Календарне планування з алгебри 9 клас

Про матеріал
Календарне планування з алгебри 9 клас за підручником: "Алгебра 9 клас" автори: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, M.С. Якір
Перегляд файлу

image


УДК 373.167.1:512

                       М52

Рекомендовано

Міністерством освіти і науки України

(наказ МОН України від 20.03.2017 № 417)

Видано за рахунок державних коштів.  Продаж заборонено

Експерти, які здійснили експертизу даного підручника  під час проведення конкурсного відбору проектів підручників  для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів 

і зробили висновок про доцільність надання підручнику грифа  «Рекомендовано Міністерством освіти і науки України»:

Я. П. Сисак, провідний науковий співробітник відділу алгебри

і топології Інституту математики НАН України,  доктор фізико-математичних наук;

Н. В. Кравченко, методист РМЦ відділу освіти  Красноградської районної державної адміністрації Харківської області,  старший учитель;

Ю. О. Андрух, учитель математики 

Чернівецького багатопрофільного ліцею № 4, учитель-методист

                           Мерзляк А. Г.

М52 Алгебра : підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — Х. : Гімназія, 2017. — 272 с. : іл.

ISBN 978-966-474-293-8.

УДК 373.167.1:512

© А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір, 2017

© ТОВ ТО «Гімназія», оригінал-макет,

               ISBN 978-966-474-293-8                                   художнє оформлення, 2017

image

Любі діти!

У цьому навчальному році ви продовжите вивчати алгебру. Сподіваємося, що ви встигли полюбити цю важливу й красиву науку, а отже, з інтересом будете опановувати нові знання. Ми маємо надію, що цьому сприятиме підручник, який ви тримаєте в руках.

Ознайомтеся, будь ласка, з його структурою.

Підручник поділено на три параграфи, кожний з яких складається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал. Найважливіші відомості виділено жирним шрифтом і курсивом. Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується прикладами розв’язування задач. Ці записи можна розглядати як один із можливих зразків оформлення розв’язання.

До кожного пункту дібрано завдання для самостійного розв’язування, приступати до яких радимо лише після засвоєння теоретичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за складністю вправи, так і важкі задачі, особливо ті, що позначено зірочкою (*). Свої знання можна перевірити, розв’язуючи задачі в тестовій формі з рубрики «Перевірте себе».

Десять пунктів підручника завершуються рубрикою «Учимося робити нестандартні кроки». До неї дібрано задачі, для розв’язування яких потрібні не спеціальні алгебраїчні знання, а лише здоровий глузд, винахідливість і кмітливість. Ці задачі корисні, як вітаміни. Вони допоможуть вам навчитися приймати несподівані й нестандартні рішення не тільки в математиці, а й у житті.

Якщо після виконання домашніх завдань залишається вільний час, рекомендуємо звернутися до рубрик «Коли зроблено уроки» та «Для тих, хто хоче знати більше». Матеріал, викладений там, непростий. Але тим цікавіше випробувати свої сили!

Дерзайте! Бажаємо успіху!

Від авторів

ШаноВні коЛеги та коЛежанки!

Ми дуже сподіваємося, що цей підручник стане надійним помічником у вашій нелегкій та шляхетній праці, і будемо щиро раді, якщо він вам сподобається.

У книзі дібрано великий і різноманітний дидактичний матеріал. Проте за один навчальний рік усі задачі розв’язати неможливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим набагато зручніше працювати, коли є значний запас задач. Це дає можливість реалізувати принципи рівневої диференціації та індивідуального підходу в навчанні.

Матеріал рубрики «Коли зроблено уроки» може бути використаний для організації роботи математичного гуртка й факультативних занять.

Бажаємо творчого натхнення та терпіння.

image

n°

завдання, що відповідають початковому та середньому рівням навчальних досягнень;

n

завдання, що відповідають достатньому рівню навчальних досягнень;

n••

завдання, що відповідають високому рівню навчальних досягнень;

n*

задачі для математичних гуртків і факультативів;

закінчення доведення теореми, розв’язування прикладу;

¿

завдання, які можна виконувати за допомогою комп’ю тера;

image рубрика «Коли зроблено уроки».

Зеленим кольором позначено номери задач, що рекомендуються для домашньої роботи, синім кольором — номери задач, які з урахуванням індивідуальних особливостей учнів класу на розсуд учителя можна розв’язувати усно.

§ 1 НерівНості

      imageУ цьому параграфі ви дізнаєтеся, у якому випадку число aвважають більшим (меншим), ніж число b; вивчите властивості числових нерівностей; дізнаєтеся, що називають розв’язком нерівності з однією змінною, розв’язком системи нерівностей з однією змінною.

      Ви навчитеся оцінювати значення виразів, доводити нерівності, розв’язувати лінійні нерівності та системи лінійних нерівностей з однією змінною.

 1.              Числові нерівності

На практиці вам часто доводиться порівнювати величини. Наприклад, площа спортивного залу більша за площу класної кімнати, площа України (603,5 тис. км2) більша за площу Франції (551,5 тис. км2), висота гори Роман-Кош (1545 м) менша від висоти гори Говерли (2061 м), відстань від Києва до Харкова (450 км) дорівнює 0,011 довжини екватора.

Результати таких порівнянь можна записувати у вигляді числових нерівностей, використовуючи знаки >, <.

Якщо число a більше за число b, то пишуть: a > b; якщо число a менше від числа b, то пишуть: a < b.

imageОчевидно, що 12 > 7, –17 < 3, image, 2 > 1. Справедливість цих нерівностей випливає з правил порівняння дійсних чисел, які ви вивчали в попередніх класах.

Проте числа можна порівнювати не лише за допомогою правил, які було вивчено раніше. Інший спосіб, більш універсальний, заснований на таких очевидних міркуваннях: якщо різниця двох чисел є додатною, то зменшуване більше за від’ємник, якщо ж різниця від’ємна, то зменшуване менше від від’ємника.

Ці міркування підказують, що зручно прийняти таке означення.

Означення. Число a вважають більшим за число b, якщо різниця ab є додатним числом. Число a вважають меншим від числа b, якщо різниця ab є від’ємним числом.

Це означення дає змогу задачу про порівняння двох чисел звести до задачі про порівняння їхньої різниці з нулем. Наприклад,


imageщоби порівняти значення виразів image і 2 −       3, розглянемо їхню різницю:

image Оскільки imageimage > 0, то           > 2

                   a > b

B

нулю, тому для будь-яких чисел a і b справедли-

A                             ве одне й тільки одне з таких співвідношень:

b                   a

Рис. 1.1

a > b, a < b, a = b.

Якщо a > b, то точка, яка зображає число a на координатній прямій, лежить праворуч від

imageЗауважимо, що різниця чисел a і b може бути або додатною, або від’ємною, або рівною

точки, яка зображає число b (рис. 1.1). Часто в повсякденному житті ми користуємося висловами «не більше», «не менше». Наприклад, відповідно до санітарних норм кількість учнів у класі має бути не більшою за 30. Дорожній знак, зображений на рисунку 1.2, означає, що швидкість руху автомобіля має бути не меншою від 30 км/год.

imageУ математиці для вислову «не більше» використо- 30 вують знак m (читають: «менше або дорівнює»), а для

вислову «не менше» — знак l (читають: «більше або

Рис. 1.2

дорівнює»).

Якщо a < b або a = b, то є правильною нерівність a bm .

Якщо a > b або a = b, то є правильною нерівність a bl .

Наприклад, нерівності 7 m7, 7 m15, 3 l 5 є правильними. Зауважимо, що, наприклад, нерівність 7 m5 є неправильною.

Знаки < і > називають знаками строгої нерівності, а знаки m і l називають знаками нестрогої нерівності.

imageПриклад   1   Доведіть, що при будь-яких значеннях a є правильною нерівність

(a + 1) (a + 2) > a (a + 3).

Розв’язання. Для розв’язання достатньо показати, що при будь-якому значенні a різниця лівої та правої частин даної нерівності є додатною. Маємо:

(a + 1) (a + 2) – a (a + 3) = a2 + 2a + a + 2 – a2 – 3a = 2.

У таких випадках говорять, що доведено нерівність

(a + 1) (a + 2) > a (a + 3).

imageПриклад   2   Доведіть нерівність (a – 3)2 < 2a2 – 6a + 10, де a — будь-яке дійсне число.

Розв’язання. Розглянемо різницю лівої та правої частин даної нерівності:

(a – 3)2 – (2a2 – 6a + 10) = a2 – 6a + 9 – 2a2 + 6a – 10 = =a2 – 1 =a2 + (–1).

При будь-якому значенні a маємо: a2 m 0. Сума недодатного й від’ємного чисел є число від’ємне. Отже, –a2 + (–1) < 0.

Звідси випливає, що (a – 3)2 < 2a2 – 6a + 10 при будь-якому значенні a.

imageimageПриклад   3   Доведіть нерівність imagel ab, де al 0, bl 0.

Розв’язання. Розглянемо різницю лівої та правої частин даної нерівності. Маємо:

2 .

imageВираз                               набуває невід’ємних значень при будь-яких

2

невід’ємних значеннях змінних a і b. Отже, нерівність, що доводиться, є правильною.

imageЗауважимо, що вираз ab називають середнім геометричним чисел a і b.

Отже, ми довели, що середнє арифметичне двох невід’ємних чисел не менше від їхнього середнього геометричного.

imageПриклад   4   Доведіть, що a2 ab + b2 l 0 при будь-яких значеннях a і b.

Розв’язання. Маємо:

2

imageimagea2 ab b+ 2 = a2 2æ æa 1 b + 1 b2 + 3 b2 = a 1 b + 3 b2.

                                                    2        4          4               2       4

Оскільки a image1 b2 l 0 і image3 b2 l 0 при будь-яких значеннях a і b,

                       2             4

imageто a 1 b2 + 3 b2 l 0 при будь-яких значеннях a і b.

  2       4

Отже, a2 ab + b2 l 0 при будь-яких значеннях a і b.

1.   У якому разі число a вважають більшим за число b?

2.   У якому разі число a вважають меншим від числа b?

3.   imageЯк розташована на координатній прямій точка, яка зображає число a, відносно точки, яка зображає число b, якщо a > b?

4.   Який символ використовують для вислову «не більше» та як цей символ

читають?

5.   Який символ використовують для вислову «не менше» та як цей символ читають?

6.   У якому разі є правильною нерівність a bm ?

7.   У якому разі є правильною нерівність a bl ?

8.   Поясніть, які знаки називають знаками строгої, а які — нестрогої нерівності.

ВПРаВи

1.1.° Порівняйте числа a і b, якщо:

         1) ab = 0,4;                 2) ab = –3;                     3) ab = 0.

1.2.° Відомо, що m < n. Чи може різниця mn дорівнювати числу:

        1) 4,6;                                2) –5,2;                               3) 0?

1.3.° Яке із чисел, x або y, є більшим, якщо: 1) xy = –8;    2) yx = 10?

1.4.° Як розташована на координатній прямій точка A (a) відносно точки B (b), якщо:

1)   ab = 2; 3) ab = 0;

2)   imageab = –6;                4) b a−  =          2?

1.5.° Чи можуть одночасно виконуватися нерівності: 1) a > b і a < b;              2) a bl і a bm ?

1.6.° Порівняйте значення виразів (a – 2)2 і a (a – 4) при значенні a, що дорівнює: 1) 6; 2) –3; 3) 2. Чи можна за результатами виконаних порівнянь стверджувати, що при будь-якому значенні a значення першого виразу більше за відповідне значення другого виразу? Доведіть, що при будь-якому значенні a значення першого виразу більше за відповідне значення другого виразу.

1.7.° Порівняйте значення виразів 4 (b + 1) і b – 2 при значенні b, що дорівнює: 1) –1; 2) 0; 3) 3. Чи можна стверджувати, що при будь-якому значенні b значення виразу 4  (b + 1) більше за відповідне значення виразу b – 2?

1.8.° Доведіть, що при будь-якому значенні змінної є правильною

нерівність:

1)   (a + 3) (a + 1) > a (a + 4);

2)   3 (b – 4) + 2b < 5b – 10;

3)   (c – 4) (c + 4) > c2 – 20;

4)   x (x + 6) – x2 < 2 (3x + 1);

5)   (y+ 5)(y 2) l 3y 10; 6) 8m2 6m + 1 m (3m 1)2;

7)     a a( 2) l 1;

8)     (b + 7)2 > 14b + 40.

