29 травня о 18:00Вебінар: Фізика для сучасного школяра: традиції, інновації, STEM

Курс "Геометрия 11 класс"

Про матеріал
Курс предназначен для учащихся вечерних школ, которые изучают геометрию в 10-12 классах по учебным планам общеобразовательных учебных заведений III степени
Перегляд файлу

 

«Геометрія 11 кл.»

Геометрия

11 клас

6 тем

 

 

 

 

 

 

 

 

Вольська Ірина Борисівна

вчитель математики , вища  категорія

 

 

 

 

Оглавление

Словарь

Тема 1. Призма

1.1.  Теория

   Теория.1. Призма и её элементы

  Теория.2. Параллелепипед

  Теория.3. Диагонали и диагональное сечение призмы

  Теория.4. Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда

  Теория.5. Углы, образованные диагоналями призмы и её гранями

  Теория.6. Площадь поверхности и обьём призмы

1.2. Онлайн -ресурсы

  Онлайн калькулятор. Площадь прямоугольного параллелепипеда.

  Онлайн калькулятор. Площадь куба.

  Онлайн калькулятор. Объем призми.

  Онлайн калькулятор. Объём параллелепипеда

  Онлайн калькулятор. Объем прямоугольного параллелепипеда

  Онлайн калькулятор. Объем куба.

  Видеоурок : Объем прямоугольного параллелепипеда

  Видеоурок: Объем прямой призмы

  Видеоурок: Объем наклонной призмы

  Видеолекция «Параллелепипед и куб»

   Тест: «Параллелепипед и куб»

1.3. Урок

  Урок Объем прямоугольного параллелепипеда

1.4. Тест

 Тест по теме: « Призма» 

Тема 2 . Пирамида

2.1.  Теория

  Теория.1. Пирамида

  Теория.2. Правильная пирамида

  Теория.3. Пирамида с равными боковыми рёбрами

  Теория.4.Пирамиды с равными двугранными углами при основании

  Теория.5. Пирамида с боковым ребром, перпендикулярным плоскости основания

  Теория.6. Усеченная пирамида

2.2. Онлайн -ресурсы

  Онлайн калькулятор. Объем пирамиды .

  Онлайн калькулятор. Объем правильного тетраедра.

  Видеоурок: Объем пирамиды

  Видеоурок 2: Объем пирамиды

  Видеолекция «Пирамида»

  Тест "Пирамида"

2.3. Урок

  Урок; Объём пирамиды (решение прикладных задач

2.4. Тест

 Тест  по теме: "Пирамида"

Тема 3. Цилиндр

3.1.  Теория

  Теория 1.Цилиндр

  Теория 2.Осевое сечение цилиндра

  Теория 3.Сечение цилиндра плоскостью

  Теория 4. Общее описание комбинаций геометрических тел

  Теория 5. Призма, вписанная в цилиндр

  Теория 6. Призма, описанная около цилиндра

  Теория 7.Объем и площадь поверхности цилиндра

3.2. Онлайн -ресурсы

  Онлайн калькулятор. Площадь цилиндра.

  Онлайн калькулятор. Объем цилиндра .

  Видеоурок: Объем цилиндра

  Видеолекция «Цилиндр»

  Тест "Цилиндр"

3.3. Урок

  Урок "Тела вращения. Цилиндр"

3.4. Тест

 Тест по теме: « Цилиндр»

3.5.  Практическая  работа

  • Практическая  работа  по теме « Объём цилиндра »

Тема 4. Конус

4.1.  Теория

    Теория 1.Элементы конуса

  Теория 2.Осевое сечение конуса

  Теория 3 .Выражение радиуса конуса из развёртки боковой поверхности конуса

  Теория 4.Цилиндр, описанный около конуса

  Теория 5. Цилиндр, вписанный в конус

  Теория 6. Пирамида, описанная около конуса

  Теория 7 . Пирамида, вписанная в конус

  Теория 8. Площадь поверхности и объём конуса

  Теория 9. Усечённый конус

4.2. Онлайн -ресурсы

  Онлайн калькулятор. Площадь поверхности конуса

  Онлайн калькулятор.Объем конуса.

  Видеоурок: Объем конуса

  Видеолекция «Конус»

  Тест "Конус"

4.3. Урок

  Урок Объём конуса.

