Інтерактивні вправи на повторення планіметрії

Знайдіть пари різних кутів 1 4 6 7 2 3 5 8 односторонні внутрішні відповідні різносторонні зовнішні односторонні зовнішні різносторонні внутрішні 4і5,3і6- 1і8,2і7- 1і7,2і8- 1і5,4і8,2і6,3і7- 3і5,4і6- Кликніть на прямокутники

Знайдіть градусну міру кута позначеного на малюнку ? 46⁰ 104⁰ 150⁰

Прямі m і n паралельні. Визначити величину кута позначеного на малюнку 15⁰ 25⁰ m n ? 40⁰ Розв’язок 180⁰- (25⁰+15⁰)= 40⁰

" " Як називається відрізок АВ? Висота Медіана Бісектриса Бісектриса Висота Медіана Висота Бісектриса Медіана Медіана Бісектриса Висота А А А В В В Кликніть на вірну назву

Нерівніть трикутника. Знайди трикутники, які не існують. А В С 12 18 8 Q R N 7 6 14 А В С 4 11 7 Q R N 8 9 14 18<12+8 (Вірно) 11<4+7 14<6+7 14<9+8 (Вірно) Досить переверити виконання нерівності для більшої сторони. Кликніть на трикутники

Основа рівнобічного трикутника дорівнює 7см, а бічна сторона – 10см. Чому дорівнює довжина відрізка, який сполучає середини бічних сторін трикутника? Підказка Середня ліінія трикутника 3,5

? 125⁰ Градусна міра зовнішнього кута А рівнобедреного трикутника дорівнює 125⁰. Знайдіть градусну міру внутрішнього кута В. В А С Перевірка 125⁰ - 55⁰ = 70⁰ 70⁰

4 3 х Знайди х Єгипетський трикутник - прямокутний трикутник із співвідношенням сторін 3:4:5. Сума вказаних чисел (3+4+5=12) з давніх часів використовувалася як одиниця кратності при побудові прямих кутів за допомогою мотузка, розміченого вузлами на 3/12 і 7/12 її довжин. Застосовувався єгипетський трикутник в архітектурі середніх віків для побудови схем пропорційності. Корисно пам’ятати довжину сторін деяких прямокутних трикутників. Єгипетський трикутник: сторони дорівнюють 3, 4, 5 одиниць. Тобто можливі варіанти: 3, 4, 5, або 6, 8, 10, або 3k, 4k, 5k. 5 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25. Запамятай!

За відомими елементами прямокутного трикутника визначити катет АС А В С В А С 30⁰ 16 45⁰ 4√2 Перевірка Перевірка АС= ΑΒ ⁄ 2=8 АС=АВ, 2хІ= 32, АС = 4 х

Вивчи співвідношення в прямокутному трикутнику, натискаючи на назву тригонометричної функції sin30⁰ cos30⁰ tg30⁰ ctg30⁰ sin60⁰ cos60⁰ tg60⁰ ctg60⁰ 30⁰ 60⁰ 1 2 ― 30⁰ 60⁰ 1 2 ― 30⁰ 60⁰ 1 2 ― 30⁰ 60⁰ 1 2 ― 30⁰ 60⁰ 1 2 ― 30⁰ 60⁰ 1 2 ― 30⁰ 60⁰ 1 2 ― 30⁰ 60⁰ 1 2 ― √3 √3 √3 √3 √3 √3 √3 √3 Кликніть на прямокутники

Теорема Піфагора c b b c c а b a b а b c 1 3 5 15 9 =12 10 6 =8 3 12 d₂=10 d₁=24 =13 Прямокутник Рівнобедрений Ріомб Квадрат 2√2 =2 10 12 6 =8 =8 17 15 7 6 5 =13 Кликніть на червоні прямокутники

А В С 5 50⁰ 20⁰ ? Теорема синусів = В А С 10 75⁰ 45⁰ ?

