Конспект уроку з алгебри для 10 класу на тему: "Логарифмічна функція"

Урок алгебри в 10 класі

Тема. Систематизація та узагальнення знань, умінь з теми «Логарифмічна функція»

Мета. Узагальнити та систематизувати знання про логарифмічні рівняння і нерівності; показати на прикладах різноманітність логарифмічних рівнянь, нерівностей та різні способи їх розв’язування, розвивати творчі здібності учнів шляхом розв’язування рівнянь різними способами та нестандартних рівнянь; розвивати інтуїцію учнів; сприяти формуванню уміння учнів успішно діяти в ситуації вибору.

  Розвивати інтерес до математики, виховувати почуття самоповаги і взаємодопомоги, відповідальність за результат виконання роботи.

Учні повинні. Вміти аналізувати рівняння і нерівності, вибирати способи їх розв’язування, складати план розв’язання запропонованих завдань, досліджувати запропоновані ситуації, розв’язувати логарифмічні рівняння, системи логарифмічних рівнянь і логарифмічні нерівності.

Тип уроку. Урок систематизації знань та способів діяльності.

Форма проведення. Ділова гра (спарений урок)

До уроку клас поділений на три групи. Група теоретиків готує аналіз структури викладу матеріалу з алгебри та початків аналізу за підручником.

 Група практиків розробляє систему вправ за цим самим підручником.

Група опонентів, що складається з найсильніших учнів, консультує всі групи, готує запитання для груп і коментує правильність і повноту виконаної роботи кожною групою.

                                                                       Предмет математики такий серйозний,

                                                                       що корисно не нехтувати нагодою

                                                                       робити його трохи цікавішим.

                                                                                                                   Б.Паскаль

                                    Хід уроку

І. Організаційний момент.

Учитель повідомляє та записує на дошці тему уроку, оголошує мету уроку та порядок роботи.

  Першою починає група теоретиків. Після їхніх відповідей на запитання групи опонентів та коментування діяльності теоретиків опонентами та вчителем, виступають практики (учні, що входять до даної групи добирають систему вправ і показують різні шляхи їх розв’язування), потім робота групи аналізується опонентами та вчителем, учителем даються відповіді на додаткові запитання учнів.

    Учитель та опоненти здійснюють оцінювання учнів класу за такими критеріями:

усні вправи      - 0,5 бала,

корекція робота товариша – 1 бал,

базові завдання – 4 бали,

творчі завдання – 6 балів,

раціональність, нестандартність, складання власних задач – додаткові 2 бали.

ΙΙ. Систематизація та корекція знань та навичок  учнів.

  Учитель запрошує до роботи групу теоретиків. Вислуховує їхні повідомлення, стежить за роботою класу, діяльністю опонентів.

1. Діяльність групи теоретиків.
   1.        Розкриття питання Розв’язування логарифмічних рівнянь, логарифмічних нерівностей ведеться  за планом, який фактично задається орієнтирами таблиці.

1. Основні означення та співвідношення
Означення. Логарифмом додатного числа b за основою a ( a>0, a≠1) називається показник степеня, до якого треба піднести  a, щоб отримати b. loga b=c ↔ b=a	a>1                                  0<a<1 зростає                           спадає
2. Розв’язування найпростіших логарифмічних рівнянь
Орієнтир	Приклад
Якщо a (a>0, a≠1),  loga f(х)=с ↔f(х)=a (використовуємо означення логарифма)	log⅓(5х-21)=-2, 5х-21=9, 5х=30, х=6. Відповідь. х=6.
3.  Використання рівняння-наслідків
Орієнтир	Приклад
Якщо з припущення, що перша рівність правильна, випливає правильність кожної наступної, то гарантуємо, що одержуємо рівняння-наслідок. При використанні наслідків не відбувається втрати коренів початкового рівняння, але можлива поява сторонніх коренів. Тому перевірка одержаних коренів підстановкою в початкове рівняння є складовою  розв’язування	logx (2x² – 3x – 18) = 2 за означенням логарифма одержуємо 2x² – 3x – 18=x², x² - 3x – 18 =0, x1=6; x2= - 3. Перевірка. х= -3 – сторонній корінь (в основі логарифма одержуємо від’ємне число). х=6 – корінь Відповідь. х=6
4. Рівносильні перетворення логарифмічних рівнянь
Заміна змінних
Орієнтир	Приклад
Якщо до рівняння (нерівності або тотожності) змінна входить в одному і тому самому вигляді, то зручно відповідний вираз із змінною позначити однією буквою ( новою змінною)	log²2 x – 4 log2x + 3=0, =t, t² - 4t +3=0, t1=3, t2=1. Отже: log2x=1або log2x=3             x=2,            x=2,                                x=2³=8. Відповідь. х=2, х=8.
5. Рівняння виду loga f(x) = loga g(x) (a>0, a≠1)
Орієнтир	Приклад
f(x)=g(x), logaf(x)= loga g(x)↔     f(x)>0,                                        g(x)>0         (враховуємо ОДЗ і прирівнюємо вирази, які стоять під знаком логарифмів)	lg (x² – 6) = lg (8+5x),                x² – 6>0, ОДЗ                               8+5x>0. На цій ОДЗ задане рівняння рівносильне рівнянням: x² – 6=8+5x, x² - 5x – 14=0, x1= - 2,   x2=7. х= - 2 – сторонній корінь ( не задовольняє умовам ОДЗ); х=7 – корінь (задовольняє умовам ОДЗ). Відповідь: 7.
6. Рівносильні перетворення рівнянь в інших випадках
Орієнтир	Приклад
Враховуємо ОДЗ заданого рівняння ( і уникаємо перетворень, які приводять до звуження ОДЗ); Стежимо за тим, щоб на ОДЗ кожне перетворення можна було виконати як у прямому, так і у зворотному напрямках із збереженням правильної рівності	log11 (x+4)+ log11 (x- 7) = log11(7 – x),                           x+4>0,    ОДЗ:               x-7>0,                           7-x>0. На цій ОДЗ задане рівняння рівносильне рівнянням: log11 ((x+4)(x-7)) = log11(7 – x), x² – 2x – 35 = 0, x1= -5, x2 = 7. x= - 5 – сторонній корінь ( не задовольняє умовам ОДЗ); x= 7 – сторонній корінь ( не задовольняє умовам ОДЗ). Відповідь: немає розв’язків

