УДК 373.167.1:512                 М52

Рекомендовано

Міністерством освіти і науки України

(наказ МОН України від 20.03.2017 № 417)

Видано за рахунок державних коштів. 

Продаж заборонено

Експерти, які здійснили експертизу даного підручника  під час проведення конкурсного відбору проектів підручників  для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів 

і зробили висновок про доцільність надання підручнику грифа  «Рекомендовано Міністерством освіти і науки України»:

Л. І. Філозоф, доцент кафедри алгебри і математичного аналізу Східноєвропейського національного  університету імені Лесі Українки,  кандидат фізико-математичних наук;

О. В. Тесленко, методист методичного центру Управління освіти адміністрації Слобідського району  Харківської міської ради;

Т. А. Євтушевська, учитель Черкаської загальноосвітньої школи  І–ІІІ ступенів № 7, учитель-методист

Експертка з антидискримінації в освіті

Н. М. Дашенкова, доцентка кафедри філософії,  співробітниця ЦГО ХНУРЕ

                           Мерзляк А. Г.

М52 Геометрія : підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. — Х. : Гімназія, 2017. — 240 с. : іл.

ISBN 978-966-474-295-2.

УДК 373.167.1:512

© А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір, 2017

© ТОВ ТО «Гімназія», оригінал-макет,

               ISBN 978-966-474-295-2                                   художнє оформлення, 2017

Від аВторіВ Любі діти!

У цьому навчальному році ви продовжите вивчати геометрію. Сподіваємося, що ви встигли полюбити цю важливу й красиву науку, а отже, з інтересом будете опановувати нові знання. Ми маємо надію, що цьому сприятиме підручник, який ви тримаєте в руках. Ознайомтеся, будь ласка, з його структурою.

Підручник поділено на п’ять параграфів, кожний з яких складається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал. Вивчаючи його, особливу увагу звертайте на текст, який надруковано жирним шрифтом, жирним курсивом і курсивом; так у книзі виділено означення, правила та найважливіші математичні твердження.

Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується прикладами розв’язування задач. Ці записи можна розглядати як один із можливих зразків оформлення розв’язання.

До кожного пункту дібрано задачі для самостійного розв’язування, приступати до яких радимо лише після засвоєння теоретичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за складністю вправи, так і складні задачі, особливо ті, що позначено зірочкою (*). Свої знання можна перевірити, розв’язуючи задачі в тестовій формі, розміщені в кінці кожного параграфа.

Кожний пункт з непарним номером завершується рубрикою «Спостерігайте, рисуйте, конструюйте, фантазуйте». До неї дібрано задачі, для розв’язування яких потрібні не спеціальні геометричні знання, а лише здоровий глузд, винахідливість і кмітливість. Ці задачі корисні, як вітаміни. Вони допоможуть вам навчитися приймати несподівані й нестандартні рішення не тільки в математиці, а й у житті.

Якщо після виконання домашніх завдань залишається вільний час і ви хочете дізнатися більше, то рекомендуємо звернутися до рубрики «Коли зроблено уроки». Матеріал, викладений там, непростий. Але тим цікавіше випробувати свої сили!

Дерзайте! Бажаємо успіху!

Шановні колеги та колежанки!

Ми дуже сподіваємося, що цей підручник стане надійним помічником у вашій нелегкій та шляхетній праці, і будемо щиро раді, якщо він вам сподобається.

У книзі дібрано великий і різноманітний дидактичний матеріал. Проте за один навчальний рік усі задачі розв’язати неможливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим набагато зручніше працювати, коли є значний запас задач. Це дає можливість реалізувати принципи рівневої диференціації та індивідуального підходу в навчанні.

Від авторів

У навчальній програмі з математики для учнів 5–9 класів загальноосвітніх навчальних закладів зазначено таке: «Зміст навчального матеріалу структуровано за темами відповідних навчальних курсів із визначенням кількості годин на їх вивчення. Такий розподіл змісту і навчального часу є орієнтовним. Учителеві та авторам підручників надається право коригувати його залежно від прийнятої методичної концепції…».

Зважаючи на наведене, ми визнали за доцільне переставити навчальний матеріал деяких тем відповідно до авторської концепції. Це дає змогу істотно урізноманітнити дидактичний матеріал підручника.

Зеленим кольором позначено номери задач, що рекомендуються для домашньої роботи, синім кольором — номери задач, які на розсуд учителя (з урахуванням індивідуальних особливостей учнів класу) можна розв’язувати усно.

Матеріал рубрики «Коли зроблено уроки» може бути використаний для організації роботи математичного гуртка та факультативних занять.

Бажаємо творчого натхнення й терпіння.

УмоВні позначення

n°	завдання, що відповідають початковому та середньому рівням навчальних досягнень;
n•	завдання, що відповідають достатньому рівню на вчаль них досягнень;
n••	завдання, що відповідають високому рівню на вчаль них досягнень;
n*	задачі для математичних гуртків і факультативів;

ключові задачі, результат яких може бути використаний під час розв’язування інших задач;

доведення теореми, що відповідає достатньому рівню навчальних досягнень;

доведення теореми, що відповідає високому рівню

навчальних досягнень;

доведення теореми, не обов’язкове для вивчення; закінчення доведення теореми, розв’язання задачі;

рубрика «Коли зроблено уроки».

 

розтрикВ’язУУВтникіання В §1

У цьому параграфі ви дізнаєтеся, що являють собою синус, косинус і тангенс кута α, де 0° m α m 180°.

Ви навчитеся за двома сторонами трикутника і кутом між ними знаходити третю сторону, а також за стороною і двома прилег-  лими до неї кутами знаходити дві інші сторони трикутника.

У 8 класі ви навчилися розв’язувати прямокутні трикутники. Вивчивши матеріал цього параграфа, ви зможете розв’язувати будь-які трикутники.

Ви дізнаєтеся про нові формули, за допомогою яких можна знаходити площу трикутника.

1. Синус, косинус і тангенс кута від 0° до 180°

Поняття синуса, косинуса й тангенса гострого кута вам відомі з курсу геометрії 8 класу. Розширимо ці поняття для довільного кута α, де 0° m mα 180°.

У верхній півплощині координатної площини розглянемо півколо із центром у початку координат, радіус якого дорівнює 1 (рис. 1.1). Таке півколо називають одиничним.

Будемо говорити, що куту α (0° m mα 180°) відповідає точка M одиничного півкола, якщо ∠MOA = α, де точки O і A мають відповідно координати (0; 0) і (1; 0) (рис. 1.1). Наприклад, на рисунку 1.1 куту, який дорівнює 90°, відповідає точка C; куту, який дорівнює 180°, — точка B; куту, який дорівнює 0°, — точка A.

Рис. 1.1

Нехай α — гострий кут. Йому відповідає деяка точка M (x; y) дуги AC одиничного півкола (рис. 1.2). У прямокутному трикутнику OMN маємо:

cosα = ^ON, sin α = ^MN.

                                                              OM                      OM

Оскільки OM = 1, ON = x, MN = y, то

cos α = x, sin α = y.

Отже, косинус і синус гострого кута α — це відповідно абсциса й ордината точки M одиничного півкола, яка відповідає куту α.

Отриманий результат підказує, як означити синус і косинус довільного кута α, де 0° m mα 180°.

Означення. Косинусом і синусом кута a (0°m mα 180°) називають відповідно абсцису й ординату точки M одиничного півкола, яка відповідає куту a(рис. 1.3).

Користуючись цим означенням, можна, наприклад, установити, що sin 0° = 0, cos 0° = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0, sin 180° = 0, cos 180° = –1.

Якщо M (x; y) — довільна точка одиничного півкола, то −1m mx 1 і 0m my 1. Отже, для будь-якого кута α, де 0° m mα 180°, маємо:

0msin α m1,

−1mcosα m1.

Якщо α — тупий кут, то абсциса точки, що відповідає цьому куту, є від’ємною. Отже, косинус тупого кута є від’ємним числом. Справедливе й таке твердження: якщо cos α < 0, то α — тупий або розгорнутий кут.

Із курсу геометрії 8 класу ви знаєте, що для будь-якого гострого кута α виконуються рівності:

Ці формули залишаються справедливими також для α = 0° і для α = 90° (переконайтеся в цьому самостійно).

Нехай кутам α і 180° – α, де α ≠ 0°, α ≠ 90° і α ≠ 180°, відповідають точки M (x₁; y₁) і N (x₂; y₂) одиничного півкола (рис. 1.4).

Прямокутні трикутники OMM₁ і ONN₁ рівні за гіпотенузою та гострим кутом (OM = ON = 1, ∠MOM₁ = ∠NON₁ = α). Звідси y₂ = y₁ і x₂ = –x₁. Отже,

Переконайтеся самостійно, що ці рівності залишаються правильними для α = 0°, α = 90°, α = 180°.

Якщо α — гострий кут, то, як ви знаєте з курсу геометрії 8 класу, є справедливою тотожність, яку називають основною тригонометричною тотожністю:

Ця рівність залишається правильною для α = 0°, α = 90°, α = 180° (переконайтеся в цьому самостійно).

Нехай α — тупий кут. Тоді кут 180° – α є гострим. Маємо:

sin² α + cos² α = (sin (180° – α))² + (–cos (180° – α))² = = sin² (180° – α) + cos²  (180° – α) = 1.

Отже,  рівність  sin² α + cos² α = 1  виконується  для  всіх 0° m mα 180°.

Означення. Тангенсом кута a, де 0° m mα 180° і a ≠ 90°, називають відношення ,тобто

Оскільки cos 90° = 0, то tg α не визначений для α = 90°.

Очевидно, що кожному куту α (0° m mα 180°) відповідає єдина точка одиничного півкола. Отже, кожному куту α відповідає єдине число, яке є значенням синуса (косинуса, тангенса для α ≠ 90°). Тому залежність значення синуса (косинуса, тангенса) від величини кута є функціональною.

Функції f (α) = sin α, g (α) = cos α, h (α) = tg α, які відповідають цим функціональним залежностям, називають тригонометричними функціями кута α.

 Задача 1. Доведіть, що tg (180° – α) = –tg α.

Розв’язання  tg(180° − α) = sin(180° − α) = sin α = −= −tg α.◄ cos(180° − α) −cos α

Задача 2. Знайдіть sin 120°, cos 120°, tg 120°.

Розв’язання. Маємо: sin120° = sin(180° − 60 )° = sin60° = ;

cos120°= cos(180°−60 )° = −cos60°= −;

tg120°= tg(180°−60 )° = −tg60°= − 3. ◄

 ? 1. яке півколо називають одиничним?

2.       Поясніть, у якому разі говорять, що куту α відповідає точка Mодиничного півкола.

3.       Що називають синусом кута α, де 0° m α m 180°?

4.       Що називають косинусом кута α, де 0° m α m 180°?

5.       Чому дорівнює sin 0°, cos 0°, sin 90°, cos 90°, sin 180°, cos 180°?

6.       У яких межах знаходяться значення sin α, якщо 0° m α m 180°?

7.       У яких межах знаходяться значення cos α, якщо 0° m α m 180°?

8.       яким числом — додатним чи від’ємним — є синус гострого кута? синус тупого кута? косинус гострого кута? косинус тупого кута?

9.       яким кутом є кут α, якщо cos α < 0?

10.    Чому дорівнює sin (180° – α)? cos (180° – α)?

11.    як пов’язані між собою синус і косинус одного й того самого кута?

12.    Що називають тангенсом кута α, де 0° m α m 180° і α ≠ 90°?

13.    Чому tg α не визначений для α = 90°?

14.    яку загальну назву мають функції f (α) = sin α, g (α) = cos α і h (α) = =tgα?

 практичні заВдання

1.1.° Накресліть одиничне півколо, узявши за одиничний такий відрізок, довжина якого в 5 разів більша за сторону клітинки зошита. Побудуйте кут, вершиною якого є початок координат, а однією зі сторін — додатна піввісь осі абсцис:

1)   косинус якого дорівнює ;  4) синус якого дорівнює 1;

2)   косинус якого дорівнює –0,4;  5) косинус якого дорівнює 0; 3) синус якого дорівнює 0,6;            6) косинус якого дорівнює –1.

 ВпраВи

1.2.° Чому дорівнює:

1)   sin (180° – α), якщо sin α = ;

2)   cos (180° – α), якщо cos α = 0,7;

3)   cos (180° – α), якщо cosα = −; 4) tg (180° – α), якщо tg α = –5?

1.3.° Кути α і b суміжні, cosα = −.

