УДК 373.167.1:512

                       М52

Рекомендовано

Міністерством освіти і науки України

(наказ МОН України від 20.03.2017 № 417)

Видано за рахунок державних коштів.  Продаж заборонено

Експерти, які здійснили експертизу даного підручника  під час проведення конкурсного відбору проектів підручників  для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів 

і зробили висновок про доцільність надання підручнику грифа  «Рекомендовано Міністерством освіти і науки України»:

Я. П. Сисак, провідний науковий співробітник відділу алгебри

і топології Інституту математики НАН України,  доктор фізико-математичних наук;

Н. В. Кравченко, методист РМЦ відділу освіти  Красноградської районної державної адміністрації Харківської області,  старший учитель;

Ю. О. Андрух, учитель математики 

Чернівецького багатопрофільного ліцею № 4, учитель-методист

                           Мерзляк А. Г.

М52 Алгебра : підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — Х. : Гімназія, 2017. — 272 с. : іл.

ISBN 978-966-474-293-8.

УДК 373.167.1:512

© А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір, 2017

© ТОВ ТО «Гімназія», оригінал-макет,

               ISBN 978-966-474-293-8                                   художнє оформлення, 2017

Любі діти!

У цьому навчальному році ви продовжите вивчати алгебру. Сподіваємося, що ви встигли полюбити цю важливу й красиву науку, а отже, з інтересом будете опановувати нові знання. Ми маємо надію, що цьому сприятиме підручник, який ви тримаєте в руках.

Ознайомтеся, будь ласка, з його структурою.

Підручник поділено на три параграфи, кожний з яких складається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал. Найважливіші відомості виділено жирним шрифтом і курсивом. Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується прикладами розв’язування задач. Ці записи можна розглядати як один із можливих зразків оформлення розв’язання.

До кожного пункту дібрано завдання для самостійного розв’язування, приступати до яких радимо лише після засвоєння теоретичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за складністю вправи, так і важкі задачі, особливо ті, що позначено зірочкою (*). Свої знання можна перевірити, розв’язуючи задачі в тестовій формі з рубрики «Перевірте себе».

Десять пунктів підручника завершуються рубрикою «Учимося робити нестандартні кроки». До неї дібрано задачі, для розв’язування яких потрібні не спеціальні алгебраїчні знання, а лише здоровий глузд, винахідливість і кмітливість. Ці задачі корисні, як вітаміни. Вони допоможуть вам навчитися приймати несподівані й нестандартні рішення не тільки в математиці, а й у житті.

Якщо після виконання домашніх завдань залишається вільний час, рекомендуємо звернутися до рубрик «Коли зроблено уроки» та «Для тих, хто хоче знати більше». Матеріал, викладений там, непростий. Але тим цікавіше випробувати свої сили!

Дерзайте! Бажаємо успіху!

Від авторів

ШаноВні коЛеги та коЛежанки!

Ми дуже сподіваємося, що цей підручник стане надійним помічником у вашій нелегкій та шляхетній праці, і будемо щиро раді, якщо він вам сподобається.

У книзі дібрано великий і різноманітний дидактичний матеріал. Проте за один навчальний рік усі задачі розв’язати неможливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим набагато зручніше працювати, коли є значний запас задач. Це дає можливість реалізувати принципи рівневої диференціації та індивідуального підходу в навчанні.

Матеріал рубрики «Коли зроблено уроки» може бути використаний для організації роботи математичного гуртка й факультативних занять.

Бажаємо творчого натхнення та терпіння.

n°	завдання, що відповідають початковому та середньому рівням навчальних досягнень;
n•	завдання, що відповідають достатньому рівню навчальних досягнень;
n••	завдання, що відповідають високому рівню навчальних досягнень;
n*	задачі для математичних гуртків і факультативів;
◄	закінчення доведення теореми, розв’язування прикладу;
¿	завдання, які можна виконувати за допомогою комп’ю тера;

 рубрика «Коли зроблено уроки».

Зеленим кольором позначено номери задач, що рекомендуються для домашньої роботи, синім кольором — номери задач, які з урахуванням індивідуальних особливостей учнів класу на розсуд учителя можна розв’язувати усно.

§ 1 НерівНості

•      У цьому параграфі ви дізнаєтеся, у якому випадку число aвважають більшим (меншим), ніж число b; вивчите властивості числових нерівностей; дізнаєтеся, що називають розв’язком нерівності з однією змінною, розв’язком системи нерівностей з однією змінною.

•      Ви навчитеся оцінювати значення виразів, доводити нерівності, розв’язувати лінійні нерівності та системи лінійних нерівностей з однією змінною.

 1.              Числові нерівності

На практиці вам часто доводиться порівнювати величини. Наприклад, площа спортивного залу більша за площу класної кімнати, площа України (603,5 тис. км²) більша за площу Франції (551,5 тис. км²), висота гори Роман-Кош (1545 м) менша від висоти гори Говерли (2061 м), відстань від Києва до Харкова (450 км) дорівнює 0,011 довжини екватора.

Результати таких порівнянь можна записувати у вигляді числових нерівностей, використовуючи знаки >, <.

Якщо число a більше за число b, то пишуть: a > b; якщо число a менше від числа b, то пишуть: a < b.

Очевидно, що 12 > 7, –17 < 3, , 2 > 1. Справедливість цих нерівностей випливає з правил порівняння дійсних чисел, які ви вивчали в попередніх класах.

Проте числа можна порівнювати не лише за допомогою правил, які було вивчено раніше. Інший спосіб, більш універсальний, заснований на таких очевидних міркуваннях: якщо різниця двох чисел є додатною, то зменшуване більше за від’ємник, якщо ж різниця від’ємна, то зменшуване менше від від’ємника.

Ці міркування підказують, що зручно прийняти таке означення.

Означення. Число a вважають більшим за число b, якщо різниця a – b є додатним числом. Число a вважають меншим від числа b, якщо різниця a – b є від’ємним числом.

Це означення дає змогу задачу про порівняння двох чисел звести до задачі про порівняння їхньої різниці з нулем. Наприклад,

щоби порівняти значення виразів  і 2 −       3, розглянемо їхню різницю:

Оскільки  > 0, то           > 2 −

a > b B

нулю, тому для будь-яких чисел a і b справедли- A                             ве одне й тільки одне з таких співвідношень:

b                   a Рис. 1.1

a > b, a < b, a = b. Якщо a > b, то точка, яка зображає число a на координатній прямій, лежить праворуч від

Зауважимо, що різниця чисел a і b може бути або додатною, або від’ємною, або рівною

точки, яка зображає число b (рис. 1.1). Часто в повсякденному житті ми користуємося висловами «не більше», «не менше». Наприклад, відповідно до санітарних норм кількість учнів у класі має бути не більшою за 30. Дорожній знак, зображений на рисунку 1.2, означає, що швидкість руху автомобіля має бути не меншою від 30 км/год.

У математиці для вислову «не більше» використо- 30 вують знак m (читають: «менше або дорівнює»), а для

вислову «не менше» — знак l (читають: «більше або

Рис. 1.2

дорівнює»).

Якщо a < b або a = b, то є правильною нерівність a bm .

Якщо a > b або a = b, то є правильною нерівність a bl .

Наприклад, нерівності 7 m7, 7 m15, −3 l −5 є правильними. Зауважимо, що, наприклад, нерівність 7 m5 є неправильною.

Знаки < і > називають знаками строгої нерівності, а знаки m і l називають знаками нестрогої нерівності.

Приклад   1   Доведіть, що при будь-яких значеннях a є правильною нерівність

(a + 1) (a + 2) > a (a + 3).

Розв’язання. Для розв’язання достатньо показати, що при будь-якому значенні a різниця лівої та правої частин даної нерівності є додатною. Маємо:

(a + 1) (a + 2) – a (a + 3) = a² + 2a + a + 2 – a² – 3a = 2. ◄

У таких випадках говорять, що доведено нерівність

(a + 1) (a + 2) > a (a + 3).

Приклад   2   Доведіть нерівність (a – 3)² < 2a² – 6a + 10, де a — будь-яке дійсне число.

Розв’язання. Розглянемо різницю лівої та правої частин даної нерівності:

(a – 3)² – (2a² – 6a + 10) = a² – 6a + 9 – 2a² + 6a – 10 = = –a² – 1 = –a² + (–1).

При будь-якому значенні a маємо: −a² m 0. Сума недодатного й від’ємного чисел є число від’ємне. Отже, –a² + (–1) < 0.

Звідси випливає, що (a – 3)² < 2a² – 6a + 10 при будь-якому значенні a. ◄

Приклад   3   Доведіть нерівність l ab, де al 0, bl 0.

Розв’язання. Розглянемо різницю лівої та правої частин даної нерівності. Маємо:

2 .

Вираз                               набуває невід’ємних значень при будь-яких

2

невід’ємних значеннях змінних a і b. Отже, нерівність, що доводиться, є правильною. ◄

Зауважимо, що вираз ab називають середнім геометричним чисел a і b.

Отже, ми довели, що середнє арифметичне двох невід’ємних чисел не менше від їхнього середнього геометричного.

Приклад   4   Доведіть, що a² − ab + b² l 0 при будь-яких значеннях a і b.

