Природа
Фрактальна геометрія використовується при моделюванні природних явищ, при аналізі коливання курсу валют (економіка). Фрактали застосовуються у фізиці твердого тіла, електроніці. Фрактальні алгоритми лежать в основі росту кристалів, коралів, рослин, використовують для генерування поверхні місцевості, штучних хмар, гір, поверхні моря тощо.
Структури, що схожі на фрактали, можна знайти в навколишньому середовищі: контури хмар і морських берегів, турбулентні потоки в рідинах, тріщини в породах, зображення структур деяких речовин, отримані під мікроскопом тощо. Звичайна сніжинка (багатократно збільшена) є фрактальним об’єктом. Фрактали описують природні форми більш витончено і точніше, ніж об’єкти евклідової геометрії.
У живій природі: корали, морські зірки і їжаки, морські раковини, квіти і рослини (броколі, капуста), плоди (ананас), крони дерев і листя рослин, кровоносна система і бронхи людей і тварин.
У неживій природі: межі географічних об'єктів (країн, областей, міст), берегові лінії, гірські хребти, сніжинки, хмари, блискавки, утворені на склі візерунки, кристали, сталактити, сталагміти, геліктити.
.
.
Мистецтво
Фрактальні структури були відомі людині ще з давніх часів, але описувалися вони за допомогою мистецтва Мандельброт.
Фрактали дуже давно і щільно полонили живопис, починаючи з цивілізацій ацтеків, інків і майя. Пейзажні традиції давнього і середньовічного Китаю – це найбільш ранні та яскраво виражені зірці фрактального живопису.
Нідерландьский художник Мауріц Корнелис Ешер застосовував при створенні робіт методи, які були засновані на математичних принципах.
«Метелики» «Усе менше та менше»
Ешер також є автором так званих «неможливих фігур», які створювали оптичні ілюзії, вводили в оману глядачів.
«Сфера спіралей»
Сьогодні створення фракталів не є складним. Існує багато комп’ютерних програм, які дозволяють синтезувати їх дуже багато. Але існують ще автори, що працюють як в давнину і використовують відчутні засоби, а не цифрові. Один з них – доктор нейробіології Пенсильванського університету Грег Данс.
Вчений застосовує звичайні матеріали і техніку: алюмінієві пластини, золото, емаль, слюду, чорнила і т.п. Він зізнається: «Я захоплююсь японськими, китайськими і корейськими митцями живопису, їх самодостатністю і простотою. Я намагаюсь наслідувати їх приклад».
Елементи фрактального живопису у своїй творчості використовували:
Вінсент Ван Гог
«Дорога з кіпарісами» «Зоряна ніч»
Піт Мондріан Чюрльоніс
«Церква Святого Якоба» «Весна»
«Гора»
Сальвадор Далі Василь Кандінський
«Галатея сфер» «Кола у колі» «Декілька кругів»
Микола Реріх
«Христос в пустелі» «Паління темряви»
Павло Філонов
«Формула всесвіту»
Традиційний український художній стиль – Петриківський розпис, цікавий, автентичний, неповторний. У ньому безліч мальовничих квітів та дивних птахів, що манять своєю красою та барвистими візерунками.
Точковий розпис (Point-to-point) — це техніка декорування предметів інтер'єру шляхом нанесення на них точок. Візерунок або наносять по заздалегідь обраним шаблоном, або зображують самостійно з окремих ліній і фігур, листочків або ромбів, імпровізуючи в процесі роботи. Точковим розписом можна прикрашати будь-яку поверхню: скло, дерево, шкіру, метал, пластик.
Завдання: за допомогою точкового розпису створити візерунок для розмальовки ялинкових прикрас.
Фізика
Фрактали знаходять все більше застосування у сучасній науці. Вони описують реальний світ навіть краще, ніж традиційна фізика або математика.
У фізиці фрактали природним чином виникають при моделюванні нелінійних процесів, таких як турбулентна течія рідини, складні процеси дифузії-адсорбції, полум’я, хмари тощо. Фрактали використовуються при моделюванні пористих матеріалів, наприклад, в нафтохімії, для опису кривизни поверхні. Нерівна поверхня характеризується комбінацією з двох різних фракталів.
Радіотехника. Використання фрактальної геометрії при проектуванні антенних пристроїв було вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який мешкав у центрі Бостона, де було заборонено встановлювати зовнішні антени на будівлях. Натан вирізав з алюмініевої фольги фігуру у формі кривої Коха і наклеїв її на аркуш паперу, потім приєднав до приймача. Коен став засновником власної компанії і налагодив серійний випуск антен.
Механіка рідин. Як зявляються морозні візерунки на вікнах? Чому нас зачаровують ці зимові картини?
Взимку повітря біля вікон сильно охолоджується і частина водяної пари з нього попадає на холодне скло у вигляді кристаликів льоду. Потім ці кристали починають розростатися і малюють на склі дивовижні візерунки.