1.9.° Доведіть, що при будь-якому значенні змінної є правильною

нерівність:

1) (p – 3) (p + 4) < p (p + 1);      2) (x + 1)2 > x (x + 2);        

3)   (a – 5) (a + 2) > (a + 5) (a – 8); 

4)   y (y + 8) < (y + 4)2;  5) (2a 5)2 m6a2 20a + 25; 

6) a2 + 4 l 4a.                                         

1.10. Чи є правильним твердження:

                                  a                                                 a

1)   якщо a > b, то         > 1;        4) якщо image > 1, то a > b;

                                  b                                                 b

                                  2                                                  2

2)   imageякщо a > 1, то < 2;                5) якщо a > 1, то a > 1?

a

2

3)   якщо a < 1, то > 2;

a

1.11. Доведіть нерівність:

1)    2a2 – 8a + 16 > 0;

2)    4b2 + 4b + 3 > 0;

3)    a2 + ab + b2 l 0;

4)    (3a + 2) (2a – 4) – (2a – 5)2 > 3 (4a – 12);

5)    a (a – 3) > 5 (a – 4);

6)    (a b a ) ( + 5b) m (2a b a+ ) (            + 4b) + ab.

1.12. Доведіть нерівність: 1) 28a 32 m7a2 4;

2)    9x2 6xy + 4y2 l 0;

3)    3 (b – 1) < b  (b + 1);

4)    (4p – 1) (p + 1) – (p – 3) (p + 3) > 3 (p2 + p).

1.13. Доведіть, що:

1)     a3 6a2 + a 6 l 0, якщо al 6;

2)     ab + 1 > a + b, якщо a > 1 і b > 1;

3)     imagea+ 3 + 3a 2 < a, якщо a < –6.

                 3             4

1.14. Доведіть, що:

1)     ab b( a) ma3 b3, якщо a bl ;

2)     imagea 1 a 2 > 1, якщо a > 2.

                 2           3         2

1.15. Порівняйте суму квадратів двох довільних чисел та їхній подвоєний добуток.

1.16. Дано три послідовних натуральних числа. Порівняйте:

1)     квадрат середнього із цих чисел і добуток двох інших;

2)     подвоєний квадрат середнього із цих чисел і суму квадратів двох інших.

1.17. Порівняйте суму квадратів двох додатних чисел і квадрат їхньої суми.

1.18. Як зміниться — збільшиться чи зменшиться — правильний a

дріб image, де a > 0, b > 0, якщо його чисельник і знаменник збільb

шити на одне й те саме число?

1.19. Як зміниться — збільшиться чи зменшиться — неправильний a

дріб image, де a > 0, b > 0, якщо його чисельник і знаменник збільb

шити на одне й те саме число?

1.20. Доведіть, що сума будь-яких двох взаємно обернених додатних чисел не менша від 2.

1.21. Доведіть, що сума будь-яких двох взаємно обернених від’ємних чисел не більша за –2.

1.22. Чи є правильною дана нерівність при будь-яких значеннях a і b:

              a2 b2                                                   a2 b2

    1) image2 + 1 > 1;        2) imageb2 + 1 > −1?

a

1.23. Доведіть, що при всіх значеннях змінної є правильною нерівність:

          a2              1

image1) 4 m ; a + 1 2

(5a + 1)2

2)      imagel 4a.

5

1.24. Доведіть, що коли a < b, то a < image < b.

1. 25.•• Доведіть, що коли a < b < c, то a < image < c.

2

image••                                                                                                        a + 4           2              3 при всіх зна-

1.26. Чи є правильною нерівність                      l a +

2

ченнях a?

1.27.•• Доведіть, що при всіх значеннях змінної є правильною неa2 + 2 рівність l 2.

2

imagea + 1

1.28.•• Доведіть нерівність:

1)    a2 + b2 + 6a 4b + 13 l 0;

2)    x2 – 2x + y2 + 10y + 28 > 0;

3)    2m2 6mn + 9n2 6m + 9 l 0; 4) a2 + b2 + c2 + 12 l 4 (a b c+ + ); 5) a b2 2 + a2 + b2 + 1l 4ab.

1. 29.•• Доведіть нерівність:

1)   a2 + b2 – 16a + 14b + 114 > 0;

2)   x2 + y2 + 10 l 6x 2y; 3) c2 + 5d2 + 4cd 4d + 4 l 0.

image

1.30.    Відомо, що a > 0, b > 0, c < 0, d < 0. Порівняйте з нулем значення виразу:

                                    a                                  ac

1)    imageimagebc;             3) ;          5) ;          7) abcd; b              d

                                    ab                                a                                   b

2)    cd;             4)            ;               6)            ;               8)            image. c     bc            acd

1.31.    Що можна сказати про знаки чисел a і b, якщо: a       2

1)    ab > 0;      3) > 0;   5) a b > 0;

b

image                                              a                                             2

2)    ab < 0;      4) < 0;   6) a b < 0?

b

1.32.    Поясніть, чому при будь-яких значеннях змінної (чи змінних) є правильною нерівність:

1)    a2 l 0;         5) a2 + b2 l 0;

2)    a2 + 1 > 0;                6) a2 + b2 + 2 > 0;

3)    image(a + 1)2 l 0; 7) (a 2)2 + (b + 1)2 l 0; 4) a2 4a + 4 l 0; 8) a2 + 3 > 0.

1.33.    Порівняйте з нулем значення виразу, де a — довільне число:

1)    4 + a2;       4) –4 – (a – 4)2; 2) (4 – a)2;               5) (–4)8 + (a – 8)4; 3) –4 – a2;           6) (4 – a)2 + (4a – 1000)2.

1.34.    Спростіть вираз:

1)    2a (5a – 7) – 5a (3 – 2a);

2)    (2b – 3) (4b + 9);

3)    (2c – 6) (8c + 5) – (5c + 2) (5c – 2);

4)    16m2 – (3 – 4m) (3 + 4m);

5)    (2x – 1)2 + (2x + 1)2; 6) (x – 4) (x + 4) – (x – 8)2.

imageУЧиМоСЯ Робити неСтандаРтні кРоки

1.35. Усі натуральні числа від 1 до 1000 включно розбили на дві групи: парні числа та непарні числа. У якій із груп сума всіх цифр, використаних для запису чисел, є більшою та на скільки?

image 2.          основні властивості числових нерівностей

У цьому пункті розглянемо властивості числових нерівностей, які часто використовують під час розв’язування задач. Їх називають основними властивостями числових нерівностей.

Теорема 2.1. Якщо a > b і b > c, то a > c.

Доведення. Оскільки за умовою a > b і b > c, то різниці ab і bc є додатними числами. Тоді додатною буде їхня сума

(ab) + (bc). Маємо: (ab) + (bc) = ac. Отже, різниця ac є додатним числом, тому a > c.

Аналогічно можна довести таку властивість: якщо a < b і b < c, то a < c.


2.  основні властивості  числових нерівностей

трично (рис. 2.1): якщо на координатній прямій точка A (a) лежить праворуч від точки B (b), а точка B (b) — праворуч від точки C (c), то точка A (a) лежить праворуч від точки C (c).

c

       b            a

Рис. 2.1

image            Теорему 2.1 можна проілюструвати геоме-             C              B          A

Теорема 2.2. Якщо a > b і c — будь-яке число, то a +c > b +c.

Доведення. Розглянемо різницю (a + c) – (b + c). Маємо: (a + c) – (b + c) = ab. Оскільки за умовою a > b, то різниця ab є додатним числом. Отже, a + c > b + c.

Аналогічно можна довести таку властивість: якщо a < b і c — будь-яке число, то a + c < b + c.

Оскільки віднімання можна замінити додаванням (ac =

= a + (–c)), то теорему 2.2 можна сформулювати так:

якщо до обох частин правильної нерівності додати або від обох частин правильної нерівності відняти одне й те саме число, то отримаємо правильну нерівність.

Наслідок. Якщо будь-який доданок перенести з однієї частини правильної нерівності в другу, замінивши знак доданка на протилежний, то отримаємо правильну нерівність.

Доведення. Нехай нерівність a > b + c є правильною. Віднімемо від обох її частин число c. Отримаємо: ac > b + cc, тобто aс > b.

Теорема 2.3. Якщо a > b і c — додатне число, то ac > bc. Якщо a > b і c — від’ємне число, то ac < bc.

Доведення. Розглянемо різницю acbc. Маємо:  acbc = c (ab).

За умовою a > b, отже, різниця ab є додатним числом.

Якщо c > 0, то добуток c (ab) є додатним числом, отже, різниця acbc є додатною, тобто ac > bc.

Якщо c < 0, то добуток c (ab) є від’ємним числом, отже, різниця acbc є від’ємною, тобто ac < bc.

Аналогічно можна довести таку властивість: якщо a < b і c — додатне число, то ac <bc. Якщо a < b і c — від’ємне число, то ac > bc.

image a = aæ1 , то

Оскільки ділення можна замінити множенням

                                                                                                                   c          c

теорему 2.3 можна сформулювати так:

якщо обидві частини правильної нерівності помножити або

поділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо правильну нерівність;

якщо обидві частини правильної нерівності помножити або

поділити на одне й те саме від’ємне число та замінити знак нерівності на протилежний, то отримаємо правильну нерівність.

                                                                                                1      1

image                       Наслідок. Якщо ab > 0 і a > b, то            <   .

a b

Доведення. Поділимо обидві частини нерівності a > b на до-

                                                                                                                               a        b

imageдатне число ab. Отримаємо правильну нерівність                    >        , тобто ab              ab

            1      1                     1      1

imageimage> . Звідси < . b a        a b

Звернемо увагу, що коли з формулювання наслідку вилучити умову ab > 0, тобто вимогу, щоб числа a і b мали однакові знаки,

                                                                                                                              1      1

                   то з нерівності a > b може не випливати нерівність              <      . Дійсно,

                                                                                                                              a      b

imageнерівність 5 > –3 є правильною, проте нерівність 1 < − 1 є непра-

                                                                                                                          5        3

вильною.

У теоремах цього пункту йшлося про строгі нерівності. Аналогічні властивості притаманні й нестрогим нерівностям. Наприклад, якщо a bl і c — будь-яке число, то a c b+ l + c.

1.   Яке із чисел — a або c — більше, якщо відомо, що a > b і b > c?

2.   сформулюйте теорему про додавання до обох частин нерівності одного й того самого числа.

3.   сформулюйте наслідок із теореми про додавання до обох частин нерівності одного й того самого числа.

4.   imageсформулюйте теорему про множення обох частин нерівності на одне й те саме число.

5.   сформулюйте наслідок із теореми про множення обох частин нерівності на одне й те саме число.

ВПРаВи

2.1.° Відомо, що a > 6. Чи є правильною нерівність:

                   1) a > 4;                              2) al 5,9;                           3) a > 7?

2.2.° Відомо, що a < b і b < c. Яке з тверджень є правильним:

                   1) a > c;                             2) a = c;                             3) c > a?

2.  основні властивості  числових нерівностей

2.3.° Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:

1)     до обох частин нерівності –3 < 4 додамо число 5; число –2;

2)     від обох частин нерівності –10 < –6 віднімемо число 3; число –4;

3)     обидві частини нерівності 7 > –2 помножимо на число 5; на число –1;

4)     обидві частини нерівності 12 < 18 поділимо на число 6; на число –2.

2.4.° Відомо, що a > b. Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:

1)     до обох частин даної нерівності додамо число 8;

2)     від обох частин даної нерівності віднімемо число –6;

3)     обидві частини даної нерівності помножимо на число 12;

4)     обидві частини даної нерівності помножимо на число image;

5)     обидві частини даної нерівності поділимо на число image;

6)     обидві частини даної нерівності поділимо на число –4.

2.5. Відомо, що b > a, c < a і d > b. Порівняйте числа: 1) a і d;           2) b і c.

2.6. Розташуйте в порядку зростання числа a, b, c і 0, якщо a > b, 0 < b і 0 > c.

2.7. Відомо, що a > 4. Порівняйте з нулем значення виразу:

1)   a – 3;         3) (a – 3) (a – 2);                 5) (1 – a)2 (4 – a).

2)   2 – a;         4) image(a 4) (a 2);

3 a

2.8. Відомо, що –2 < b < 1. Порівняйте з нулем значення виразу:

1)   b + 2;         3) b – 2;                 5) (b + 2) (b – 4)2;

2)   1 – b;         4) (b – 1) (b – 3);                 6) (b – 3) (b + 3) (b – 2)2.

2.9. Дано: a > b. Порівняйте:

1)   a + 9 і b + 9;           5) –40b і –40a;

                                                                                    a         b

2)   imageb – 6 і a – 6;             6)             і              ;

                                                                                   20       20

3)   1,8a і 1,8b;               7) 2a – 3 і 2b – 3; 4) –a і –b;             8) 5 – 8a і 5 – 8b.