1)   Знайдіть cos b.

2)   Який із кутів α і b є гострим, а який — тупим?

1.4.° Знайдіть значення виразу:

1) 2 sin 90° + 3 cos 0°;	4) 6 tg 180° + 5 sin 180°;
2) 3 sin 0° – 5 cos 180°;	5) cos2 165° + sin2 165°;
3) tg23°.tg0°.tg106°;	sin0° + sin90° 6)   .

cos0° − cos90°

1.5.° Обчисліть:

1) 4 cos 90° + 2 cos 180° – tg 180°;          2) cos 0° – cos 180° + sin 90°.

1.6.° Чому дорівнює синус кута, якщо його косинус дорівнює:

        1) 1;                         2) 0?

1.7.° Чому дорівнює косинус кута, якщо його синус дорівнює:

        1) 1;                         2) 0?

1.8.° Знайдіть sin 135°, cos 135°, tg 135°. 1.9.° Знайдіть sin 150°, cos 150°, tg 150°.

1.10.° Чи існує кут α, для якого:

1)    sin α = ;                 3) cosα = ;      5) cos α = 1,001;

2)    sin α = 0,3;              4) cos α = –0,99;                 6) sin α = ?

1.11.^• Знайдіть:

1)   cos α, якщо sin α = ³ і 0° m mα       90°;

5

2)   cos α, якщо sin α = ¹ і 90° m mα 180°;

3)   cos α, якщо sin α = ;

4)   sin α, якщо cos α = –0,8;

5)   tg α, якщо sin α =  і 90° m mα 180°.

1.12.^•  Знайдіть:

1)   cos α, якщо sin α = ;

2)   sin α, якщо cosα = ¹;

3)   tg α, якщо cosα =  і 0° m mα       90°.

1.13.^• Чи є правильним твердження (відповідь обґрунтуйте):

1)         косинус гострого кута більший за косинус тупого кута;

2)         існує тупий кут, синус і косинус якого рівні;

3)         існує кут, синус і косинус якого дорівнюють нулю;

4)         косинус кута трикутника може дорівнювати від’ємному числу;

5)         синус кута трикутника може дорівнювати від’ємному числу;

6)         косинус кута трикутника може дорівнювати нулю;

7)         синус кута трикутника може дорівнювати нулю;

8)         косинус кута трикутника може дорівнювати –1;

9)         синус кута трикутника може дорівнювати 1;

10)     синус кута, відмінного від прямого, менший від синуса прямого кута;

11)     косинус розгорнутого кута менший від косинуса кута, відмінного від розгорнутого;

12)     синуси суміжних кутів рівні;

13)     косинуси нерівних суміжних кутів є протилежними числами;

14)     якщо косинуси двох кутів рівні, то рівні й самі кути;  15) якщо синуси двох кутів рівні, то рівні й самі кути;  16) тангенс гострого кута більший за тангенс тупого кута?

1.14.^• Порівняйте з нулем значення виразу:

1) sin 110° cos 140°;    3) sin 128° cos² 130° tg 92°; 2) sin 80° cos 100° cos 148°;         4) sin 70° cos 90° tg 104°.

1.15.^• Знайдіть значення виразу:

1)   2 sin 120° + 4 cos 150° – 2 tg 135°;

2)   2 cos² 120° – 8 sin² 150° + 3 cos 90° cos 162°; 3) cos 180° (sin 135° tg 60° – cos 135°)².

1.16.^• Чому дорівнює значення виразу:

1)   2 sin 150° – 4 cos 120°;

2)   sin 90° (tg 150° cos 135° – tg 120° cos 135°)²?

1.17.^• Знайдіть значення виразу, не користуючись калькулятором: sin18°       cos18°     tg18°

1)   ; 2)            ;               3)            . sin162°    cos162°   tg162°

1.18.^• Знайдіть значення виразу, не користуючись калькулятором: sin28°       cos49°     tg14°

1)   ; 2)            ;               3)            . sin152°    cos131°   tg166°

1.19.^• Знайдіть суму квадратів синусів усіх кутів прямокутного трикутника.

1.20.^• Знайдіть суму квадратів косинусів усіх кутів прямокутного трикутника.

1.21.^• У трикутнику ABC відомо, що ∠B = 60°, точка O — центр вписаного кола. Чому дорівнює косинус кута AOC?

1.22.^• Точка O — центр кола, вписаного в трикутник ABC, . Знайдіть кут A трикутника.

 ВпраВи дЛя поВторення

1.23. Висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, дорівнює 5 см і ділить сторону паралелограма навпіл. Гострий кут паралелограма дорівнює 30°. Знайдіть діагональ паралелограма, проведену з вершини тупого кута, і кути, які вона утворює зі сторонами паралелограма.

1.24. Пряма CE паралельна бічній стороні AB трапеції ABCD і ділить основу AD на відрізки AE і DE такі, що AE = 7 см, DE = 10 см. Знайдіть середню лінію трапеції.

 ГотУємоСя до ВиВчення ноВої теми

1.25. Дві сторони трикутника дорівнюють 8 см і 11 см. Чи може кут, протилежний стороні завдовжки 8 см, бути:

1)         тупим;  2) прямим? Відповідь обґрунтуйте.

1.26. У трикутнику ABC проведено висоту BD, ∠A = 60°, ∠C = 45°, AB = 10 см. Знайдіть сторону BC.

1.27. Знайдіть висоту BD трикутника ABC і проекцію сторони AB на пряму AC, якщо ∠BAC = 150°, AB = 12 см.

 СпоСтеріГайте, риСУйте, конСтрУюйте, фантазУйте

1.28. Покажіть, що будь-який трикутник можна розрізати на 3 частини так, що з отриманих частин можна скласти прямокутник.

2. теорема косинусів

Із першої ознаки рівності трикутників випливає, що дві сторони та кут між ними однозначно визначають трикутник. Отже, за вказаними елементами можна, наприклад, знайти третю сторону трикутника. Як це зробити, показує така теорема.

Теорема 2.1 (теорема косинусів). Квадрат сторони  трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинуса кута між ними.

Доведення.  Розглянемо трикутник ABC. Доведемо, наприклад, що

                                         BC² = AB² + AC² − 2AB AC.       .cos .A

Можливі три випадки:

1) кут A гострий; 2) кут A тупий; 3) кут A прямий.

Перший випадок. Нехай кут A гострий. Тоді хоча б один із кутів B або C є гострим.

● Нехай ∠C < 90°. Проведемо висоту BD. Вона повністю належатиме трикутнику ABC (рис. 2.1). У прямокутному трикутнику ABD:

                                        BD AB=      .sin ,A AD AB=     .cos .A

У прямокутному трикутнику BDC: BC² = BD² + CD² =

                  = BD² + (AC AD−      )² = AB² .sin² A + (AC AB−      .cos A)² =

                      = AB² .sin² A AC+     ² − 2AC AB.     .cos A AB+   ² .cos² A =

                            = AB² .(sin² A + cos² A) + AC² − 2AC AB.        .cos A =

                                             = AB² + AC² − 2AB AC.     .cos .A

B

               A            D                       C

                              Рис. 2.1                                                           Рис. 2.2

● Нехай ∠B < 90°. Проведемо висоту трикутника ABC із вершини C. Вона повністю належатиме трикутнику ABC. Доведення для цього випадку аналогічне розглянутому. Проведіть його самостійно.

Другий випадок. Нехай кут A тупий. Проведемо висоту BD трикутника ABC (рис. 2.2).

               У прямокутному трикутнику ABD: BD AB=        .sin ∠BAD =

= AB.sin(180° − ∠BAC) = AB.sin ∠BAC,

          AD AB=    .cos ∠BAD AB=       .cos(180° − ∠BAC) = −AB.cos ∠BAC.

У прямокутному трикутнику BDC: BC² = BD² + CD² = = BD² + (AC AD+ )² = AB² .sin² ∠BAC + (AC AB− .cos ∠BAC)² = = AB² + AC² − 2AB AC. .cos ∠BAC.

Третій випадок. Нехай кут A прямий (рис. 2.3). Тоді cos A = 0.

Треба довести, що BC² = AB² + AC². Ця рівність випливає з теореми Піфагора для трикутника ABC. ◄

A

Рис. 2.3

C

жин сторін і величин кутів трикутника ABC (див. форзац), то, наприклад, для сторони, дов-

B Доведення теореми косинусів показує, що теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів, а теорема косинусів є узагальненням теореми Піфагора.

Якщо скористатися позначеннями для дов-

жина якої дорівнює a, можна записати:

За допомогою теореми косинусів, знаючи три сторони трикутника, можна визначити, чи є він гострокутним, тупокутним або прямокутним.

Теорема 2.2 (наслідок з теореми косинусів).Нехай a, b і c — довжини сторін трикутника, причому a — довжина його найбільшої сторони. Якщо a² < b² +c², то трикутник є гострокутним. Якщо a² > b² + c², то трикутник є тупокутним. Якщо a² =b² + c², то трикутник є прямокутним.

Доведення.  За теоремою косинусів

a² = b² + c² – 2bc cos α.

Звідси 2bc cos α = b² + c² – a².

Нехай a² < b² + c². Тоді b² + c² – a² > 0. Звідси 2bc cos α > 0, тобто cos α > 0. Тому кут α гострий.

Оскільки a — довжина найбільшої сторони трикутника, то проти цієї сторони лежить найбільший кут, який, як ми довели, є гострим. Отже, у цьому випадку трикутник є гострокутним.

Нехай a² > b² + c². Тоді b² + c² – a² < 0. Звідси 2bc cos α < 0, тобто cos α < 0. Тому кут α тупий. Отже, у цьому випадку трикутник є тупокутним.

Нехай a² = b² + c². Тоді 2bc cos α = 0. Звід-

си cos α = 0. Отже, α = 90°. У цьому випадку         B             b              C трикутник є прямокутним. ◄

 Задача 1. Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює

                сумі квадратів усіх його сторін.                                      A              b              D

Розв’язання. На рисунку 2.4 зображено

              паралелограм ABCD.                                                                              ^{Рис. 2.4}

Нехай AB = CD = a, BC = AD = b, ∠BAD = α, тоді ∠ADC = 180° – α. Із трикутника ABD за теоремою косинусів отримуємо:

                                                BD² = a² + b² – 2ab cos α.                                            (1)

Із трикутника ACD за теоремою косинусів отримуємо:

AC² = a² + b² – 2ab cos (180° – α). Звідси

                                                AC² = a² + b² + 2ab cos α.                                            (2)

Додавши рівності (1) і (2), отримаємо:

BD² + AC² = 2a² + 2b². ◄

Задача 2. У трикутнику ABC сторона AB на 4 см більша за сторону BC, ∠B = 120°, AC = 14 см. Знайдіть сторони AB і BC.

Розв’язання. За теоремою косинусів

                                         AC² = AB² + BC² − 2AB BC.        .cos .B

Нехай BC = x см, x > 0, тоді AB = (x + 4) см.

Маємо:

14² = (x + 4)² + x ² – 2x (x + 4) cos 120°;

196 = x² + 8x +16 + x² − 2x x( + 4)^.^−¹₂^;

196 = 2x² + 8x + 16 + x (x + 4);

3x² + 12x – 180 = 0; x² + 4x – 60 = 0; x₁ = 6; x₂ = –10.

Корінь –10 не задовольняє умову x > 0. Отже, BC = 6 см, AB = 10 см.

Відповідь: 10 см, 6 см. ◄

Задача 3. На стороні AC трикутника ABC позначено точку D так, що CD : AD = 1 : 2. Знайдіть відрізок BD, якщо AB = 14 см, BC = 13 см, AC = 15 см.

Розв’язання. За теоремою косинусів з трикутника ABC (рис. 2.5) отримуємо:

                  AB² = AC² + BC² − 2AC BC.       .cos .C

AC² + BC² − AB²

         Звідси cosC = 2AC BC_. =

= 1522 15 13+.132. −142 =  = .

Оскільки  CD : AD = 1 : 2, то CD = AC =

= 5 (см).Рис. 2.5

Тоді з трикутника BCD отримуємо:

                       BD² = BC² + CD² − 2BC CD.        .cosC = 13² + 5² − 2 13 5. . . = 128.

Отже, BD = 128 = 8 2 (см).

Відповідь: 8 2 см. ◄

Задача 4. Дві сторони трикутника дорівнюють 23 см і 30 см, а медіана, проведена до більшої з відомих сторін, — 10 см. Знайдіть третю сторону трикутника.

