресії q = 1/3?Розв’язати вправи

18.8.° Знайдіть чотири перших члени геометричної прогресії (xn), якщо x1 = 0,2, а знаменник прогресії q = –5. 18.17.° Вкладник поклав до банку 5000 грн під 8 % річних. Скільки грошей буде на його рахунку через три роки?Початковий капітал, який дорівнює 𝑎0, поклали в банк під p % річних. Тоді в кінці n-го року матимемо:𝑎𝑛= 𝑎0(1+𝑝100)𝑛 - формула складних відсотків. Розв’язати задачи

18.27.• Число 486 є членом геометричної прогресії 2, 6, 18, ... . Знайдіть номер цього члена. Формула n – го члена геометричної прогресії : 𝒃𝒏 = 𝒃𝟏𝒒𝒏−𝟏 За умовою задачі: bn =486,  b1= 2, q = …  Розв’яжіть задачу

1) b5, якщо b4 = 9, b6 = 25; 2) b20, якщо b19 = –3, b21 = –12;3) b17, якщо b16 = 2, b18 = 10. Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, крім першого (і останнього, якщо прогресія є скінченною), дорівнює добутку двох сусідніх із ним членів. 𝑏𝑛2= 𝑏𝑛−1. 𝑏𝑛+1 18.33.• Послідовність (bn) є геометричною прогресією. Знайдіть:

П.18 - прочитати матеріал, вивчи правила, формули. Виконати завдання № 18.3, № 18.5, № 18.7, №18.14. Домашнє завданн