Теорема косинусів Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 9 см, 8 см. Знайти косинус кута, який лежить проти більшої сторони. 9 A B C ABІ=ACІ+CBІ-2AC·CB·cosα 6 8 α 81 = 36 + 64 - 2·6·8cosα 96 cosα=19 cosα=19/96 Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 7 см, а кут між ними 60°. Знайдіть третю сторону трикутника. Перевірка(2) xІ=5І+7І-2·5·7·cos60⁰; x=√39 5 7 60⁰ x

S S S R r S Площа трикутника 8 10 = 40 = 8 = 4√6 =1176 = 2 = 8,125 30⁰ 4 8 4 5 7 14 15 13 R r 29 6 25 бісектриса 40 30 Кликніть на прямокутники

1 3 2 4 Підказка Поміркуй! Поміркуй! Поміркуй! Вірно! В прямокутний трикутник з катетами a і b вписано квадрат, який має з трикутником спільний прямий кут. Знайдіть периметр квадрата а b Кликніть на вірну відповідь

Поміркуй! Вірно! Поміркуй! Поміркуй! Властивість перпендикуляра опущеного з вершини прямого кута прямокутного трикутника 1 2 3 4 Перевірка Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 12 см. Обчислити довжину катета, проекція якого на гіпотенузу дорівнює 3 см. 3 12 ? 9 см 6 см 36 см; 15 см;

2 3 1 4 Підказка Поміркуй! Поміркуй! Поміркуй! Вірно! Чому дорівнює площа прямокутного трикутника, якщо його висота ділить гіпотенузу на відрізки 32 см і 18 см? 600смІ 576смІ 50смІ 124смІ 32 18 h Властивість висоти прямокутного трикутника

А В С M N K ΔABC~ΔMNK 25⁰ 75⁰ Знайти всі кути трикутників 75⁰ 25⁰ 80⁰ 80⁰ Для перевірки кликни по відношеннях.

2 3 1 4 Підказка Поміркуй! Поміркуй! Поміркуй! Вірно! Кут В спільний для трикутників АВС і МВN На малюнку АВ = 10 см, ВМ = 8 см, ВС = 5 см, ВN=4 см. Яке з тверджень 1-4 є правильним? Трикутники АВС і МВN ... А M B N C подібні за 1 ознакою; подібні за 2 ознакою; подібні за 3 ознакою не є подібними

Висоти трикутника АВС, проведені з вершин А і С перетинаються в точці М. Знайдіть ∠ АМС, якщо ∠ А=70⁰, ∠ С=80⁰. M A B C Розглянь кути чотирикутника BDMF D F 1 2 3 4 10⁰ 130⁰ 150⁰ 20⁰ Підказка Поміркуй! Поміркуй! Поміркуй! Вірно!

Розглянь кути трикутників, що утворилися 1 3 2 4 Підказка Поміркуй! Поміркуй! Поміркуй! Вірно! На малюнку прямі АВ і СD паралельні. Знайти АО, як­що АВ = 3 см, DС = 12 см, ОС = 6 см. A B C D O 3 см; 1,5 см б см 2 см;

2 3 1 4 Підказка Поміркуй! Поміркуй! Поміркуй! Вірно! 9см 25см 10см 12см Серединний перпендикуляр до сторони АВ рівнобедреного трикутника АВС перетинає сторону ВС в точці Е. Знайдіть основу АС, якщо периметр трикутника АСЕ дорівнює 27 см, а АВ=18 см. А В с Е М * = =

Обчисліть площу чотирикутника ABCD (див. рисунок), cторони AB і CD якого паралельні вісі Оу 1 2 3 2 5 0 A C B D x y Підказка S = 2·3=6 кв.од. Перевірка

Перевірка 0,18Ч80=14,4т Норма висіву ярої пшениці 0,18 т на 1 га. Скільки пшениці потрібно буде для засіву прямокутної ділянки, розміри якої на плані з масштабом 1:10 000 дорівнюють 10см х 8см? Норма висіву озимої пшениці – 0,24т на га. Скільки пшениці потрібно для засіву прямокутного поля, сторони якого на плані в масштабі 1:10 000 дорівнюють 10 і 8 см? Перевірка 0,24Ч80=19,2т Площа

S = 1 м2 1 м 1 м 10 м 10 м S = 100 м2 = 1 ар (1 сотка) 100 м 100 м S = 10000 м2 = 1 гектар Дві ділянки землі загородили огорожею однакової довжини. Перша має форму прямокутника з сторонами 180 м і 140 м, а друга – квадрата. Яка з ділянок більша за площею і на скільки? Перевірка 180Ч140=2,52 га, 160Ч160=2,56га 2,56-2,52=0,04га Ділянка в формі трикутника з сторонами 215м, 500м і 427м засіяна пшеницею сорта «Безоста 1». Скільки пшениці зібрали з поля, якщо в середньому з га зібрали 3 т?(Обчислити з точністю до 100 кг) Перевірка 4,6Ч3=13,8т Площа