Розв’язання. Нехай у трикутнику ABC відомо, що AC = 23 см, BC = 30 см, відрізок AM — медіана, AM = 10 см.

На продовженні відрізка AM за точку M відкладемо відрізок MD, який дорівнює медіані AM (рис. 2.6). Тоді AD = 20 см.

У чотирикутнику ABDC діагоналі AD і BC точкою M перетину діляться навпіл (BM = MC за умовою, AM = MD за побудовою).

Отже, чотирикутник ABDC — паралелограм.

Оскільки сума квадратів діагоналей пара-

B                                                    D     лелограма дорівнює сумі квадратів усіх його

сторін (див. ключову задачу 1), то

AD² + BC² = 2 (AB² + AC²).

Тоді

C                                                    20² + 30² = 2 (AB²2 + 23²);

400 + 900 = 2 (AB + 529);

                           Рис. 2.6                                                           AB2 = 121;

AB = 11 см. Відповідь: 11 см. ◄

 ? 1.  Сформулюйте теорему косинусів.

2.      Гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник зі сторонами a, b і c, де a — довжина його найбільшої сторони, якщо:   1) a² < b² + c²;    2) a² > b² + c²;    3) a² = b² + c² ?

3.      як пов’язані між собою діагоналі та сторони паралелограма?

 ВпраВи

2.1.° Знайдіть невідому сторону трикутника ABC, якщо:

1)   AB = 5 см, BC = 8 см, ∠B = 60°;

2)   AB = 3 см, AC = 2 2 см, ∠A = 135°.

2.2.° Знайдіть невідому сторону трикутника DEF, якщо:

1) DE = 4 см, DF = 2 3 см, ∠D = 30°; 2) DF = 3 см, EF = 5 см, ∠F = 120°.

2.3.° Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 20 см і 28 см. Знайдіть найбільший кут трикутника.

2.4.° Сторони трикутника дорівнюють 18 см, 5 см і 7 см. Знайдіть середній за величиною кут трикутника.

2.5.° Установіть, гострокутним, прямокутним чи тупокутним є трикутник, сторони якого дорівнюють:

1)   5 см, 7 см і 9 см;    3) 10 см, 15 см і 18 см.

2)   5 см, 12 см і 13 см;

2.6.° Сторони трикутника дорівнюють 7 см, 8 см і 12 см. Чи є даний трикутник гострокутним?

2.7.° Доведіть, що трикутник зі сторонами 8 см, 15 см і 17 см є прямокутним.

2.8.° Сторони паралелограма дорівнюють 2 2 см і 5 см, а один із кутів дорівнює 45°. Знайдіть діагоналі паралелограма.

2.9.° У трапеції ABCD відомо, що BC AD   , BC = 3 см, AD = 10 см, CD = 4 см, ∠D = 60°. Знайдіть діагоналі трапеції.

2.10.° На стороні AB рівностороннього трикутника ABC позначено точку D так, що AD : DB = 2 : 1. Знайдіть відрізок СD, якщо AB = 6 см.

2.11.° На гіпотенузі AB прямокутного трикутника ABC позначено точку M так, що AM : BM = 1 : 3. Знайдіть відрізок CM, якщо AC = BC = 4 см.

2.12.^• Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 4 см, а синус кута між ними дорівнює . Знайдіть третю сторону трикутника.

Скільки розв’язків має задача?

2.13.^• У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AC = 20 см, BC = = 15 см. На стороні AB позначено точку M так, що BM = 4 см. Знайдіть відрізок CM.

2.14.^• На продовженні гіпотенузи AB прямокутного рівнобедреного трикутника ABC за точку B позначено точку D так, що BD = BC.

Знайдіть відрізок CD, якщо катет трикутника ABC дорівнює a.

2.15.^• У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AB = 13 см, AC = = 12 см. На продовженні гіпотенузи AB за точку B позначено точку D так, що BD = 26 см. Знайдіть відрізок CD.

2.16.^• Центр кола, вписаного в прямокутний трикутник, знаходиться на відстанях a і b від кінців гіпотенузи. Знайдіть гіпотенузу

трикутника.

2.17.^• Точка O — центр кола, вписаного в трикутник ABC, BC = a, AC = b, ∠AOB = 120°. Знайдіть сторону AB.

2.18.^• Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює 60°, відносяться як 5 : 8, а третя сторона дорівнює 21 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

2.19.^• Дві сторони трикутника відносяться як 1:2 3 і утворюють кут, величина якого становить 30°. Третя сторона трикутника дорівнює 2 7 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

2.20.^• Сума двох сторін трикутника, які утворюють кут величиною 120°, дорівнює 8 см, а довжина третьої сторони — 7 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника.

2.21.^• Дві сторони трикутника, кут між якими дорівнює 120°, відносяться як 5 : 3. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 30 см.

2.22.^• Дві сторони трикутника дорівнюють 16 см і 14 см, а кут, протилежний меншій із відомих сторін, дорівнює 60°. Знайдіть невідому сторону трикутника.

2.23.^• Дві сторони трикутника дорівнюють 15 см і 35 см, а кут, протилежний більшій із відомих сторін, дорівнює 120°. Знайдіть периметр трикутника.

2.24.^• На стороні BC трикутника ABC позначено точку D так, що CD = 14 см. Знайдіть відрізок AD, якщо AB = 37 см, BC = 44 см і AC = 15 см.

2.25.^• На стороні AB трикутника ABC позначено точку K, а на продов женні сторони BC за точку C — точку M. Знайдіть відрізок MK, якщо AB = 15 см, BC = 7 см, AC = 13 см, AK = 8 см, MC = 3 см.

2.26.^• Одна зі сторін трикутника у 2 рази більша за другу, а кут між цими сторонами становить 60°. Доведіть, що даний трикутник є прямокутним.

2.27.^• Доведіть, що коли квадрат сторони трикутника дорівнює неповному квадрату суми двох інших сторін, то протилежний цій стороні кут дорівнює 120°.

2.28.^• Доведіть, що коли квадрат сторони трикутника дорівнює неповному квадрату різниці двох інших сторін, то протилежний цій стороні кут дорівнює 60°.

2.29.^• Дві сторони паралелограма дорівнюють 7 см і 11 см, а одна з діагоналей — 12 см. Знайдіть другу діагональ паралелограма.

2.30.^• Діагоналі паралелограма дорівнюють 13 см і 11 см, а одна зі сторін — 9 см. Знайдіть периметр паралелограма.

2.31.^• Діагоналі паралелограма дорівнюють 8 см і 14 см, а одна зі сторін на 2 см більша за другу. Знайдіть сторони паралелограма.

2.32.^• Сторони паралелограма дорівнюють 11 см і 23 см, а його діагоналі відносяться як 2 : 3. Знайдіть діагоналі паралелограма.

2.33.^•• У трапеції ABCD відомо, що AD BC , AB = 5 см, BC = 9 см, AD = 16 см, cos A = . Знайдіть сторону CD трапеції.

2.34.^•• У трапеції ABCD відомо, що AD BC                                , AB = 15 см,

BC = 6 см, СD = 4 см, AD = 11 см. Знайдіть косинус кута D трапеції.

2.35.^•• Знайдіть діагональ AC чотирикутника ABCD, якщо навколо нього можна описати коло і AB = 3 см, BC = 4 см, CD = 5 см, AD = 6 см.

2.36.^•• Чи можна описати коло навколо чотирикутника ABCD, якщо AB = 4 см, AD = 3 см, BD = 6 см і ∠C = 30°?

 2.37.^•• Доведіть, що проти більшого кута паралелограма лежить більша діагональ. Сформулюйте та доведіть обернене

твердження.

2.38.^•• Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 15 см і 18 см. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини його найбільшого кута.

2.39.^•• Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 5 см, а бічна сторона — 20 см. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини кута при його основі.

2.40.^•• Сторони трикутника дорівнюють 16 см, 18 см і 26 см. Знайдіть медіану трикутника, проведену до його більшої сторони.

2.41.^•• Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 2 см, а медіана, проведена до бічної сторони, — 5 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

2.42.^•• Дві сторони трикутника дорівнюють 12 см і 14 см, а медіана, проведена до третьої сторони, — 7 см. Знайдіть невідому сторону трикутника.

2.43.^•• У трикутнику ABC відомо, що AB = BC, ∠ABC = 120°. На продовженні відрізка AB за точку B позначено точку D так, що BD = 2AB. Доведіть, що трикутник ACD рівнобедрений.

 2.44.^•• Доведіть, що в трикутнику зі сторонами a, b і c виконується рівність m_c = ¹ 2a² + 2b² − c², де m_c — медіана трикут-

2

ника, проведена до сторони, довжина якої дорівнює c.

 ВпраВи дЛя поВторення

2.45. У колі проведено діаметр AC і хорду AB, яка дорівнює радіусу кола. Знайдіть кути трикутника ABC.

2.46. Один із кутів, утворених при перетині бісектриси кута паралелограма з його стороною, дорівнює одному з кутів паралелограма. Знайдіть кути паралелограма.

2.47. У трикутник ABC вписано паралелограм ADEF так, що кут A у них спільний, а точки D, E і F належать відповідно сторонам AB, BC і AC трикутника. Знайдіть сторони паралелограма ADEF, якщо AB = 8 см, AC = 12 см, AD : AF = 2 : 3.

 ГотУємоСя до ВиВчення ноВої теми

2.48. Знайдіть кут ADC (рис. 2.7), якщо ∠ABC = 140°.

                             Рис. 2.7                                   Рис. 2.8                                          Рис. 2.9

2.49. Знайдіть кут ABC (рис. 2.8), якщо ∠ADC = 43°.

2.50. Відрізок AB — діаметр кола, радіус якого дорівнює R, ∠ABC = α (рис. 2.9). Знайдіть хорду AC.

3. теорема синусів

Під час доведення низки теорем і розв’язування багатьох задач застосовують таку лему.

Лема. Хорда кола дорівнює добутку діаметра та синуса будь-якого вписаного кута, який спирається на цю хорду.

Доведення.  На рисунку 3.1 відрізок MN — хорда кола із центром у точці O. Проведемо діаметр MP. Тоді ∠MNP = 90° як вписаний кут, що спирається на діаметр. Нехай величина вписаного кута MPN дорівнює α. Тоді з прямокутного

трикутника MPN отримуємо:^P

             MN = MP sin α.              (1)

Усі вписані кути, які спираються на хорду MN, дорівнюють α або 180° – α.

Отже, їхні синуси рівні. Тому отрима- MN

на рівність (1) справедлива для всіх вписаних кутів, які спираються на

хорду MN. ◄

Із другої ознаки рівності трикутни- Рис. 3.1 ків випливає, що сторона та два прилеглих до неї кути однозначно визначають трикутник. Отже, за вказаними елементами можна знайти дві інші сторони трикутника. Як це зробити, підказує така теорема.

Теорема 3.1 (теорема синусів). Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Доведення.  Нехай у трикутнику ABC відомо, що AB = c, BC = a, CA = b. Доведемо, що

                                                        a             b             c

= = . sin A sin B sinC

Нехай радіус описаного кола трикутника ABC дорівнює R. Тоді за лемою a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C. Звідси

a                 b             c            =         =          = 2R sin A sin B sin C

◄

Наслідок. Радіус кола, описаного навколо трикутника, можна обчислити за формулою

R = a , 2 sin α

де a — довжина сторони трикутника, a— величина протилежного цій стороні кута.

Задача 1. У трикутнику ABC відомо, що AC = 2 см, BC = 1 см, ∠B = 45°. Знайдіть кут A.

Розв’язання. За теоремою синусів

                                                                         BC           AC

                                                                                  =         .

sin A sin B

Тоді

                                         : .

Оскільки BC < AC, то ∠A < ∠B. Отже, кут A — гострий. Звідси, ураховуючи, що sin , отримуємо ∠A = 30°.

Відповідь: 30°. ◄

Задача 2. У трикутнику ABC відомо, що AC = 2 см, BC = 1 см, ∠A = 30°. Знайдіть кут B.

                                                                                                       BC           AC

Розв’язання. За теоремою синусів = . Тоді sin A sin B

.

Оскільки BC < AC, то ∠A < ∠B. Тоді кут B може бути як гострим, так і тупим. Звідси ∠B = 45° або ∠B = 180° – 45° = 135°.

Відповідь: 45° або 135°. ◄

Задача 3. На стороні AB трикутника ABC позначено точку D так, що ∠BDC = g, AD = m (рис. 3.2). Знайдіть відрізок BD, якщо ∠A = α, ∠B = b.