2.10. Відомо, що 1 mm < 2. Які з нерівностей є правильними:

1)     1 m m < −2;     3) 1l m > −2;

2)     2 < −mm 1;      4) 2 > −ml 1?

2.11. Дано: –3a > –3b. Порівняйте:

1)     a і b;         4) imageb і imagea;

2)     imagea і imageb;    5) 3a + 2 і 3b + 2;

3)     b – 4 і a – 4;            6) –5a + 10 і –5b + 10.

2.12. Відомо, що a > b. Розташуйте в порядку спадання числа a + 7, b – 3, a + 4, b – 2, b.

2.13. Дано: a < b. Порівняйте:

                    1) a – 5 і b;                       2) a і b + 6;                        3) a + 3 і b – 2.

2.14. Порівняйте числа a і b, коли відомо, що: 1) a > c і c > b + 3;    2) a > c і c – 1 > b + d2, де c і d — деякі числа.

2.15. Порівняйте числа a і 0, якщо:

1)           7a < 8a;                3) –6a > –8a; a     a

2)           image<         ;               4) –0,02a > –0,2a.

                         2      3

2.16. Дано: a > –2. Доведіть, що:

                    1) 7a + 10 > –4;                                        2) –6a – 3 < 10.

2.17. Дано: bm10. Доведіть, що:

                  1) 5b 9 m 41;                                           2) 1 – 2b > –21.

2.18. Чи є правильним твердження:

1)   якщо a > b, то a > –b;

2)   якщо a > b, то 2a > b;

3)   якщо a > b, то 2a + 1 > 2b;

4)   якщо a > b + 2 і b – 3 > 4, то a > 9;

5)   якщо a > b, то ab > b2;

6)   оскільки 5 > 3, то 5a2 > 3a2;

7)   оскільки 5 > 3, то 5 (a2 + 1) > 3 (a2 + 1)?

2.19.•• Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:

1) обидві частини правильної нерівності a > 2 помножимо на a; 2)  обидві частини правильної нерівності b < –1 помножимо на b;

3)     обидві частини правильної нерівності m < –3 помножимо на –m;

4)     обидві частини правильної нерівності c > –4 помножимо на c.

2. 20.•• Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:

1)  обидві частини правильної нерівності a < –a2 поділимо на a; 2)  обидві частини правильної нерівності a > 2a2 поділимо на a;

3)  обидві частини правильної нерівності a3 > a2 поділимо на –a.


image

2.21.    Відомо, що a2 + b2 = 18  і  (a + b)2 = 20. Чому дорівнює значення виразу ab?

2.22.    У Дмитра у 2 рази більше марок, ніж у Надії, у Надії — у 2 рази більше марок, ніж у Михайла. Якому з наведених чисел може дорівнювати кількість марок, що має Дмитро?

        1) 18;                       2) 22;                        3) 24;                         4) 30.

2.23.    Спростіть вираз:

         a2 + b2                 b

1)            2     +          ;

image2a + 2ab a b+ a2 + 9 a

2)            2 9 a+ 3; a

c+ 1 c2 1

3)                   :              2 ;

         3c        6c

imagem2 + 2mn n+ 2

4)                   2 n2            : (m n ).

m

2.24.    Моторний човен за один і той самий час може проплисти 48 км за течією річки або 36 км проти течії. Яка власна швидкість човна, якщо швидкість течії становить 2 км/год?

image 3.          додавання і множення числових нерівностей.  оцінювання значення виразу

Розглянемо приклади.

1)        Якщо з першого поля зібрали не менше ніж 40 т жита, а з другого поля — не менше ніж 45 т, то очевидно, що з двох полів разом зібрали не менше ніж 85 т жита.

2)        Якщо довжина прямокутника не більша за 70 см, а ширина — не більша за 40 см, то зрозуміло, що його площа не більша за 2800 см2.

Висновки із цих прикладів є інтуїтивно очевидними. Їхню правильність підтверджують такі теореми.

Теорема 3.1 (про почленне додавання нерівностей).

Якщо  a >b і c > d, то a +c > b +d.

Доведення. Розглянемо різницю (a + c) – (b + d). Маємо:

(a + c) – (b + d) = a + cbd = (ab) + (cd).

Оскільки a > b і c > d, то різниці ab і cd є додатними числами. Отже, різниця, що розглядається, є додатною, тобто a + c > b + d.

Аналогічно можна довести таку властивість: якщо a < b і c < d, то a + c < b + d.

Нерівності a > b і c > d (або a < b і c < d) називають нерівностями однакового знака, а нерівності a > b і c < d (або a < b і c > d) — нерівностями протилежних знаків.

Говорять, що нерівність a + c > b + d отримано з нерівностей a > b і c > d шляхом почленного додавання.

Теорема 3.1 означає, що при почленному додаванні правильних нерівностей однакового знака результатом є правильна нерівність того самого знака.

Зазначимо, що теорема 3.1 справедлива й у разі почленного додавання трьох і більше нерівностей. Наприклад, якщо a1 > b1, a2 > b2 і a3 > b3, то a1 + a2 + a3 > b1 + b2 + b3.

Теорема 3.2 (про почленне множення нерівностей).

Якщо a > b, c > d і a, b, c, d — додатні числа, то ac > bd.

Доведення. Розглянемо різницю acbd. Маємо: acbd = acbc + bcbd = c (ab) + b (cd).

За умовою ab > 0, cd > 0, c > 0, b > 0. Отже, різниця, що розглядається, є додатною. Із цього випливає, що ac > bd

Аналогічно можна довести властивість: якщо a < b, c < d і a, b, c, d — додатні числа, то ac < bd.

Говорять, що нерівність ac > bd отримано з нерівностей a > b і c > d шляхом почленного множення.

Теорема 3.2 означає, що при почленному множенні правильних нерівностей однакового знака, у яких ліві та праві частини — додатні числа, результатом є правильна нерівність того самого знака.

Звернемо увагу: якщо з формулювання теореми 3.2 вилучити вимогу, щоб a, b, c, d були додатними числами, то з нерівностей a > b і c > d може не випливати нерівність ac > bd. Справді, розглянемо дві правильні нерівності –2 > –3 і 4 > 1. Помноживши почленно ці нерівності, отримаємо неправильну нерівність –8 > –3.

Зауважимо, що теорема 3.2 справедлива й у разі почленного множення трьох і більше нерівностей. Наприклад, якщо a1, a2, a3, b1, b2, b3 — додатні числа, причому a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, то a1a2a3 > b1b2b3.

Наслідок. Якщо a > b і a, b — додатні числа, то an > bn, де n — натуральне число.

Доведення. Запишемо n правильних нерівностей a > b: a b>  a b>

n нерівностей

...           a b>   

Оскільки a і b — додатні числа, то можемо перемножити почленно n записаних нерівностей. Отримаємо: an > bn.

Зазначимо, що всі розглянуті властивості нерівностей є правильними й у тому випадку, коли нерівності є нестрогими:

якщо a bl і c dl , то a c b d+ l + ; якщо a bl , c dl і a, b, c, d — додатні числа, то ac bdl ; якщо a bl і a, b — додатні числа, то an lbn,де n — нату-

ральне число.

Ви знаєте, що значення величин, які є результатом вимірювань, не є точними. Вимірювальні прилади дають змогу лише встановити, між якими числами знаходиться точне значення величини. Ці числа називають межами значення величини.

Нехай, наприклад, у результаті вимірювання ширини x і довжини y прямокутника було встановлено, що 2,5 см < x < 2,7 см і 4,1 см < y < 4,3 см. Тоді за допомогою теореми 3.2 можна оцінити площу прямокутника. Маємо:

2,5 см < x < 2,7 см

×

4,1 см < y < 4,3 см

image

10,25 см2 < xy < 11,61 см2.

Узагалі, якщо відомо значення меж величин, то, використовуючи властивості числових нерівностей, можна знайти межі значення виразу, який містить ці величини, тобто оцінити його значення.

imageПриклад   1   Дано: 6 < a < 8  і  10 < b < 12. Оцініть значення ви­

разу:

                                                                                a                           1

1)        a + b;    2) ab;    3) ab;    4) image;     5) 3a imageb. b         2

Розв’язання. 1) Застосувавши теорему про почленне додавання нерівностей, отримуємо:

6 < a < 8

                                                    +          10 < b < 12

image

16 < a + b < 20.

2)        Помноживши кожну частину нерівності 10 < b < 12 на –1, отримуємо: –10 > –b > –12, тобто –12 < –b < –10. Ураховуючи, що ab = a + (–b), далі маємо:

6 < a < 8

                                                              +        –12 < –b < –10

image

–6 < ab < –2.

3)        Оскільки a > 6  і  b > 10, то a і b набувають додатних значень. Застосувавши теорему про почленне множення нерівностей, отримуємо:

6 < a < 8

×

10 < b < 12

image

60 < ab < 96.

                                                                                 1       1       1                     1       1           1

4)        imageimageОскільки  10 < b < 12, то >          >          , тобто   <          <          . Ура-

                                                                                10      b      12                   12      b         10

                                          a           1

imageховуючи, що      = aæ , маємо: b    b

6 < a < 8

×

1                     image4

                                                                                <    <

2                     b        5

5)        Помножимо кожну частину нерівності 6 < a < 8 на 3, а кожну частину нерівності 10 < b < 12 на image.

Отримуємо дві правильні нерівності:

18 < 3a < 24 і 5 > −imageb > −6.

Додамо отримані нерівності:

18 < 3a < 24

image+

6 < −b < −5

image

12 < 3a imageb < 19.

Відповідь: 1) 16 < a + b < 20; 2) –6 < ab < –2; 3) 60 < ab < 96;

                  1      a      4                              1

image            4)      <    <    ; 5) 12 < 3a imageb < 19.

                  2      b      5                              2

imageПриклад   2   Доведіть, що 24 +                  47 < 12.

imageРозв’язання. Оскільки 24 < 5 і 47 < 7, то 24 + 47 < 5 + 7 = 12.

1.   сформулюйте теорему про почленне додавання нерівностей.

2.   imageПоясніть, які нерівності називають нерівностями однакового знака, а які — нерівностями протилежних знаків.

3.   сформулюйте теорему про почленне множення нерівностей.

4.   сформулюйте наслідок з теореми про почленне множення нерівностей.

image

3.1.° Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:

1)   додамо почленно нерівності 10 > –6 і 8 > 5;

2)   перемножимо почленно нерівності 2 < 7 і 3 < 4;

3)   перемножимо почленно нерівності 1,2 > 0,9 і 5 > image.

3.2.° Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:

1)   додамо почленно нерівності  –9 < –4 і –6 < 4;

2)   перемножимо почленно нерівності image і 24 < 27.

3.3.° Дано: –3 < a < 4. Оцініть значення виразу:

1)     2a;             3) a + 2;                5) 3a + 1;              7) –4a; a

2)     image;              4) a – 1;                 6) –a;     8) –5a + 3.

3

3.4.° Дано: 2 < b < 6. Оцініть значення виразу:

        1) imageb;                       2) b – 6;                    3) 2b + 5;                  4) 4 – b.

image3.5.° Відомо, що 2,6 <           7 < 2,7. Оцініть значення виразу:

imageimageimage        1) 3     7;                  2) 2     7;                  3) 7 + 1 3, ;             4) 0,1        7 + 0,3.

3.6.° Дано: 5 < a < 6  і  4 < b < 7. Оцініть значення виразу:

        1) a + b;                           2) ab;                                    3) ab.

imageimage3.7.° Відомо, що 2,2 < 5 < 2,3 і 1,7 < 3 < 1,8. Оцініть значення

виразу:

imageimage                    1) 5 +     3;                       2) 5 −     3;                         3) 15.

1

3.8.° Дано: 2 < x < 4. Оцініть значення виразу .

x

3.9.° Оцініть середнє арифметичне значень a і b, якщо відомо, що 2,5 < a < 2,6 і 3,1 < b < 3,2.

3.10.° Оцініть периметр рівнобедреного трикутника з основою a см і бічною стороною b см, якщо 10 < a < 14 і 12 < b < 18.

3.11.° Оцініть периметр паралелограма зі сторонами a см і b см, якщо 15 m ma 19 і 6 m mb 11.

3.12. Чи є правильним твердження: 1) якщо a > 2 і b > 7, то a + b > 9; 2) якщо a > 2 і b > 7, то a + b > 8;

3)       якщо a > 2 і b > 7, то a + b > 9,2;

4)       якщо a > 2 і b > 7, то ab > –5;

5)       якщо a > 2 і b > 7, то ba > 5;

6)       якщо a > 2 і b > 7, то ab > 13;

7)       якщо a > 2 і b > 7, то 3a + 2b > 20;

8)       якщо a > 2 і b < –7, то ab > 9;

9)       якщо a < 2 і b < 7, то ab < 14;

10)    якщо a > 2, то a2 > 4;

11)    якщо a < 2, то a2 < 4;

12)    imageякщо a > 2, то      ;

13)    якщо a < 2, то

14)    якщо –3 < a < 3, то 1      1              1?

