Коло і круг; дотична до кола та її властивості

Тема. Коло і круг; дотична до кола та її властивості

Мета: повторити зміст відомих учням понять «коло», «круг» та їх елементів і засвоїти означення та властивості дотичної до кола; сформувати вміння учнів відтворювати форму­лювання вивчених на уроці означень та властивостей, знаходити на рисунку вивчені елементи кола та круга і виконувати рисунок за описом ситуації, що міститься в задачі, а також розв'язувати нескладні задачі на засто­сування вивчених властивостей.

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.

Обладнання: набір демонстраційного креслярського приладдя, таб­лиця № 18 «Коло та його елементи».

Хід уроку

І. Організаційний етап

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Оскільки на попередньому уроці було задано проаналізувати контрольну роботу за розданими правильними розв'язаннями задач, то на цьому етапі будемо розбирати найскладніші мо­менти контрольної роботи.

III. Формулювання мети і завдання уроку, мотивація навчальної діяльності учнів 

Для успішної мотивації діяльності учнів можна зверну­тися до досвіду, набутого учнями в попередніх класах та в повсякденному житті, а саме — запропонувати до їх уваги низку життєвих ситуацій, що сприятимуть узагальненню їх­ніх уявлень про поняття «відстань» і про те, що геометрія є узагальненим і абстрактним відображенням реальних об'єктів мозком людини.

Наприклад, можна розглянути таку «ситуацію».

Мати дозволяє своєму сину — учневі сьомого класу — під час самостійних прогулянок віддалятися від дому не більше, ніж на 100 метрів. Яким буде можливий маршрут прогулянок цього учня, якщо:

а) його будинок стоїть останнім на прямолінійній вулиці;

б) його будинок стоїть посередині прямолінійної вулиці довжиною 2 км;

в) його будинок стоїть посеред поля?

Дуже важливо, щоб під час обговорення учні усвідомили необхідність «перекладу» умови ситуації на математичну мову і мовою геометрії цей переклад має бути таким.

Дано точку О. Скільки відрізків довжиною 100 метрів можна відкласти від точки О:

а) на промені ОА;

б) на прямій ОА;

в) на площині, у якій лежить ця точка О?

Спрямувавши увагу учнів на останній випадок, учителю залишається тільки поставити єдине запитання про вид лінії, яка представлятиме границю «дозволеної для прогулянок те­риторії», і акцентувати увагу учнів на тому факті, що ця лінія не є прямою або її частиною і взагалі суттєво відрізняється від прямої та її частин і від інших вивчених раніше фігур, тому потребує більш детального вивчення. Отже, цілком логічною буде висунута вчителем мета уроку: вивчення означення та деяких властивостей цієї фігури.

IV. Актуалізація опорних знань учнів

Методичний коментар

Поняття кола і круга та їх елементи (центр, радіус, хорда, діаметр) уже знайомі учням з шостого класу. Тому перед тим як сформулювати означення кола, круга та їх елементів, можна запропонувати учням назвати центр, радіус, хорду і діаметр кола (рис. 121).

Рис. 121

V. Засвоєння нових знань

План вивчення матеріалу

1. Означення кола, властивість точок кола, ознака точок, що належать колу.
2. Елементи кола. Співвідношення між відрізками в колі.
3. Круг; елементи круга.
4. Взаємне розміщення прямої та кола на площині; поняття січної кола, дотичної до кола.
5. Властивість дотичної до кола та її застосування. Влас­тивість відрізків двох дотичних, проведених з однієї точки поза колом.

Методичний   коментар

Оскільки поняття кола, круга та їх елементів не є новими для учнів, при вивченні питань № 1—3 (див. план вивчення матеріалу) задача вчителя в основному полягає в тому, щоб на­гадати учням зміст і сформулювати достатньо строгі означення цих понять (особливої уваги потребує властивість точок кола та властивість точок круга, що випливають з означень цих фігур). Обов'язково зафіксувати існуючі співвідношення між відрізками кола: D = 2R; хорда, що не проходить через центр кола, менша від діаметра.