Розв’язання. Кут BDC — зовнішній кут трикутника ADC. Тоді ∠ACD + ∠A = ∠BDC, звідси ∠ACD = g – α.

Із трикутника ADC за теоремою синусів отримуємо:

                                                                     CD                   AD

                                                                                  =               .

                                                                sin ∠CAD         sin ∠ACD

AD sin ∠CAD         msin α     C Отже, CD =      =          .

                                       sin ∠ACD            sin(γ − α)

Із трикутника BCD за теоремою синусів отримуємо:

                                BD                    CD

                                             =               .

                           sin ∠BCD         sin ∠CBD                               A         m _D                          B

_Отже,

                 _BD = CDsin ∠BCD =                            Рис. 3.2

sin ∠CBD

.

Відповідь: . ◄

Задача 4. Відрізок BD — бісектриса трикутника ABC, ∠ABC = 30°, ∠C = 105° (рис. 3.3). Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, якщо радіус кола, описаного навколо трикутника BDC, дорівнює 8 6 см.

                  _C                                                     Розв’язання. Нехай R₁ — радіус кола,

описаного навколо трикутника BDC, R₁ = 8 6 см.

A_B                                                                        Оскільки відрізок BD — бісектриса

1 трикутника, то ∠CBD =     ∠ABC = 15 .°

                  Рис. 3.3                                                                             2

Із трикутника BDC отримуємо:

∠BDC = 180° – (∠CBD + ∠C) = 180° – (15° + 105°) = 60°.

За наслідком з теореми синусів . Звідси

 BC = 2R₁ sin∠BDC = 2 8 6.sin60°= 24 2 (см).

Із трикутника ABC отримуємо:

∠A = 180° – (∠ABC + ∠C) = 180° – (30° + 105°) = 45°.

Нехай R — шуканий радіус кола, описаного навколо трикутника ABC.

                       BC                                              BC              24 2

       Тоді      = R, звідси R =              =               = 24 (см).

                    2sin A                                        2sin A         2sin45°

Відповідь: 24 см. ◄

 ? 1. як знайти хорду кола, якщо відомо діаметр кола та вписаний кут, який спирається на цю хорду?

2.    Сформулюйте теорему синусів.

3.    як знайти радіус кола, описаного навколо трикутника зі стороною a тапротилежним цій стороні кутом α?

 ВпраВи

3.1.° Знайдіть сторону BC трикутника ABC, зображеного на рисунку 3.4 (довжину відрізка дано в сантиметрах).

B

                                A                          C                              AC

                                         Рис. 3.4                                                           Рис. 3.5

3.2.° Знайдіть кут A трикутника ABC, зображеного на рисунку 3.5 (довжини відрізків дано в сантиметрах).

3.3.° Знайдіть сторону AB трикутника ABC, якщо AC = 6 см, ∠B = 120°, ∠C = 45°.

3.4.° У трикутнику ABC відомо, що AB = 12 см, BC = 10 см, sin A = 0,2. Знайдіть синус кута C трикутника.

3.5.° У трикутнику DEF відомо, що DE = 16 см, ∠F = 50°, ∠D = 38°. Знайдіть сторону EF.

3.6.° У трикутнику MKP відомо, що KP = 8 см, ∠K = 106°, ∠P = 32°. Знайдіть сторону MP.

3.7.° Для знаходження відстані від точки A до дзвіниці B, яка розташована на другому березі річки (рис. 3.6), за допомогою віх, рулетки та приладу для вимірювання кутів (теодоліту) позначили на місцевості точку C таку, що ∠BAC = 42°, ∠ACB = 64°, AC = 20 м. Як знайти відстань від точки A до дзвіниці B? Знайдіть цю відстань.

Рис. 3.6

3.8.° У трикутнику ABC відомо, що BС = a, ∠A = α, ∠C = g. Знайдіть сторони AB і AC.

3.9.° Діагональ паралелограма дорівнює d і утворює з його сторонами кути α і b. Знайдіть сторони паралелограма.

3.10.° Знайдіть кут A трикутника ABC, якщо:

1)     AC = 2 см, BC = 1 см, ∠B = 135°;

2)     AC = 2 см, BC = 3 см, ∠B = 45°.

Скільки розв’язків у кожному з випадків має задача? Відповідь обґрунтуйте.

3.11.° Чи існує трикутник ABC такий, що sin A = 0,4, AC = 18 см, BC = 6 см? Відповідь обґрунтуйте.

3.12.° У трикутнику DEF відомо, що DE = 8 см, sin F = 0,16. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника DEF.

3.13.° Радіус кола, описаного навколо трикутника MKP, дорівнює 5 см, sin M = 0,7. Знайдіть сторону KP.

3.14.^• На продовженні сторони AB трикутника ABC за точку B позначили точку D. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника ACD, якщо ∠ABC = 60°, ∠ADC = 45°, а радіус кола, описаного навколо трикутника ABC, дорівнює 4 см.

3.15.^• Радіус кола, описаного навколо три- B кутника ABC, дорівнює 6 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника AOC, де O — точка перетину бісектрис трикутника ABC, якщо ∠ABC = 60°.

3.16.^• Використовуючи дані рисунка 3.7, C

знайдіть відрізок AD, якщо CD = a,
∠BAC = g, ∠DBA = b.	Рис. 3.7

3.17.^• Використовуючи дані рисунка 3.8, A знайдіть відрізок AC, якщо BD = m, ∠ABC = α, ∠ADC = b.

3.18.^• На стороні AB трикутника ABC позначили точку M так, що ∠AMC = j. Знайдіть відрізок CM, якщо AB = c,

                    ∠A = α, ∠ACB = g.                                                     ^C

3.19.^• У трикутнику ABC відомо, що ∠A =

= α, ∠B = b. На стороні BC позначили Рис. 3.8 точку D так, що ∠ADB = j, AD = m. Знайдіть сторону BC.

3.20.^• Доведіть, що бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, довжини яких обернено пропорційні синусам прилеглих до цієї сторони кутів.

3.21.^• Дві сторони трикутника дорівнюють 6 см і 12 см, а висота, проведена до третьої сторони, — 4 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо даного трикутника.

3.22.^• Знайдіть радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника з основою 16 см і бічною стороною 10 см.

3.23.^• Сторона трикутника дорівнює 24 см, а радіус описаного кола — 8 3 см. Чому дорівнює кут трикутника, протилежний даній стороні?

3.24.^• Траса для велосипедистів має форму трикутника, два кути якого дорівнюють 50° і 100°. Меншу сторону цього трикутника один із велосипедистів проїжджає за 1 год. За який час він проїде всю трасу? Відповідь подайте в годинах, округливши її до десятих.

3.25.^•• У трикутнику ABC відомо, що AC = b, ∠A = α, ∠C = g. Знайдіть бісектрису BD трикутника.

3.26.^•• Основа рівнобедреного трикутника дорівнює a, протилежний їй кут дорівнює α. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини кута при основі.

3.27.^•• Доведіть, користуючись теоремою синусів, що бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, довжини яких пропорційні прилеглим сторонам^[1].

3.28.^•• Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 9 см і 21 см, а висота — 8 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції.

3.29.^•• Відрізок CD — бісектриса трикутника ABC, у якому ∠A = α, ∠B = b. Через точку D проведено пряму, яка паралельна стороні BC і перетинає сторону AC у точці E, причому AE = a. Знайдіть відрізок CE.

3.30.^•• Медіана AM трикутника ABC дорівнює m і утворює зі сторонами AB і AC кути α і b відповідно. Знайдіть сторони AB і AC.

3.31.^•• Медіана CD трикутника ABC утворює зі сторонами AC і BC кути α і b відповідно, BC = a. Знайдіть медіану CD.

3.32.^•• Висоти гострокутного трикутника ABC перетинаються в точці H. Доведіть, що радіуси кіл, описаних навколо трикутників AHB, BHC, AHC і ABC, рівні.

3.33.^•• Дороги, які сполучають села A, B і C (рис. 3.9), утворюють трикутник, причому дорога із села A до села C заасфальтована, а дороги із села A до села B та із села B до села C — ґрунтові. Дороги, які ведуть із села A до сіл B і C, утворюють кут, величина якого 15°, а дороги, які ведуть із села B до сіл A і C, — кут, величина якого 5°. Швидкість руху автомобіля по асфальтованій дорозі у 2 рази більша за швидкість його руху по ґрунтовій. Який шлях вибрати водію автомобіля, щоб якнайшвидше дістатися із села A до села B?

3.34.^•• Дороги із сіл A і B сходяться біля розвилки C (рис. 3.10). Дорога із села A до розвилки утворює з дорогою із села A в село B кут, величина якого 30°, а дорога із села B до розвилки утворює з дорогою із села B в село A кут, величина якого 70°. Одночасно із села A до розвилки виїхав автомобіль зі швидкістю 90 км/год, а із села B — автобус зі швидкістю 60 км/год. Хто з них першим доїде до розвилки?

 ВпраВи дЛя поВторення

3.35. Бісектриси кутів B і C прямокутника ABCD перетинають сторону AD у точках M і K відповідно. Доведіть, що BM = CK.

точку K, а на стороні CD — точку M так, що AK : KB = 1 : 2, DM : MC = 3 : 1. Знайдіть сторону квадрата, якщо MK = 13 см.

A

K Рис. 3.11

C

3.36. На рисунку 3.11 DE AC , FK AB . Ука- B жіть, які трикутники на цьому рисунку

подібні.

3.37. На стороні AB квадрата ABCD позначено E

 ГотУємоСя до ВиВчення ноВої теми

3.38. Розв’яжіть прямокутний трикутник:

1)         за двома катетами a = 7 см і b = 35 см;

2)         за гіпотенузою c = 17 см і катетом a = 8 см; 3) за гіпотенузою c = 4 см і гострим кутом α = 50°; 4) за катетом a = 8 см і протилежним кутом α = 42°.

 СпоСтеріГайте, риСУйте, конСтрУюйте, фантазУйте

3.39. У коло радіуса 1 см вписано п’ятикутник. Доведіть, що сума довжин його сторін і діагоналей менша від 17 см.

4.  Розв’язування трикутників

4. розв’язування трикутників

Розв’язати трикутник означає знайти невідомі його сторони та кути за відомими сторонами та кутами^[2].

У 8 класі ви навчилися розв’язувати прямокутні трикутники. Теореми косинусів і синусів дають змогу розв’язати будь-який трикутник.

У наступних задачах значення тригонометричних функцій будемо знаходити за допомогою калькулятора й округлювати ці значення до сотих. Величини кутів будемо знаходити за допомогою калькулятора й округлювати ці значення до одиниць. Обчислюючи довжини сторін, результат будемо округлювати до десятих.

Задача 1. Розв’яжіть трикутник (рис. 4.1) за стороною a = 12 см і двома кутами b = 36°, g = 119°.

Розв’язання. Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: α = 180° – (b + g) = 180° – – 155° = 25°.

                                                        b            a                                    Рис. 4.1

За теоремою синусів =          . sin β      sin α Звідси b. Маємо:

                                               12sin36°       12 0 59. ,

b                  = ≈ ≈ 16 9, (см). sin25° 0 42,

Знову застосовуючи теорему синусів, запишемо:

c                  a

=     . sin γ sin α

Звідси c = ^{asin γ} . sin α

Маємо:

                                 12sin119°         12sin61°       12 0 87. ,

c =    =        ≈          ≈ 24 9, (см). sin25°             sin25°      0 42,

Відповідь: b ≈ 16,9 см, c ≈ 24,9 см, α = 25°. ◄

Задача 2. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами a = 14 см, b = 8 см і кутом g = 38° між ними.

Розв’язання. За теоремою косинусів c² = a² + b² – 2ab cos g. Звідси c² = 196 64 2 14 8+ − . . cos38° ≈ 260 224 0 79− . , = 83 04, ;

c ≈ 9,1 см.

Далі маємо:

a² = b² + c² – 2bc cos α;

                                                 b² + c² − a²                                 8² + 9 1, ² −14²

                                  cosα = 2bc ; cosα ≈ . . , ≈ −0 34,       .

2 8 9 1

Звідси α ≈ 110°.

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: b = 180° – (α + g);   b ≈ 180° – 148° = 32°.

Відповідь: c ≈ 9,1 см, α ≈ 110°, b ≈ 32°. ◄

Задача 3. Розв’яжіть трикутник за трьома сторонами a = 7 см, b = 2 см, c = 8 см.