   Далі теоретики коментують п.3 і п.4 таблиці і підкреслюють, що до використання цих пунктів необхідно виконати аналіз запропонованих рівнянь і вибір методу розв’язання за схемою.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Після закінчення роботи групи теоретиків розпочинає свою діяльність група опонентів.

3. Діяльність групи опонентів.

Коментування роботи, виконаної групою теоретиків.

Учитель ставить запитання ( в разі потреби допомагає знайти відповіді).

1. У яких випадках при розв’язуванні логарифмічних рівнянь доцільно використовувати заміну змінних?
2. Чому при розв’язуванні найпростіших логарифмічних рівнянь не знаходимо ОДЗ?

Учитель разом з учнями – опонентами оцінює роботу групи теоретиків та запрошує до дошки групу практиків.

4. Діяльність групи практиків.

Учень групи практиків пропонує учням завдання.

 У правій колонці знайдіть відповіді до завдань, які розміщені у лівій колонці (відповіді учні показують за допомогою сигнальних карток).

Завдання                                          Відповіді

1) log2x=2,                                         1) – 1;

2)  log2( - x) =  - 2,                             2) 2;

3) lg(2x+1) = -2,                                3) 3,01;

4) lg(x – 3) = - 2,                               4)  - 0,25;

5) lgx-12 = 1,                                       5) 4.

Група практиків поділена на підгрупи, кожна з яких отримала завдання підібрати логарифмічні рівняння, що розв’язуються відповідним методом.

  Перша підгрупа показує розв’язування логарифмічних рівнянь із використанням рівнянь-наслідків.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння

logx (x² – 2x – 2) = 0.

Розв’язання.

x² – 2x – 2 = 1,

x² - 2x – 3 = 0,

x1= - 1,    x2= 3.

Перевірка: x= -1 – сторонній корінь (логарифмів за від’ємною основою не існує).

x=3 – корень.

Відповідь: 3.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння

lg (x+9) +lg (2x+8) = 2.

Розв’язання.

lg(x+9) (2x+8) = 2,     (1)

2x²+26x +72 = 100,    (2)

2x² +26x - 28=0,          (3)

x² +13x – 14 = 0,

x1=- 14,       x2=1.

Перевірка: x= - 14 – сторонній корінь (під знаком логарифма отримуємо від’ємне число)

x= 1  - корінь, оскільки маємо:   

 lg10+lg10 = 2,

             2lg 10 = 2,

             lg 100 = lg 100.

Відповідь: 1.

Учні з першої підгрупи групи  практиків коментують розв’язання прикладів 1 та 2. Зокрема, коментар до прикладу 2 може бути таким.

Оскільки дане рівняння (1) будемо розв’язувати за допомогою наслідків, то пригадаємо, що при використанні наслідків головне – гарантувати, що у випадку, коли перша рівність буде правильною, то всі наступні теж будуть правильними.

  Якщо рівність (1) правильна (при тих значеннях х, що є коренями цих рівнянь), то при таких значеннях х існують усі записані логарифми і вирази, що знаходяться під знаком логарифма є додатними. Тоді можна використати властивість логарифмів. Враховуючи, що функція є зростаючою – кожного свого значення набуває тільки при одному значенні аргументу – отримуємо (2) та (3). Оскільки ми користувалися рівняннями –наслідками, то в кінці треба виконати перевірку.

 Усі учні із групи практиків, що отримували завдання підготувати розв’язування логарифмічних нерівностей, пропонують учням скласти план розв’язування нерівності: log4(2x – 1)≤ log4 (x+3). (Учні можуть зробити вибір: розв’язувати за допомогою рівносильних перетворень або застосовуючи загальний метод інтервалів).

Зауваження вчителя. У процесі розв’язування логарифмічних нерівностей також можуть виникнути сторонні розв’язки. Але множина розв’язків нерівності здебільшого є нескінченною і відокремити сторонні розв’язки перевіркою неможливо.  Тому, розв’язуючи логарифмічні нерівності, переходять до рівносильних їм систем нерівностей, у яких враховують властивості логарифмічної функції або застосовують загальний метод інтервалів.

Учні (групи практиків), що включали до своєї індивідуальної освітньої програми розв’язування показникові-степеневих рівнянь та нерівностей, демонструють рівень знань, пов'язаний з використанням логарифмування обох частин заданого рівняння.

Учитель оцінює роботу групи практиків та опонентів.

III. Підведення підсумків уроку.

IV. Домашнє завдання. Скласти кросворди за темою «Логарифмічна функція», «Логарифмічні рівняння та нерівності».