                                                                     3      a      3

3.13. Дано: a > 2,4 і b > 1,6. Порівняйте:

1)    a + imageb і 3,6;            3) (a – 0,4) (b + 1,4) і 6.

2)    (a + b)2 і 16;

3.14. Відомо, що a > 3 і b > –2. Доведіть, що 5a + 4b > 7.

3.15. Відомо, що a > 5 і b < 2. Доведіть, що 6a – 7b > 16.

3. 16. Дано: 5 < a < 8 і 3 < b < 6. Оцініть значення виразу: a                2b

                   1) 4a + 3b;              2) 3a – 6b;               3) image;                         4)   image.

                                                                                              b                                 3a

imageimage                           1                       1

image3.17. Дано: < x <           і             < y <. Оцініть значення виразу:

                                           2       7

y

1) 6x + 14y;                                                      2) 28y – 12x;      3) image. x

3.18. Порівняйте значення виразів:

        1) 224 і 98;                           2) 0,320 і 0,110;                    3) 0,001510 і 0,240.

3.19. Доведіть, що периметр чотирикутника більший за суму його діагоналей.

3.20. Доведіть, що кожна діагональ опуклого чотирикутника менша від його півпериметра.

3.21. Доведіть, що сума двох протилежних сторін опуклого чотирикутника менша від суми його діагоналей.

3. 22. Доведіть твердження:

1)   якщо a < b < 0, то a2 > b2;

2)   якщо a > 0, b > 0 і a2 > b2, то a > b.

           •                                                                                                        1      1

image3.23. Доведіть, що коли a < b < 0, то                 >   .

                                                                                 a      b

3. 24. Відомо, що b > 0 і a > b. Чи є правильною при всіх указаних значеннях a і b нерівність:

image


3.29.    Спростіть вираз: x 3 x2

1)      imageæx + ; x+ 3 3 x


image a ba b+− a ba b+−  : a2abb2 . 2)

3.30.    Спростіть вираз:

2

1)      image6               3 +       27 3    75;          3) (2 −  3 ) .

2)      image( 50 3  2 ) 2;  

3.31.    При яких значеннях змінної має зміст вираз:

imagex2                    x 4       x2 4      4              1 1) imagex             ;               2) image2                      ;               3) imagex2 + 4;     4) x 4 + x ?

                 + 4                 x 4

3.32.    imageУ саду ростуть яблуні та вишні, причому вишні становлять 20 % усіх дерев. Скільки відсотків становить кількість яблунь від кількості вишень? готУЄМоСЯ до ВиВЧеннЯ ноВоЇ теМи

3.33.    Чи є рівносильними рівняння:

1)      4x + 6 = 2x – 3  і  4x + 3 = 2x – 6;

2)      8x – 4 = 0  і  2x – 1 = 0;

3)      x2 + 2x – 3 = 0  і  x2 + x = 3 – x; x2 1             2

4)      image= 0  і  x – 1 = 0; x+ 1

x2 1

5)      = 0  і  x – 1 = 0; x+ 1

6)      x2 + 1 = 0  і  0x = 5?

imageУЧиМоСЯ Робити неСтандаРтні кРоки

image3.34. Доведіть, що для непарних чисел a, b, c, d, e і f не може виконуватися рівність 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1.

                                                     a     b     c     d     e     f

imageПро деякі способи доведення нерівностей

У п. 1 було доведено кілька нерівностей. Ми використовували такий прийом: розглядали різницю лівої і правої частин нерівності та порівнювали її з нулем.

Проте існує і ряд інших способів доведення нерівностей. Ознайомимося з деякими з них.


   Про деякі способи доведення нерівностей

Міркування «від супротивного» Назва цього методу відображає його сутність.

imageПриклад   1   Для будь-яких чисел a1, a2, b1, b2 доведіть нерівність

                                      (ab1 1 + a b2 2)2 m(a12 + a22)(b12 + b22).                                 (*)

Розв’язання. Припустимо, що нерівність, яку доводимо, є неправильною. Тоді знайдуться такі числа a1, a2, b1, b2, що буде правильною нерівність

(ab1 1 + a b2 2)2 > (a12 + a22)(b12 + b22).

Звідси

a b12 12 + 2a1 1 2 2ba b + a b22 22 > a b12 12 + a b12 22 + a b22 12 + a b22 22;

2aba b1 1 2 2 > a b12 22 + a b22 12; a b12 22 2aba b1 1 2 2 + a b22 12 < 0;

(a1b2a2b1)2 < 0.

Остання нерівність є неправильною. Отримана суперечність означає, що нерівність (*) є правильною.

Нерівність (*) є окремим випадком більш загальної нерівності

        (ab1 1 + a b2 2 + ... + a bn n )2 m(a12 + a22 + ... + an2)(b12 + b22 + ... + bn2). (**)

Нерівність (**) називають нерівністю Коші—Буняковського. З її доведенням ви можете ознайомитися на заняттях математичного гуртка.

Метод використання очевидних нерівностей

imageПриклад   2   Для будь-яких чисел a, b і c доведіть нерівність

                                                    a2 + b2 + c2 lab bc ac+   +          .

imageОгюстен Луї Коші

(1789–1857)

Видатний французький математик,  автор понад 800 наукових праць.

Розв’язання. Очевидно, що при будь-яких значеннях a, b і c виконується така нерівність:

                                                      (a b )2 + (b c )2 + (c a−  )2 l 0.

Звідси отримуємо: a2 2ab + b2 + b2 2bc c+ 2 + c2 2ac a+ 2 l 0;

2a2 + 2b2 + 2c2 l 2ab + 2bc + 2ac; a2 + b2 + c2 lab bc ac+ + .

Метод застосування раніше доведеної нерівності

У п. 1 ми довели, що для будь-яких al0 і bl0 є правильною нерівність

imageimagel ab.

Її називають нерівністю Коші для двох чисел.

Розглянемо, як можна використовувати нерівність Коші під час доведення інших нерівностей.

imageПриклад   3   Доведіть, що для додатних чисел a і b справедлива нерівність

imagea + 1  b + 1 l 4.

                                                                     b       a

Розв’язання. Застосуємо нерівність Коші для додатних чисел

1

a і image. Отримуємо: b

1

a   +

b   imagel aæ1.

                                                                          2                 b

                                          1           a

imageЗвідси a + l 2 . b            b

                                                                                               1            b

image                         Аналогічно можна довести, що b + l 2               .

                                                                                               a            a

imageВіктор Якович 

Буняковський

(1804–1889)

Видатний математик ХІХ ст. 

Народився на Вінниччині. Протягом  багатьох років був віце-президентом Петербурзької академії наук.

   Про деякі способи доведення нерівностей

Застосувавши теорему про почленне множення нерівностей, отримаємо:

imagea + 1 b + 1 l 4 aæ b .

                                                 b      a         b       a

Звідси a + 1 b + 1 l 4.

                          b      a

imageМетод геометричної інтерпретації Приклад   4   Доведіть нерівність:

                      99æ101 +   98æ102 + ... +   2æ198 +   1 199æ < image.

Розв’язання. Розглянемо чверть кола радіуса 1 із центром O. Впишемо в неї ступінчасту фігуру, яка складається з 99 прямокутників, так, як показано на рисунку 3.1. Маємо:

image99æ101  1æ199     A98 A99

Звідси випливає нерівність, що до- Рис. 3.1 водиться.

image

image1. Доведіть нерівність: 1) (a b+ ) 1 + 1 l 4, якщо a > 0 і  b > 0;

                          a    b

2)    (a b b c a c+ ) ( + ) (               + ) l 8abc, якщо al 0, bl0 і cl 0;

3)    (a3 + b a b) (             + 3) l 4a b2 2, якщо al0 і bl 0;

4)    (ab + 1) (a b+ ) l 4ab, якщо al0 і bl 0;

5)    image(a + 2) (b + 5) (c + 10) l 80 abc, якщо al 0, bl0 і cl 0;

                                      1     1

6)    imagea b+ + + l 4, якщо a>0 і b> 0; a       b

7)    (1 + a1) (1 + a2) ... (1 + an) l 2n, якщо a1, a2, ..., an — додатні числа, добуток яких дорівнює 1.

image                  4.           нерівності з однією змінною

Розглянемо задачу. Одна зі сторін паралелограма дорівнює 7 см. Якою має бути довжина сусідньої сторони, щоби периметр паралелограма був більшим за 44 см?

Нехай шукана сторона дорівнює x см. Тоді периметр паралелограма дорівнює (14 + 2x) см. Нерівність 14 + 2x > 44 є математичною моделлю задачі про периметр паралелограма.

Якщо в цю нерівність замість змінної x підставити, наприклад, число 16, то отримаємо правильну числову нерівність 14 + 32 > 44. У такому разі говорять, що число 16 є розв’язком нерівності 14 + 2x > 44.

Означення. Розв’язком нерівності з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює її в правильну числову нерівність.

image                          Так, кожне із чисел 15,1; 20; 10                  3 є розв’язком нерівності

14 + 2x > 44, а число 10 не є її розв’язком.

Зауваження. Означення розв’язку нерівності аналогічне означенню кореня рівняння. Проте не прийнято говорити «корінь нерівності».

Означення.Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків не існує.

Усі розв’язки нерівності утворюють множину розв’язків нерівності. Якщо нерівність розв’язків не має, то говорять, що множиною її розв’язків є порожня множина. Нагадаємо, що порожню множину позначають символом .

4.  Нерівності з однією змінною

Таким чином, можна сказати, що розв’язати нерівність означає знайти множину її розв’язків.

Наприклад, у задачі «розв’яжіть нерівність x2 > 0» відповідь буде такою: «усі дійсні числа, крім числа 0».

Очевидно, що нерівність | x | < 0 розв’язків не має, тобто множиною її розв’язків є порожня множина.

Означення. Нерівності називають рівносильними, якщо вони мають одну й ту саму множину розв’язків.

Наведемо кілька прикладів.

imageНерівності x2 m 0 і x m0 є рівносильними. Справді, кожна з них має єдиний розв’язок x = 0.

Нерівності x2 > –1 і | x | > –2 є рівносильними, оскільки мно жиною розв’язків кожної з них є множина дійсних чисел.

imageОскільки кожна з нерівностей x < −1 і 0x < –3 розв’язків не має, то вони також є рівносильними.

image

image4.1.° Які із чисел –4; –0,5; 0; image; 2 є розв’язками нерівності: 1) x > image;                3) 3x > x – 1;              5) x 1 > 1;

2) xm5;                                                                       4) x2 9 m 0;                  6) 1 > 1? x

4.2.° Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності (x – 2)2 (x – 5) > > 0:

        1) 3;                         2) 2;                           3) 6;                           4) –1?

4.3.° Чи є розв’язком нерівності 6x + 1 m2 + 7x число:

1) –0,1;            2) –2;           3) 0;           4) –1;           5) 2?

4.4.° Назвіть будь-які два розв’язки нерівності x + 5 > 2x + 3.

¿ 4.5.° Чи є число 1,99 розв’язком нерівності x < 2? Чи існують розв’язки даної нерівності, більші за 1,99? У разі ствердної відповіді наведіть приклад такого розв’язку.

¿ 4.6.° Чи є число 4,001 розв’язком нерівності x > 4? Чи існують розв’язки даної нерівності, менші від 4,001? У разі ствердної відповіді наведіть приклад такого розв’язку.

4.7.° Множиною розв’язків якої з даних нерівностей є порожня множина:

1)   (x – 3)2 > 0;              3) (x – 3)2 < 0;

2)   (x 3)2 l 0;                4) (x 3)2 m 0?

4.8.° Які з наведених нерівностей не мають розв’язків:

                   1) 0x > –2;              2) 0x < 2;                  3) 0x < –2;                   4) 0x > 2?

4.9.° Множиною розв’язків якої з наведених нерівностей є множина дійсних чисел:

                   1) 0x > 1;                2) 0x > 0;                  3) 0x > –1;              4) x + 1 > 0?

4.10.° Розв’язком якої з даних нерівностей є будь-яке дійсне число:

image                   1) x2 > 0;                  2) x > –x;                  3) x2 m 0;                        4) xl 0?

4.11. Серед зазначених нерівностей укажіть нерівність, розв’язком якої є будь-яке дійсне число, і нерівність, що не має розв’язків:

                           2                                                                                                      2

imageimagex + 1          x 1 1)   2 l 0;        3) 2               l1; x         x 1 x2 + 1             x2

                    2) x2 + 1 < 1;                                               4) x2 + 1 l 0.