4.4. Тест

 Тест по теме: « Конус»

4.5.  Практическая  работа

  • Практическая  работа  по теме « Объём конуса »

Тема 5. Шар

5.1.  Теория

  Теория 1 Шар, сфера

  Теория 2 Сечение шара плоскостью

  Теория 3 Шар, вписанный в цилиндр

  Теория 4 Шар, описанный около цилиндра

  Теория 5 Шар, описанный около конуса

  Теория 6 Шар, вписанный в куб

  Теория 7 Шар, описанный около куба

  Теория 8 Шаровой сегмент.

5.2. Онлайн -ресурсы

  Онлайн калькулятор. Площадь шара.

  Онлайн калькулятор. Объем шара

  Видеоурок: Площадь сферы

  Видеоурок: Объем шара

  Видеоурок: Объем шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора

  Видеолекция «Шар и сфера»

  Тест "Шар"

 5.3. Урок

  Урок: "Объем шара".

5.4.  Практическая  работа

  • Практическая  работа  по теме « Объём шара »

Тема 6.  Итоговый урок

6.1.  Урок: Решение практических задач на вычисление объёмов тел вращения.

6.2.  Зачетная работа

6.3. Практическая  работа

  • Практическая  работа  по теме «Тела вращения»

6.4  . Урок-зачет по теме «Объемы тел»

  Урок-зачет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аннотация

 Дистанционное обучение — совокупность технологий, обеспечивающих доставку обучаемым основного объема изучаемого материала, интерактивное взаимодействие обучаемых и преподавателей в процессе обучения, предоставление обучаемым возможности самостоятельной работы по освоению изучаемого материала, а также в процессе обучения.

Цели курса: оказать помощь учащимся 10-11  классов и в подготовке к урокам, подготовить учащихся к сдаче экзамена в соответствии с требованиями, предъявляемыми образовательными стандартами.

Воспитательное назначение  курса: обучение   потребует от учащихся умственных и волевых усилий, развитого внимания, воспитания таких качеств,  как  активность, творческая инициатива, умений познавательного труда.

Задачи: повторить и обобщить знания по геометрия за курс основной школы;расширить знания  по отдельным темам курса геометрия  10-11 клас; повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;    познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов, в ходе подготовки к итоговой аттестации.

В предложенных 6 темах расматривается теоретический материал, практические задания для закрепления полученных теоретических знаний на практике, тестовые и  4 практические работы. Каждая практическая  работа состоит из  двух равносильных по степени сложности вариантов и сопровождается кратким теоретическим материалом, таблицами. Также представлены задачи для самостоятельного решения разного уровня сложности

Курс предназначен  для учащихся вечерних школ, которые изучают геометрию  в 10-12 классах по учебным планам  общеобразовательных учебных заведений  III степени

 

 

 

Словарь

Апофема – это отрезок (а также его длина) перпендикуляра а, опущенного из центра правильного многоугольника на любую из его сторон

Диагональ - отрезок прямой линии, соединяющий две вершины многоугольника, не лежащие на одной стороне, или две вершины многогранника, не лежащие на одной грани.

Конус - тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.

Куб – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат.

Объём, одна из основных величин, связанных с геометрическими телами. В простейших случаях измеряется числом умещающихся в теле единичных кубов, т. е. кубов с ребром, равным единице длины.

Параллелепипед - это четырёхугольная призма, все грани которой являются параллелограммами.

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого является n-угольником, а остальные грани - треугольники с общей вершиной

Площадь — численная характеристика двумерной (плоской или искривлённой) геометрической фигуры, неформально говоря, показывающая размер этой фигуры.

Призма - это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани - параллелограммами.

Поверхность шара называется сферой.

Угол - геометрическая фигура, состоящая из двух лучей с общим началом.

Усечённой пирамидой называется часть пирамиды между её основанием и плоскостью, параллельной ему.

Усечённый конус - тело вращения, которое получается при вращении прямоугольной трапеции вокруг меньшей боковой стороны

Цилиндр - тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.

Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара.

Шаровой слой — это часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 1. Призма

Цель: Сформировать представление о многогранники. Изучить определение призмы и параллелепипеда и их элементов. Научиться строить изображения многогранников. Научиться решать задачи с использованием призм и параллелепипедов.

1.1. Теория

Призма - это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани - параллелограммами.

Грани, которые находятся в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а остальные грани - боковыми гранями призмы.

В зависимости от основания призмы бывают треугольными (рис. 1), четырёхугольными (рис. 2 и 3), шестиугольными (рис. 4) и др.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/601d5548-69ef-4264-b7a6-6bb4893f718a/trijstura%20prizma%201%20-%20Copy.JPG

Рис. 1.