Розв’язання. За теоремою косинусів a² = b² + c² – 2bc cos α.

Звідси

b² + c² − a² 4 64+ − 49 cosα = 2bc ; cosα = 2 2 8_{. .} ≈ 0 59, . Отримуємо: α ≈ 54°.

За теоремою синусів a = ^b . Звідси sin α               sin β

                                    , .

Оскільки b — довжина найменшої сторони даного трикутника, то кут b є гострим. Тоді знаходимо, що b ≈ 13°.

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо:  g = 180° – (α + b);   g ≈ 180° – 67° = 113°.

Відповідь: α ≈ 54°, b ≈ 13°, g ≈ 113°. ◄

Задача 4. Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом, протилежним одній зі сторін:

1) a = 17 см, b = 6 см, α = 156°; 2) b = 7 см, c = 8 см, b = 65°;

3) a = 6 см, b = 5 см, b = 50°.

                                                                                                                     a            b

. Звідси

4.  Розв’язування трикутників

Оскільки кут α даного трикутника тупий, то кут b є гострим. Тоді знаходимо, що b ≈ 8°.

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо: g = 180° – (α + b); g ≈ 16°.

За теоремою синусів a = ^c .

Звідси c (см).

                                sin α                 sin156°            0 41,

Відповідь: b ≈ 8°, g ≈ 16°, c ≈ 11,6 см.

2)   За теоремою синусів b = ^c .

        Звідси   ,  , що не-

можливо.

Відповідь: задача не має розв’язку.

3)   За теоремою синусів a = ^b . Звідси sin α          sin β

                        , .

Можливі два випадки: α ≈ 67° або α ≈ 180° – 67° = 113°.

Розглянемо випадок, коли α ≈ 67°.

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо:  g = 180° – (α + b); g ≈ 180° – 117° = 63°.

За теоремою синусів b = ^c .

Звідси c (см).

                                sin β                 sin50°           0 77,

Розглянемо випадок, коли α ≈ 113°.

Використовуючи теорему про суму кутів трикутника, отримуємо:  g = 180° – (α + b); g ≈ 180° – 163° = 17°.

      Оскільки c = bsin γ , то c ≈ 5sin17° ≈ 5 0 29. ,  ≈ 1,9 (см).

                                      sin β                       sin50°           0 77,

Відповідь:  α ≈ 67°,  g ≈ 63°,  c ≈ 5,8 см  або  α ≈ 113°,  g ≈ 17°, c ≈ 1,9 см. ◄

           Що означає розв’язати трикутник??

 ВпраВи

4.1.° Розв’яжіть трикутник за стороною та двома кутами:

1) a = 10 см, b = 20°, g = 85°; 2) b = 16 см, α = 40°, b = 110°.

4.2.° Розв’яжіть трикутник за стороною та двома кутами:

                     1) b = 9 см, α = 35°, g = 70°;                      2) c = 14 см, b = 132°, g = 24°.

4.3.° Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом між ними:

1)   b = 18 см, c = 22 см, α = 76°;

2)   a = 20 см, b = 15 см, g = 104°.

4.4.° Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом між ними: 1) a = 8 см, c = 6 см, b = 15°; 2) b = 7 см, c = 5 см, α = 145°.

4.5.° Розв’яжіть трикутник за трьома сторонами:

1) a = 4 см, b = 5 см, c = 7 см; 2) a = 26 см, b = 19 см, c = 42 см.

4.6.° Розв’яжіть трикутник за трьома сторонами:

1) a = 5 см, b = 6 см, c = 8 см; 2) a = 21 см, b = 17 см, c = 32 см.

4.7.° Розв’яжіть трикутник, у якому:

1) a = 10 см, b = 3 см, b = 10°, кут α гострий; 2) a = 10 см, b = 3 см, b = 10°, кут α тупий.

4.8.^• Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом, який лежить проти однієї з даних сторін:

1)   a = 7 см, b = 11 см, b = 46°; 3) a = 7 см, c = 3 см, g = 27°.

2)   b = 15 см, c = 17 см, b = 32°;

4.9.^• Розв’яжіть трикутник за двома сторонами та кутом, який лежить проти однієї з даних сторін: 1) a = 23 см, c = 30 см, g = 102°; 2) a = 18 см, b = 25 см, α = 36°.

4.10.^• У трикутнику ABC відомо, що AB = BC = 20 см, ∠A = 70°.

Знайдіть:

1)   сторону AC;

2)   медіану CM;

3)   бісектрису AD;

4)   радіус описаного кола трикутника ABC.

                     4.11.^• Діагональ AC рівнобічної трапеції ABCD (BC AD          ) дорівнює

8 см, ∠CAD = 38°, ∠BAD = 72°. Знайдіть:

1)   сторони трапеції;

2)   радіус описаного кола трикутника ABC.

4. 12.^•• Основи трапеції дорівнюють 12 см і 16 см, а бічні сторони — 7 см і 9 см. Знайдіть кути трапеції.

тригонометрія — наука про вимірювання трикутників

4.13.          Бісектриса кута B паралелограма ABCD перетинає його сторону AD у точці M, а продовження сторони CD за точку D — у точці K. Знайдіть відрізок DK, якщо AM = 8 см, а периметр паралелограма дорівнює 50 см.

4.14.          Периметр одного з двох подібних трикутників на 18 см менший від периметра другого трикутника, а дві відповідні сторони цих трикутників дорівнюють 5 см і 8 см. Знайдіть периметри

даних трикутників.

 ГотУємоСя до ВиВчення ноВої теми

4.15. Точка M — середина сторони CD пря- B мокутника ABCD (рис. 4.2), AB = 6 см, AD = 5 см. Чому дорівнює площа трикутника ACM?

4.16. На стороні AC трикутника ABC позна-

чено точку D так, що ∠ADB = α. Доведіть,

                                                                                                          A                                  D

що S_ABC = ¹ . sin .α AC BD

                             2                                                                                       Рис. 4.2

  триГонометрія — наУка про ВимірюВання

             трикУтникіВ

Ви знаєте, що стародавні мандрівники орієнтувалися за зорями та планетами. Вони могли досить точно визначити місцезнаходження корабля в океані або каравану в пустелі за розташуванням світил на небосхилі. При цьому одним з орієнтирів була висота, на яку піднімалося над горизонтом те або інше небесне світило в даній місцевості в певний момент часу.

Зрозуміло, що безпосередньо виміряти цю висоту неможливо. Тому вчені стали розробляти методи непрямих вимірювань. Тут істотну роль відігравало розв’язування трикутника, дві вершини якого лежали на поверхні Землі, а третя була зорею (рис. 4.3) — відома вам задача 3.17.

                                                Рис. 4.3                                                        Рис. 4.4

Для розв’язування подібних задач стародавнім астрономам потрібно було навчитися знаходити взаємозв’язки між елементами трикутника. Так виникла тригонометрія — наука, яка вивчає залежність між сторонами та кутами трикутника. Термін «тригонометрія» (від грецьких слів «тригонон» — трикутник і «метрео» — вимірювати) означає «вимірювання трикутників».

На рисунку 4.4 зображено центральний кут AOB, який дорівнює 2α. Із прямокутного трикутника OMB маємо: MB = OB sin α. Отже, якщо в одиничному колі виміряти половини довжин хорд, на які спираються центральні кути з величинами 2°, 4°, 6°, ..., 180°, то таким чином ми обчислимо значення синусів кутів 1°, 2°, 3°, ..., 90° відповідно.

Вимірюючи довжини півхорд, давньогрецький астроном Гіппарх (ІІ ст. до н. е.) склав перші тригонометричні таблиці.

Поняття синуса й косинуса з’являються в тригонометричних трактатах індійських учених у ІV–V ст. н. е. У Х ст. арабські вчені оперували поняттям тангенса, яке виникло з потреб гномоніки — учення про сонячний годинник (рис. 4.5).

Рис. 4.5

У Європі першою роботою, у якій тригонометрія розглядалася як окрема наука, був трактат «П’ять книг про трикутники всіх видів», уперше надрукований у 1533 р. Його автором був німецький

Леонард ейлер

(1707–1783)

Видатний математик, фізик, механік  і астроном, автор понад 860 наукових праць, член Петербурзької, Берлінської, Паризької академій наук, Лондонського королівського товариства, багатьох інших академій  та наукових товариств. ім’я Ейлера  зустрічається майже в усіх областях  математики: теореми Ейлера, тотожності  Ейлера, кути, функції, інтеграли, формули, рівняння, підстановки тощо.

учений Реґіомонтан (1436–1476). Цей же вчений відкрив і теорему тангенсів:

                                          α − β                        β − γ                         γ − α

                        a b−      tg        2 , b c−    = tg        2 , c a−    = tg       2 ,

=

                        a b+         _tg α + β b c⁺        _tg β + γ c a⁺       _tg γ + α

                                              2                                2                                2

де a, b і c — довжини сторін трикутника, α, b і g — величини кутів трикутника, протилежних відповідно сторонам з довжинами a, b і c.

Сучасного вигляду тригонометрія набула в роботах великого математика Леонарда Ейлера.

5. формули для знаходження площі  трикутника

Із курсу геометрії 8 класу ви знаєте, що площу S трикутника зі сторонами a, b і c та висотами h_a, h_b і h_c можна обчислити за формулами

S = 1aha = 1bhb = 1chc.

                                                         2             2            2

Тепер у нас з’явилася можливість отримати ще кілька формул для знаходження площі трикутника.

Теорема 5.1. Площа трикутника дорівнює половині добутку двох його сторін і синуса кута між ними.

Доведення.  Розглянемо трикутник ABC, площа якого дорівнює S, такий, що BC = a, AC = b і ∠C = g. Доведемо, що

S = ab sin γ

Можливі три випадки:

1)   кут g гострий (рис. 5.1);

2)   кут g тупий (рис. 5.2); 3) кут g прямий.

                                         Рис. 5.1                                                            Рис. 5.2

На рисунках 5.1 і 5.2 проведемо висоту BD трикутника ABC.

   Тоді S = BD AC. = BD b. .

Із прямокутного трикутника BDC у першому випадку (див. рис. 5.1) отримуємо: BD = a sin g, а в другому (див. рис. 5.2): BD = a sin (180° – g) = a sin g. Звідси для двох перших випадків маємо: S = absin .γ

Якщо кут C прямий, то sin g = 1. Для прямокутного трикутника ABC із катетами a і b маємо:

S = ab = absin90° = absin .γ ◄

Теорема 5.2 (формула Герона^[3]). Площу S трикутника зі сторонами a, b і c можна обчислити за формулою

                                                                  S = p p a p b p c(       − )( − )(         − ),

де p — його півпериметр.

Доведення.  Розглянемо трикутник ABC, площа якого дорівнює S, такий, що BC = a, AC = b, AB = c. Доведемо, що  S = p p a p b p c( − )( − )( − ).

Нехай ∠C = g. Запишемо формулу площі трикутника:

        S ab  Звідси S² = a b^{2 2} sin² γ.

За теоремою косинусів c² = a² + b² – 2ab cos g. ^a2 + b2 − c2

        Тоді cos γ =  .

2ab

Оскільки sin² g = 1 – cos² g = (1 – cos g) (1 + cos g), то:

S² = a b^{2 2} (1−cos )(γ 1+cos )γ =

14 2 2 .1− a2 +2bab2 − c2 1+ a2 +2bab2 − c2 =

= a b

= 1a b_{2 2 .}2ab a− ² − b² + c² _.2ab a+ ² + b² − c² =

                                 4                         2ab                            2ab

= ¹ (c² − (a b− ) )((² a b+ )² − c²) =

16

                                                  = c a b c a b a b c a b c− ⁺ _. + ⁻ _. + ⁻ _. +           ⁺             =

                                            2                2                2                2

                   = (a b c+ + ) − 2a a b c_.( + + ) − 2b a b c_.( + + ) − 2c a b c_. +    + =

                                 2                           2                           2                     2

= 2p − 2aæ 2p − 2b.2p − 2c.2p = p p a p b p c( − )( − )( − ).

                           2                 2              2          2

Звідси S = p p a p b p c( − )( − )( − ). ◄

Теорема 5.3. Площу S трикутника зі сторонами a, b і c можна обчислити за формулою

S = abc, 4R

де R — радіус кола, описаного навколо трикутника.

Доведення.  Розглянемо трикутник ABC, площа якого до-

рівнює S, такий, що BC = a, AC = b, AB = c. Доведемо, що S = ^abc,

4R

де R — радіус описаного кола трикутника.