Знайти площу поля , якщо маcштаб 1: 10 000 Підказка Перевірка 6·4·10⁸=24·10⁸смІ=24·10⁴мІ=24га Площа

Норма висіву озимої пшениці – 0,24т на га. Скільки пшениці потрібно для засіву поля, зображеного на малюнку в масштабі 1:10000, якщо розміри клітинки 1смЧ1см ? Підказка Перевірка (7·5)-(3·3+5·2+2·5):2=10,5смІ=10,5га; 10,5·0,24=2,52т Площа

А В С D K На рисунку зображений прямокутник АВСD і рівноcторонній трикутник АВК, периметри яких відповідно дорівнюють 20см і 12см. Знайти периметр п’ятикутника АКВСD Підказка l l l l Перевірка ВК=12 : 3=4, ВС=(20-4·2):2=6, Р=4·3+6·2=24см

А B C D O ABCD – прямокутник. Яким є трикутник АОВ? Перевірка АО=ОВ , то ΔАОВ - рівнобедрений

Точка М – середина сторони квадрата АВСD. Площа зафарбованої частини дорівнює 7. Знайдіть площу всього квадрата. В С D M А Підказка Перевірка 7 7 14

Сума градусних мір двох кутів паралелограма дорівнює 150⁰. Знайдіть градусну міру більшого кута паралелограма. Підказка 180⁰- 75⁰ =105⁰ Перевірка ? 105⁰

АВСD – паралелограм. Знайти кут N M N K L 30⁰ 150⁰ 180⁰- 30⁰= 150⁰ Перевірка

A B C D Якщо О- точка перетину діагоналей ромба АВСD, то ΔАОD: О Прямокутний Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні Перевірка

? Периметр ромба 24 см. Чому дорівнює сторона ромба? 6 Перевірка 24:4=6

Яке з тверджень є правильним? Діагоналі ромба рівні. Якщо протилежні сторони чотирикутника рівні, то він- паралелограм. Діагоналі прямокутника взаємно перпендикулярні. Паралелограм, у якого кути рівні, є квадратом. 1 2 3 4 Поміркуй! Поміркуй! Поміркуй! Вірно!

Поміркуй! Вірно! 30⁰ Діагональ ромба утворює зі стороною кут 30⁰. Чому дорівнює більший кут ромба? 120⁰ 80⁰ 90⁰ 150⁰ Поміркуй! Поміркуй! 30⁰∙2 = 60⁰, 180⁰−60⁰=120⁰ 1 2 3 4 Перевірка

Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою гострого кута. Знайти бічну сторону трапеції, якщо її основи дорівнюють 7см і 15см 7 15 Підказка ? 15 7 11 5 Поміркуй! Вірно! Поміркуй! Поміркуй! 1 2 3 4

Який кут утворює діагональ квадрата зі стороною? 1 2 3 4 45⁰ 90⁰ 60⁰ 22⁰30ґ Поміркуй! Поміркуй! Поміркуй! Вірно! Перевірка 90⁰: 2 = 45⁰

ABCD – чотирикутник. M. N. K. L – середини сторін. Який вид чотирикутника MNKL? 1 2 3 4 Квадрат Ромб Паралелограм Трапеція A B C D K N M L Поміркуй! Поміркуй! Поміркуй! Вірно! Підказка

Висоти паралелограма дорівнюють З см і 5 см, а більша сторона 10 см. ЗНАЙТИ меншу сторону паралелограма. 3 5 10 ? Знайди сторону через площу по висоті Підказка S = 30/5= 6cм

Сторони паралелограма дорівнюють 3 дм і 5 дм, а одна із його діагоналей дорівнює 4 дм. Знайдіть суму довжин двох висот паралелограма, проведених із однієї вершини 3 4 5 а) 6,8 дм б) 6,4 дм в) 6 дм г) 9 дм 1 2 3 4 Поміркуй! Поміркуй! Поміркуй! Вірно!