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/dbe0f1b3-fbd4-45e8-b68f-3a2a6cabce17/taisnstura%20prizma%201%20-%20Copy.JPG

Рис. 2.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/310ee135-50d4-4006-bd93-8a29b6061072/kubs.JPG

Рис. 3.

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/d83f38d2-612c-453d-a326-069a024d5f1a/se%20prizma%20bez%20diag.JPG

Рис. 4.

  Призма с боковыми рёбрами, перпендикулярными её основаниям, называется прямой призмой (рис. 1 - 4).

  http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/a8c71bb1-1950-4060-bb1b-5c358879750e/sl-%C2%BDpa%20prizma%20-%20Copy.JPG

        Рис. 5.

Призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны основаниям, называется наклонной призмой (рис. 5).

 Расстояние между основаниями призмы называется высотой призмы.

Высота прямой призмы совпадает с боковым ребром.  

Высота наклонной призмы видна на рис. 5. Без дополнительных условий невозможно определить, в какую точке проектируется высота наклонной призмы.

Прямая призма называется правильной, если её основания - правильные многоугольники.

Параллелепипед - это четырёхугольная призма, все грани которой являются параллелограммами.  Параллелепипеды - особая группа призм. Как видно на данных рисунках, объёмные рисунки прямых параллелепипедов практически не отличаются. 

Виды параллелепипедов

Наклонный

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/fff152d3-ad16-427d-a022-8dff5966f749/sl-%C2%BDpa%20prizma%20-%20Copy.JPG

Основание - паралелограмм.

Прямойhttp://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/5cf204b2-1df0-451c-aa50-eee5a9f31cb7/paralelograma%20prizma.JPG

 

 

 Виды прямых параллелепипедов

Прямой параллелепипед

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/181bde1d-3016-4d30-a2dc-061d7f6d4685/paralelograma%20prizma.JPG

Прямоугольный параллелепипед

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/576385dd-caa5-401c-97d0-1ff0e24d48ea/taisnstura%20prizma%20-%20ar%20lenkiem.JPG

Основание - параллелограмм

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/90e0c356-20d6-4aa7-8f68-6bac9e655502/paralelograms.JPG

Основание - прямоугольник

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/392496b7-8381-44b8-86e3-3202a5819935/taisnsturis.jpg

 

Специальные случаи прямоугольного параллелепипеда

Правильная четырёхугольная призма

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/40c9359d-a540-4f0a-968a-b51d4b710d85/reg.%20prizm.JPG

Куб

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/d1c0abc2-6672-44c8-941e-c53761444604/kubs.JPG

Основание - квадрат, но высота призмы не равна стороне основания.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/a4215b69-731f-4043-899e-8928e70b7057/kvadr-%C3%BCts.JPG

Все рёбра куба равны,

все грани - квадраты.

 

У куба 12 рёбер и 6 граней.

 

Площадь поверхности куба находится  умножением площади одной грани на 6.

 

Sкуба=6a2, где a - ребро куба

Диагональ призмы - это отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани.

Диагональ не существует только у треугольной призмы.

 

Если диагонали основания прямой призмы равны, то диагонали самой призмы тоже равны.

Например, у куба, правильной четырёхугольной призмы, прямоугольного параллелепипеда диагонали равны (DF = EC, т.к. DB = CA), 

а у параллелепипеда, в основании которого находится параллелограмм, диагонали только попарно равны (DFEC, т.к. DBCA).

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/10b415d6-b7dc-4d0c-83fe-47de335faa73/paralelsk%20ar%202%20diag.JPG

 Обратите внимание! Объёмные рисунки прямоугольного и прямого параллелепипедов не отличаются.

Диагональное сечение призмы - это сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Каждое диагональное сечение содержит две диагонали призмы.

 

Диагональное сечение прямой призмы является прямоугольником.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/7e256449-6663-48e7-989f-b3ee999f1168/t.%20prizma%20ar%20liel-%C3%BCko%20diagon-%C3%BCl%C3%B4lumu.JPG

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/1c8ab52d-167f-4245-b263-8ab7e287e05c/t.%20prizma%20ar%20maz-%C3%BCko%20diagon-%C3%BCl-%C3%B4lumu.JPG

 Диагональное сечение наклонной призмы - параллелограмм.

  

Запомните!

