Конспект уроку "Квадратне рівняння та рівняння, які зводяться до квадратних, як математичні моделі текстових та прикладних задач"

Тема уроку: Квадратне рівняння та рівняння, які зводяться до квадратних, як математичні моделі текстових та прикладних задач

Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок учнів

Очікуванні результати: учні мають усвідомити, що квадратні рівняння та рівняння, які зводяться до квадратних, можуть слугувати математичними моделями реальних життєвих ситуацій; уміти складати квадратне рівняння або рівняння, яке зводиться до квадратного, за умовою текстової задачі; робити вправи, що передбачають складання та розв’язування квадратних рівнянь і рівнянь, що зводяться до них, як математична модель текстових і прикладних задач; створювати математичні моделі задач у вигляді квадратних рівнянь і рівнянь, які зводяться до квадратних; розв’язувати сюжетні задачі з реальними даними щодо руху суходолом і водоймами, продуктивності праці, вартості товару, сумісної роботи, сумішей і сплавів тощо.

Обладнання:  підручник 8 клас алгеба,Істер, дошка, крейда.

План заняття

1. Організаційний етап
2. Перевірка домашнього завдання
3. Мотивація навчальної діяльності
4. Актуалізація опорних знань
5. Удосконалення знань (план вивчення нового матеріалу)
6. Удосконалення вмінь (робота з підручником, розвязування ком)
7. Підбиття підсумків уроку
8. Домашнє завдання

Сценарій заняття

1. Організаційний етап

Перевірити підготовленість учнів до уроку

2. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконання домашньої роботи. Правильність виконання з коментарями звірити з зразком на дошці

3. Мотивація навчальної діяльності

Квадратне рівняння може слугувати математичною моделлю для текстових і прикладних задач, оскільки воно дозволяє описувати різноманітні реальні ситуації.

Наприклад, у задачі про рух катера, який пропливає різні відстані за однаковий час, можна використовувати квадратні рівняння для визначення швидкості або часу. Важливо розуміти, що квадратні рівняння можуть бути застосовані для моделювання реальних ситуацій, що допомагає нам розвивати навички розв'язування задач.

Можемо розглянути ситуацію:

Водій Олег з селище Пісківка до м. Київ вирушив в дорогу на автомобілі “Део Ланос” й повернувся назад тим самим шляхом. Відстань між містами 80 км. На зворотньому шляху він збільшив швидкість на 20 км/год порівняно з початковою швидкістю та витратив на подорож на 12 хвилин менше, ніж на шлях із Пісківки до Києва. З якою початковою швидкість їхав Олег? Зясуйте, чи не порушив він правила дорожнього руху. Згадаємо, до яких наслідків може призвести перевищення швидкості.

Після обговорення даної ситуації учні можуть дійти висновку: спочатку потрібно згадати формулу для обчислення швидкості з уроків фізики. Далі, щоб в даній ситації знайти початкову швидкість потрібно сласти та розв’язати рівняння. У цьому випадку рівняння є математичною моделлю задачі.

Використання квадратних рівнянь у навчанні сприяє формуванню вмінь розв'язувати текстові задачі, що є важливим аспектом математичної освіти.

Таким чином, квадратні рівняння є потужним інструментом для моделювання і розв'язання прикладних задач.

4. Актуалізація опорних знань

Математичний диктант із подальшою перевіркою та обговоренням

1. Напишіть у вигляді раціонального виразу

•         Сума квадратів 7 і у
•         Різниця квадратів х і 5
•         Квадрат суми х і 4
•         Різниця квадратів 2 і а
•         Добуток суми чисел 3 і х та числа х

2. Порівняй дроби

•         і
•         і , де 0<x<3

3. Чому дорівнює швидкість автомобіля, якщо 600 км він подолав за 6 годин?
4. Подайте у вигляді ах²+bx+c вираз:

•         (х+2)х+5
•         (х-3)(х+2)+х²

5. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 12 м, а площа - 8 м^2.
6. Скільки коренів може мати квадратне рівняння, від чого це залежить?

5. Удосконалення знань

План вивчення нового матеріалу

1. Які задачі в математиці називають прикладними

Прикладна задача - це задача, що потребує перекладу з прикладної мови на математичну, задача, яка близька за формулюванням і методами розвязування до задач, що виникають на практиці. Прикладна задача повинна задовольняти такі умови: 1) питання задачі формулюється так, як вона зазвичай формулюється у житті; 2) розвязок задачі, має практичну значимість; 3) дані та шукані величини задачі мають бути реальними, взятими з життя. Прикладна задача - це задача, що винникла поза математикою, але розвязується математичними засобами

2. Що означає математична модель задачі

Математична модель — це спрощене представлення реального процесу чи системи за допомогою математичних виразів, рівнянь, графіків або чисел. Вона дозволяє описати, як працює щось у природі, техніці чи суспільстві, а також передбачити, що станеться в майбутньому. Математичне моделювання виступає як метод пізнання зовнішнього світу, а також прогнозування і управління.