Розв’язання. Маємо:

2

a² − ab b+ ² = a² − 2æ æa ¹ b + ¹ b² + ³ b² = ^a − ¹ b^ + ³ b².

                                                    2        4          4               2       4

Оскільки a − ¹ b² l 0 і ³ b² l 0 при будь-яких значеннях a і b,

                       2             4

то a − ¹ b² + ³ b² l 0 при будь-яких значеннях a і b.

  2       4

Отже, a² − ab + b² l 0 при будь-яких значеннях a і b. ◄

1.   У якому разі число a вважають більшим за число b?

2.   У якому разі число a вважають меншим від числа b?

3.   Як розташована на координатній прямій точка, яка зображає число a, відносно точки, яка зображає число b, якщо a > b?

4.   Який символ використовують для вислову «не більше» та як цей символ

читають?

5.   Який символ використовують для вислову «не менше» та як цей символ читають?

6.   У якому разі є правильною нерівність a bm ?

7.   У якому разі є правильною нерівність a bl ?

8.   Поясніть, які знаки називають знаками строгої, а які — нестрогої нерівності.

ВПРаВи

1.1.° Порівняйте числа a і b, якщо:

         1) a – b = 0,4;                 2) a – b = –3;                     3) a – b = 0.

1.2.° Відомо, що m < n. Чи може різниця m – n дорівнювати числу:

        1) 4,6;                                2) –5,2;                               3) 0?

1.3.° Яке із чисел, x або y, є більшим, якщо: 1) x – y = –8;    2) y – x = 10?

1.4.° Як розташована на координатній прямій точка A (a) відносно точки B (b), якщо:

1)   a – b = 2; 3) a – b = 0;

2)   a – b = –6;                4) b a−  =          2?

1.5.° Чи можуть одночасно виконуватися нерівності: 1) a > b і a < b;              2) a bl і a bm ?

1.6.° Порівняйте значення виразів (a – 2)² і a (a – 4) при значенні a, що дорівнює: 1) 6; 2) –3; 3) 2. Чи можна за результатами виконаних порівнянь стверджувати, що при будь-якому значенні a значення першого виразу більше за відповідне значення другого виразу? Доведіть, що при будь-якому значенні a значення першого виразу більше за відповідне значення другого виразу.

1.7.° Порівняйте значення виразів 4 (b + 1) і b – 2 при значенні b, що дорівнює: 1) –1; 2) 0; 3) 3. Чи можна стверджувати, що при будь-якому значенні b значення виразу 4  (b + 1) більше за відповідне значення виразу b – 2?

1.8.° Доведіть, що при будь-якому значенні змінної є правильною

нерівність:

1)   (a + 3) (a + 1) > a (a + 4);

2)   3 (b – 4) + 2b < 5b – 10;

3)   (c – 4) (c + 4) > c² – 20;

4)   x (x + 6) – x² < 2 (3x + 1);

5)   (y+ 5)(y− 2) l 3y− 10; 6) 8m² − 6m + 1 m (3m − 1)²;

7)     a a( − 2) l− 1;

8)     (b + 7)² > 14b + 40.

1.9.° Доведіть, що при будь-якому значенні змінної є правильною

нерівність:

1) (p – 3) (p + 4) < p (p + 1);      2) (x + 1)² > x (x + 2);        

3)   (a – 5) (a + 2) > (a + 5) (a – 8); 

4)   y (y + 8) < (y + 4)²;  5) (2a − 5)² m6a² − 20a + 25; 

6) a² + 4 l 4a.                                         

1.10.^• Чи є правильним твердження:

                                  a                                                 a

1)   якщо a > b, то         > 1;        4) якщо  > 1, то a > b;

                                  b                                                 b

                                  2                                                  ²

2)   якщо a > 1, то < 2;                5) якщо a > 1, то a > 1?

a

2

3)   якщо a < 1, то > 2;

a

1.11.^• Доведіть нерівність:

1)    2a² – 8a + 16 > 0;

2)    4b² + 4b + 3 > 0;

3)    a² + ab + b² l 0;

4)    (3a + 2) (2a – 4) – (2a – 5)² > 3 (4a – 12);

5)    a (a – 3) > 5 (a – 4);

6)    (a b a− ) ( + 5b) m (2a b a+ ) (            + 4b) + ab.

1.12.^• Доведіть нерівність: 1) 28a − 32 m7a² − 4;

2)    9x² − 6xy + 4y² l 0;

3)    3 (b – 1) < b  (b + 1);

4)    (4p – 1) (p + 1) – (p – 3) (p + 3) > 3 (p² + p).

1.13.^• Доведіть, що:

1)     a³ − 6a² + a − 6 l 0, якщо al 6;

2)     ab + 1 > a + b, якщо a > 1 і b > 1;

3)     a+ 3 + ^{3a− 2} < a, якщо a < –6.

                 3             4

1.14.^• Доведіть, що:

1)     ab b( − a) ma³ − b³, якщо a bl ;

2)     a− 1 − ^{a− 2} > ¹, якщо a > 2.

                 2           3         2

1.15.^• Порівняйте суму квадратів двох довільних чисел та їхній подвоєний добуток.

1.16.^• Дано три послідовних натуральних числа. Порівняйте:

1)     квадрат середнього із цих чисел і добуток двох інших;

2)     подвоєний квадрат середнього із цих чисел і суму квадратів двох інших.

1.17.^• Порівняйте суму квадратів двох додатних чисел і квадрат їхньої суми.

1.18.^• Як зміниться — збільшиться чи зменшиться — правильний a

дріб , де a > 0, b > 0, якщо його чисельник і знаменник збільb

шити на одне й те саме число?

1.19.^• Як зміниться — збільшиться чи зменшиться — неправильний a

дріб , де a > 0, b > 0, якщо його чисельник і знаменник збільb

шити на одне й те саме число?

1.20.^• Доведіть, що сума будь-яких двох взаємно обернених додатних чисел не менша від 2.

1.21.^• Доведіть, що сума будь-яких двох взаємно обернених від’ємних чисел не більша за –2.

1.22.^• Чи є правильною дана нерівність при будь-яких значеннях a і b:

              a2 −b2                                                   a2 −b2

    1) 2 _{+ 1} > 1;        2) b_{2 + 1} > −1?

_a

1.23.^• Доведіть, що при всіх значеннях змінної є правильною нерівність:

a2              1 1) 4 m ; a + 1 2

(5a + 1)2 2)      l 4a. 5

1.24.^• Доведіть, що коли a < b, то a <  < b.

1. 25.^•• Доведіть, що коли a < b < c, то a <  < c.

2

^••                                                                                                        a ^{+ 4           2}              3 при всіх зна-

1.26. Чи є правильною нерівність                      l a +

2

ченнях a?

1.27.^•• Доведіть, що при всіх значеннях змінної є правильною неa² + 2 рівність l 2.

2

a + 1

1.28.^•• Доведіть нерівність:

1)    a² + b² + 6a − 4b + 13 l 0;

2)    x² – 2x + y² + 10y + 28 > 0;

3)    2m² − 6mn + 9n² − 6m + 9 l 0; 4) a² + b² + c² + 12 l 4 (a b c+ + ); 5) a b^{2 2} + a² + b² + 1l 4ab.

1. 29.^•• Доведіть нерівність:

1)   a² + b² – 16a + 14b + 114 > 0;

2)   x² + y² + 10 l 6x − 2y; 3) c² + 5d² + 4cd − 4d + 4 l 0.

1.30.    Відомо, що a > 0, b > 0, c < 0, d < 0. Порівняйте з нулем значення виразу:

                                    a                                  ac

1)    bc;             3) ;          5) ;          7) abcd; b              d

                                    ab                                a                                   b

2)    cd;             4)            ;               6)            ;               8)            . c     bc            acd

1.31.    Що можна сказати про знаки чисел a і b, якщо: a       ²

1)    ab > 0;      3) > 0;   5) a b > 0;

b

                                              a                                             ²

2)    ab < 0;      4) < 0;   6) a b < 0?

b

1.32.    Поясніть, чому при будь-яких значеннях змінної (чи змінних) є правильною нерівність:

1)    a² l 0;         5) a² + b² l 0;

2)    a² + 1 > 0;                6) a² + b² + 2 > 0;

3)    (a + 1)² l 0; 7) (a − 2)² + (b + 1)² l 0; 4) a² − 4a + 4 l 0; 8) a² + 3 > 0.

1.33.    Порівняйте з нулем значення виразу, де a — довільне число:

1)    4 + a²;       4) –4 – (a – 4)²; 2) (4 – a)²;               5) (–4)⁸ + (a – 8)⁴; 3) –4 – a²;           6) (4 – a)² + (4a – 1000)².

1.34.    Спростіть вираз:

1)    2a (5a – 7) – 5a (3 – 2a);

2)    (2b – 3) (4b + 9);

3)    (2c – 6) (8c + 5) – (5c + 2) (5c – 2);

4)    16m² – (3 – 4m) (3 + 4m);

5)    (2x – 1)² + (2x + 1)²; 6) (x – 4) (x + 4) – (x – 8)².

УЧиМоСЯ Робити неСтандаРтні кРоки

1.35. Усі натуральні числа від 1 до 1000 включно розбили на дві групи: парні числа та непарні числа. У якій із груп сума всіх цифр, використаних для запису чисел, є більшою та на скільки?