У правильного шестиугольника диагонали бывают 2 видов - короткие и длинные. В связи с этим существует два вида диагональных сечений шестиугольной призмы:

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/38e95546-b9a1-4dec-aecc-c095676f8a13/se%C5%A1st%C5%ABra%20prizma%202.JPG

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c849722f-fdcc-42ce-a0f1-d68adab40dcb/se%C5%A1st%C5%ABra%20prizma%203.JPG

 

 Как найти диагонали правильного шестиугольника, если известна длина его стороны.

 СЕ - одна из коротких диагоналей шестиугольника, ВЕ - одна из длинных диагоналей. Учитывая то, что углы правильного шестиугольника равны  по 120 градусов, легко найти прямоугольный треугольник, в котором есть угол 30 градусов, и использовать соотношения в этом треугольнике.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/4b3229ff-fa70-49dc-b742-2cdd99c7adb7/se%C5%A1st%C5%ABris%20uzdevumam.JPG

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/f0e089a2-1f51-45e2-a480-718f9b99cf5f/se%C5%A1st%C5%ABris%20ar%20lenkiem.JPG

Прямая призма, основанием которой является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

 Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/e18c8d9d-2a66-4135-81e4-55810868e909/taisnstura%20prizma%20-%20Copy.JPG

Например,

три измерения - это длины трех ребер DA, DC, DD1

   Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:

D2=a2+b2+c2, где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда, т.е., его длина, ширина и высота.

 

(Подобно теореме Пифатора, только здесь добавляется третье измерение.)

На рисунке: DB12=DA2+DC2+DD12

 

Запомните: у прямоугольного параллелепипеда все диагонали равны:                 DB1=CA1=AC1=BD1

 

 Формула диагоналей куба

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/0a62b57f-d219-4637-b4cb-d1f31468a015/kubs%20ar%20a%20lielumiem.JPG

Так как у куба все измерения равны, обозначаем их за a, тогда

 D2=a2+a2+a2=3 a2.

Упрощаем и получаем формулу диагонали куба:
   D=a√3

При решении задач очень важно уметь обозначать углы, образованные диагоналями призмы и её боковыми гранями.

 

Угол между наклонной и плоскостью - это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость.

Чтобы найти угол между наклонной и плоскостью, необходимо:
1) провести наклонную;

2) из конца наклонной провести перпендикуляр к плоскости;

3) провести проекцию наклонной;

4) обозначить угол между наклонной и её проекцией.

Угол между диагональю и плоскостью основания в прямом параллелепипеде

  

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/118f651c-bbf1-4284-ba13-6ca9fdc7d4d8/paralelsk%20ar%201%20diag.JPG

 

 

 Угол BDF - угол, образованный меньшей диагональю DF и плоскостью основания ABCD

(обычно на изображении параллелепипеда меньшая диагональ (DB) та, которая выглядит меньше).

  

Треугольник DBF - прямоугольный.

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/534c4bcd-11ca-445d-bcbb-d3bb229a97bc/paralelsk%20ar%20lielako%20diag.JPG

Угол ECA - угол, образованный большей диагональю EC и плоскостью основания ABCD

Треугольник ECA - прямоугольный.

 

Угол между диагональю и боковой гранью прямоугольного параллелепипеда

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/34596e8e-e0b9-407b-a84f-e590cd172c13/taisnstura%20prizma%20ar%20vienu%20s-%C3%BCnu%20lenki.JPG

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/7d7dbb1f-738d-4836-8888-a83130ae90ac/trijsturis%20%28Tiasnstura%20prizmai%20ar%202%20lenkiem%29.JPG 

 

 

 

 

 

 Угол FDG - угол, образованный диагональю FD и боковой гранью DKGC.

 

Обратите внимание: ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно боковой грани, поэтому треугольник DFG -прямоугольный.
 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/fee70025-dc64-43bd-ab5b-a64a3503e973/taisnstura%20prizma%20ar%202%20s%C3%BCnu%20leniem.JPG

Угол FDE - угол, образованный диагональю FD и боковой гранью AEKD

 

Обратите внимание: ребро прямоугольного параллелепипеда перпендикулярно боковой грани, поэтому треугольник FDE -прямоугольный.

 

Угол, образованный диагональю и плоскостью основания правильной шестиугольной призмы

  

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/042004b9-f635-4035-b5e9-2ae3f1540952/sesra%20prizma%20AR%20diag.jpg

Угол CFC1 - угол, образованный большей диагональю призмы и плоскостью основания ABCDEF.

