Конспект уроку «Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння»

Конспект уроку   «Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння»

Мета: Ввести означення квадратного рівняння, поняття неповного квадратного рівняння. Формувати вміння розв’язувати неповні квадратні рівняння. Розвивати пам’ять, логічне мислення, обчислювальні навички. Виховувати уважність і старанність.

Тип уроку: урок засвоєння нових знань.

Обладнання: опорна схема, таблиця, презентація учителя, портрет АльбрехтаДюрера, інтерактивна дошка.

Девіз уроку: «Необхідно, щоб той, хто що-небуть уміє, навчав цього інших, які мають у цьому потребу».

 

Хід уроку

І. Організаційний момент.

ІІ. Мотивація навчальної діяльності учнів.

Історична довідка:

              Розв’язувати квадратні рівняння вміли ще у Стародавньому Вавилоні  4 тис. років тому. Згодом розв’язували їх також у Китаї та Греції. Займались вивчення квадратних рівнянь такі видатні математики як Евклід і Діофант, Омар Хайям і Франсуа Вієт, Рене Декарт і Нільс Абель.

              Особливу увагу квадратним рівнянням приділяв Мухаммед аль-Хорезмі (ІХ ст.). Він показав, як знаходити додатні корені рівнянь.

             Індійські вчені у вирішені цього питання пішли далі. Математик Бхаскара (1114-1178), розв’язуючи рівняння знаходив і відֹ’ємні корені, зауважуючи при цьому, що їх « не слід брати, бо люди не схвалюють від’ємних абстрактних чисел».

             Французького математика Франсуа Вієта називають «батьком» алгебри. Він першим почав у рівняннях позначати буквами не тільки змінні, а й коефіцієнти, що дало можливість узагальнити способи розв’язування рівнянь.

              Сучасні способи розв’язування квадратних рівнянь поширились завдяки  працям Рене Декарта (1596-1650) та Іссаака Ньютона (1643-1727).

ІІІ. Актуалізація опорних знань. 

              Щоб зрозуміти і добре засвоїти нову тему, пригадаємо, що ми знаємо про рівняння.

Учні виконують завдання на мультимедійній дошці. Використовується навчальний  ресурс LearningApp.org ( інтерактивна вправа « Закінчи речення») за посиланням      

Усні вправи.

 

1. Чи є рівносильними рівняння?

а)4х – 2 = х + 4      і      3х – 6 = 0;

б) 5х – 1 = 3х – х²      і      х² + 2х – 1 = 0;

в) 5х² – 10х + 25 = 0      і      х² – 2х + 5 = 0.

          2) Розв’яжіть рівняння.

а) у – 8 = 0 ;                  г) 2х - = 0;

               б) х + 0,3 = 0 ;              д) у + = 0 ;

               в) 7х = 0 ;                      е) х ( х – 3 ) = 0.

VI. Вивчення нового матеріалу.

   Пояснення нового матеріал проводиться у супроводі презентації « Квадратні рівняння».

       З деякими квадратними рівняннями ви вже зустрічались. Наприклад, без зусиль ви можете розв’язати кожне з рівнянь:    х² = 0,   х² – 4 = 0,   х² + 3х = 0,   та   х² – 4х + 4 = 0. Усі вони мають вигляд   ах² + вх + с = 0.

Означення: Рівняння виду   ах² + вх + с = 0, де х – змінна,  а, в, с – числа, причому  а ≠ 0   називається квадратним.

       Назва такого рівняння походить від відповідного степеня  многочлена лівої частини рівняння.

       Число а  називають першим (старшим) коефіцієнтом, в – другим коефіцієнтом, с – вільним членом.

 Наприклад: Рівняння  2х² + 3х – 7 = 0  має такі коефіцієнти: а = 2, в = 3, с = - 7. 

          Квадратне рівняння, перший коефіцієнт якого дорівнює 1, називається зведеним. Наприклад:  х² – 2х + 0,5 = 0.

          Квадратне рівняння, в якому, хоча б один із коефіцієнтів в або с дорівнює нулю, називають неповним квадратним рівнянням.

           Існують три види неповних квадратних рівнянь.

1. при    в = с = 0  маємо:   ах² = 0;
2. при    с = 0   і   в ≠ 0    маємо:    ах² + вх = 0;
3. при    в =0    і   с ≠ 0    маємо:     ах² + с = 0.

Розв’яжемо неповне рівняння кожного виду.

1. Рівняння    ах² = 0

                    х = 0        -єдиний корінь;

2. Рівняння     ах² + вх = 0

                     х ( ах + в ) = 0

                     х = 0   або   ах + в = 0

                                          ах = - в

                                          х = -             - два корені;

3. Рівняння    ах² + с = 0

                   ах² = - с

                   х² = -

при       х = √ -      або   х = - √ -        - два корені;    

при        - коренів немає.

Результати підсумовує така таблиця.