 2.          основні властивості числових нерівностей

У цьому пункті розглянемо властивості числових нерівностей, які часто використовують під час розв’язування задач. Їх називають основними властивостями числових нерівностей.

Теорема 2.1. Якщо a > b і b > c, то a > c.

Доведення. Оскільки за умовою a > b і b > c, то різниці a – b і b – c є додатними числами. Тоді додатною буде їхня сума

(a – b) + (b – c). Маємо: (a – b) + (b – c) = a – c. Отже, різниця a – c є додатним числом, тому a > c. ◄

Аналогічно можна довести таку властивість: якщо a < b і b < c, то a < c.

2.  основні властивості  числових нерівностей

трично (рис. 2.1): якщо на координатній прямій точка A (a) лежить праворуч від точки B (b), а точка B (b) — праворуч від точки C (c), то точка A (a) лежить праворуч від точки C (c).

c

b            a Рис. 2.1

            Теорему 2.1 можна проілюструвати геоме-             C              B          A

Теорема 2.2. Якщо a > b і c — будь-яке число, то a +c > b +c.

Доведення. Розглянемо різницю (a + c) – (b + c). Маємо: (a + c) – (b + c) = a – b. Оскільки за умовою a > b, то різниця a – b є додатним числом. Отже, a + c > b + c. ◄

Аналогічно можна довести таку властивість: якщо a < b і c — будь-яке число, то a + c < b + c.

Оскільки віднімання можна замінити додаванням (a – c =

= a + (–c)), то теорему 2.2 можна сформулювати так:

якщо до обох частин правильної нерівності додати або від обох частин правильної нерівності відняти одне й те саме число, то отримаємо правильну нерівність.

Наслідок. Якщо будь-який доданок перенести з однієї частини правильної нерівності в другу, замінивши знак доданка на протилежний, то отримаємо правильну нерівність.

Доведення. Нехай нерівність a > b + c є правильною. Віднімемо від обох її частин число c. Отримаємо: a – c > b + c – c, тобто a – с > b. ◄

Теорема 2.3. Якщо a > b і c — додатне число, то ac > bc. Якщо a > b і c — від’ємне число, то ac < bc.

Доведення. Розглянемо різницю ac – bc. Маємо:  ac – bc = c (a – b).

За умовою a > b, отже, різниця a – b є додатним числом.

Якщо c > 0, то добуток c (a – b) є додатним числом, отже, різниця ac – bc є додатною, тобто ac > bc.

Якщо c < 0, то добуток c (a – b) є від’ємним числом, отже, різниця ac – bc є від’ємною, тобто ac < bc. ◄

Аналогічно можна довести таку властивість: якщо a < b і c — додатне число, то ac <bc. Якщо a < b і c — від’ємне число, то ac > bc.

 a = aæ1 , то

Оскільки ділення можна замінити множенням 

                                                                                                                    c          c 

теорему 2.3 можна сформулювати так:

якщо обидві частини правильної нерівності помножити або

поділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо правильну нерівність;

якщо обидві частини правильної нерівності помножити або

поділити на одне й те саме від’ємне число та замінити знак нерівності на протилежний, то отримаємо правильну нерівність.

                                                                                                1      1

                       Наслідок. Якщо ab > 0 і a > b, то            <   .

a b

Доведення. Поділимо обидві частини нерівності a > b на до-

                                                                                                                               a        b

датне число ab. Отримаємо правильну нерівність                    >        , тобто ab              ab

            1      1                     1      1

> . Звідси < . ◄ b a        a b

Звернемо увагу, що коли з формулювання наслідку вилучити умову ab > 0, тобто вимогу, щоб числа a і b мали однакові знаки,

                                                                                                                              1      1

                   то з нерівності a > b може не випливати нерівність              <      . Дійсно,

                                                                                                                              a      b

нерівність 5 > –3 є правильною, проте нерівність 1 < − ¹ є непра-

                                                                                                                          5        3

вильною.

У теоремах цього пункту йшлося про строгі нерівності. Аналогічні властивості притаманні й нестрогим нерівностям. Наприклад, якщо a bl і c — будь-яке число, то a c b+ l + c.

1.   Яке із чисел — a або c — більше, якщо відомо, що a > b і b > c?

2.   сформулюйте теорему про додавання до обох частин нерівності одного й того самого числа.

3.   сформулюйте наслідок із теореми про додавання до обох частин нерівності одного й того самого числа.

4.   сформулюйте теорему про множення обох частин нерівності на одне й те саме число.

5.   сформулюйте наслідок із теореми про множення обох частин нерівності на одне й те саме число.

ВПРаВи

2.1.° Відомо, що a > 6. Чи є правильною нерівність:

                   1) a > 4;                              2) al 5,9;                           3) a > 7?

2.2.° Відомо, що a < b і b < c. Яке з тверджень є правильним:

                   1) a > c;                             2) a = c;                             3) c > a?

2.  основні властивості  числових нерівностей

2.3.° Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:

1)     до обох частин нерівності –3 < 4 додамо число 5; число –2;

2)     від обох частин нерівності –10 < –6 віднімемо число 3; число –4;

3)     обидві частини нерівності 7 > –2 помножимо на число 5; на число –1;

4)     обидві частини нерівності 12 < 18 поділимо на число 6; на число –2.

2.4.° Відомо, що a > b. Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:

1)     до обох частин даної нерівності додамо число 8;

2)     від обох частин даної нерівності віднімемо число –6;

3)     обидві частини даної нерівності помножимо на число 12;

4)     обидві частини даної нерівності помножимо на число −;

5)     обидві частини даної нерівності поділимо на число ;

6)     обидві частини даної нерівності поділимо на число –4.

2.5.^• Відомо, що b > a, c < a і d > b. Порівняйте числа: 1) a і d;           2) b і c.

2.6.^• Розташуйте в порядку зростання числа a, b, c і 0, якщо a > b, 0 < b і 0 > c.

2.7.^• Відомо, що a > 4. Порівняйте з нулем значення виразу:

1)   a – 3;         3) (a – 3) (a – 2);                 5) (1 – a)² (4 – a).

2)   2 – a;         4) (a − 4) (a − 2);

3 − a

2.8.^• Відомо, що –2 < b < 1. Порівняйте з нулем значення виразу:

1)   b + 2;         3) b – 2;                 5) (b + 2) (b – 4)²;

2)   1 – b;         4) (b – 1) (b – 3);                 6) (b – 3) (b + 3) (b – 2)².

2.9.^• Дано: a > b. Порівняйте:

1)   a + 9 і b + 9;           5) –40b і –40a;

                                                                                    a         b

2)   b – 6 і a – 6;             6)             і              ;

                                                                                   20       20

3)   1,8a і 1,8b;               7) 2a – 3 і 2b – 3; 4) –a і –b;             8) 5 – 8a і 5 – 8b.

2.10.^• Відомо, що 1 mm < 2. Які з нерівностей є правильними:

1)     −1 m− m < −2;     3) −1l − m > −2;

2)     −2 < −mm− 1;      4) −2 > −ml − 1?

2.11.^• Дано: –3a > –3b. Порівняйте:

1)     a і b;         4) −b і −a;

2)     a і b;    5) 3a + 2 і 3b + 2;

3)     b – 4 і a – 4;            6) –5a + 10 і –5b + 10.

2.12.^• Відомо, що a > b. Розташуйте в порядку спадання числа a + 7, b – 3, a + 4, b – 2, b.

2.13.^• Дано: a < b. Порівняйте:

                    1) a – 5 і b;                       2) a і b + 6;                        3) a + 3 і b – 2.

2.14.^• Порівняйте числа a і b, коли відомо, що: 1) a > c і c > b + 3;    2) a > c і c – 1 > b + d², де c і d — деякі числа.

2.15.^• Порівняйте числа a і 0, якщо:

1)           7a < 8a;                3) –6a > –8a; a     a

2)           <         ;               4) –0,02a > –0,2a.

                         2      3

2.16.^• Дано: a > –2. Доведіть, що:

                    1) 7a + 10 > –4;                                        2) –6a – 3 < 10.

2.17.^• Дано: bm10. Доведіть, що:

                  1) 5b − 9 m 41;                                           2) 1 – 2b > –21.

2.18.^• Чи є правильним твердження:

1)   якщо a > b, то a > –b;

2)   якщо a > b, то 2a > b;

3)   якщо a > b, то 2a + 1 > 2b;

4)   якщо a > b + 2 і b – 3 > 4, то a > 9;

5)   якщо a > b, то ab > b²;

6)   оскільки 5 > 3, то 5a² > 3a²;

7)   оскільки 5 > 3, то 5 (a² + 1) > 3 (a² + 1)?

2.19.^•• Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:

1) обидві частини правильної нерівності a > 2 помножимо на a; 2)  обидві частини правильної нерівності b < –1 помножимо на b;

3)     обидві частини правильної нерівності m < –3 помножимо на –m;

4)     обидві частини правильної нерівності c > –4 помножимо на c.

2. 20.^•• Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:

1)  обидві частини правильної нерівності a < –a² поділимо на a; 2)  обидві частини правильної нерівності a > 2a² поділимо на a;

3)  обидві частини правильної нерівності a³ > a² поділимо на –a.