 

Треугольник CFC1 - прямоугольный.

 

 

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы Sбок.=Pосн.H,

где H - высота призмы.

 

Площадь полной поверхности призмы - сумма площадей всех граней призмы.

Она состоит из площади боковой поверхности и площади оснований

Sполн.=Sбок.+2Sосн.

 

Все грани куба - квадраты, поэтому рациональнее использовать формулу

Sполн. пов. куба=6 a 2

  

Обьём прямой призмы находится по формуле:

V=Sосн.H

 

Для прямоугольного параллелепипеда можно использовать формулу V=abc , где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота).

 

Для куба используется формула V=a3, где a - ребро куба.

 

Основанием призмы может быть любой n-угольник, поэтому важно знать формулы вычисления их площадей.

 

  

Важные формулы нахождения площади n-угольников

Формула нахождения площади правильного шестиугольника

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/d7cdb340-73a1-4cb2-9cea-a636d7dc6a7a/se%C5%A1st%C5%ABris%20teorijai.JPG

Правильный шестиугольник состоит из 6 правильных треугольников.

 

,                где a - сторона шестиугольника.

 

1.2. Онлайн -ресурсы

    http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_area_1/cube/

    http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_volume/prism/

    http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/obem-pryamougolnogo-parallelepipeda

    http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_volume/cube/

    http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/obem- pryamougolnogo-parallelepipeda

    http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/obem-pryamoj-prizmy

    http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/obem-naklonnoj-prizmy

     http://www.youtube.com/watch?v=LR5jg1q3kPo

     http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-069*page.htm

 

 

1.3. Урок

 

 

Тема: « Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда»

Цель урока: Ввести понятие объема тела, рассмотреть свойства объемов, теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствие об объеме прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник; сформировать умение применять данный материал при решении задач.

ХОД УРОКА

  1. Организационный момент

Сообщение темы и целей урока, актуальность данной темы

  1. Актуализация знаний

Что называется параллелепипедом? прямоугольным параллелепипедом? Какие свойства прямоугольного параллелепипеда вы знаете?

III.     Объяснение нового материала

1) Понятие объема тела

Еще в глубокой древности у людей возникла необходимость в измерении количества различных веществ. Сыпучие вещества и жидкости можно было мерить, наполняя ими сосуды определенной вместимости, т.е. определяя их количество по объему. Понятие объема в стереометрии вводится аналогично понятию площади в планиметрии. В планиметрии мы определяли площадь так: площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Сформулировать аналогично данному понятию понятие объема. Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объемом этого тела.

2) Единицы измерения объема

В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, коробки, банки. В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел.
Среди них английские меры:

  • Бушель – 36,4 дм3
  • Галлон – 4,5 дм3
  • Баррель (сухой) – 115,628 дм3
  • Баррель (нефтяной) – 158,988 дм3
  • Английский баррель для сыпучих веществ 163,65 дм3.

В Киевской Руси существовала мера зерна – кадь. ( Это примерно 230 кг ржи) Жидкости же мерили бочками и ведрами. В XIX в. система мер жидкости имела вид:

  • Ведро – 12 дм3
  • Бочка – 490 дм3
  • Штоф – 1,23 дм3 = 10 чарок
  • Чарка – 0,123 дм3=0,1 штофа = 2 шкалика
  • Шкалик – 0,06 дм3 = 0,5 чарки.

Для того, чтобы определить какая из двух емкостей вместительнее, можно заполнить одну из них водой, а затем проверить, вся ли вода поместится в другую, и если вся, то заполнит ли она ее полностью. Однако решить эту задачу иначе – вычислить объем каждой емкости. Для этого нам нужны единицы объемов. Когда в планиметрии мы вводили единицы площади, то за единицу площади брали квадрат со стороной 1 см (1 см2). Аналогично, за 1см3 принимаем куб с ребром 1 см. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. Число измерения (единичных кубов) и частей единицы, содержащихся в данном теле, принимается за числовое значение объема при выбранной единице измерения. Это число может быть как рациональным (в частности, целым), так и иррациональным.

3) Свойства объемов

Аналогичны свойствам площадей в планиметрии.

  1. Равные тела имеют равные объемы. (Понятие определяется на основе понятия наложения).
  2. Объем тела, состоящего из некоторых частей, равен сумме объемов этих частей.
  3. Объем куба с ребром а равен а3.