Вивчення турбулентності у потоках дуже добре підстроюється під фрактали. Турбулентні потоки хаотичні, тому їх досить важко моделювати. І тоді допомогає перехід до фрактальних уявлень, що досить сильно полегшує роботу інженерам і фізикам, дозволяє їм краще зрозуміти динаміку складних потоків. Наприклад, атмосфера Юпітера – це одне з самих захоплюючих видовищ у Сонячній системі.
Між крижаним холодом космічного простору і тисячоградусною спекою в глибинах атмосферного океану гігантської планети зароджуються циклопічні хмарні віхорі самих неймовірних форм.
Будова атома. Як відомо, атом – найменша хімічно неподільна частинка речовини. Фізична модель атома розкриває подробиці його будови. Атом складається з щільного ядра з позитивно заряджених протонів та електрично нейтральних нейтронів. Ядро оточене набагато більшою за розміром оболонкою з негативно заряджених електронів.
Раніше вважали, що протони – елементарні частинки, які не мають внутрішньої структури. Однак сучасні дослідження показують, що протон є дуже складною системою. При дослідженні була виявлена деревоподібна фрактальна структура, яка в динаміці відтворювала яруси само подібних блоків все більших розмірів, що повторювалися. Для протона знайдено фрактал нового типу. Є підстави вважати, що фрактал протона лежить в основі природних структур, що відкриває шлях до розкриття генетичного коду будови речовини у Всесвіті.
Фрактал протону.
Інформатика
Фрактали широко використовуються у комп’ютерній графіці для побудови зображень природних об’єктів. Для цього створені так звані генератори фракталів – спеціальні комп’ютерні програми, які дозволяють обрати алгоритм генерації фрактальних зображень, збільшити той чи інший фрагмент зображення, поміняти кольорову гаму, редагувати деякі топологічні параметри і зберігати отримане зображення в одному з популярних графічних форматів, таких як JPEG, TIFF, PNG.
Теорія фракталів використовується у різних сферах людської діяльності. Крім фрактального живопису, фрактали використовують в теорії інформації для стискання графічних даних, оскільки для збереження невеликого фрагмента малюнка і перетворень, за допомогою яких можна одержати інші частини, потрібно набагато менше памп’яті, ніж для збереження усього файлу. У радіоелектроніці почали виготовляти антени, які мають фрактальну форму. Вони займають мало місця, але забезпечують досить якісний прийом сигналу. Економісти використовують фрактали, щоб описувати криві коливання курсів валют.
Програми фрактальної графіки автоматично генерують зображення (візерунки) шляхом математичних розрахунків. Для генерації фрактальних зображень використовуються програмні засоби (Art Dabbler, Ultra Fractal, Fractal Explorer, ChaosPro, Apophysis, Mystica).
Apophysis − програма для генерації фракталів на основі базових фрактальних формул. Створені за готовими формулами фрактали можна редагувати і змінювати, регулюючи різноманітні параметри.
Earth Watch призначений для моделювання та демонстрації тривимірного зображення метеоумов над Землею, будувати топологічні поверхні на основі космічних знімків.
Завдання: Використовуючи програми та он-лайн сервіси в мережі Інтернет спробувати створити фрактал (фрактальне зображення).
Підведення підсумків кейс-уроку
№ |
Назва |
Зміст |
1 |
Результати уроку можна доповнити такими знахідками |
|
2 |
Які три сайти допомогли знайти важливу інформацію |
https://uk.wikipedia.org/ https://www.youtube.com/ http://edufuture.biz/
|
3 |
На допомогу учню і коучу |
http://edufuture.biz/ https://uk.wikipedia.org/ https://www.youtube.com/
|
4 |
Де знаходити інформацію для кейсу |
https://uk.wikipedia.org/ https://www.youtube.com/watch?v=aUoA5vUA6bohttp://www.berlogos.ru/article/fraktaly-v-arhitekture/http://symphonya.info/publ/prosnis_i_poj/ehto_interesno/fraktalnaja_arkhitektura/133-1-0-1896https://www.youtube.com/watch?time_continue=33&v=Plere3Crj5Q
|
5 |
Локація проведення кейс - уроку |
Кейс- урок проходить у класі, бібліотеці |
6 |
Змагання |
Команди хлопчиків і дівчат. Завдання:
|
7 |
Домашнє завдання |
|
8 |
Тривалість |
90 хвилин (спарений урок) |
9 |
Можливість схеми заняття з учнем-дублером |
Можливо |
10 |
Отримані знання і напрацьовані компетенції |
Уміння швидко знайти необхідну інформацію і креативно користуватися нею в практичних цілях. Знання про фрактали в області математики, фізики, мистецтва, архітектури, природи. Уміння конструювати «нові знання» на основі отриманих знань та їх сегментів. |
11 |
Теги |
Фрак тали, стохастичні фрак тали, фрактальна графіка, фрактальна структури, трикутник Серпинського, множина Мандельброта, комп’ютерна графіка, фрактальні антени |
12 |
Автори |
Постнікова Тетяна Володимирівна, вчитель математики Марганецької спеціалізованої природничо-математичної школи І-ІІІ ступенів № 11 вищої кваліфікаційної категорії, «Вчитель-методист» |
13 |
Брали участь у апгрейді кейсу |
Учні 8-х, 10-х класів Марганецької ПМШ №11 |