Значення коефіцієнтів     в  і с	Рівняння	Корені
в = с = 0	ах2 = 0	х = 0
в ≠ 0, с = 0	ах2 + вх = 0	х1 = 0, х2 = -
в = 0,  -	ах2 + с = 0	Коренів немає
в = 0, -	ах2 + с = 0	х1= √ ,  х2 = - √ -

Зауваження: Квадратне рівняння може мати не більше двох коренів.

1.   15х² = 0

             х² = 0                          

             х = 0 ;                      

 

3)         9х² – 16 = 02)  8х² – 24х = 0       \ :8

 (3х)² – 4² = 0   х² – 3х = 0

 ( 3х – 4)( 3х + 4) = 0     х ( х – 3) = 0 

3х – 4 = 0     або    3х + 4 = 0   х = 0   або   х – 3 = 0

             3х = 4                     3х = - 4    х = 3;

             х =                        х = -

             х = 1                     х = - 1 .

V. Формування вмінь.

Учні виконують завдання на мультимедійній дошці. Використовується навчальний  ресурс LearningApp.org ( інтерактивна вправа «Класифікація») за посиланням  

Для квадратних рівнянь з вправи знайдіть значення їх коефіцієнтів.

Виберіть серед них:

1. зведені;
2. неповні квадратні.

Усні вправи.

Складіть квадратне рівняння,  у якому:

1. Старший коефіцієнт дорівнює 6, другий коефіцієнт дорівнює   7, вільний член дорівнює  - 2.
2. а =1     в = -        с = 3,5.

      Письмові вправи

1. Розв’яжіть рівняння.

1. 5х² – 20 = 0                    2)   3х² – 18 = 0

  5х² = 20     |:5                         3х² = 18      |:3

   х² = 4                                      х² = 6

   х = 2   або   х = -2 ;                х = √6    або   х = - √6;

 

3.  х² + 7х = 0                      4)    3х² – 24х = 0

х( х + 7) = 0                               3х( х – 8) =0

х =0   або   х + 7 = 0                  х = 0   або   х – 8 = 0

  х = -7;                                 х = 8;

 5)     49х² – 9 = 0                       6)    х² + 25 = 0

   49х² = 9                                 х² = - 25

    х² =      х² ≥ 0 ,    - 25 < 0

          х = √     або   х = - √ коренівнемає.

          х =    або   х = - ;

2. Розв’яжітьрівняння.

1. (2х – 3)(5х + 1) – (х – 6)(х + 6) + 13х = 0

   10х² + 2х – 15х – 3 – (х² – 36) + 13х = 0

   10х² – 3 -  х² + 36 = 0

   9х² + 33 = 0

   9х² = -33     |:3

   3х² = -11

   х² = -

  х² ≥ 0,       - < 0

рівняння не маєкоренів;

 

2. (2х – 7)² - 7( 7 – 4х) = 0

    4х² – 28х + 49 - 49 + 28х = 0

    4х² = 0

     х² = 0

     х = 0;

 

3. (х – 5)² + 5(2х – 1) = 0

    х² – 10х + 25 + 10х - 5 = 0

    х² + 20 = 0

    х² = - 20

    х² ≥ 0,    - 20 < 0

рівняння не маєкоренів.

3. Розв'язатирівняння.

1)   =         скористаємось властивістю пропорції

4(5 – х²) = 3(3х² – 2)

       20 – 4х² = 9х² – 6

        20 + 6 = 9х² + 4х²

      26 = 13х²     |:13

       2 = х²

       х = √2     або    х = - √2.

2)    =

       (z + 1)( z – 1) = 8

z² – 1 = 8

z² = 8 + 1

z² = 9

z = 3       або     z = - 3.

VI. Підбиття підсумків.

Пропонується сервіс для обміну ідеями та матеріалами – універсальна спільна дошка Padlet.

VII. Д/з.  Підручник  Г. П. Бевз, В. Г. Бевз  § 19 ст. 182,  №№  869,  876,  879 б).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Опорна схема            Існують три види неповних квадратних рівнянь. при    в = с = 0  маємо:   ах2 = 0; при    с = 0   і   в ≠ 0    маємо:    ах2 + вх = 0; при    в =0    і   с ≠ 0    маємо:     ах2 + с = 0. Розв’яжемо неповне рівняння кожного виду. Рівняння    ах2 = 0                     х = 0        -єдиний корінь; Рівняння     ах2 + вх = 0                      х ( ах + в ) = 0                      х = 0   або   ах + в = 0                                           ах = - в                                           х = -             - два корені; Рівняння    ах2 + с = 0                    ах2 = - с                    х2 = - при х = √ - або   х = - √ - - два корені;     при        - коренів немає.

Таблиця

Значення коефіцієнтів     в  і с	Рівняння	Корені
в = с = 0	ах2 = 0	х = 0
в ≠ 0, с = 0	ах2 + вх = 0	х1 = 0, х2 = -
в = 0,  -	ах2 + с = 0	Коренів немає
в = 0, -	ах2 + с = 0	х1= √ ,  х2 = - √ -