3. Що означає скласти математичну модель задачі

Скласти математичну модель означає використати для розвязування задачі математичні поняття і відношення: геометричні фігури, числа, вирази, рівняння тощо

4. Що може бути математичною моделлю задачі

Математичними моделями найчастіше бувають вирази, функції, рівняння, нерівності, їхні системи.

5. Алгоритм розвязування задач за допомогою рівнянь

•         Позначають деяку невідому величину буквою
•         Складають буквений вираз за умовою задачі
•         Складають рівняння на основі буквеного виразу та умови задачі
•         Розвязують одержане рівняння. Надають величині.ю яку позначали буквою, знайденого значення
•         Перевіряють результат на відповідність умові задачі
•         Записують відповідь щодо шуканих величин

6. Етапи розвязування прикладної задачі

1.   формування математичної моделі задачі
2.   Розвязування відповідної математичної задачі
3.   Аналіз одержаних результатів

Розглянемо декілька прикладів задач від простішої до складнішої.

Приклад 1: Добуток двох натуральних чисел, одне з яких на 6 більше за друге, дорівнює 187.Знайдіть ці числа?

Нехай х це перше число, тоді (х+6) друге

Добуток двох чисел: х(х+6)=187

Розкриваємо дужки: х2+6х=187

Переносимо всі доданки в ліву сторону і отримуємо квадратне рівняння: х2+6х-187=0

Розв’язуємо за дискримінантом: D= 36+748=784

х1=11, х2=-17(не задовільняє умові задачі)

Перше число 11, а друге 11+6=17

Відповідь: Перше число 11, друге - 17

Приклад 2: Максима з сестрою Марією на літні канікули батьки відвезли до бабусі в село. Бабуся жила в дуже красивому місці, біля паркану у бабусі росли троянди. Довжина паркану 20м, а ширина 10м. Паркан зроблений із соснових дощок, фарбований у зелений колір.  Бабусі потрібно було допомогти пофарбувати паркан. Максим може пофарбувати весь паркан на 5 години швидше ніж  Марія. За скільки годин пофарбують паркан окремо Максим з сестрою, якщо фарбувавши паркан разом вони зможуть за 6 години?

(розбираємо задачу на дошці з пояснення, учні записують у зошит розв’язок задачі)

Нехай х годин фарбує паркан Максим, тоді (х+5)годин - Марія

Продуктивність праці Максима за 1 годину - , а продуктивність праці Марії

Оскільки разом на виконання роботи їм потрібно три години, то родуктивність їх роботи разом буде:

Складемо рівняння:

Зводимо дроби до спільного знаменника:

Зводимо подібні доданки і розкриваємо дужки:

Застосуємо основну властивість пропорції: (2х+5)*6=(х2+5х)*1

Розкриваємо дужки: 12х+30=х2+5х

Переносимо всі доданки в одну сторону і прирівнюємо до нуля: х2+5х-12х-30=0

Зводимо подібні доданки: х2-7х-30=0

Отримуємо квадратне рівняння, розвя’зуємо за теоремою Вієта: х1=10; х2=-3

Другий корінь не задовільняє умові задачі.

Отже, для того щоб пофарбувати паркан Максиму потрібно 10 годин, а Марії 10+5=15 годин.

Відповідь: Максиму - 10 годин, Марії - 15 годин.

Можемо повернутися до розвязування мотиваційної задачі, яка ми почали розбирати на початку уроку.

Приклад 3: Водій Олег з селище Пісківка до м. Київ вирушив в дорогу на автомобілі “Део Ланос” й повернувся назад тим самим шляхом. Відстань між містами 80 км. На зворотньому шляху він збільшив швидкість на 20 км/год порівняно з початковою швидкістю та витратив на подорож на 12 хвилин менше, ніж на шлях із Пісківки до Києва. З якою початковою швидкість їхав Олег? Зясуйте, чи не порушив він правила дорожнього руху.

6. Удосконалення вмінь

Робота за підручником §26 с. 207  № 26.1;26.5;26.7; 26.10; 26.15; 26.19

7. Підбиття підсумків уроку

Робота на картках.

Складіть задачу за даними в таблиці. Складіть та розвяжіть рівняння, за допомогою якого можна розвязати дану задачу і заповніть порожні клітинки.

 Поміркуємо, чи досягли ми мети нашого уроку, чи умієте ви аналізуватию Тому, що уміння аналізувати є дуже важливим. Якщо ви буде вміти аналізувати, то практично ніколи неможливо буде вами маніпулювати, ви завжди знайдете вихід з будь-якої ситуації.

8. Домашнє завдання

Опрацювати  §26

Виконати № 26.2; 26.16