2.21.    Відомо, що a² + b² = 18  і  (a + b)² = 20. Чому дорівнює значення виразу ab?

2.22.    У Дмитра у 2 рази більше марок, ніж у Надії, у Надії — у 2 рази більше марок, ніж у Михайла. Якому з наведених чисел може дорівнювати кількість марок, що має Дмитро?

        1) 18;                       2) 22;                        3) 24;                         4) 30.

2.23.    Спростіть вираз:

a2 + b2                 b 1)            2     +          ; 2a + 2ab a b+ a2 + 9 a 2)            2 − 9 − a+ 3; a

c+ 1 c2 − 1 3)                   :              2 ;          3c        6c m2 + 2mn n+ 2 4)                   2 −n2            : (m n+  ). m

2.24.    Моторний човен за один і той самий час може проплисти 48 км за течією річки або 36 км проти течії. Яка власна швидкість човна, якщо швидкість течії становить 2 км/год?

 3.          додавання і множення числових нерівностей.  оцінювання значення виразу

Розглянемо приклади.

1)        Якщо з першого поля зібрали не менше ніж 40 т жита, а з другого поля — не менше ніж 45 т, то очевидно, що з двох полів разом зібрали не менше ніж 85 т жита.

2)        Якщо довжина прямокутника не більша за 70 см, а ширина — не більша за 40 см, то зрозуміло, що його площа не більша за 2800 см².

Висновки із цих прикладів є інтуїтивно очевидними. Їхню правильність підтверджують такі теореми.

Теорема 3.1 (про почленне додавання нерівностей).

Якщо  a >b і c > d, то a +c > b +d.

Доведення. Розглянемо різницю (a + c) – (b + d). Маємо:

(a + c) – (b + d) = a + c – b – d = (a – b) + (c – d).

Оскільки a > b і c > d, то різниці a – b і c – d є додатними числами. Отже, різниця, що розглядається, є додатною, тобто a + c > b + d. ◄

Аналогічно можна довести таку властивість: якщо a < b і c < d, то a + c < b + d.

Нерівності a > b і c > d (або a < b і c < d) називають нерівностями однакового знака, а нерівності a > b і c < d (або a < b і c > d) — нерівностями протилежних знаків.

Говорять, що нерівність a + c > b + d отримано з нерівностей a > b і c > d шляхом почленного додавання.

Теорема 3.1 означає, що при почленному додаванні правильних нерівностей однакового знака результатом є правильна нерівність того самого знака.

Зазначимо, що теорема 3.1 справедлива й у разі почленного додавання трьох і більше нерівностей. Наприклад, якщо a₁ > b₁, a₂ > b₂ і a₃ > b₃, то a₁ + a₂ + a₃ > b₁ + b₂ + b₃.

Теорема 3.2 (про почленне множення нерівностей).

Якщо a > b, c > d і a, b, c, d — додатні числа, то ac > bd.

Доведення. Розглянемо різницю ac – bd. Маємо: ac – bd = ac – bc + bc – bd = c (a – b) + b (c – d).

За умовою a – b > 0, c – d > 0, c > 0, b > 0. Отже, різниця, що розглядається, є додатною. Із цього випливає, що ac > bd.  ◄

Аналогічно можна довести властивість: якщо a < b, c < d і a, b, c, d — додатні числа, то ac < bd.

Говорять, що нерівність ac > bd отримано з нерівностей a > b і c > d шляхом почленного множення.

Теорема 3.2 означає, що при почленному множенні правильних нерівностей однакового знака, у яких ліві та праві частини — додатні числа, результатом є правильна нерівність того самого знака.

Звернемо увагу: якщо з формулювання теореми 3.2 вилучити вимогу, щоб a, b, c, d були додатними числами, то з нерівностей a > b і c > d може не випливати нерівність ac > bd. Справді, розглянемо дві правильні нерівності –2 > –3 і 4 > 1. Помноживши почленно ці нерівності, отримаємо неправильну нерівність –8 > –3.

Зауважимо, що теорема 3.2 справедлива й у разі почленного множення трьох і більше нерівностей. Наприклад, якщо a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃ — додатні числа, причому a₁ > b₁, a₂ > b₂, a₃ > b₃, то a1a2a3 > b1b2b3.

Наслідок. Якщо a > b і a, b — додатні числа, то aⁿ > bⁿ, де n — натуральне число.

Доведення. Запишемо n правильних нерівностей a > b: a b>  a b> ^

 n нерівностей

...            a b>   

Оскільки a і b — додатні числа, то можемо перемножити почленно n записаних нерівностей. Отримаємо: aⁿ > bⁿ. ◄

Зазначимо, що всі розглянуті властивості нерівностей є правильними й у тому випадку, коли нерівності є нестрогими:

якщо a bl і c dl , то a c b d+ l + ; якщо a bl , c dl і a, b, c, d — додатні числа, то ac bdl ; якщо a bl і a, b — додатні числа, то aⁿ lbⁿ,де n — нату-

ральне число.

Ви знаєте, що значення величин, які є результатом вимірювань, не є точними. Вимірювальні прилади дають змогу лише встановити, між якими числами знаходиться точне значення величини. Ці числа називають межами значення величини.

Нехай, наприклад, у результаті вимірювання ширини x і довжини y прямокутника було встановлено, що 2,5 см < x < 2,7 см і 4,1 см < y < 4,3 см. Тоді за допомогою теореми 3.2 можна оцінити площу прямокутника. Маємо:

2,5 см < x < 2,7 см

×

4,1 см < y < 4,3 см

10,25 см² < xy < 11,61 см².

Узагалі, якщо відомо значення меж величин, то, використовуючи властивості числових нерівностей, можна знайти межі значення виразу, який містить ці величини, тобто оцінити його значення.

Приклад   1   Дано: 6 < a < 8  і  10 < b < 12. Оцініть значення ви­

разу:

                                                                                a                           1

1)        a + b;    2) a – b;    3) ab;    4) ;     5) 3a− b. b         2

Розв’язання. 1) Застосувавши теорему про почленне додавання нерівностей, отримуємо:

6 < a < 8

                                                    ⁺          10 < b < 12

16 < a + b < 20.

2)        Помноживши кожну частину нерівності 10 < b < 12 на –1, отримуємо: –10 > –b > –12, тобто –12 < –b < –10. Ураховуючи, що a – b = a + (–b), далі маємо:

6 < a < 8

                                                              ⁺        –12 < –b < –10

–6 < a – b < –2.

3)        Оскільки a > 6  і  b > 10, то a і b набувають додатних значень. Застосувавши теорему про почленне множення нерівностей, отримуємо:

6 < a < 8

×

10 < b < 12

60 < ab < 96.

                                                                                 1       1       1                     1       1           1

4)        Оскільки  10 < b < 12, то >          >          , тобто   <          <          . Ура-

                                                                                10      b      12                   12      b         10

                                          a           1

ховуючи, що      = aæ , маємо: b    b

6 < a < 8

×

1                     4

                                                                                <    <

2                     b        5

5)        Помножимо кожну частину нерівності 6 < a < 8 на 3, а кожну частину нерівності 10 < b < 12 на −.

Отримуємо дві правильні нерівності:

18 < 3a < 24 і −5 > −b > −6.

Додамо отримані нерівності:

18 < 3a < 24

+

−6 < −b < −5

12 < 3a − b < 19.

Відповідь: 1) 16 < a + b < 20; 2) –6 < a – b < –2; 3) 60 < ab < 96;

                  1      a      4                              ¹

            4)      <    <    ; 5) 12 < 3a − b < 19. ◄

                  2      b      5                              2

Приклад   2   Доведіть, що 24 +                  47 < 12.

Розв’язання. Оскільки 24 < 5 і 47 < 7, то 24 + 47 < 5 + 7 = 12. ◄

1.   сформулюйте теорему про почленне додавання нерівностей.

2.   Поясніть, які нерівності називають нерівностями однакового знака, а які — нерівностями протилежних знаків.

3.   сформулюйте теорему про почленне множення нерівностей.

4.   сформулюйте наслідок з теореми про почленне множення нерівностей.

3.1.° Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:

1)   додамо почленно нерівності 10 > –6 і 8 > 5;

2)   перемножимо почленно нерівності 2 < 7 і 3 < 4;

3)   перемножимо почленно нерівності 1,2 > 0,9 і 5 > .

3.2.° Запишіть нерівність, яку отримаємо, якщо:

1)   додамо почленно нерівності  –9 < –4 і –6 < 4;

2)   перемножимо почленно нерівності  і 24 < 27.

3.3.° Дано: –3 < a < 4. Оцініть значення виразу:

1)     2a;             3) a + 2;                5) 3a + 1;              7) –4a; a

2)     ;              4) a – 1;                 6) –a;     8) –5a + 3.

3

3.4.° Дано: 2 < b < 6. Оцініть значення виразу:

        1) b;                       2) b – 6;                    3) 2b + 5;                  4) 4 – b.

3.5.° Відомо, що 2,6 <           7 < 2,7. Оцініть значення виразу:

        1) 3     7;                  2) −2     7;                  3) 7 + 1 3, ;             4) 0,1        7 + 0,3.