Нехай ∠A = α. Запишемо формулу площі трикутника:

S = bcsin .α

Із леми п. 3 випливає, що sin α = ^a .

2R

Тоді S = ¹bcsin α = ¹bc^{. a} = ^abc. ◄

                          2                     2         2R       4R

Зауважимо, що доведена теорема дає змогу знаходити радіус описаного кола трикутника за формулою

R = abc 4S

Теорема 5.4. Площа трикутника дорівнює добутку його півпериметра та радіуса вписаного кола.

Доведення.  На рисунку 5.3

                           _B                                                     зображено трикутник ABC, у який

вписано коло радіуса r. Доведемо, що

 S = pr,

де S — площа даного трикутника, p — його півпериметр.

^A P ^C Нехай точка O — центр вписаного кола, яке дотикається до сторін три-

                                 Рис. ^5.3                                кутника ABC у точках M, N і P. Площа

трикутника ABC дорівнює сумі площ

трикутників AOB, BOC і COA:

                                                               S S=   AOB + SBOC + SCOA.

Проведемо радіуси в точки дотику. Отримуємо: OM ^ AB, ON ^ BC, OP ^ CA. Звідси:

                                                            S_AOB = ¹OM AB.     = ¹r AB. ;

2

                                                            S_BOC = ¹ON BC.        =r BC.   ;

2

                                                             S_COA = ¹OP AC.        =r AC.    .

2

                     Отже, S = 1r AB.    + 1r BC.     + 1r AC r. = . AB BC AC+            +             = pr.◄

                                         2                 2                 2                                   2

Теорему 5.4 узагальнює така теорема.

Теорема 5.5. Площа описаного многокутника дорівнює добутку його півпериметра та радіуса вписаного кола.

r = S p

Доведіть цю теорему самостійно (рис. 5.4).

Зауважимо, що теорема 5.5 дає змогу знаходити радіус вписаного кола многокутника за формулою

Рис. 5.4

                Задача 1. Доведіть, що пло-                        _{B                                    C}

щу S паралелограма можна обчислити

за формулою

S = ab sin a,

де лелограма, a і b — довжини сусідніх сторін пара-α — кут між ними.         ^A             _{b              D}

Розв’язання. Розглянемо паралелограм ABCD, у якому AB = a, AD = b, ^{Рис. 5.5}

∠BAD = α (рис. 5.5). Проведемо діагональ BD. Оскільки DABD = DCBD, то запишемо:

S_ABCD = 2S_ABD = 2.absinα = absin .α ◄

 Задача 2. Доведіть, що площа опуклого чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей і синуса кута між ними.

Розв’язання. Нехай кут між діагона лями AC і BD чотирикутника ABCD дорівнює j. На рисунку 5.6 ∠AOB = j. Тоді ∠BOC = = ∠AOD = 180° – j і ∠COD = j. Маємо:

ASABCD = SAOB + SBOC + SCOD + SDOA = D

Рис. 5.6

◄

Задача 3. Сторони трикутника дорівнюють 17 см, 65 см і 80 см. Знайдіть найменшу висоту трикутника, радіуси його вписаного й описаного кіл.

Розв’язання. Нехай a = 17 см, b = 65 см, c = 80 см.

Знайдемо півпериметр трикутника: p =  = 81 (см).

Площу трикутника обчислимо за формулою Герона:

S = p p a p b p c( − )( − )( − ) = 81(81 17)(81 65)(81 80)− − − = = 81 64 16. . = 9 8 4. . = 288 (см²).

Найменшою висотою трикутника є висота, проведена до його найбільшої сторони, довжина якої дорівнює c.

1                                           2S         2 288.

                       Оскільки S = ch_c, то h_c =         =           = 7 2, (см).

2                                           c           80

Радіус вписаного кола r = ^S = ²⁸⁸ = ³² (см).

                                                                             p       81        9

                                                                                  abc 17 65 80.                 . 17 65 5.          .               5525

                       Радіус описаного кола R = 4S ⁼        4 288_.      ⁼    _{4 18.}          ⁼ ₇₂ (см).

Відповідь: 7,2 см,  см,  см. ◄

 ? 1. як можна знайти площу трикутника, якщо відомо дві його сторони та кут між ними?

2.    запишіть формулу Герона для обчислення площі трикутника.

3.    як можна обчислити площу трикутника зі сторонами a, b і c та радіусом R описаного кола?

4.    як можна знайти радіус описаного кола трикутника, якщо відомо площу трикутника та його сторони?

5.    як можна знайти площу трикутника, якщо відомо його півпериметр і радіус вписаного кола?

6.    як можна знайти радіус вписаного кола трикутника, якщо відомо площу трикутника та його сторони?

7.    Чому дорівнює площа описаного многокутника?

 ВпраВи

5.1.° Знайдіть площу трикутника ABC, якщо:

1) AB = 12 см, AC = 9 см, ∠A = 30°; 2) AC = 3 см, BC = 6 2 см, ∠C = 135°.

5.2.° Знайдіть площу трикутника DEF, якщо:

1) DE = 7 см, DF = 8 см, ∠D = 60°; 2) DE = 10 см, EF = 6 см, ∠E = 150°.

5.3.° Площа трикутника MKN дорівнює 75 см². Знайдіть сторону MK, якщо KN = 15 см, ∠K = 30°.

5.4.° Знайдіть кут між даними сторонами трикутника ABC, якщо: 1) AB = 12 см, BC = 10 см, площа трикутника дорівнює 30 3 см²; 2) AB = 14 см, AC = 8 см, площа трикутника дорівнює 56 см².

5.5.° Площа трикутника ABC дорівнює 18 см². Відомо, що AC = 8 см, BC = 9 см. Знайдіть кут C.

5.6.° Знайдіть площу рівнобедреного трикутника з бічною стороною 16 см і кутом 15° при основі.

5.7.° Знайдіть площу трикутника зі сторонами:

           1) 13 см, 14 см, 15 см;                           2) 2 см, 3 см, 4 см.

5.8.° Знайдіть площу трикутника зі сторонами:

           1) 9 см, 10 см, 17 см;                             2) 4 см, 5 см, 7 см.

5.9.° Знайдіть найменшу висоту трикутника зі сторонами 13 см, 20 см і 21 см.

5.10.° Знайдіть найбільшу висоту трикутника зі сторонами 11 см, 25 см і 30 см.

5.11.° Периметр трикутника дорівнює 32 см, а радіус вписаного кола — 1,5 см. Знайдіть площу трикутника.

5.12.° Площа трикутника дорівнює 84 см², а його периметр — 72 см. Знайдіть радіус вписаного кола трикутника.

5.13.° Знайдіть радіуси вписаного та описаного кіл трикутника зі сторонами:

          1) 5 см, 5 см і 6 см;                                 2) 25 см, 29 см і 36 см.

5.14.° Знайдіть радіуси вписаного та описаного кіл трикутника зі сторонами 6 см, 25 см і 29 см.

5.15.° Знайдіть площу паралелограма за його сторонами a і b та кутом α між ними, якщо: 1) a = 5 2 см, b = 9 см, α = 45°; 2) a = 10 см, b = 18 см, α = 150°.

5.16.° Чому дорівнює площа паралелограма, сторони якого дорівнюють 7 см і 12 см, а один із кутів — 120°?

5.17.° Знайдіть площу ромба зі стороною 9 3 см і кутом 60°.

5.18.° Діагоналі опуклого чотирикутника дорівнюють 8 см і 12 см, а кут між ними — 30°. Знайдіть площу чотирикутника.

5.19.° Знайдіть площу опуклого чотирикутника, діагоналі якого дорівнюють 3 3 см і 4 см, а кут між ними — 60°.

5.20.° Знайдіть бічну сторону рівнобедреного трикутника, площа якого дорівнює 36 см², а кут при вершині — 30°.

5.21.^• Який трикутник із двома даними сторонами має найбільшу площу?

5.22.^• Чи може площа трикутника зі сторонами 4 см і 6 см дорів-

нювати:

                   1) 6 см²;                            2) 14 см²;                             3) 12 см²?

5.23.^• Дві сусідні сторони паралелограма відповідно дорівнюють двом сусіднім сторонам прямокутника. Чому дорівнює гострий кут паралелограма, якщо його площа вдвічі менша від площі прямокутника?

5.24.^• Знайдіть відношення площ S₁ і S₂ трикутників, зображених на рисунку 5.7 (довжини відрізків дано в сантиметрах).

1

                             а                                              б                                                   в

Рис. 5.7

5.25.^• Відрізок AD — бісектриса трикутника ABC. Площа трикутника ABD дорівнює 12 см², а трикутника ACD — 20 см². Знайдіть відношення сторони AB до сторони AC.

5.26.^• Знайдіть площу трикутника, сторона якого дорівнює a, а прилеглі до неї кути дорівнюють b і g.

5.27.^• Радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює R, а два кути трикутника дорівнюють α і b. Знайдіть площу трикутника.

5.28.^• У трикутнику ABC відомо, що AC = b, ∠A = α, ∠B = b. Знайдіть площу трикутника.

5.29.^• У трикутнику ABC кут A дорівнює α, а висоти BD і CE дорівнюють відповідно h₁ і h₂. Знайдіть площу трикутника ABC.

5.30.^• Відрізок BM — висота трикутника ABC, BM = h, ∠A = α, ∠ABC = b. Знайдіть площу трикутника ABC.

5.31.^• У трикутник зі сторонами 17 см, 25 см і 28 см вписано коло, центр якого сполучено з вершинами трикутника. Знайдіть площі трикутників, які при цьому утворилися.

5.32.^•• Відрізок AD — бісектриса трикутника ABC, AB = 6 см, AC = 8 см, ∠BAC = 120°. Знайдіть бісектрису AD.

5.33.^•• Знайдіть площу трапеції, основи якої дорівнюють 10 см і 50 см, а бічні сторони — 13 см і 37 см.

5.34.^•• Основи трапеції дорівнюють 4 см і 5 см, а діагоналі — 7 см і 8 см. Знайдіть площу трапеції.

5.35.^•• Відрізки BM і CK — висоти гострокутного трикутника ABC, ∠A = 45°. Знайдіть відношення площ трикутників AMK і ABC.

5.36.^•• Сторони трикутника дорівнюють 39 см, 41 см і 50 см. Знайдіть радіус кола, центр якого належить більшій стороні трикутника та яке дотикається до двох інших сторін.

5. 37.^•• Вершини трикутника сполучено із центром вписаного в нього кола. Проведені відрізки розбивають даний трикутник на трикутники, площі яких дорівнюють 26 см², 28 см² і 30 см². Знайдіть сторони даного трикутника.

          ^••                                                  1       1       1      1

5.38. Доведіть, що               +     +               = , де h₁, h₂ і h₃ — довжини висот

                                             h1         h2         h3          r

трикутника, r — радіус вписаного кола.

 ВпраВи дЛя поВторення

5.39. Перпендикуляр, проведений із вершини прямокутника до його діагоналі, ділить його кут у відношенні 4 : 5. Визначте кут між цим перпендикуляром і другою діагоналлю.

5.40. Середня лінія MK трапеції ABCD (BC AD                    ) дорівнює 56 см.

Через середину M сторони AB проведено пряму, яка паралельна стороні CD і перетинає основу AD у точці E так, що AE : ED = = 5 : 8. Знайдіть основи трапеції.

5.41. Відрізок CD — бісектриса трикутника ABC. Через точку D проведено пряму, яка паралельна прямій AC і перетинає сторону BC у точці E. Знайдіть відрізок DE, якщо AC = 16 см, BC = 24 см.

 ГотУємоСя до ВиВчення ноВої теми

5.42. Знайдіть суму кутів опуклого семикутника.

5.43. Чи існує опуклий многокутник, сума кутів якого дорівнює: 1) 1080°;  2) 1200°?

5.44. Чи існує многокутник, кожний кут якого дорівнює:

        1) 72°;                     2) 171°?

5.45. Чи є правильним твердження (відповідь обґрунтуйте):

1)     якщо всі сторони многокутника, вписаного в коло, рівні, то й усі його кути теж рівні;

2)     якщо всі кути многокутника, вписаного в коло, рівні, то й усі його сторони теж рівні;

3)     якщо всі сторони многокутника, описаного навколо кола, рівні, то й усі його кути теж рівні;

4)     якщо всі кути многокутника, описаного навколо кола, рівні, то й усі його сторони теж рівні?