Сторона квадрата дорівнює 10см. Знайдіть площу вписаного в нього круга. 10 5 Підказка S=25π смІ Перевірка

Сторони прямокутника дорівнюють 2см і 6см. Знайдіть площу описаного навколо нього круга. 2 6 Перевірка S = 10π смІ

Трапеція ABCD вписана в коло (ВС II AD), АВ = 6см, а ВD перпендикулярна АВ, ВD = 8 см. Знайдіть площу круга, обмеженого цим колом. A B C D 8 6 Перевірка S = 25π смІ

ABCD –паралелограм, О – точка перетину його діагоналей. Знайдіть площу паралелограма, якщо площа трикутника АВО дорівнює 7,5 смІ A B C D O 24 смІ 20 смІ 25 смІ 30 смІ 1 2 3 4 Поміркуй! Поміркуй! Поміркуй! Вірно!

ABCD – трапеція, AB перпендикулярна AD, ВС = 6см, а АС перпендикулярна СD, АС = 10 см. Знайдіть площу трапеції. A B D C Перевірка

Площа ромба 6 60⁰ d₁=15 12 5 15 24 d₂=6 3 S S S S S S = 18√3 = 45 = 15 10√3 120⁰ 13 = 1215 * = 120 = 150√3

Площа чотирикутника 30⁰ S S S S S S 5 8 60⁰ 7 9 150⁰ = 12 = 20√3 = 63 = 60 5 8 4 5 = 25 = 30 d₁= 8 d₂= 6 d₁= 16 d₂= 15

Знайдіть многокутники, які не існують 11<2+4+6 (Вірно) 12<4+4+2+1 22<6+8+5+3 6<2+2+4 (Вірно) Досить переверити виконання нерівності для більшої сторони. 6 11 2 4 3 5 8 6 22 1 4 4 12 2 2 2 4 6 Перевірка (4)

Обчислити суму внутрішніх кутів опуклого 7-кутника. Обчислити довжину кола, радіус якого дорівнює ІОсм. О 10см Підказка(2) 900⁰

Обчислити внутрішній кут правильного 8-кутника Обчислити довжину дуги кола радіуса І2см, яка відповідає центральному куту 30е Підказка (2) (n - 2)180⁰ / n 30⁰ 135⁰

Чи існує опуклий многокутник, сума внутрішніх кутів якого дорівнює 1450°? Радіус кола, описаного навколо правильного чотирикутника, дорівнює 5√2см. Обчислити сторону чотирикутника. Радіус кола, вписаного в правильний трикутник, дорівнює З√З см. Обчислити сторону трикутника. На скільки зміниться довжина кола, якщо його діаметр збільшити на 6см? R a a r d Підказка Підказка Підказка Підказка Ні 10 18 збільшиться на

Дано: О - центр кола. Знайти х О х⁰ 50⁰ х⁰ О О 120⁰ х⁰ 50⁰ О х⁰ 50⁰ х⁰ О 35⁰ О х⁰ О 110⁰ х⁰ 130⁰ 90⁰ 100⁰ 55⁰ 60⁰ 125⁰ 140⁰ 50⁰ О 110⁰ х⁰

1. Центральний кут дорівнює 40⁰,чому дорівнює вписаний кут? 2. Вписаний кут дорівнює 45⁰,чому дорівнює центральний кут? 3. Який центральний кут більший від відповідного йому вписаного на 70⁰? 4. Вписаний кут прямий, яким є відповідний йому центральний кут? 5. Вписаний кут спирається на діаметр кола, яким є відповідний йому центральний кут? 6. Коло з центром О точками А, В, С поділено на 3 рівні дуги, знайдіть міри кутів АОС, АВС. 20⁰ 90⁰ 140⁰ 180⁰ 180⁰ 120⁰ і 60⁰

Задачі для самоконтролю по темі “Трикутник” Приклад 1. Довжини катетів прямокутного трикутника дорівнюють 5 і 12. Обчислити довжину гіпотенузи трикутника. Приклад 2. Довжина гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнюЄ 13, а одного з катетів – 5. Обчислити довжину другого катета. Приклад 3. Довжини сторін трикутника дорівнюють 17, 17 і 30. Знайти медіану трикутника, що опущена на більшу сторону. Приклад 4. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 15, а довжина медіани, опущеної на основу, – 9. Знайти основу трикутника. Приклад 5. Сторони трикутника дорівнюють 5, 7 і 10. Обчислити периметр трикутника, вершинами якого є середини сторін даного трикутника Приклад 6. У прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу на відрізки довжиною 5 і 12. Обчислити довжину більшого катета трикутника. Відповідь: 13 Відповідь: 12 Відповідь: 8 Відповідь: 24 Відповідь: 11 Відповідь: 15