3.6.° Дано: 5 < a < 6  і  4 < b < 7. Оцініть значення виразу:

        1) a + b;                           2) ab;                                    3) a – b.

3.7.° Відомо, що 2,2 < 5 < 2,3 і 1,7 < 3 < 1,8. Оцініть значення

виразу:

                    1) 5 +     3;                       2) 5 −     3;                         3) 15.

1

3.8.° Дано: 2 < x < 4. Оцініть значення виразу .

x

3.9.° Оцініть середнє арифметичне значень a і b, якщо відомо, що 2,5 < a < 2,6 і 3,1 < b < 3,2.

3.10.° Оцініть периметр рівнобедреного трикутника з основою a см і бічною стороною b см, якщо 10 < a < 14 і 12 < b < 18.

3.11.° Оцініть периметр паралелограма зі сторонами a см і b см, якщо 15 m ma 19 і 6 m mb 11.

3.12.^• Чи є правильним твердження: 1) якщо a > 2 і b > 7, то a + b > 9; 2) якщо a > 2 і b > 7, то a + b > 8;

3)       якщо a > 2 і b > 7, то a + b > 9,2;

4)       якщо a > 2 і b > 7, то a – b > –5;

5)       якщо a > 2 і b > 7, то b – a > 5;

6)       якщо a > 2 і b > 7, то ab > 13;

7)       якщо a > 2 і b > 7, то 3a + 2b > 20;

8)       якщо a > 2 і b < –7, то a – b > 9;

9)       якщо a < 2 і b < 7, то ab < 14;

10)    якщо a > 2, то a² > 4;

11)    якщо a < 2, то a² < 4;

12)    якщо a > 2, то      ;

13)    якщо a < 2, то

14)    якщо –3 < a < 3, то − ^{1      1              1}?

                                                                     3      a      3

3.13.^• Дано: a > 2,4 і b > 1,6. Порівняйте:

1)    a + b і 3,6;            3) (a – 0,4) (b + 1,4) і 6.

2)    (a + b)² і 16;

3.14.^• Відомо, що a > 3 і b > –2. Доведіть, що 5a + 4b > 7.

3.15.^• Відомо, що a > 5 і b < 2. Доведіть, що 6a – 7b > 16.

3. 16.^• Дано: 5 < a < 8 і 3 < b < 6. Оцініть значення виразу: a                2b

                   1) 4a + 3b;              2) 3a – 6b;               3) ;                         4)   .

                                                                                              b                                 3a

                           ^•1                       1

3.17. Дано: < x <           і             < y <. Оцініть значення виразу:

                                           2       7

y

1) 6x + 14y;                                                      2) 28y – 12x;      3) . x

3.18.^• Порівняйте значення виразів:

        1) 2²⁴ і 9⁸;                           2) 0,3²⁰ і 0,1¹⁰;                    3) 0,0015¹⁰ і 0,2⁴⁰.

3.19.^• Доведіть, що периметр чотирикутника більший за суму його діагоналей.

3.20.^• Доведіть, що кожна діагональ опуклого чотирикутника менша від його півпериметра.

3.21.^• Доведіть, що сума двох протилежних сторін опуклого чотирикутника менша від суми його діагоналей.

3. 22.^• Доведіть твердження:

1)   якщо a < b < 0, то a² > b²;

2)   якщо a > 0, b > 0 і a² > b², то a > b.

           ^•                                                                                                        1      1

3.23. Доведіть, що коли a < b < 0, то                 >   .

                                                                                 a      b

3. 24.^• Відомо, що b > 0 і a > b. Чи є правильною при всіх указаних значеннях a і b нерівність:

3.29.    Спростіть вираз: x− 3  x² 

1)      æx + ; x+ 3  3 −x 

 a ba b+− − a ba b+−  : a₂ab_−b2 . 2) 

3.30.    Спростіть вираз:

2

1)      6               3 +       27 − 3    75;          3) (2 −  3 ) .

2)      ( 50 − 3  2 ) 2;  

3.31.    При яких значеннях змінної має зміст вираз:

x²                    x − 4       x² − 4      4              1 1) x             ;               2) 2                      ;               3) x2 + 4;     4) x− 4 + x ?

                 + 4                 x − 4

3.32.    У саду ростуть яблуні та вишні, причому вишні становлять 20 % усіх дерев. Скільки відсотків становить кількість яблунь від кількості вишень? готУЄМоСЯ до ВиВЧеннЯ ноВоЇ теМи

3.33.    Чи є рівносильними рівняння:

1)      4x + 6 = 2x – 3  і  4x + 3 = 2x – 6;

2)      8x – 4 = 0  і  2x – 1 = 0;

3)      x² + 2x – 3 = 0  і  x² + x = 3 – x; x2 − 1             ₂

4)      = 0  і  x – 1 = 0; x+ 1

x² − 1

5)      = 0  і  x – 1 = 0; x+ 1

6)      x² + 1 = 0  і  0x = 5?

УЧиМоСЯ Робити неСтандаРтні кРоки

3.34. Доведіть, що для непарних чисел a, b, c, d, e і f не може виконуватися рівність 1 + ¹ + ¹ + ¹ + ¹ + ¹ = 1.

                                                     a     b     c     d     e     f

Про деякі способи доведення нерівностей 

У п. 1 було доведено кілька нерівностей. Ми використовували такий прийом: розглядали різницю лівої і правої частин нерівності та порівнювали її з нулем.

Проте існує і ряд інших способів доведення нерівностей. Ознайомимося з деякими з них.

   Про деякі способи доведення нерівностей

Міркування «від супротивного» Назва цього методу відображає його сутність.

Приклад   1   Для будь-яких чисел a₁, a₂, b₁, b₂ доведіть нерівність

                                      (ab1 1 + a b2 2)2 m(a12 + a22)(b12 + b22).                                 (*)

Розв’язання. Припустимо, що нерівність, яку доводимо, є неправильною. Тоді знайдуться такі числа a₁, a₂, b₁, b₂, що буде правильною нерівність

(ab1 1 + a b2 2)2 > (a12 + a22)(b12 + b22).

Звідси

a b12 12 + 2a1 1 2 2ba b + a b22 22 > a b12 12 + a b12 22 + a b22 12 + a b22 22;

2aba b1 1 2 2 > a b12 22 + a b22 12; a b12 22 − 2aba b1 1 2 2 + a b22 12 < 0;

(a₁b₂ – a₂b₁)² < 0.

Остання нерівність є неправильною. Отримана суперечність означає, що нерівність (*) є правильною. ◄

Нерівність (*) є окремим випадком більш загальної нерівності

        (ab_{1 1} + a b_{2 2} + ... + a b_{n n} )² m(a₁² + a₂² + ... + a_n²)(b₁² + b₂² + ... + b_n²). (**)

Нерівність (**) називають нерівністю Коші—Буняковського. З її доведенням ви можете ознайомитися на заняттях математичного гуртка.

Метод використання очевидних нерівностей

Приклад   2   Для будь-яких чисел a, b і c доведіть нерівність

                                                    a² + b² + c² lab bc ac+   +          .

Огюстен Луї Коші

(1789–1857)

Видатний французький математик,  автор понад 800 наукових праць.

Розв’язання. Очевидно, що при будь-яких значеннях a, b і c виконується така нерівність:

                                                      (a b− )² + (b c− )² + (c a−  )² l 0.

Звідси отримуємо: a² − 2ab + b² + b² − 2bc c+ ² + c² − 2ac a+ ² l 0;

2a² + 2b² + 2c² l 2ab + 2bc + 2ac; a² + b² + c² lab bc ac+ + . ◄

Метод застосування раніше доведеної нерівності

У п. 1 ми довели, що для будь-яких al0 і bl0 є правильною нерівність

l ab.

Її називають нерівністю Коші для двох чисел.

Розглянемо, як можна використовувати нерівність Коші під час доведення інших нерівностей.

Приклад   3   Доведіть, що для додатних чисел a і b справедлива нерівність

a + 1  b + 1 _l 4.

                                                                     b       a 

Розв’язання. Застосуємо нерівність Коші для додатних чисел

1

a і . Отримуємо: b

1

a   +

b   l aæ¹.

                                                                          2                 b

                                          1           a

Звідси a + l 2 . b            b

                                                                                               1            b

                         Аналогічно можна довести, що b + l 2               .

                                                                                               a            a

Віктор Якович 

Буняковський

(1804–1889)

Видатний математик ХІХ ст. 

Народився на Вінниччині. Протягом  багатьох років був віце-президентом Петербурзької академії наук.

   Про деякі способи доведення нерівностей

Застосувавши теорему про почленне множення нерівностей, отримаємо:

a + 1 _ _b + 1 _l 4 a_æ b .

                                                 b      a         b       a

Звідси a + ^{1 } ^b + ^{1 }l 4. ◄

                          b      a 

Метод геометричної інтерпретації Приклад   4   Доведіть нерівність:

                      99æ101 +   98æ102 + ... +   2æ198 +   1 199æ < .