 СпоСтеріГайте, риСУйте, конСтрУюйте, фантазУйте

5.46. Дано квадрат розміром 99 × 99 клітинок. Кожну клітинку квадрата пофарбовано в чорний або в білий колір.  Дозволяється одночасно перефарбувати всі клітинки деякого стовпця або деякого рядка в той колір, клітинок якого в цьому стовпці або в цьому рядку до перефарбовування було найбільше. Чи завжди можна добитися того, щоб усі клітинки квадрата стали однакового кольору?     зоВніВпиСане коЛо трикУтника

Проведемо бісектриси двох зовнішніх кутів із вершинами A і C трикутника ABC (рис. 5.8). Нехай O — точка перетину цих бісектрис. Тоді точка O рівновіддалена від прямих AB, BC і AC.

Проведемо три перпендикуляри: OM ^ AB, OK ^ AC, ON ^ BC. Зрозуміло, що OM = OK = ON. Отже, існує коло із центром у точці O, яке дотикається до сторони трикутника та продовжень двох інших його сторін. Таке коло називають зовнівписаним колом трикутника ABC (рис. 5.8).

Оскільки OM = ON, то точка O належить бісектрисі кута ABC.

Будь-який трикутник має три зовнівписаних кола. На рисунку 5.9 їхні центри позначено O_A, O_B і O_C. Радіуси цих кіл позначимо відповідно r_a, r_b і r_c.

За властивістю дотичних, проведених до кола через одну точку, маємо: CK = CN, AK = AM (рис. 5.8). Тоді AC = CN + AM. Отже, периметр трикутника ABC дорівнює сумі BM + BN. Але BM = BN.

Тоді BM = BN = p, де p — півпериметр трикутника ABC.

зовнівписане коло трикутника

Маємо:

                S_ABC = S_OAB + S_OCB − S_OAC = ¹OM AB.          + ON BC.       −OK AC.     =

2

                 = 1r c a bb ( + − ) = rb .a b c+                             +          − 2b = rb .2p − 2b = r p bb ( − ).

                     2                                             2                           2

S

Звідси r_b = , де S — площа трикутника ABC. p b−

Аналогічно можна показати, що r_a = ^S , r_c = ^S .

                                                                                          p a−               p c−

 ВпраВи

1.     Доведіть, що 1 = 1 + 1 + ¹, де r — радіус вписаного кола три-

                                      r      ra         rb         rc

кутника ABC.

2.     Доведіть, що площу S прямокутного трикутника можна обчислити за формулою S = r_cær, де r_c — радіус зовнівписаного кола, яке дотикається до гіпотенузи трикутника, r — радіус вписаного кола даного трикутника.

3.     У рівносторонній трикутник зі стороною a вписано коло. До кола проведено дотичну так, що відрізок дотичної, який належить трикутнику, дорівнює b. Знайдіть площу трикутника, який ця дотична відтинає від рівностороннього трикутника.

4.     У чотирикутнику ABCD діагональ BD перпендикулярна до сторони AD, ∠ADC = 135°, ∠BAD = ∠BCD = 60°. Доведіть, що діагональ AC є бісектрисою кута BAD.

Вказівка. Доведіть, що точка C — центр зовнівписаного кола трикутника ABD.

5.     У трикутнику ABC кут B дорівнює 120°. Відрізки AN, CF і BK є бісектрисами трикутника ABC. Доведіть, що кут NKF дорівнює 90°.

Вказівка. На продовженні сторони AB за точку B позначимо точку M. Тоді ∠MBC = ∠KBC = 60°, тобто промінь BC — бісектриса зовнішнього кута MBK трикутника ABK. Звідси випливає, що точка N — центр зовнівписаного кола трикутника ABK. Аналогічно можна довести, що точка F — центр зовнівписаного кола трикутника BCK.

6.     Сторона квадрата ABCD дорівнює 1 см. На сторонах AB і BC позначили точки M і N відповідно так, що периметр трикутника MBN дорівнює 2 см. Знайдіть кут MDN.

Вказівка. Доведіть, що точка D — центр зовнівписаного кола трикутника MBN.

завдання № 1 «Перевірте себе» в тестовій формі

заВдання № 1 «переВірте Себе» В теСтоВій формі

1.     Яка з рівностей є правильною?

А) cos (180° – α) = sin α;

Б) cos (180° – α) = cos α; В) sin (180° – α) = cos α;

Г) sin (180° – α) = sin α.

2.     Яка з нерівностей є правильною?

А) sin 100° cos 110° > 0;

Б) sin 100° cos 10° < 0;

В) sin 100° cos 110° < 0;

Г) sin 100° cos 90° > 0.

3.     Знайдіть третю сторону трикутника, якщо дві його сторони дорівнюють 3 см і 8 см, а кут між ними дорівнює 120°.

           А) 97 см;              Б) 7 см;                    В) 9 см;                       Г) 32 см.

4.     Яким є кут, що лежить проти більшої сторони трикутника зі сторонами 4 см, 7 см і 9 см?

А) Гострим;

Б) тупим;

В) прямим;

Г) установити неможливо.

5.     Кут між двома сторонами трикутника, одна з яких на 10 см більша за другу, дорівнює 60°, а третя сторона дорівнює 14 см.

Яка довжина найбільшої сторони трикутника?

        А) 16 см;                Б) 14 см;                  В) 18 см;                   Г) 15 см.

6.     Діагоналі паралелограма дорівнюють 17 см і 19 см, а його сторони відносяться як 2 : 3. Чому дорівнює периметр паралелограма?

        А) 25 см;                Б) 30 см;                  В) 40 см;                   Г) 50 см.

7.     У трикутнику ABC відомо, що AB = 8 см, ∠C = 30°, ∠A = 45°. Знайдіть сторону BC.

           А) 8 2 см;               Б) 4 2 см;                 В) 16 2 см;               Г) 12 2 см.

8.     Чому дорівнює відношення AC : BC сторін трикутника ABC, якщо ∠A = 120°, ∠B = 30°?

        А) ;                      Б) 3;                         В) ;                      Г) .

9.     У трикутнику ABC відомо, що AB = 4 2 см, ∠C = 135°. Знайдіть діаметр кола, описаного навколо трикутника.

                   А) 4 см;                   Б) 8 см;                     В) 16 см;                  Г) 2 см.

10.  Якого найбільшого значення може набувати площа трикутника зі сторонами 8 см і 12 см?

А) 96 см²;

Б) 48 см²; В) 24 см²;

Г) установити неможливо.

11.  Знайдіть суму радіусів вписаного та описаного кіл трикутника зі сторонами 25 см, 33 см і 52 см.

                   А) 36 см;                Б) 30 см;                   В) 32,5 см;                Г) 38,5 см.

12.  Дві сторони трикутника дорівнюють 11 см і 23 см, а медіана, проведена до третьої сторони, — 10 см. Знайдіть невідому сторону трикутника.

                   А) 15 см;                Б) 30 см;                  В) 25 см;                       Г) 20 см.

Головне в параграфі 1

! ГоЛоВне В параГрафі 1

 

Косинус і синус

Косинусом і синусом кута α (0° m mα 180°), якому відповідає точка M одиничного півкола, називають відповідно абсцису й ординату точки M.

Тангенс

Тангенсом кута α, де 0° m mα 180° і α ≠ 90°, називають відно-

шення .

Теорема косинусів

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинуса кута між ними:

a² = b² + c² – 2bc cos α.

Наслідок з теореми косинусів

Нехай a, b і c — довжини сторін трикутника, причому a — довжина його найбільшої сторони. Якщо a² < b² + c², то трикутник є гострокутним. Якщо a² > b² + c², то трикутник є тупокутним. Якщо a² = b² + c², то трикутник є прямокутним.

Лема про хорду кола

Хорда кола дорівнює добутку діаметра та синуса будь-якого вписаного кута, який спирається на цю хорду.

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів: a               b              c

=        =          . sin α      sin β        sin γ

Формули для знаходження площі трикутника

S = absin γ

Формула Герона: S = p p a p b p c( − )( − )( − )

_S = abc

4R

S = pr

Формула для знаходження радіуса кола,  вписаного в трикутник r = S p

Формули для знаходження радіуса кола,  описаного навколо трикутника

                   R = a

2sin α

_R = abc

4S

Площа многокутника, описаного навколо кола

Площа многокутника, описаного навколо кола, дорівнює добутку його півпериметра та радіуса вписаного кола.

мноГпокраУВтникииЛьні §2

У цьому параграфі ви дізнаєтесь, які многокутники називають правильними. Вивчите властивості правильних многокутників. Дізнаєтеся, як за допомогою циркуля та лінійки будувати деякі з них.

навчитеся знаходити радіуси вписаного й описаного кіл правильного многокутника, довжину дуги кола, площі сектора та сегмента круга.

6. правильні многокутники та їхні властивості

Означення. Многокутник називають правильним, якщо в нього всі сторони рівні та всі кути рівні.

З деякими правильними многокутниками ви вже знайомі: рівносторонній трикутник — це правильний трикутник, квадрат — це правильний чотирикутник. На рисунку 6.1 зображено правильні п’ятикутник і восьмикутник.

Ознайомимося з деякими властиво- _{Рис. 6.1} стями, що притаманні всім правильним n-кутникам.

Теорема 6.1. Правильний многокутник є опуклим многокутником.

Із доведенням цієї теореми ви можете ознайомитися на с. 60–61.

180° (n − 2)

Кожний кут правильного n-кутника дорівнює     . Справn

ді, оскільки сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180° (n – 2)

180° (n − 2)

і всі кути рівні, то кожний із них дорівнює                          . n

У правильному трикутнику є точка, рівновіддалена від усіх його вершин і від усіх його сторін. Це точка перетину бісектрис правильного трикутника. Точці перетину діагоналей квадрата теж притаманна аналогічна властивість. Те, що в будь-якому  правильному многокутнику є точка, рівновіддалена як від усіх його вершин, так і від усіх його сторін, підтверджує така теорема.

Теорема 6.2. Будь-який правильний многокутник є як вписаним у коло, так і описаним навколо кола, причому центри описаного та вписаного кіл збігаються.

Доведення.  На рисунку 6.2 зображено правильний n-кутник A₁A₂A₃...A_n. Доведемо, що в нього можна вписати й навколо нього можна описати кола.

Проведемо бісектриси кутів A₁ і A₂. Нехай O — точка їхнього перетину. Сполучимо точки O і A₃. Оскільки в трикутниках OA₁A₂ і OA₂A₃ кути 2 і 3 рівні, A₁A₂ = A₂A₃ і OA₂ — спільна сторона, то ці трикутники рівні за першою ознакою рівності трикутників. Крім того, кути 1 і 2 рівні як половини рівних кутів. Звідси трикутник OA₁A₂ — рівнобедрений, отже, рівнобедреним є трикутник OA₂A₃. Тому OA₁ = OA₂ = OA₃.

Сполучаючи точку O з вершинами A₄, A₅, ..., A_{n – 1}, A_n, аналогічно можна показати, що OA₃ = OA₄ = ... = OA_{n – 1} = OA_n.

Таким чином, для многокутника A₁A₂A₃...A_n існує точка, рівновіддалена від усіх його вершин. Це точка O — центр описаного кола.

Оскільки рівнобедрені трикутники OA₁A₂, OA₂A₃, OA₃A₄, ..., OA_{n – 1}A_n, OA_nA₁ рівні, то рівні і їхні висоти, проведені з вершини O. Звідси робимо висновок: точка O рівновіддалена від усіх сторін многокутника. Отже, точка O — центр вписаного кола. ◄

Точку, яка є центром описаного та вписаного кіл правильного многокутника, називають центром правильного многокутника.