Задачі для самоконтролю по темі “Трикутник” Приклад 7. Медіана, опущена на гіпотенузу прямокутного трикутника, дорівнює 5, а один з катетів – 6. Знайти радіус вписаного кола. Приклад 8. У прямокутний трикутник з катетами 3 і 7 вписано квадрат, що має з трикутником спільний прямий кут. Обчислити периметр квадрата. Приклад 9. Площа рівностороннього трикутника дорівнює 12√3 . Обчислити радіус кола, описаного навколо цього трикутника. Приклад 10. Довжини сторін трикутника дорівнюють 2, 4 і 5. Обчислити косинус кута трикутника, що лежить навпроти найменшої сторони. Приклад 11. Площа рівностороннього трикутника дорівнює 27√3 . Обчислити радіус кола, вписаного у цей трикутник. Відповідь: 2 Відповідь: 8,4 Відповідь: 4 Відповідь: 0,925 Відповідь: 3

Задачі для самоконтролю по темі “Чотирикутник” Приклад 1. У чотирикутнику діагоналі дорівнюють 8 і 5. Обчислити периметр чотирикутника, вершинами якого є середини сторін даного чотирикутника. Приклад 2. У чотирикутнику ABCD діагоналі AC = 5 і BD = 8 є взаємо перпендикулярними. Обчислити площу чотирикутника ABCD. Приклад 3. У паралелограмі ABCD через точку перетину діагоналей проведено пряму, яка відтинає на сторонах BC і AD відрізки BE = 5 і AF = 7. Обчислити сторону BC. Приклад 4. У паралелограмі ABCD через точку перетину діагоналей проведено пряму, яка відтинає на сторонах BC і AD відрізки BE і AF. Обчислити довжину відрізка BE, якщо AF = 6 і AD = 11. Приклад 5. У паралелограмі ABCD проведено бісектрису кута A, яка перетинає сторону BC в точці E. Обчислити довжину відрізка BE, якщо AB = 6. Приклад 6. Довжини діагоналей паралелограма дорівнюють 2 і 4, а кут між ними – 30⁰ . Обчислити площу паралелограма. Відповідь:13 Відповідь:20 Відповідь:12 Відповідь:5 Відповідь:6 Відповідь:2

Задачі для самоконтролю по темі “Чотирикутник” Приклад 7. Довжини діагоналей паралелограма дорівнюють 4√3 і 7, а кут між ними – 60⁰ . Обчислити площу паралелограма. Приклад 8. Периметр прямокутника дорівнює 36. Обчислити суму відстаней від будь-якої точки всередині цього прямокутника до всіх його сторін. Приклад 9. Бісектриса одного з кутів прямокутника ділить його сторону навпіл. Знайти периметр прямокутника, якщо його менша сторона дорівнює 5. Приклад 10. Довжина сторони ромба дорівнює 17, а однієї з діагоналей – 30. Обчислити довжину другої діагоналі. Приклад 11. Середня лінія трапеції дорівнює 19, а одна з основ – 16. Обчислити довжину другої основи трапеції. Приклад 12. Дано квадрат, сторона якого дорівнює 6. Діагональ його дорівнює стороні другого квадрата. Обчислити діагональ другого квадрата. Відповідь:21 Відповідь:18 Відповідь:30 Відповідь: 16 Відповідь: 22 Відповідь:12

Використана література: Капіносов А., Кондратьєва Л. Геометрія: Пробний підручник для 8 класу. –Тепнопіль:Підручники і посібники, 2008. – 240 с. Капіносов А.М. Геометрія. 9 клас. Дидактичні матеріали для різнорівневого навчання. – Дніпропетровськ. ВПОП “Дніпро”, 1992. – 96 с. Капіносов А.М. Тести з геометрії: Тематичні та підсумкові: 8 кл.- 2-ге вид.-К.:А.С.К.,1998.- 112с. Капіносов А.М. Геометрія. 10 клас. Дидактичні матеріали для різнорівневого навчання. – Дніпропетровськ. ВПОП “Дніпро”, 1993. – 132 с. Істер О.С., Глобін О.І., Панкратова І.Є. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики. 11 клас. Дергачов В. А. Геометрія у визначеннях, формулах і таблицях: Довідковий посібник для учнів 7—11 класів.— X.: Веста: Видавництво «Ранок», 2006.— 96 с. С.М. Саврасова, Г.А. Ястребенецкий Упражнения по планиметрии на готовых чертежах.