Розв’язання. Розглянемо чверть кола радіуса 1 із центром O. Впишемо в неї ступінчасту фігуру, яка складається з 99 прямокутників, так, як показано на рисунку 3.1. Маємо:

99æ101  1æ199     A98 A99

Звідси випливає нерівність, що до- Рис. 3.1 водиться. ◄

1. Доведіть нерівність: 1) (a b+ ) ^ ¹ + ^{1 }l 4, якщо a > 0 і  b > 0;

                           a    b 

2)    (a b b c a c+ ) ( + ) (               + ) l 8abc, якщо al 0, bl0 і cl 0;

3)    (a³ + b a b) (             + ³) l 4a b^{2 2}, якщо al0 і bl 0;

4)    (ab + 1) (a b+ ) l 4ab, якщо al0 і bl 0;

5)    (a + 2) (b + 5) (c + 10) l 80 abc, якщо al 0, bl0 і cl 0;

                                      1     1

6)    a b+ + + l 4, якщо a>0 і b> 0; a       b

7)    (1 + a₁) (1 + a₂) ... (1 + a_n) l 2ⁿ, якщо a₁, a₂, ..., a_n — додатні числа, добуток яких дорівнює 1.

                  4.           нерівності з однією змінною

Розглянемо задачу. Одна зі сторін паралелограма дорівнює 7 см. Якою має бути довжина сусідньої сторони, щоби периметр паралелограма був більшим за 44 см?

Нехай шукана сторона дорівнює x см. Тоді периметр паралелограма дорівнює (14 + 2x) см. Нерівність 14 + 2x > 44 є математичною моделлю задачі про периметр паралелограма.

Якщо в цю нерівність замість змінної x підставити, наприклад, число 16, то отримаємо правильну числову нерівність 14 + 32 > 44. У такому разі говорять, що число 16 є розв’язком нерівності 14 + 2x > 44.

Означення. Розв’язком нерівності з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює її в правильну числову нерівність.

                          Так, кожне із чисел 15,1; 20; 10                  3 є розв’язком нерівності

14 + 2x > 44, а число 10 не є її розв’язком.

Зауваження. Означення розв’язку нерівності аналогічне означенню кореня рівняння. Проте не прийнято говорити «корінь нерівності».

Означення.Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків не існує.

Усі розв’язки нерівності утворюють множину розв’язків нерівності. Якщо нерівність розв’язків не має, то говорять, що множиною її розв’язків є порожня множина. Нагадаємо, що порожню множину позначають символом ∅.

4.  Нерівності з однією змінною

Таким чином, можна сказати, що розв’язати нерівність означає знайти множину її розв’язків.

Наприклад, у задачі «розв’яжіть нерівність x² > 0» відповідь буде такою: «усі дійсні числа, крім числа 0».

Очевидно, що нерівність | x | < 0 розв’язків не має, тобто множиною її розв’язків є порожня множина.

Означення. Нерівності називають рівносильними, якщо вони мають одну й ту саму множину розв’язків.

Наведемо кілька прикладів.

Нерівності x² m 0 і x m0 є рівносильними. Справді, кожна з них має єдиний розв’язок x = 0.

Нерівності x² > –1 і | x | > –2 є рівносильними, оскільки мно жиною розв’язків кожної з них є множина дійсних чисел.

Оскільки кожна з нерівностей x < −1 і 0x < –3 розв’язків не має, то вони також є рівносильними.

4.1.° Які із чисел –4; –0,5; 0; ; 2 є розв’язками нерівності: 1) x > ;                3) 3x > x – 1;              5) x − 1 > 1;

2) xm5;                                                                       4) x² − 9 m 0;                  6) ¹ > 1? x

4.2.° Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності (x – 2)² (x – 5) > > 0:

        1) 3;                         2) 2;                           3) 6;                           4) –1?

4.3.° Чи є розв’язком нерівності 6x + 1 m2 + 7x число:

1) –0,1;            2) –2;           3) 0;           4) –1;           5) 2?

4.4.° Назвіть будь-які два розв’язки нерівності x + 5 > 2x + 3.

¿ 4.5.° Чи є число 1,99 розв’язком нерівності x < 2? Чи існують розв’язки даної нерівності, більші за 1,99? У разі ствердної відповіді наведіть приклад такого розв’язку.

¿ 4.6.° Чи є число 4,001 розв’язком нерівності x > 4? Чи існують розв’язки даної нерівності, менші від 4,001? У разі ствердної відповіді наведіть приклад такого розв’язку.

4.7.° Множиною розв’язків якої з даних нерівностей є порожня множина:

1)   (x – 3)² > 0;              3) (x – 3)² < 0;

2)   (x − 3)² l 0;                4) (x − 3)² m 0?

4.8.° Які з наведених нерівностей не мають розв’язків:

                   1) 0x > –2;              2) 0x < 2;                  3) 0x < –2;                   4) 0x > 2?

4.9.° Множиною розв’язків якої з наведених нерівностей є множина дійсних чисел:

                   1) 0x > 1;                2) 0x > 0;                  3) 0x > –1;              4) x + 1 > 0?

4.10.° Розв’язком якої з даних нерівностей є будь-яке дійсне число:

                   1) x² > 0;                  2) x > –x;                  3) −x² m 0;                        4) xl 0?

4.11.^• Серед зазначених нерівностей укажіть нерівність, розв’язком якої є будь-яке дійсне число, і нерівність, що не має розв’язків:

                           2                                                                                                      2

x + 1          x ^{− 1} 1)   ₂ l 0;        3) ₂               l1; x         x − 1 x2 + 1             x2

                    2) x_{2 + 1} < 1;                                               4) _x2 _{+ 1} l 0.

4.12.^• Розв’яжіть нерівність:

1)     22 + 2 > 0;           7)  xx+− 22 2 l 0; x

2)     (x + 2)² > 0;              8) x + ¹₂ < ¹₂ + 2;

                                                                                                        x        x

3)     (x + 2)² m 0;             9) x l −x²; x+ 2     ² 4)          > 0;        10) | x | > –x ; x+ 2

                          x+ 2      2

5)     >            ;               11) | x | > x; x+ 2  3

6)     ^ ^{x+ 2 }² > 0;    12) x l −x.

 x− 2 

¿ 4.13.^• Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1)       | x | > 0;   4) x m− 1;

2)       x m 0;      5) | x | > –3;

1

3)       | x | < 0;   6) > −3.

x

4. 14.^• Чи рівносильні нерівності:

              1                                                                                ²

1)      < 1 і x > 1;          3) (x + 5) < 0 і | x – 4 | < 0; x

2)     x lx і xl1;   4) x m0 і x m 0?

ВПРаВи дЛЯ ПоВтоРеннЯ

4.15.    Розв’яжіть рівняння:

1)     9 – 7 (x + 3) = 5 – 6x;

2)     x+ 3 − ^{x− 4} = 1;

                 2            7

3)     (x + 7)² – (x – 2)² = 15;

4)     5x – 2 = 3 (3x – 1) – 4x – 4; 5) 6x + (x – 2) (x + 2) = (x + 3)² – 13; 6) (x + 6) (x – 1) – (x + 3) (x – 4) = 5x.

4.16.    Велосипедист проїхав із села до озера й повернувся назад, витративши на весь шлях 1 год. Із села до озера він їхав зі швидкістю 15 км/год, а повертався зі швидкістю 10 км/год. Знайдіть відстань від села до озера.

 5.          Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною. Числові проміжки

Властивості числових рівностей допомагали нам розв’язувати рівняння. Аналогічно властивості числових нерівностей допоможуть розв’язувати нерівності.

Розв’язуючи рівняння, ми заміняли його іншим, простішим рівнянням, рівносильним даному. За аналогічною схемою розв’язують і нерівності.

Під час заміни рівняння на йому рівносильне використовують теореми про перенесення доданків з однієї частини рівняння в другу та про множення обох частин рівняння на одне й те саме відмінне від нуля число.

Аналогічні правила застосовують і під час розв’язування нерівностей.

Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини нерівності в другу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.

За допомогою цих правил розв’яжемо нерівність, отриману в задачі про периметр паралелограма (див. п. 4).

Маємо: 14 + 2x > 44.

Переносимо доданок 14 у праву частину нерівності:

2x > 44 –14.

Звідси 2x > 30.

Поділивши обидві частини нерівності на 2, отримуємо: x > 15.

Зауважимо, що отримана нерівність рівносильна заданій нерівності. Множина її розв’язків складається з усіх чисел, які більші за 15. Цю множину називають числовим проміжком і позначають так: (15; +∞) (читають: «проміжок від 15 до плюс нескінченності»).

У цій задачі відповідь можна записати одним зі способів: (15; +∞) або x > 15.

Точки координатної прямої, які зображають розв’язки нерівності x > 15, розміщені праворуч від точки, яка зображає число 15, і утворюють промінь, у якого «виколото» початок (рис. 5.1).

15   15 а     б

Рис. 5.1

Зауважимо, що для зображення на рисунку числового проміжку використовують два способи: за допомогою або штриховки (рис. 5.1, а), або дужки (рис. 5.1, б). Ми використовуватимемо другий спосіб.

Приклад   1   Розв’яжіть нерівність 3 + ^x m7 + x.

2

Розв’язання. Перенесемо доданок x з правої частини нерівності в ліву, а доданок 3 — з лівої частини в праву та зведемо подібні

члени:

−x + ^x m7 − 3;

2

x

−m 4.

2

Помноживши обидві частини останньої нерівності на –2, отримаємо:

xl −8.