4.12. Розв’яжіть нерівність:

1)     image22 + 2 > 0;           7)  xx+− 22 2 l 0; x

2)     image(x + 2)2 > 0;              8) x + 12 < 12 + 2;

                                                                                                        x        x

3)     (x + 2)2 m 0;             9) x l x2; x+ 2     2 4)          > 0;        10) | x | > –x ; x+ 2

                          x+ 2      2

5)     image>            ;               11) | x | > x; x+ 2  3

6)     image x+ 2 2 > 0;    12) x l x.

x 2


¿ 4.13. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1)       | x | > 0;   4) x m 1;

2)       imagex m 0;      5) | x | > –3;

1

3)       image| x | < 0;   6) > −3.

x

4. 14. Чи рівносильні нерівності:

              1                                                                                2

1)     image < 1 і x > 1;          3) (x + 5) < 0 і | x – 4 | < 0; x

2)     imagex lx і xl1;   4) x m0 і x m 0?

ВПРаВи дЛЯ ПоВтоРеннЯ

4.15.    Розв’яжіть рівняння:

1)     9 – 7 (x + 3) = 5 – 6x;

2)     imagex+ 3 x 4 = 1;

                 2            7

3)     (x + 7)2 – (x – 2)2 = 15;

4)     5x – 2 = 3 (3x – 1) – 4x – 4; 5) 6x + (x – 2) (x + 2) = (x + 3)2 – 13; 6) (x + 6) (x – 1) – (x + 3) (x – 4) = 5x.

4.16.    Велосипедист проїхав із села до озера й повернувся назад, витративши на весь шлях 1 год. Із села до озера він їхав зі швидкістю 15 км/год, а повертався зі швидкістю 10 км/год. Знайдіть відстань від села до озера.

image 5.          Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною. Числові проміжки

Властивості числових рівностей допомагали нам розв’язувати рівняння. Аналогічно властивості числових нерівностей допоможуть розв’язувати нерівності.

Розв’язуючи рівняння, ми заміняли його іншим, простішим рівнянням, рівносильним даному. За аналогічною схемою розв’язують і нерівності.

Під час заміни рівняння на йому рівносильне використовують теореми про перенесення доданків з однієї частини рівняння в другу та про множення обох частин рівняння на одне й те саме відмінне від нуля число.

Аналогічні правила застосовують і під час розв’язування нерівностей.

Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини нерівності в другу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

За допомогою цих правил розв’яжемо нерівність, отриману в задачі про периметр паралелограма (див. п. 4).

Маємо: 14 + 2x > 44.

Переносимо доданок 14 у праву частину нерівності:

2x > 44 –14.

Звідси 2x > 30.

Поділивши обидві частини нерівності на 2, отримуємо: x > 15.

Зауважимо, що отримана нерівність рівносильна заданій нерівності. Множина її розв’язків складається з усіх чисел, які більші за 15. Цю множину називають числовим проміжком і позначають так: (15; +∞) (читають: «проміжок від 15 до плюс нескінченності»).

У цій задачі відповідь можна записати одним зі способів: (15; +∞) або x > 15.

Точки координатної прямої, які зображають розв’язки нерівності x > 15, розміщені праворуч від точки, яка зображає число 15, і утворюють промінь, у якого «виколото» початок (рис. 5.1).

image

15   15 а     б

Рис. 5.1

Зауважимо, що для зображення на рисунку числового проміжку використовують два способи: за допомогою або штриховки (рис. 5.1, а), або дужки (рис. 5.1, б). Ми використовуватимемо другий спосіб.

imageПриклад   1   Розв’яжіть нерівність 3 + imagex m7 + x.

2

Розв’язання. Перенесемо доданок x з правої частини нерівності в ліву, а доданок 3 — з лівої частини в праву та зведемо подібні

члени:

x + x m7 3;

2

imagex

m 4.

2

Помноживши обидві частини останньої нерівності на –2, отримаємо:

xl 8.

imageМножиною розв’язків цієї нерівності є числовий проміжок, який позначають так:

[–8; +∞) (читають: «проміжок від –8 до плюс

–8 нескінченності, включаючи –8»).

Точки координатної прямої, які зобража- Рис. 5.2 ють розв’язки нерівності xl 8, утворюють промінь (рис. 5.2).

Відповідь можна записати одним зі способів: [–8; +∞) або xl 8.

imageПриклад   2   Розв’яжіть нерівність 2 (2 – 3x) > 3 (x + 6) – 5.

Розв’язання. Запишемо ланцюжок нерівностей, рівносильних даній:

 

4 – 6x > 3x + 18 – 5;

4 – 6x > 3x + 13;

–3x – 6x > –4 + 13;

–9x > 9; x < –1.

Множиною розв’язків останньої нерівності є числовий проміжок, який позначають так:

image

–1 Рис. 5.3

(–; –1) (читають: «проміжок від мінус нескінченності до –1»). Точки координатної прямої, які зображають розв’язки нерівності x < –1, розміщені ліворуч від точки –1 (рис. 5.3) та

утворюють промінь, у якого «виколото» початок.

Відповідь можна записати одним зі способів: (–; –1) або x < –1.

imageimageПриклад   3   Розв’яжіть нерівність x 1 + x m 1.

                                                                                                     2        3      6

Розв’язання. Запишемо ланцюжок рівносильних нерівностей:

                                                                     x 1           x           1

image                                                               6æ            + 6æ m6æ ;

                                                                        2             3           6

3x 3 + 2xm1; 5xm 4;

xmimage.

Множиною розв’язків останньої нерівності є числовий промі жок, який позначають так: −×; image54  (читають: «проміжок від мінус не-

скінченності до image, включаючи image»). Точки image координатної прямої, які зображають розв’язки image нерівності xmimage, утворюють промінь (рис. 5.4).

                        Рис. 5.4                             Відповідь можна записати одним зі способів:

−×; image54  або xm image54.

imageПриклад   4   Розв’яжіть нерівність 3 2( x 1) + 7 l 2 3( x + 1).

Розв’язання. Маємо: 6x 3 + 7 l 6x + 2; 6x 6xl 2 4; 0xl 2.

Остання нерівність при будь-якому значенні x перетворюється в правильну числову нерівність 0 l 2. Отже, шукана множина розв’язків збігається з множиною дійсних чисел.

Відповідь: x — будь-яке число.

Цю відповідь можна записати інакше: (–; +∞) (читають: «проміжок від мінус нескінченності до плюс нескінченності»). Цей числовий проміжок називають числовою прямою.

imageПриклад   5   Розв’яжіть нерівність 4 (x – 2) – 1 < 2 (2x – 9). Розв’язання. Маємо:

4x – 8 – 1 < 4x – 18; 4x – 4x < 9 – 18; 0x < –9.

Отримана нерівність при будь-якому значенні x перетворюється в неправильну числову нерівність 0 < –9.

У цій задачі відповідь можна записати одним зі способів: розв’язків немає або .

Кожна з нерівностей, які було розглянуто в прикладах 1–5, зводилася до рівносильної нерівності одного із чотирьох видів: ax > b, ax < b, ax bl , ax bm , де x — змінна, a і b — деякі числа. Такі нерівності називають лінійними нерівностями з однією

змінною.

Наведемо таблицю позначень і зображень вивчених числових проміжків:

Нерівність

Проміжок

Зображення

x > a

(a; +∞)

imagea

x < a

(–; a)

imagea

x al

[a; +∞)

imagea

x am

(–; a]

imagea

1.   сформулюйте правила, за допомогою яких можна отримати нерівність, рівносильну даній.

2.   Які нерівності називають лінійними нерівностями з однією змінною?

3.   Як записують, читають і зображають проміжок, який є множиною розв’язків нерівності виду x > a? x < a? x al ? x am ?

4.   imageрозв’язком нерівності є будь-яке число. Як у такому випадку записують, читають і називають проміжок, який є множиною розв’язків нерівності?

ВПРаВи

¿ 5.1.° Зобразіть на координатній прямій проміжок:

        1) [–5; +∞);          2) (–5; +∞);            3) (–; –5);             4) (–; –5].

¿ 5.2.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задається нерівністю:

                   1) x < 8;                    2) xm4;                   3) xl 1;                   4) x > 0.

¿ 5.3.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задається нерівністю:

                   1) xm 0;                     2) xlimage;                      3) x > –1,4;                   4) x < 16.

5.4.° Укажіть найменше ціле число, яке належить проміжку:

                   1) (6; +∞);             2) [6; +∞);               3) (–3,4; +∞);        4) [–0,9; +∞).

5.5.° Укажіть найбільше ціле число, яке належить проміжку:

                   1) (–; –4);            2) (–; –6,2];         3) (–; 1];                4) (–; –1,8).

5.6.° Яким з наведених проміжків належить число –7:

                   1) (–; –7);           2) [–7; +∞);            3) (–; 0];             4) (–; –6)?

5.7.° Якому з наведених проміжків не належить число 9:

                      1) (8,99; +∞); 2) (–; 10);                 3) (–; 8,99];         4) [9; +∞)?

5.8.° Розв’яжіть нерівність:

1)          6x > 18;                  6) –10x < 0;         11) 4 – x < 5;

2)          2xl10;  7) 2imagexm1image;      12) 5 8xl 6;

3)          imagex < 9;  8) 7x > image;       13) 12 + 4xl 6x;

4)          image0,1xl 0;  9) 7x – 2 > 19; 14) 36 – 2x < 4x; x+ 2

5)          x > 24; 10) 5x + 16 m6;   15)          image < 2.

5

5.9.° Розв’яжіть нерівність:

1)     5x < 30;    5) 3x < image;            9) 13 6xl 23;

2)     4xm16;               6) 2imagex > 1image;           10) 5 – 9x > 16;

3)     imagexm6;       7) 4x + 5 > –7;     11) 3x + 2 m 7x;

x 3

4)     12xl 0;    8) 9 xl 2x;          12)          image > −1.

4

5.10.° Розв’яжіть нерівність:

1) 0x > 10;      3) 0x > –8;            5) 0xl1; 7) 0xm 0; 2) 0x < 15;          4) 0x < –3;            6) 0xm2;                8) 0x > 0.

5.11.° Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:

          1) 5xl 40;               2) 5x > 40;                3) –2x < –3;              4) –7x < 15.

5.12.° Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:

         1) 8xm16;            2) 8x < –16;             3) 3x < 10;                4) –6x > –25.

5.13.° При яких значеннях a вираз 6a + 1 набуває від’ємних значень?

5.14.° При яких значеннях b вираз 7 – 2b набуває додатних значень?

5.15.° При яких значеннях m значення виразу 2 – 4m не менші від –22?

5.16.° При яких значеннях n значення виразу 12n – 5 не більші за –53?

5.17.° При яких значеннях x має зміст вираз:

image          1) 4x + 20;             2) 5 14x;             3)                    ?

5.18.° Знайдіть область визначення функції:

imageimage         1) f x( ) =   13 2x;                                2) f x(  ) =      x       .

− −x 1

5.19.° Розв’яжіть нерівність:

 

1) 8x + 2 < 9x – 3;

4) 3 11yl 3y + 6;

2) 6 – 6x > 10 – 4x;

5) –8p – 2 < 3 – 10p;

3) 6y + 8 m10y 8;

5.20.° Розв’яжіть нерівність:

6) 3m 1 m1,5m + 5.

1) 4 + 11x > 7 + 12x;

3) 3x – 10 < 6x + 2;

2) 35x 28 m32x + 2;

4) 6x 3 l 2x 25.

5.21.° При яких значеннях c значення двочлена 9c – 2 не більші за відповідні значення двочлена 4c + 4?

5.22.° При яких значеннях k значення двочлена 11k – 3 не менші від відповідних значень двочлена 15k – 13?

5.23.° Розв’яжіть нерівність:

1)                            4x + x < 11;             3) 5x x > −4;

               3      2                                                          7

imageimage              2x      3x      1                                                x     1

               3        4       6

5.24.° Розв’яжіть нерівність:

       8     4

image1)   5y < 1; y

              6      4

image2)    x > −2. x

       10      5

2)                            l ;                4) mx.

5.25. Розв’яжіть нерівність:

 1) 3 5 2( x + 4) l7 2x;  2) 6x 3 (x 1) m2 + 5x;

3)     x 2 (x 1) l10 + 3 (x + 4);

4)     2 (2x – 3,5) – 3 (2 – 3x) < 6 (1 – x);  5) (x + 1) (x 2) m (x 3) (x + 3);

6)                      (4x 3)2 + (3x + 2)2 l (5x + 1)2;

                           2x 1     3x 5

7)                      l      ;

4                     5

8)                      image3x+ 7 5x 2 < x;

4                     2

9)                      (x 5) (x + 1) m3 + (x 2)2;

10)                   imagex+ 1 x 3 > 2 + x;

                               2           3                6

11)                   (6x 1)2 4x x(9       3) m1;

12)                   imagex 3 x+ 4 > x 8.