Але більшої уваги потребує вивчення поняття дотичної до кола, бо воно є новим для учнів.,У новому підручнику, як і в більшості інших підручників, дотична розглядається як один із трьох випадків взаємного розміщення прямої та кола на площині (до того ж випадки відповідно ілюструються, а не­можливість інших випадків усвідомлюється на інтуїтивному рівні).

На відміну від підручника під ред. О.В.Погорєлова, новий підручник містить означення і властивість дотичної до кола, відокремлені одне від одного; однак властивість позначена як «важливе твердження або аксіома» (хоча певне обґрунтування подається в підручнику із використанням ознаки і властивості точок кола).

Особливої уваги потребує питання про застосування власти­вості дотичної до кола на практиці. У цьому питанні слід ви­різнити три моменти: побудова дотичної до кола (що проходить через дану точку кола), розв'язання задач на обчислення кутів та доведення властивості відрізків двох дотичних, проведених з однієї точки до даного кола.

Квінтесенцією навчального матеріалу, розглянутого на уро­ці, є таблиця №18 «Коло та його елементи».

Таблиця №18

Коло та його елементи

VI. Первинне усвідомлення матеріалу   

Усні   вправи

1. Радіус кола дорівнює 7 см. Чому дорівнює діаметр?
2. Діаметр кола дорівнює 25 см. Чому дорівнює радіус?
3. Діаметр кола на 2,4 см більший за радіус. Чому дорів­нює радіус цього кола?
4. Чому дорівнюють кути OBD і ODB, якщо  BOD = 80° (див. рис. 121)?
5. DC — дотична до кола. Кут ВАС дорівнює  20°. Обчис­літь кути трикутника ОАВ (рис. 122).

Рис. 122

VII. Вироблення вмінь

Письмові   вправи

1. Накресліть коло з центром в точці О і радіусом 3 см.

а) Проведіть у даному колі радіус, діаметр і хорду, що не є діаметром. Якому з цих відрізків не належить центр кола?

б) Вирізніть на рисунку іншим кольором відрізок за­ вдовжки 6 см.

в) Позначте всередині кола точку, яка не збігається з точкою О. Скільки радіусів, діаметрів, хорд можна провести через позначену точку?

2. Відрізки АВ і КС — діаметри кола з центром у точці О.

а) Доведіть рівність трикутників АОК і СОВ.

б) Знайдіть периметр трикутника СОВ, якщо АС = 14 см, АВ = 8  см.

3. З однієї точки кола проведено діаметр і хорду, яка дорівнює радіусу кола. Знайдіть кут між ними.
4. Через точку кола проведено дотичну і хорду, яка дорів­нює радіусу кола. Знайдіть кут між ними.
5. Задачу № 1, с. 137, рис. 210 розібрати за підручником.
6. Задача на застосування доведеного опорного факту: кут ВОС дорівнює 150° (рис.  123). Знайдіть кут ВАС.
7. № 516.

Рис. 123

VIII. Підсумки уроку    

Завдання   до   класу

1. Закінчити речення:

Усі точки площини, рівновіддалені від даної точки, утво­рюють...

Точка, рівновіддалена від усіх точок кола, — це...

Відстань від будь-якої точки кола до його центра нази­вається...

Відстань між двома точками кола називається...

Найбільша відстань між двома точками кола — це...

2. Знайдіть помилку в зображенні дотичної АВ до даного кола (рис. 124).

Рис. 124

IX. Домашнє завдання

1. § 17, с. 134, 135 — знайти відповіді на запитання № 1—4, с. 137.
2. Розв'язати вправи № 502, 504, 507, 515.
3. У колі з центром О проведено хорду АВ, причому кут АОВ дорівнює 120°. Знайдіть кут між цією хордою і дотичною, проведеною до кола в точці В.
4. На повторення: № 3 (а), с. 128.