Множиною розв’язків цієї нерівності є числовий проміжок, який позначають так:

[–8; +∞) (читають: «проміжок від –8 до плюс

–8 нескінченності, включаючи –8»).

Точки координатної прямої, які зобража- Рис. 5.2 ють розв’язки нерівності xl −8, утворюють промінь (рис. 5.2).

Відповідь можна записати одним зі способів: [–8; +∞) або xl −8. ◄

Приклад   2   Розв’яжіть нерівність 2 (2 – 3x) > 3 (x + 6) – 5.

Розв’язання. Запишемо ланцюжок нерівностей, рівносильних даній:

	4 – 6x > 3x + 18 – 5; 4 – 6x > 3x + 13; –3x – 6x > –4 + 13; –9x > 9; x < –1. Множиною розв’язків останньої нерівності є числовий проміжок, який позначають так:
–1 Рис. 5.3	(–∞; –1) (читають: «проміжок від мінус нескінченності до –1»). Точки координатної прямої, які зображають розв’язки нерівності x < –1, розміщені ліворуч від точки –1 (рис. 5.3) та

утворюють промінь, у якого «виколото» початок.

Відповідь можна записати одним зі способів: (–∞; –1) або x < –1. ◄

Приклад   3   Розв’яжіть нерівність ^{x− 1} + ^x m ¹.

                                                                                                     2        3      6

Розв’язання. Запишемо ланцюжок рівносильних нерівностей:

                                                                     x− 1           ^{x           1}

                                                               6æ            + 6æ m6æ ;

                                                                        2             3           6

3x − 3 + 2xm1; 5xm 4;

xm.

Множиною розв’язків останньої нерівності є числовий промі жок, який позначають так: −×; 5⁴  (читають: «проміжок від мінус не-

скінченності до , включаючи »). Точки  координатної прямої, які зображають розв’язки  нерівності xm, утворюють промінь (рис. 5.4).

                        Рис. 5.4                             Відповідь можна записати одним зі способів:

^−×; 5^{4 } або xm ₅⁴. ◄

Приклад   4   Розв’яжіть нерівність 3 2( x − 1) + 7 l 2 3( x + 1).

Розв’язання. Маємо: 6x − 3 + 7 l 6x + 2; 6x − 6xl 2 − 4; 0xl −2.

Остання нерівність при будь-якому значенні x перетворюється в правильну числову нерівність 0 l −2. Отже, шукана множина розв’язків збігається з множиною дійсних чисел.

Відповідь: x — будь-яке число. ◄

Цю відповідь можна записати інакше: (–∞; +∞) (читають: «проміжок від мінус нескінченності до плюс нескінченності»). Цей числовий проміжок називають числовою прямою.

Приклад   5   Розв’яжіть нерівність 4 (x – 2) – 1 < 2 (2x – 9). Розв’язання. Маємо:

4x – 8 – 1 < 4x – 18; 4x – 4x < 9 – 18; 0x < –9.

Отримана нерівність при будь-якому значенні x перетворюється в неправильну числову нерівність 0 < –9.

У цій задачі відповідь можна записати одним зі способів: розв’язків немає або ∅. ◄

Кожна з нерівностей, які було розглянуто в прикладах 1–5, зводилася до рівносильної нерівності одного із чотирьох видів: ax > b, ax < b, ax bl , ax bm , де x — змінна, a і b — деякі числа. Такі нерівності називають лінійними нерівностями з однією

змінною.

Наведемо таблицю позначень і зображень вивчених числових проміжків:

Нерівність	Проміжок	Зображення
x > a	(a; +∞)	a
x < a	(–∞; a)	a
x al	[a; +∞)	a
x am	(–∞; a]	a

1.   сформулюйте правила, за допомогою яких можна отримати нерівність, рівносильну даній.

2.   Які нерівності називають лінійними нерівностями з однією змінною?

3.   Як записують, читають і зображають проміжок, який є множиною розв’язків нерівності виду x > a? x < a? x al ? x am ?

4.   розв’язком нерівності є будь-яке число. Як у такому випадку записують, читають і називають проміжок, який є множиною розв’язків нерівності?

ВПРаВи

¿ 5.1.° Зобразіть на координатній прямій проміжок:

        1) [–5; +∞);          2) (–5; +∞);            3) (–∞; –5);             4) (–∞; –5].

¿ 5.2.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задається нерівністю:

                   1) x < 8;                    2) xm−4;                   3) xl −1;                   4) x > 0.

¿ 5.3.° Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок, який задається нерівністю:

                   1) xm 0;                     2) xl;                      3) x > –1,4;                   4) x < 16.

5.4.° Укажіть найменше ціле число, яке належить проміжку:

                   1) (6; +∞);             2) [6; +∞);               3) (–3,4; +∞);        4) [–0,9; +∞).

5.5.° Укажіть найбільше ціле число, яке належить проміжку:

                   1) (–∞; –4);            2) (–∞; –6,2];         3) (–∞; 1];                4) (–∞; –1,8).

5.6.° Яким з наведених проміжків належить число –7:

                   1) (–∞; –7);           2) [–7; +∞);            3) (–∞; 0];             4) (–∞; –6)?

5.7.° Якому з наведених проміжків не належить число 9:

                      1) (8,99; +∞); 2) (–∞; 10);                 3) (–∞; 8,99];         4) [9; +∞)?

5.8.° Розв’яжіть нерівність:

1)          6x > 18;                  6) –10x < 0;         11) 4 – x < 5;

2)          −2xl10;  7) 2xm−1;      12) 5 − 8xl 6;

3)          x < 9;  8) −7x > ;       13) 12 + 4xl 6x;

4)          0,1xl 0;  9) 7x – 2 > 19; 14) 36 – 2x < 4x; x+ 2

5)          x > 24; 10) 5x + 16 m6;   15)           < 2.

5

5.9.° Розв’яжіть нерівність:

1)     5x < 30;    5) −3x < ;            9) 13 − 6xl −23;

2)     −4xm−16;               6) −2x > 1;           10) 5 – 9x > 16;

3)     xm6;       7) 4x + 5 > –7;     11) 3x + 2 m− 7x;

x− 3

4)     −12xl 0;    8) 9 − xl 2x;          12)           > −1.

4

5.10.° Розв’яжіть нерівність:

1) 0x > 10;      3) 0x > –8;            5) 0xl1; 7) 0xm 0; 2) 0x < 15;          4) 0x < –3;            6) 0xm2;                8) 0x > 0.

5.11.° Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:

          1) 5xl 40;               2) 5x > 40;                3) –2x < –3;              4) –7x < 15.

5.12.° Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:

         1) 8xm−16;            2) 8x < –16;             3) 3x < 10;                4) –6x > –25.

5.13.° При яких значеннях a вираз 6a + 1 набуває від’ємних значень?

5.14.° При яких значеннях b вираз 7 – 2b набуває додатних значень?

5.15.° При яких значеннях m значення виразу 2 – 4m не менші від –22?

5.16.° При яких значеннях n значення виразу 12n – 5 не більші за –53?

5.17.° При яких значеннях x має зміст вираз:

          1) 4x + 20;             2) 5 − 14x;             3)                    ?

5.18.° Знайдіть область визначення функції:

         1) f x( ) =   13 − 2x;                                2) f x(  ) =      ^x       .

− −x 1

5.19.° Розв’яжіть нерівність:
1) 8x + 2 < 9x – 3;	4) 3 − 11yl −3y + 6;
2) 6 – 6x > 10 – 4x;	5) –8p – 2 < 3 – 10p;
3) 6y + 8 m10y − 8; 5.20.° Розв’яжіть нерівність:	6) 3m − 1 m1,5m + 5.
1) 4 + 11x > 7 + 12x;	3) 3x – 10 < 6x + 2;
2) 35x − 28 m32x + 2;	4) 6x − 3 l 2x − 25.

5.21.° При яких значеннях c значення двочлена 9c – 2 не більші за відповідні значення двочлена 4c + 4?

5.22.° При яких значеннях k значення двочлена 11k – 3 не менші від відповідних значень двочлена 15k – 13?

5.23.° Розв’яжіть нерівність:

1)                            4x + ^x < 11;             3) ^5x − x > −4;

               3      2                                                          7

              2x      3x      1                                                x     1

−                3        4       6 5.24.° Розв’яжіть нерівність:	−        8     4
1)   − 5y < 1; y               6      4	2)    − x > −2. x        10      5

2)                            l ;                4) mx.

5.25.^• Розв’яжіть нерівність:

 1) 3 − 5 2( x + 4) l7 − 2x;  2) 6x − 3 (x − 1) m2 + 5x;

3)     x − 2 (x − 1) l10 + 3 (x + 4);

4)     2 (2x – 3,5) – 3 (2 – 3x) < 6 (1 – x);  5) (x + 1) (x − 2) m (x − 3) (x + 3);

6)                      (4x − 3)² + (3x + 2)² l (5x + 1)²;

                           2x − 1     3x − 5

7)                      l      ;

4                     5

8)                      3x+ 7 − ^{5x− 2} < x;

4                     2

9)                      (x − 5) (x + 1) m3 + (x − 2)²;

10)                   x+ 1 − ^{x− 3} > 2 + ^x;

                               2           3                6

11)                   (6x − 1)² − 4x x(9       − 3) m1;

12)                   x− 3 − x+ 4 > x− 8.