                               9            4            6

5.26. Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) 3 (4x + 9) + 5 > 7 (8 – x);      2) (2 y) (3 + y) m (4 + y) (6 y);    

3)                       (y + 3) (y – 5) – (y – 1)2 > –16;    x         2x 6

4)                       1l               ;

3

5)                       image2x x 1 x+ 2 < 0;

                          3          6           2

6)                       y 1 2y+ 1 y < 2.

                            2            8

5.27. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:

1)   7 (x + 2) – 3 (x – 8) < 10;

2)   (x – 4) (x + 4) – 5x > (x – 1)2 – 17.

5.28. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:

1)     image4x+ 13 5 + 2x > 6 7x 2;

                             10              4             20

2)     (x 1) (x + 1) (x 4) (x + 2) l 0.

image5.29. Скільки цілих від’ємних розв’язків має нерівність  x x+ 7 11x+ 30 < x 5?

                                                                     4              12               3

5.30. Скільки натуральних розв’язків має нерівність

image 2 3xl 1 5x+ 6 ?

                                                           4          5         8

5.31. При яких значеннях x є правильною рівність:

          1) | x – 5 | = x – 5;                                    2) | 2x + 14 | = –2x – 14?

5.32. При яких значеннях y є правильною рівність:

imageimage1) y+ 7             = 1;        2) 6 y = 1? y+ y 6

5.33. При яких значеннях a рівняння:

1)   x2 + 3xa = 0 не має коренів;

2)   2x2 – 8x + 5a = 0 має хоча б один корінь?

5.34. При яких значеннях b рівняння:

1) 3x2 – 6x + b = 0 має два різних корені; 2) x2x – 2b = 0 не має коренів?

5.35. Човен проплив деяку відстань за течією річки, а потім повернувся назад, витративши на всю подорож не більше п’яти годин. Швидкість човна в стоячій воді дорівнює 5 км/год, а швидкість течії — 1 км/год. Яку найбільшу відстань міг пропливти човен за течією річки?

5.36. Беруть чотири послідовних цілих числа та розглядають різницю добутків крайніх і середніх чисел. Чи існують такі чотири послідовних цілих числа, для яких ця різниця більша за нуль?

5.37. У коробці лежать сині та жовті кулі. Кількість синіх куль відноситься до кількості жовтих як 3 : 4. Яка найбільша кількість синіх куль може бути в коробці, якщо всього куль не більше за 44?

5.38. У саду ростуть яблуні, вишні та сливи, кількості яких відносяться як 5 : 4 : 2 відповідно. Якою може бути найменша кількість вишень, якщо всього дерев у саду не менше від 120?

5.39. Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 14 см і a см, де a — натуральне число. Якого найбільшого значення може набувати a?

5.40. Сума трьох послідовних натуральних парних чисел не менша від 85. Знайдіть найменші три числа, які задовольняють цю умову.

5.41. Сума трьох послідовних натуральних чисел, які кратні 5, не більша за 100. Які найбільші три числа задовольняють цю умову?

5.42. При яких значеннях x визначена функція:

1)    imagef x( ) = x + 4 + 1 ; 3) f x( ) = 1 8 ; x 2            3x+ 9 x 2

2)    imagef x(             ) =        24 8x + 2 6 16;                4) f x(     ) = x + 1 + x24 1? x

5.43. При яких значеннях змінної має зміст вираз:

image1) 9 x + 10 ; x+ 3

5.44.•• Розв’яжіть рівняння:

6

image2)                         + 2 9 64 ?

           3x 21      x

1) | x – 3 | + x = 15;

3) | 3x – 12 | – 2x = 1;

2) | x + 1 | – 4x = 14; 5.45.•• Розв’яжіть рівняння:

4) | x + 2 | – x = 1.

1) | x + 5 | + 2x = 7;

2) | 3 – 2x | – x = 9.

5.46.•• Побудуйте графік функції:

1)   y = | x – 2 |;              3) y = | x – 1 | + x.

2)   y = | x + 3 | – 1;

5.47.•• Побудуйте графік функції:

1)   y = | x + 4 |;              3) y = | 2x – 6 | – x.

2)   y = | x – 5 | + 2;

5.48.•• При яких значеннях a рівняння: 1) 4x + a = 2 має додатний корінь;

2)   (a + 6) x = 3 має від’ємний корінь;

3)   (a – 1) x = a2 – 1 має єдиний додатний корінь?

5. 49.•• При яких значеннях m рівняння:

1) 2 + 4x = m – 6 має невід’ємний корінь; 2) mx = m2 – 7m має єдиний від’ємний корінь?

5.50.* Знайдіть усі значення a, при яких має два різних корені рівняння:

1)   ax2 + 2x – 1 = 0;

2)   (a + 1) x2 – (2a – 3) x + a = 0; 3) (a – 3) x2 – 2 (a – 5) x + a – 2 = 0.

5.51.* Знайдіть усі значення a, при яких не має коренів рівняння (a – 2) x2 + (2a + 1) x + a = 0.

5.52.* Чи існує таке значення a, при якому не має розв’язків нерівність (у разі ствердної відповіді вкажіть це значення):

                    1) ax > 3x + 4;                                          2) (a2 a 2) x am 2?

5.53.* Чи існує таке значення a, при якому будь-яке число є розв’язком нерівності (у разі ствердної відповіді вкажіть це значення):

         1) ax > –1 – 7x;                                       2) (a2 16) x am + 4?

5.54.* Для кожного значення a розв’яжіть нерівність:

1) ax > 0; 3) ax al ; 5) (a – 2) x > a2 – 4; 2) ax < 1; 4) 2 (xa) < ax – 4;  6) (a + 3) x am 2 9.

5.55.* Для кожного значення a розв’яжіть нерівність:

        1) a x2 m 0;                         2) a + x < 2 – ax;             3) (a + 4) x > 1.

imageВПРаВи дЛЯ ПоВтоРеннЯ

5.56. Розв’яжіть рівняння:

 

1) 6x – 5x2 = 0;

4) 3x2 + 8x – 3 = 0;

2) 25x2 = 81;

5) x2 + x – 12 = 0;

3) 4x2 – 7x – 2 = 0;

6) 2x2 + 6x + 7 = 0.

5.57.    Відомо, що m і n — послідовні цілі числа. Яке з поданих тверджень завжди є правильним: 1) добуток mn більший за m;

2) добуток mn більший за n; 3) добуток mn є парним числом; 4) добуток mn є непарним числом?

5.58.    Порівняйте значення виразів:

1)     image3 98 і 4      72;          3) imageimage.

2)     image                68 і         45; 

5.59.    Щоб наповнити басейн водою через одну трубу, потрібно в 1,5 раза більше часу, ніж для того, щоб наповнити його через другу трубу. Якщо ж відкрити одночасно обидві труби, то басейн наповниться за 6 год. За скільки годин можна наповнити басейн через кожну трубу окремо?

imageУЧиМоСЯ Робити неСтандаРтні кРоки

5.60. Трицифрове число n є таким, що числа n – 6, n – 7 і n – 8 кратні числам 7, 8 і 9 відповідно. Знайдіть число n.

image 6.          Системи лінійних нерівностей з однією змінною

imageРозглянемо вираз 2x 1 + 5 x. Знайдемо множину допустимих значень змінної x, тобто всі значення змінної x, при яких даний вираз має зміст. Цю множину називають областю визначення виразу.

Оскільки підкореневий вираз може набувати тільки невід’ємних значень, то мають одночасно виконуватися дві нерівності: 2x 1l 0 і 5 xl 0. Тобто шукані значення змінної x — це всі спільні розв’язки зазначених нерівностей.

imageЯкщо треба знайти всі спільні розв’язки двох або кількох нерівностей, то говорять, що треба розв’язати систему нерівностей. Як і систему рівнянь, систему нерівностей записують за допомогою фігурної дужки. Так, для знаходження області визначення виразу 2x 1 + 5 x треба розв’язати систему нерівностей

2x 1l 0,

                                                                         5 xl 0.                                                        (*)

Означення. Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює кожну нерівність системи в правильну числову нерівність.

Наприклад, числа 2, 3, 4, 5 є розв’язками системи (*), а число 7 не є її розв’язком.

Означення. Розв’язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Усі розв’язки системи нерівностей утворюють множину розв’язків системи нерівностей. Якщо система розв’язків не має, то говорять, що множиною її розв’язків є порожня множина.

Таким чином, можна сказати, що розв’язати систему нерівностей означає знайти множину її розв’язків.

image0xl 1, Наприклад, у задачі «Розв’яжіть систему нерівностей »  x l 0

відповідь буде такою: «множина дійсних чисел».

xm5,

Очевидно, що множина розв’язків системи нерівностей xl 5

складається з єдиного числа 5.


x > 5,

Система нерівностей x < 5 розв’язків не має, тобто множиною

її розв’язків є порожня множина.

Розв’яжемо систему (*). Перетворюючи кожну нерівність сис-

                                                                                2xl1,        xl image1,

теми в рівносильну їй, отримуємо: −xl 5; xm52.

Множина розв’язків останньої системи складається з усіх чисел, які не менші від image і не більші за 5, тобто з усіх чисел, які задовольняють нерівність imagem mx 5. Ця множина є числовим проміжком,

                                                     1                                                    1

який позначають так: image2; 5 (читають: «проміжок від image2 до 5,

включаючи image і 5»).

Відповідь до задачі про знаходження області визначення виразу

image2x 1 + 5 x можна записати одним зі способів: image12; 5 або imagem mx 5.

Точки, які зображають розв’язки системи (*), розміщені між 1

точками A image і B (5), включаючи точки A і B (рис. 6.1). Вони 2

утворюють відрізок.

image

                     image                     5                                               image                   5

                              Рис. 6.1                                                           Рис. 6.2

image1 +× і (–; 5]

              Зауважимо, що всі спільні точки проміжків 2;              

                                                   1    

утворюють проміжок image2; 5 (рис. 6.2). Говорять, що проміжок 12; 5 є перерізом проміжків image12; +× і (–; 5]. Записують:

image1; +∞(×; 5] = image12; 5.

2      

imageimageПроміжки 12; +× і (–; 5] є множинами розв’язків відповідно

нерівностей xl і xm5. Тоді можна сказати, що множина

imagexl 1,

               розв’язків системи                    2 є перерізом множин розв’язків кожної

xm5

з нерівностей, які складають систему.

Отже, щоб розв’язати систему нерівностей, треба знайти переріз множин розв’язків нерівностей, які складають систему.

3x 1 > −7,

imageПриклад   1   Розв’яжіть систему нерівностей 3 4x > −9.

                                                                      3x > −6,        x > −2,

image

                        Розв’язання. Маємо:                     

 

За допомогою координатної прямої знайдемо переріз множин розв’язків нерівностей

–2                    3

Рис. 6.3

даної системи, тобто переріз проміжків (–; 3) і (–2; +∞) (рис. 6.3). Шуканий переріз складається із чисел, які задовольняють нерівність –2 < x < 3. Ця множина є числовим проміж-

−4x > −12; x < 3.


ком, який позначають (–2; 3) (читають: «проміжок від –2 до 3»).

Відповідь можна записати одним зі способів: (–2; 3) або –2 < x < 3.

4x 3 < 1,

imageПриклад   2   Розв’яжіть систему нерівностей


4x < 4, x < 1,

Розв’язання. Маємо: −xm2; xl 2.

За допомогою координатної прямої знайдемо переріз проміжків (–; 1) і [–2; +∞),

 

які є множинами розв’язків нерівностей даної системи (рис. 6.4). Шуканий переріз складається із чисел, які задовольняють нерівність –2 m x < 1. Ця множина є числовим проміжком, який позначають [–2; 1) (читають: «проміжок від –2 до 1, включаючи –2»).

–2                    1

Рис. 6.4

image

3 xm5.

Відповідь можна записати одним зі способів: [–2; 1) або –2 m x < 1.

imagexm1, Приклад   3   Розв’яжіть систему нерівностей x > −2.

Множиною розв’язків даної системи є переріз проміжків (–; 1] і (–2; +∞) (рис. 6.5). Цей переріз є числовим проміжком, який позначають (–2; 1] (читають: «проміжок від –2 до 1, включаючи 1»). Відповідь: (–2; 1].

image

–2                    1

–5           1

Рис. 6.5

Рис. 6.6

imageПриклад   4   Знайдіть область визначення функції

imagey = 1 + x + 5. x 1

Розв’язання. Шукана область визначення — це множина

                                                                      x 1 > 0,                    x > 1,

розв’язків системи нерівностей x + 5 l 0. Маємо: xl 5.