На рисунку 6.3 зображено фрагмент правильного n-кутника із центром O та стороною AB, довжину якої позначимо a_n. Кут AOB

                                          Рис. 6.2                                                           Рис. 6.3

називають центральним кутом правильного многокутника. Зрозу-

міло, що ∠AOB = ^360°. n

У рівнобедреному трикутнику AOB проведемо висоту OM. Тоді

∠AOM = ∠BOM = ^180°, AM MB= = ^an . Із трикутника OMB отриn     2 муємо, що OB =           ^MB          =          ^an                   і OM =          ^MB          =          ^an                   .

sin ∠BOM                      2sin 180°      tg ∠BOM 2tg 180° n               n

Відрізки OB і OM — радіуси відповідно описаного та вписаного кіл правильного n-кутника. Якщо їхні довжини позначити R_n і r_n відповідно, то отримані результати можна записати у вигляді формул:

Підставивши у ці формули замість n числа 3, 4, 6, отримаємо формули для знаходження радіусів описаного та вписаного кіл для правильних трикутника, чотирикутника й шестикутника зі стороною a:

Кількість сторін правильного n-кутника	n = 3	n = 4	n = 6
Радіус описаного кола	R3 = a 3 3	R4 = a 2 2	R6 = a
Радіус вписаного кола	r3 = a 3 6	r4 = a 2	r6 = a 3 2

З отриманих результатів випливає, що сторона правильного шестикутника дорівнює радіусу його описаного кола. Тепер можна записати алгоритм побудови правильного шести- ^M кутника: від довільної точки M кола потрібно послідовно відкладати хорди, які дорівнюють радіусу (рис. 6.4). Таким чином отримуємо

вершини правильного шестикутника.                                                Рис. 6.4

                                                                                       A

                                         Рис. 6.5                                                           Рис. 6.6

Сполучивши через одну вершини правильного шестикутника, отримаємо правильний трикутник (рис. 6.5).

Для побудови правильного чотирикутника достатньо в колі провести два перпендикулярних діаметри AC і BD (рис. 6.6). Тоді чотирикутник ABCD — квадрат (доведіть це самостійно).

Якщо побудовано правильний n-кутник, то легко побудувати правильний 2n-кутник. Для цього потрібно знайти середини всіх сторін n-кутника та провести радіуси описаного кола через отримані точки. Тоді кінці радіусів і вершини даного n-кутника будуть вершинами правильного 2n-кутника. На рисунках 6.7 і 6.8 показано побудову правильних 8-кутника та 12-кутника.

                                         Рис. 6.7                                                           Рис. 6.8

Задача 1. Чи існує правильний многокутник, кут якого дорівнює: 1) 155°; 2) 177°? У разі ствердної відповіді вкажіть вид многокутника.

1)     Нехай n — кількість сторін шуканого правильного многокутника. З одного боку, сума його кутів дорівнює 180° (n – 2). З другого боку, ця сума дорівнює 155°n. Отже, 180° (n – 2) = 155°n;

25°n = 360°; n = 14,4. Оскільки n має бути натуральним числом, то такого правильного многокутника не існує.

2)     Маємо: 180° (n – 2) = 177°n; 180°n – 360° = 177°n; n = 120.

Відповідь: 1) не існує; 2) існує, це — стодвадцятикутник. ◄

Задача 2. У коло вписано правильний трикутник зі стороною 18 см. Знайдіть сторону правильного шестикутника, описаного навколо цього кола.

Розв’язання. Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, обчислюють за формулою R₃ = ^{a 3}, де a — довжина

сторони трикутника (рис. 6.9). Отже, R₃ =

За умовою радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, дорівнює радіусу кола, описаного навколо правильного трикутника,

тобто r₆ = R₃ = 6 3 см. Оскільки r₆ = ^{b 3}, де

2

b — довжина сторони правильного шестикутника, то b = = = 12 (см).

            Відповідь: 12 см. _◄                                                                     ^{Рис. 6.9}

 ? 1. який многокутник називають правильним?

2.       яку іншу назву має правильний трикутник?

3.       яку іншу назву має правильний чотирикутник?

4.       навколо якого правильного многокутника можна описати коло?

5.       У який правильний многокутник можна вписати коло?

6.       як розташовані один відносно одного центри вписаного та описаного кіл правильного многокутника?

7.       Що називають центром правильного многокутника?

8.       запишіть формули радіусів вписаного та описаного кіл правильного n-кутника, трикутника, чотирикутника, шестикутника.

9.       опишіть побудову правильного шестикутника.

10.    опишіть побудову правильного чотирикутника.

11.    як, маючи побудований правильний n-кутник, можна побудувати правильний 2n-кутник?

 практичні заВдання

6.1.° Накресліть коло, радіус якого дорівнює 3 см. Побудуйте вписаний у це коло:

1) правильний шестикутник; 2) правильний трикутник;

3) правильний дванадцятикутник.

6.2.° Накресліть коло, радіус якого дорівнює 2,5 см. Побудуйте вписаний у це коло: 1) правильний чотирикутник; 2) правильний восьмикутник.

 ВпраВи

6.3.° Знайдіть кути правильного n-кутника, якщо: 1) n = 6;                 2) n = 9;                3) n = 15.

6.4.° Знайдіть кути правильного:

                     1) восьмикутника;                                  2) десятикутника.

6.5.° Скільки сторін має правильний многокутник, кут якого дорівнює:

                   1) 160°;                   2) 171°?

6.6.° Скільки сторін має правильний многокутник, кут якого дорівнює:

                   1) 108°;                   2) 175°?

6.7.° Чи існує правильний многокутник, кут якого дорівнює: 1) 140°;             2) 130°?

6.8.° Скільки сторін має правильний многокутник, якщо кут, суміжний із кутом многокутника, становить  кута многокутника?

6.9.° Визначте кількість сторін правильного многокутника, якщо його кут на 168° більший за суміжний із ним кут.

6.10.° Скільки сторін має правильний многокутник, вписаний у коло, якщо градусна міра дуги описаного кола, яку стягує сторона многокутника, дорівнює: 1) 90°;  2) 24°?

6.11.° Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, центральний кут якого дорівнює:

                   1) 120°;                   2) 72°.

6.12.° Нехай a — довжина сторони правильного трикутника, R і r — відповідно радіуси його описаного та вписаного кіл. Заповніть таблицю (довжини відрізків дано в сантиметрах):

a	R	r
6 3
	4 3
		2

6.13.° Нехай a — довжина сторони квадрата, R і r — відповідно радіуси його описаного та вписаного кіл. Заповніть таблицю (довжини відрізків дано в сантиметрах):

a	R	r
8
	4
		2

6.14.° Висота правильного трикутника дорівнює 15 см. Чому дорівнює радіус:

         1) описаного кола;                                 2) вписаного кола?

6.15.° Діагональ квадрата дорівнює 6 2 см. Чому дорівнює радіус:  1) описаного кола;  2) вписаного кола?

6.16.° Радіус кола дорівнює 12 см. Знайдіть сторону вписаного в це коло правильного:

          1) шестикутника;                                    2) дванадцятикутника.

6.17.° Радіус кола дорівнює 8 3 см. Знайдіть сторону описаного навколо цього кола правильного шестикутника.

 6.18.° Доведіть, що радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, удвічі більший за радіус кола, яке вписане в цей трикутник.

6.19.° Радіус кола, описаного навколо правильного трикутника, на 4 см більший за радіус вписаного кола. Знайдіть радіуси вписаного й описаного кіл та сторону трикутника.

6.20.° Сторона правильного многокутника дорівнює a, радіус описаного кола дорівнює R. Знайдіть радіус вписаного кола.

6.21.° Радіуси вписаного й описаного кіл правильного многокутника дорівнюють відповідно r і R. Знайдіть сторону многокутника.

6.22.° Сторона правильного многокутника дорівнює a, радіус вписаного кола дорівнює r. Знайдіть радіус описаного кола.

6.23.° Навколо кола описано правильний шестикутник зі стороною 4 3 см. Знайдіть сторону квадрата, вписаного в це коло.

6.24.° У коло вписано квадрат зі стороною 6 2 см. Знайдіть сторону правильного трикутника, описаного навколо цього кола.

6.25.° Діаметр круга дорівнює 16 см. Чи можна з нього вирізати квадрат зі стороною 12 см?

6.26.° Яким має бути найменший діаметр круглої колоди, щоб із неї можна було виготовити брус, поперечним перерізом якого є правильний трикутник зі стороною 15 см?

6.27.° Яким має бути найменший діаметр круглої колоди, щоб із неї можна було виготовити брус, поперечним перерізом якого є квадрат зі стороною 14 см?

6.28.^• Скільки сторін має правильний многокутник, кут якого на 36° більший за його центральний кут?

6.29.^• Кут між радіусами вписаного кола правильного многокутника, проведеними в точки дотику цього кола до сусідніх сторін многокутника, дорівнює 20°. Знайдіть кількість сторін многокутника.

6.30.^• Доведіть, що всі діагоналі правильного п’ятикутника рівні.

6.31.^• Доведіть, що кожна діагональ правильного п’ятикутника паралельна одній із його сторін.

6.32.^• Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, є стороною правильного трикутника, вписаного в одне коло, і стороною квадрата, вписаного в друге коло. Довжина цієї хорди дорівнює a.

Знайдіть відстань між центрами кіл, якщо вони лежать: 1) по різні боки від хорди;             2) по один бік від хорди.

6.33.^• Спільна хорда двох кіл, що перетинаються, є стороною правильного трикутника, вписаного в одне коло, і стороною правильного шестикутника, вписаного в друге коло. Довжина цієї хорди дорівнює a. Знайдіть відстань між центрами кіл, якщо вони лежать:

                      1) по різні боки від хорди;                          2) по один бік від хорди.

6.34.^• У коло вписано правильний трикутник і навколо нього описано правильний трикутник. Знайдіть відношення сторін цих трикутників.

6.35.^• У коло вписано правильний шестикутник і навколо нього описано правильний шестикутник. Знайдіть відношення сторін цих шестикутників.

6.36.^• Доведіть, що сторона правильного восьмикутника дорівнює

R 2 − 2, де R — радіус його описаного кола.

6.37.^• Доведіть, що сторона правильного дванадцятикутника дорівнює R 2 − 3, де R — радіус його описаного кола.

6.38.^• Який розмір отвору ключа для шестигранної гайки, основи якої мають форму правильного шестикутника (рис. 6.10), якщо ширина грані гайки дорівнює 25 мм, а зазор між гранями гайки й ключа — 0,5 мм?

Рис. 6.10

6.39.^• Знайдіть площу правильного восьмикутника, якщо радіус описаного навколо нього кола дорівнює R.

6.40.^• Знайдіть діагоналі та площу правильного шестикутника, сторона якого дорівнює a.

6.41.^•• Кути квадрата зі стороною 6 см зрізали так, що отримали правильний восьмикутник. Знайдіть сторону утвореного восьмикутника.

6.42.^•• Кути правильного трикутника зі стороною 24 см зрізали так, що отримали правильний шестикутник. Знайдіть сторону утвореного шестикутника.

6.43.^•• Знайдіть діагоналі правильного восьмикутника, сторона якого дорівнює a.

6.44.^•• У правильному дванадцятикутнику, сторона якого дорівнює a, послідовно сполучили середини шести сторін, узятих через одну. Знайдіть сторону правильного шестикутника, який утворився при цьому.

6.45.^•• У правильному восьмикутнику, сторона якого дорівнює a, послідовно сполучили середини чотирьох сторін, узятих через одну. Знайдіть сторону квадрата, який утворився при цьому.

6.46.^* Форму яких рівних правильних многокутників можуть мати дощечки паркету, щоб ними можна було вистелити підлогу?

6.47.^* Дано правильний шестикутник, сторона якого дорівнює 1 см.

Користуючись тільки лінійкою, побудуйте відрізок завдовжки 7 см.

ВпраВи дЛя поВторення

6.48. Коло поділено на 5 рівних дуг: ∪AB = ∪BC = ∪CD = ∪DE = ∪AE. Знайдіть:

1) ∠BAC;    2) ∠BAD;    3) ∠BAE;    4) ∠CAD;    5) ∠DAE.

6.49. На одній стороні кута з вершиною в точці A позначили точки B і C (точка B лежить між точками A і C), а на другій — точки

D і E (точка D лежить між точками A і E), причому AB = 28 см, BC = 8 см, AD = 24 см, AE = 42 см, BE = 21 см. Знайдіть відрізок CD.

6.50. Основа рівнобедреного тупокутного трикутника дорівнює 24 см, а радіус кола, описаного навколо нього, — 13 см. Знайдіть площу трикутника.

6.51. Через точку A до кола проведено дві дотичні. Відстань від точки A до точки дотику дорівнює 12 см, а відстань між точками дотику — 14,4 см. Знайдіть радіус кола.

                         про побУдоВУ праВиЛьних n-кУтникіВ               

Доведемо, що будь-який правильний n-кутник є опуклим многокутником. Для цього достатньо показати, що в будь-якому многокутнику є хоча б один кут, менший від 180°. Тоді з того, що в правильному n-кутнику всі кути рівні, випливатиме, що всі вони менші від 180°, тобто многокутник буде опуклим.

Розглянемо довільний многокутник і пряму a, яка не має з ним спільних точок (рис. 6.11). Із кожної вершини многокутника опустимо перпендикуляр на Рис. 6.11 пряму a.