                               9            4            6

5.26.^• Знайдіть множину розв’язків нерівності:

1) 3 (4x + 9) + 5 > 7 (8 – x);      2) (2 − y) (3 + y) m (4 + y) (6 − y);    

3)                       (y + 3) (y – 5) – (y – 1)² > –16;    x         2x ^{− 6}

4)                       − 1l               ;

3

5)                       2x − x− 1 − x+ 2 < 0;

                          3          6           2

6)                       y− 1 − ^{2y+ 1} − y < 2.

                            2            8

5.27.^• Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:

1)   7 (x + 2) – 3 (x – 8) < 10;

2)   (x – 4) (x + 4) – 5x > (x – 1)² – 17.

5.28.^• Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:

₁₎     4x+ 13 − 5 + 2x > 6 − 7x − _2;

                             10              4             20

₂₎     (x − 1) (x + 1) − (x − 4) (x + 2) l 0.

5.29.^• Скільки цілих від’ємних розв’язків має нерівність  _{x −} x+ 7 ₋ 11x+ 30 _< x− 5_?

                                                                     4              12               3

5.30.^• Скільки натуральних розв’язків має нерівність

 2 − 3xl 1 − 5x+ 6 ?

                                                           4          5         8

5.31.^• При яких значеннях x є правильною рівність:

          1) | x – 5 | = x – 5;                                    2) | 2x + 14 | = –2x – 14?

5.32.^• При яких значеннях y є правильною рівність:

1) y+ 7             = 1;        2) 6 ^−y = 1? y+ 7  y− 6

5.33.^• При яких значеннях a рівняння:

1)   x² + 3x – a = 0 не має коренів;

2)   2x² – 8x + 5a = 0 має хоча б один корінь?

5.34.^• При яких значеннях b рівняння:

1) 3x² – 6x + b = 0 має два різних корені; 2) x² – x – 2b = 0 не має коренів?

5.35.^• Човен проплив деяку відстань за течією річки, а потім повернувся назад, витративши на всю подорож не більше п’яти годин. Швидкість човна в стоячій воді дорівнює 5 км/год, а швидкість течії — 1 км/год. Яку найбільшу відстань міг пропливти човен за течією річки?

5.36.^• Беруть чотири послідовних цілих числа та розглядають різницю добутків крайніх і середніх чисел. Чи існують такі чотири послідовних цілих числа, для яких ця різниця більша за нуль?

5.37.^• У коробці лежать сині та жовті кулі. Кількість синіх куль відноситься до кількості жовтих як 3 : 4. Яка найбільша кількість синіх куль може бути в коробці, якщо всього куль не більше за 44?

5.38.^• У саду ростуть яблуні, вишні та сливи, кількості яких відносяться як 5 : 4 : 2 відповідно. Якою може бути найменша кількість вишень, якщо всього дерев у саду не менше від 120?

5.39.^• Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 14 см і a см, де a — натуральне число. Якого найбільшого значення може набувати a?

5.40.^• Сума трьох послідовних натуральних парних чисел не менша від 85. Знайдіть найменші три числа, які задовольняють цю умову.

5.41.^• Сума трьох послідовних натуральних чисел, які кратні 5, не більша за 100. Які найбільші три числа задовольняють цю умову?

5.42.^• При яких значеннях x визначена функція:

1)    f x( ) = x + 4 + ¹ ; 3) f x( ) = ¹ − ⁸ ; x− 2            3x+ 9 x − 2

2)    f x(             ) =        24 − 8x ⁺ 2 ⁶_{− 16};                4) f x(     ) = x + 1 ⁺ _x2⁴_{− 1}? _x

5.43.^• При яких значеннях змінної має зміст вираз:

1) 9 − x + 10 ; x+ 3 5.44.•• Розв’яжіть рівняння:	6 2)                         + 2 9− 64 ?            3x− 21      x
1) | x – 3 | + x = 15;	3) | 3x – 12 | – 2x = 1;
2) | x + 1 | – 4x = 14; 5.45.•• Розв’яжіть рівняння:	4) | x + 2 | – x = 1.
1) | x + 5 | + 2x = 7;	2) | 3 – 2x | – x = 9.

5.46.^•• Побудуйте графік функції:

1)   y = | x – 2 |;              3) y = | x – 1 | + x.

2)   y = | x + 3 | – 1;

5.47.^•• Побудуйте графік функції:

1)   y = | x + 4 |;              3) y = | 2x – 6 | – x.

2)   y = | x – 5 | + 2;

5.48.^•• При яких значеннях a рівняння: 1) 4x + a = 2 має додатний корінь;

2)   (a + 6) x = 3 має від’ємний корінь;

3)   (a – 1) x = a² – 1 має єдиний додатний корінь?

5. 49.^•• При яких значеннях m рівняння:

1) 2 + 4x = m – 6 має невід’ємний корінь; 2) mx = m² – 7m має єдиний від’ємний корінь?

5.50.^* Знайдіть усі значення a, при яких має два різних корені рівняння:

1)   ax² + 2x – 1 = 0;

2)   (a + 1) x² – (2a – 3) x + a = 0; 3) (a – 3) x² – 2 (a – 5) x + a – 2 = 0.

5.51.^* Знайдіть усі значення a, при яких не має коренів рівняння (a – 2) x² + (2a + 1) x + a = 0.

5.52.^* Чи існує таке значення a, при якому не має розв’язків нерівність (у разі ствердної відповіді вкажіть це значення):

                    1) ax > 3x + 4;                                          2) (a² − a − 2) x am − 2?

5.53.^* Чи існує таке значення a, при якому будь-яке число є розв’язком нерівності (у разі ствердної відповіді вкажіть це значення):

         1) ax > –1 – 7x;                                       2) (a² − 16) x am + 4?

5.54.^* Для кожного значення a розв’яжіть нерівність:

1) ax > 0; 3) ax al ; 5) (a – 2) x > a² – 4; 2) ax < 1; 4) 2 (x – a) < ax – 4;  6) (a + 3) x am ² − 9.

5.55.^* Для кожного значення a розв’яжіть нерівність:

        1) a x² m 0;                         2) a + x < 2 – ax;             3) (a + 4) x > 1.

ВПРаВи дЛЯ ПоВтоРеннЯ

5.56. Розв’яжіть рівняння:
1) 6x – 5x2 = 0;	4) 3x2 + 8x – 3 = 0;
2) 25x2 = 81;	5) x2 + x – 12 = 0;
3) 4x2 – 7x – 2 = 0;	6) 2x2 + 6x + 7 = 0.

5.57.    Відомо, що m і n — послідовні цілі числа. Яке з поданих тверджень завжди є правильним: 1) добуток mn більший за m;

2) добуток mn більший за n; 3) добуток mn є парним числом; 4) добуток mn є непарним числом?

5.58.    Порівняйте значення виразів:

1)     3 98 і 4      72;          3) .

2)                     68 і         45; 

5.59.    Щоб наповнити басейн водою через одну трубу, потрібно в 1,5 раза більше часу, ніж для того, щоб наповнити його через другу трубу. Якщо ж відкрити одночасно обидві труби, то басейн наповниться за 6 год. За скільки годин можна наповнити басейн через кожну трубу окремо?

УЧиМоСЯ Робити неСтандаРтні кРоки

5.60. Трицифрове число n є таким, що числа n – 6, n – 7 і n – 8 кратні числам 7, 8 і 9 відповідно. Знайдіть число n.

 6.          Системи лінійних нерівностей з однією змінною

Розглянемо вираз 2x − 1 + 5 − x. Знайдемо множину допустимих значень змінної x, тобто всі значення змінної x, при яких даний вираз має зміст. Цю множину називають областю визначення виразу.

Оскільки підкореневий вираз може набувати тільки невід’ємних значень, то мають одночасно виконуватися дві нерівності: 2x − 1l 0 і 5 − xl 0. Тобто шукані значення змінної x — це всі спільні розв’язки зазначених нерівностей.

Якщо треба знайти всі спільні розв’язки двох або кількох нерівностей, то говорять, що треба розв’язати систему нерівностей. Як і систему рівнянь, систему нерівностей записують за допомогою фігурної дужки. Так, для знаходження області визначення виразу 2x − 1 + 5 − x треба розв’язати систему нерівностей

2x − 1l 0,

                                                                         5 − x_l 0.                                                        (*)

Означення. Розв’язком системи нерівностей з однією змінною називають значення змінної, яке перетворює кожну нерівність системи в правильну числову нерівність.

Наприклад, числа 2, 3, 4, 5 є розв’язками системи (*), а число 7 не є її розв’язком.

Означення. Розв’язати систему нерівностей означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

Усі розв’язки системи нерівностей утворюють множину розв’язків системи нерівностей. Якщо система розв’язків не має, то говорять, що множиною її розв’язків є порожня множина.

Таким чином, можна сказати, що розв’язати систему нерівностей означає знайти множину її розв’язків.

0xl − 1, Наприклад, у задачі «Розв’яжіть систему нерівностей »  x l 0

відповідь буде такою: «множина дійсних чисел».

xm5,

Очевидно, що множина розв’язків системи нерівностей xl 5 

складається з єдиного числа 5.