Зобразимо на координатній прямій переріз проміжків (1; +∞) і [–5; +∞) (рис. 6.6). Цим перерізом є проміжок (1; +∞). Відповідь: (1; +∞).

Наведемо таблицю позначень і зображень числових проміжків, вивчених у цьому пункті:

Нерівність

Проміжок

Зображення

a x bm m

[a; b]

       imagea                           b

a < x < b

(a; b)

       imagea                           b

a x b m

(a; b]

       imagea                           b

a x bm <

[a; b)

       imagea                           b

1.   Що називають областю визначення виразу?

2.   У яких випадках говорять, що треба розв’язати систему нерівностей?

3.   За допомогою якого символу записують систему нерівностей?

4.   Що називають розв’язком системи нерівностей з однією змінною?

5.   Що означає розв’язати систему нерівностей?

6.   imageЯк записують, читають і зображають проміжок, який є множиною розв’язків нерівності виду a x bm m ? a < x < b? a x b< m ? a x bm < ?

ВПРаВи

6.1.° Які із чисел –6; –5; 0; 2; 4 є розв’язками системи нерівностей:

x 2 < 0,

−2xm10?

6.2.° Розв’язком якої із систем нерівностей є число –3:

                          xl 3,                   x < −4,                   x > −4,                  x + 1 > −1,

                   1) xl 6;              2) x < 8;              3) x < 8;              4) x 2 < 0?

¿ 6.3.° Зобразіть на координатній прямій проміжок:

                    1) (–3; 4);               2) [–3; 4];                 3) [–3; 4);                    4) (–3; 4].

¿ 6.4.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задано нерівністю:

1)     0 < x < 5;                 3) 0,2 mx < 102; 

2)     image < xm2image;           4) 2 4, m mx 1.

6.5.° Запишіть усі цілі числа, які належать проміжку:

                    1) [3; 7];                  2) (2,9; 6];                3) [–5,2; 1);                 4) (–2; 2).

6.6.° Укажіть найменше і найбільше цілі числа, які належать проміжку:

1) [–12; –6];   3) (–10,8; 1,6]; 2) (5; 11]; 4) [–7,8; –2,9].

6.7.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть переріз проміжків:

1) [–1; 7] і [4; 9];

4) (–; 2,6) і (2,8; +∞);

2) [3; 6] і (3; 8);

5) [9; +∞) і [11,5; +∞);

3) (–; 3,4) і (2,5; +∞);

6) (–; –4,2] і (–; –1,3).

6.8.° Укажіть на рисунку 6.7 зображення множини розв’язків сис-

x > −1,

теми нерівностей

xm6.

image

–1 6 –1 6 а     в

image

–1 6 –1 6 б     г

Рис. 6.7

6.9.° Укажіть на рисунку 6.8 зображення множини розв’язків подвійної нерівності 4 m mx 2.

image

–4            2           –4           2 а          в

image

–4            2           –4           2 б          г

Рис. 6.8

6.10.° Який із наведених проміжків є множиною розв’язків систе-

x > −1,

ми нерівностей x > 2:

        1) (–; –1);            2) (–1; 2);                3) (2; +∞);               4) (–1; +∞)?

6.11.° Відомо, що a < b < c < d. Який із даних проміжків є перерізом проміжків (a; c) і (b; d):

        1) (a; d);                 2) (b; c);                    3) (c; d);                   4) (a; b)?

6.12.° Відомо, що m < n < k < p. Який із даних проміжків є перерізом проміжків (m; p) і (n; k):

        1) (m; n);                 2) (k; p);                    3) (n; k);                   4) (m; p)?

6.13.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть множину розв’язків системи нерівностей:

xm2,

1)      −1; xm

x < 2,

3)      −1; xl

x > 2,

5)      −1; xl

xl 2,

7) m2;

x

xm2,

2)      > −1; x

xm2,

4)      < −1; x

x > 2,

6)      −1; xm

xl 2, 8)  < 2.

x

6.14.° Розв’яжіть систему нерівностей:

                        x 4 < 0,                                               x 2 < 1 + 3x,

1)     2xl 6;                6) 5x 7 mx + 9;

                        x 2 > 3,                                                3x 6 mx 1,

2)     −3x < −12;       7) 11x + 13 < x + 3;

                       x + 6 > 2,                                                5x + 14 l18 x,

3)     imagex4 < 2;                            8) 1 5, x + 1 < 3x 2;

                         6x + 3 l 0,                                               4x + 19 m5x 1,

4)     7 4x < 7;           9) 10x < 3x + 21.

10x 1l 3,

5)     7 3xl 2x 3;

6.15.° Розв’яжіть систему нерівностей:

                         −4xm12,                    2 3x < 4x 12,

x + 2 > 6;

7 + 3xl 2x + 10;

8 xl 5,

2)      − 7 m2; x

x + 3 l 8,

5) x+ 1           

      image3 < 6;

                   1)                               4)                         

                        3x 3 < 5x,                   5x 2 l 2x + 1,

                 3) 7x 10 < 5x;        6) 2x + 3 m33 3x.

6.16.° Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) –3 < x – 4 < 7;

3) 0 8, m6 2x < 1 4, ;

2) 2 4, m3x + 0 6, m3; 6.17.° Розв’яжіть нерівність:

4) 4 < imagex 2 m5.

5

1) 2 < x + 10 m14;

3) 1 8, m1 7xm36;

2) 10 < 4x – 2 < 18;

x+ 1

4) 1 m image < 1 5,                       .

4

−2xl 15,

6.18.° Скільки цілих розв’язків має система нерівностей 3x > −10?

6.19.° Знайдіть суму цілих розв’язків системи нерівностей

x + 8 l 4,

5x + 1 m 9.

6.20.° Скільки цілих розв’язків має нерівність 3 m7x 5 < 16?

6.21.° Знайдіть найменший цілий розв’язок системи нерівностей

x + 8 l17,

 x  image2 > 4 5,      .

6.22.° Знайдіть найбільший цілий розв’язок системи нерівностей

2x + 1 < −4, 3x 6 m12.

6.23. Розв’яжіть систему нерівностей:

8 (2 x) 2x > 3,

1)    −3 6( x 1) x < 2x;

imagex+ 1 2x+ 3 > 1,

2)    4              3             

6 (2x 1) < 5 (x 4) 7;

2 (x 3) m3x + 4 (x + 1),

3)    2                     

(x 3) (x + 3) m (x 4) 1;

              2 (x + 11) l 3 6(  x),

4)    (x 3) (x + 6) l (x + 5) (x 4);

image2x x+ 1 mx+ 1,

5)    2              3

(x + 5) (x 3) + 41l (x 6)2;

5x + 4 m2x 8,

6)    (x + 2) (x 1) l (x + 3) (x 2);

imagex+ 2 < x+ 1,

7)    7              4

(x 6) (x + 2) + 4x < (x 7) (x + 7);

image6x+ 1 5x 1 > −1,

8)    6              5

2 (x + 8) 3 (x + 2) < 5 x.

6.24. Знайдіть множину розв’язків системи нерівностей:

image2x 3 4x 9 > 1,

1)     5              6             

5 (x 1) + 7 (x + 2) > 3;

imagex+ 1 x+ 2 < x+ 12,

2)     2              3              6             

0 3, x 19 m1 7, x 5;

(x 6)2 < (x 2)2 8,

3)    

3 2( x 1) 8 < 34 3 5( x 9);

image3x 2 4x+ 1 m1,

4)     3              4

(x 1) (x 2) > (x + 4) (x 7). 6.25. Знайдіть цілі розв’язки системи нерівностей:

x

                       2x 1 < 1 7, x,                                  3 x4 < 1,

image                    1) 3x 2 lx 8;                                     2) 2x xl10.

                                                                                                  2

6.26. Скільки цілих розв’язків має система нерівностей:

                         4x + 3 l 6x 7,                                  x x 3+ 1 x 6 2 < 2,

image                    1) 3 (x + 8) l 4 (8 x);                         2) 2x 5 l 3?

                                                                                              3

6.27. Знайдіть область визначення виразу:

1)         6x 9 + 2x 5;   3) 2x 4 +         1 x;

2)         image3x + 5 1              ;               4) 12 3x −       5              .

                                               15 5x                                                        x 4

6.28. При яких значеннях змінної має зміст вираз:

imageimage                     1) 8 − +x       1    ;                                       2) 7x 35 + 2 1          ?

                                            2 x                                                                     x 5x

6.29. Розв’яжіть нерівність:

image                   1) 3 <           < 4;                             2) 4 m1 imagex 2 m3.

3

6.30. Розв’яжіть нерівність:

image                  1) 2 m             < 4;                                  2) 1 2, < 7image 3x m1 4,        .

5

6.31. Розв’яжіть систему нерівностей:

             x < 4,                                                       0 4,  8xl 3 6, ,

1)     x > 2, 3) 1 5, x 2 < 4, x < 3 6, ; 4 1, x + 10 < 1 6, x + 5.

2x 6 < 8,

2)     4 4x < 10,

8x 9 > 3;

6.32. Розв’яжіть систему нерівностей:

             −x < 2,                                                    3x 1 < 2x + 2,

      1) 2x > 7,                                            2) 2x + 1 > 8 5x,

            x < −4;                                                 5x 25 m 0.

¿ 6.33. Одна сторона трикутника дорівнює 4 см, а сума двох інших — 8 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника, якщо довжина кожної з них дорівнює цілому числу сантиметрів.

6. 34.•• Розв’яжіть нерівність:

1)                    (x 3) (x + 4) m 0; 4) 3x+ 6 < 0; x 9

2x 1

2)                    image(x + 1) (2x – 7) > 0;     5) m 0; x+ 2 x 8 5x+ 4

3)                    > 0;                 6) l 0.

image

 

x 1

6.35.•• Розв’яжіть нерівність:

x 6

1) (14 – 7x) (x  3) > 0;

5x 6

3)                 l 0;

+

x+ 9

image         2) x 8      > 0;                                          4) 4x+ 1 m 0.

image

 

3x 12

6.36.•• Розв’яжіть нерівність:

x 10

1)       imagex 2 m3 6,            ;               4) 7 3x l1;

2)       image| 2x + 3 | < 5;         5) x + 3 + 2xl 6;

3) | x + 3 | > 9;

637.•• Розв’яжіть нерівність:

6) | x – 4 | – 6x < 15.

1)       x 6 l 2 4,              ;               3) | x + 5 | – 3x > 4;

2)       imageimage5x + 8 m2;             4) x 1 + xm3.

6.38.* При яких значеннях a має хоча б один розв’язок система нерівностей:

                          xl 3,                                 xm3,

                   1) x a< ;                        2) x al ?

6.39.* imagea не має розв’язків система нерівностей:

                         x > 4,                               xm1,

                   1) x a< ;                        2) x al ?

6.40.* При яких значеннях a множиною розв’язків системи нерів-

x > −1, ностей є проміжок:

x al

                   1) (–1; +∞);          2) [1; +∞)?

6.41.* Для кожного значення a розв’яжіть систему нерівностей

x < 2,

  x am .

6.42.* Для кожного значення a розв’яжіть систему нерівностей

x < −3,  x a> .

6.43.* При яких значеннях a множина розв’язків системи нерівно-

xl7, стей x a<         містить рівно чотири цілих числа?

6.44.* При яких значеннях b множина розв’язків системи нерівно-

x < 5, стей містить рівно три цілих числа?

x bl

6.45.* При яких значеннях a найменшим цілим розв’язком системи

xl 6,

                     нерівностей x a>    є число 9?

6.46.* При яких значеннях b найбільшим цілим розв’язком систе-

x bm ,

ми нерівностей x < −2 є число –6?

6.47.* При яких значеннях a корені рівняння x2 – 2ax + a2 – 4 = 0 менші від числа 5?

6.48.* При яких значеннях a корені рівняння

x2 – (4a – 2) x + 3a2 – 4a + 1 = 0

належать проміжку [–2; 8]?

6.49.* При яких значеннях a один із коренів рівняння

3x2 – (2a + 5) x + 2 + aa2 = 0

менший від –2, а другий — більший за 3?

imageВПРаВи дЛЯ ПоВтоРеннЯ

6.50.    Розв’яжіть рівняння:

                  x2                   3x+ 4                                          5         8

image          1) x2 16 = x2 16;                                 2) x 3 x = 3.

6.51.    Спростіть вираз:

1)         0,5          24 4    40 −      150 +    54 +      1000;

2)         8b + 0 3,                50b 3  2b;

3)         1,5          72 −      216 0 6,             450 + 0 5,             96.

6.52.    Виразіть із даної рівності змінну x через інші змінні:

image1) 2x imagem = 2;           2) 1 1 = 1 . n      m             x              n

6.53.    Відомо, що a — парне число, b — непарне, a > b. Значення якого з даних виразів може бути цілим числом:

imageimagea b              a              b              a              b 1)         + ;          2)            ;          3) image;       4) image? b   a              b              a          b              a

¿ 6.54. Скільки кілограмів солі міститься в 40 кг 9-відсоткового розчину?

¿ 6.55. Руда містить 8 % олова. Скільки потрібно взяти кілограмів руди, щоб отримати 72 кг олова?

¿ 6.56. Який відсотковий вміст солі в розчині, якщо в 350 г розчину міститься 21 г солі?

ЗаВданнЯ № 1 «ПеРеВіРте Себе» В теСтоВій фоРМі

1.       Порівняйте числа a і b, якщо ab = –3,6.

А) a > b;

Б) a < b;

В) a = b;

Г) порівняти неможливо.

2.       Відомо, що m > n. Яке з наведених тверджень хибне?

А) m – 2 > n – 2;

Б) 2m > 2n;

В) m + 2 > n + 2;

Г) –2m > –2n.

3.       Оцініть периметр P рівностороннього трикутника зі стороною a см, якщо 0,8 < a < 1,2.

А) 1,6 см < P < 2,4 см;

Б) 2,4 см < P < 3,6 см; В) 3,2 см < P < 4,8 см;

Г) 1,2 см < P < 1,8 см.

4.       Відомо, що 2 < x < 3 і 1 < y < 4. Оцініть значення виразу xy.

А) 4 < xy < 8;

Б) 3 < xy < 7;

В) 2 < xy < 12;

Г) 6 < xy < 14.

5.       Відомо, що –18 < y < 12. Оцініть значення виразу imagey + 2.

А) 3 < 1 y + 2 < 4;

6

imageБ) 1 < 1 y + 2 < 4;

6

В) 1 < 1 y + 2 < 2;

Г) 3 < imagey + 2 < 2.

6.       Дано: a > 0, b < 0. Яка з наведених нерівностей може бути правильною?

А) a2 < b2;

В) ab < 0;

a

Б)   image > 1;

Г) a2b3 > 0.

b


Завдання № 1 «Перевірте себе» в тестовій формі

7.       Множиною розв’язків якої з наведених нерівностей є множина дійсних чисел?

        А) 2x > –2;             В) 0x > –2;

        Б) 2x > 0;                Г) 0x > 0.

8.       Множиною розв’язків якої з наведених нерівностей є проміжок (3; +∞)?

         А) xl 3;                  В) x > 3;

         Б) xm3;                  Г) x < 3.

                                                                           x      1

9.       imageЗнайдіть розв’язки нерівності               m .

                                                                           4      5

                      4                               4

          А) xlimage;                   В) xmimage;

          Б) xlimage;                  Г) xmimage.

10.    Розв’яжіть нерівність 3x + 8 l 5.

        А) xm1;                   В) xm1;

          Б) xl1;                      Г) xl 1.

11.    imageЗнайдіть найменший цілий розв’язок нерівності 3x 5 > 8 x.

                                                                                                                         2             3

        А) 2;                        В) 4;

        Б) 3;                            Г) визначити неможливо.

12.    imageЧому дорівнює добуток натуральних чисел, які належать області визначення виразу 14 3x ?

        А) 4;                        В) 18;

        Б) 10;                       Г) 24.

13.    Яка з наведених систем нерівностей не має розв’язків?

               xl 3,                    xl 3,

       А) xm2;          В) xm3;

             x > −3,                  xl 2,

      Б) x > −2;          Г) xm3.

14.    Знайдіть множину розв’язків системи нерівностей

x 1 > 2x 3,

4x + 5 > x + 17.

А) ;

В) (–; 4);

Б) (2; +∞);

Г) (2; 4).

15.    Який із зображених числових проміжків відповідає множині

8 7x > 3x 2,

розв’язків системи нерівностей −2 3( x 2 6,  ) m2 (2 6,         )?

                    А)                                           В)

image

                      0                    1                                              1

                    Б)                                            Г)

image

                         0                                            0                      1

16.    Скільки цілих розв’язків має система нерівностей

imagex x 2 l x 3 x 1,

                                                                    3            4           2

                                                           1 0 5, x x> − 4?

                   А) 3;                        В) 5;

                   Б) 4;                         Г) 6.

17.    Розв’яжіть нерівність 3 < 1image 2x 2 < 1.

5

                    А) (–3; 7);               В) (–7; –3);

                    Б) (–7; 3);              Г) (3; 7).

18.    При яких значеннях a рівняння 2x2 + 6x + a = 0 не має коренів? А) a < 4,5; В) a > –4,5;

                   Б) a > 4,5;               Г) a < –4,5.

Головне в параграфі 1

image! гоЛоВне В ПаРагРафі 1

           

Порівняння чисел

Число a вважають більшим за число b, якщо різниця ab є додатним числом.

Число a вважають меншим від числа b, якщо різниця ab є від’ємним числом.

Основні властивості числових нерівностей

Якщо a > b і b > c, то a > c.

Якщо a > b і c — будь-яке число, то a + c > b + c.

Якщо a > b і c — додатне число, то ac > bc.

Якщо a > b і c — від’ємне число, то ac < bc.

                                                        1      1

image         Якщо a > b і ab > 0, то        <   .

                                                        a      b

Додавання і множення числових нерівностей

Якщо a > b і c > d, то a + c > b + d.

Якщо a > b, c > d і a, b, c, d — додатні числа, то ac > bd.

Розв’язок нерівності з однією змінною

Розв’язком нерівності з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює її в правильну числову нерівність.

Рівносильні нерівності

Нерівності називають рівносильними, якщо вони мають одну й ту саму множину розв’язків.

Правила розв’язування нерівностей з однією змінною

   Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини нерівності в другу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

   Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

   Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Розв’язування системи нерівностей з однією змінною

Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює кожну нерівність системи в правильну числову нерівність.

Розв’язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає, тобто знайти множину її розв’язків.

Числові проміжки

Нерівність

Проміжок

Зображення

x > a

(a; +∞)

imagea

x < a

(–; a)

imagea

x al

[a; +∞)

imagea

x am

(–; a]

imagea

a x bm m

[a; b]

     imagea b

a < x < b

(a; b)

     imagea b

a x b m

(a; b]

     imagea b

a x bm <

[a; b)

     imagea b


§ 2 квадратичНа фуНкція

      У цьому параграфі ви повторите й розширите свої знання про функцію та її властивості.

      imageНавчитеся, використовуючи графік функції y = f (x), будувати графіки функцій y = kf (x), y = f (x) + b, y = f (x + a). Дізнаєтесь, яку функцію називають квадратичною, яка фігура є її графіком, вивчите властивості квадратичної функції.

      Навчитеся застосовувати властивості квадратичної функції.

      розширите свої знання про системи рівнянь із двома змінними, методи їхнього розв’язування, набудете нових навичок розв’язування систем рівнянь.

image 7.          Повторення та розширення відомостей про функцію

У повсякденному житті нам часто доводиться спостерігати процеси, у яких зміна однієї величини (незалежної змінної) призводить до зміни другої величини (залежної змінної). Вивчення цих процесів потребує створення їхніх математичних моделей. Однією з таких найважливіших моделей є функція.

Із цим поняттям ви ознайомилися в 7 класі. Нагадаємо й уточнимо основні відомості.

Нехай X — множина значень незалежної змінної, Y — множина значень залежної змінної. Функція — це правило, за допомогою якого за кожним значенням незалежної змінної з множини X можна знайти єдине значення залежної змінної з множини Y.

Зазвичай незалежну змінну позначають буквою x, залежну — буквою y, функцію (правило) — буквою f. Кажуть, що змінна y функціонально залежить від змінної x. Цей факт позначають так: y = f (x). Незалежну змінну ще називають аргументом функції.

Множину всіх значень, яких набуває аргумент, називають областю визначення функції і позначають D (f) або D (y).

1

imageТак, областю визначення функції y = є проміжок (0; +×), тобто D (y) = (0; +×).

imageУ функціональній залежності кожному значенню аргументу x відповідає певне значення залежної змінної y. Значення залежної змінної ще називають значенням функції і позначають f (x). Множину всіх значень, яких набуває залежна змінна, називають областю значень функції і позначають E (f) або E (y). Так, областю значень функції y = x є проміжок [0; +×), тобто E (y) = [0; +×).

Функцію вважають заданою, якщо вказано її область визначення та правило, за яким можна за кожним значенням незалежної змінної знайти значення залежної змінної.

Функцію можна задати одним із таких способів:

   описово;

   за допомогою формули; •    за допомогою таблиці;

   графічно.

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Такий спосіб задання функції називають аналітичним. Якщо при цьому не вказано область визначення, то вважають, що областю визначення функції є область визначення виразу, який входить до фор-

мули. Наприклад, якщо функцію задано формулою f x( ) = 1 , x 1

1

imageто її областю визначення є область визначення виразу , тобx 1

то проміжок (1; +×).

У таблиці наведено функції, які ви вивчали в 7 і 8 класах.

Функція

Область  визначення

Область значень

Графік

y = kx + b

(–×; +×)

Якщо k 0, то

(–×; +×); якщо k = 0, то область

значень складається з одного числа b

Пряма

k

y = image, x k 0

Множина, яка складається

з проміжків

(–×; 0) і (0; +×)

Множина, яка складається з проміжків

(–×; 0) і (0; +×)

Гіпербола

y = x2

(–×; +×)

[0; +×)

Парабола

imagey = x

[0; +×)

[0; +×)

Вітка  параболи

7.  Повторення та розширення відомостей про функцію

1.   Що таке функція?

2.   imageЯк позначають той факт, що змінна y функціонально залежить від змінної x?

3.   Що називають аргументом функції?

4.   Що називають областю визначення функції?

5.   Що називають значенням функції?

6.   Що називають областю значень функції?

7.   Що треба вказати, щоб функція вважалася заданою?

8.   Які способи задання функції ви знаєте?

9.   Що вважають областю визначення функції, якщо її задано формулою та при цьому не вказано область визначення?

ВПРаВи

7.1.° Функцію задано формулою f (x) = –2x2 + 5x.

1 1)  Знайдіть: f (1); f (0); f image; f (–5).

2

2)     Знайдіть значення аргументу, при яких значення функції дорівнює: 0; 2; –3.

3)     Чи є правильною рівність: f (–1) = 7; f (4) = –12?

7.2.° Функцію задано формулою f (x) = 3x – 2.

1)   Знайдіть: f (3); f (0); f (–0,2); f (1,6).

2)   Знайдіть значення x, при якому: f (x) = 10; f (x) = –6; f (x) = 0.

7.3.° Кожному натуральному числу, більшому за 10, але меншому від 20, поставили у відповідність остачу при діленні цього числа на 5.

1)   Яким способом задано цю функцію?

2)   Яка область значень цієї функції?3) Задайте цю функцію таблично.

7.4.° Функцію задано формулою y = 0,4x – 2. Заповніть таблицю відповідних значень x і y:

x

2

 

–2,5

 

y

 

–2

 

0,8

image

Рис. 7.1

7.5.° Дано функцію y = −16image. Заповніть таблицю відповідних знаx

чень x і y:

x

2

 

–0,4

 

y

 

0,8

 

–32

7.6.° На рисунку 7.1 зображено графік функції y = f (x), визначеної на проміжку [–4; 5]. Користуючись графіком, знайдіть: 1) f (–3,5); f (–2,5); f (–1); f (2);

2) значення x, при яких f (x) = –2,5; f (x) = –2; f (x) = 0; f (x) = 2; 3) область значень функції.

7.7.° На рисунку 7.2 зображено графік функції y = f (x), визначеної на проміжку [–4; 4]. Користуючись графіком, знайдіть:

1)   f (–4); f (–1); f (1); f (2,5);

2)   значення x, при яких f (x) = –1; f (x) = 0; f (x) = 2; 3) область значень функції.

image

Рис. 7.2

7.  Повторення та розширення відомостей про функцію

image

7.8.° Знайдіть область визначення функції:

1)    f (x) = 7x – 15;        5) f x(     ) =        1              ;

2)    imagef x(              ) =        8              ;               6) f x(     ) =

x+ 5

3)    imagef x(              ) = x 10;              7) f x(     ) =

6

4)    f x(              ) = x 9;               8) f x(

7.9.° Знайдіть область визначення функції:

1)    f x(              ) = x+ 3;                4) f x(

x 4

2)    imagef x(              ) = x2 9+ 16;          5) f x(

3)    f x(              ) = x25x6+x1