4) Объем прямоугольного параллелепипеда

Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долог.
В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды.
Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он имел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади, объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда – о том, что объемы этих тел относятся как 3 : 2.Когда Римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в 1 в. до н.э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.

Мы будем находить объем прямоугольного параллелепипеда, используя следующую теорему ( давно знакомая вам формула,  попробуйте сформулировать эту теорему):

Теорема: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.      

                                                   V = abc

5) Следствия

Рассмотрим следствия из данной теоремы

 1. Объем прямоугольного параллелепипеда, равен произведению площади основания на высоту.

2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

IV. Закрепление

  1. Учащиеся получают модели прямоугольных параллелепипедов, нужно выполнить нужные измерения,  вычислить диагональ и объем  данного параллелепипеда.

 

  1.               Решение задач

Задача 1

Сколько пакетов с соком войдет в коробку?

 

 

pictureЗадача 2

Найдите объем тела:

 

 

 

 

Задача 3

picture     Сколько литров воды вмещает бак, имеющий форму куба с ребром 6 дм?

Задача 4

     За сутки человек совершает вдох и выдох примерно 23 000 раз. За один вдох в легкие поступает 500 см3  воздуха. Какой объем воздуха ( в литрах) проходит через легкие человека за сутки?

Задача 5

      Больному прописали глазные капли, по 2 капли 3 раза в день в оба глаза. Во флаконе 10 мл лекарства. Объем капли 1/9 мл. Хватит ли одного флакона на неделю?

№ 1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.

Учащиеся решают данную задачу на листочках, затем в рабочую тетрадь записывают только ответ, а листок с решением сдают учителю. После этого решение с ответом отображается на экране, учащиеся проверяют свое решение и ответ.

№ 2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани и угол в 45°с боковым ребром. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда.

Учащиеся на местах обдумывают решение, затем один выходит к доске и демонстрирует решение.

V. Итог урока

Что такое объем тела? Какие единицы измерения вы знаете? Какие свойства объема вы знаете? Сформулируйте теорему о объеме прямоугольного параллелепипеда и следствия из нее.

VI. Домашнее задание        п.         

  • Дополнительное задание(по желанию)
  • Придумать задачу с практическим содержанием на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда, решить ее.
  • Сделать модель прямоугольного параллелепипеда, найти его длину, ширину, высоту, диагональ, объем

 

1.4. Тест

Тест по теме: « Призма»

Вариант №1

Уровень A

1. Призма изображена на рисунке…

 

2. 6 – это число…

1) вершин шестиугольной призмы;

2) рёбер треугольной призмы;

3) граней четырёхугольной призмы.

 

3. Не существует призмы, у которой все грани…

1) ромбы;

2) прямоугольники;

3) треугольники.

 

4. Существует призма, которая имеет…

1) 13 рёбер;     2) 14 рёбер;     3) 15 рёбер.

5. ABCA1B1C1 – наклонная призма.

Тогда СС1B1B не может быть…

1) ромбом;

2) квадратом;

3) прямоугольником.

 

6. ABCDA1B1C1D1 – прямой параллелепипед. – угол между диагональю DB1 и плоскостью DD1C1.

Тогда ABCD

1) ромб;

2) квадрат;

3) прямоугольник.

7. Развёрткой наклонной призмы является фигура под номером…

    

Уровень B

1. В правильной четырёхугольной призме площадь основания равна 144 см2, а высота равна 14 см. Тогда длина диагонали этой призмы…

 

2. ABCA1B1C1 – правильная призма. A1M = MB1.

Тогда

3. ABCA1B1C1 – прямая призма, АА1 = 6 см. АС = 12 см,

Тогда тангенс угла между плоскостями АВС и А1ВС равен…

 

Вариант №2

Уровень А

1. Призма изображена на рисунке…

2. 9 – это число…

1) вершин девятиугольной призмы;

2) рёбер треугольной призмы;

3) граней четырёхугольной призмы.

 

3. Не существует призмы, у которой все грани…

1) ромбы;

2) квадраты;

3) трапеции.

 

4. Число рёбер призмы кратно… 1) 5;     2) 2;   3) 3

     5. ABCDA1B1C1D1 – наклонный параллелепипед.  биссектрисе AK. Тогда ABCD

1) прямоугольник;   

2) ромб:  

3) квадрат.

                                                                                         

6. ABCA1B1C1 – правильная призма. Тогда угол между BC1 и плоскостью АВВ1 – это…

1)

2)

3)

     7. Не является развёрткой правильной призмы фигура под номером…

Уровень В

1. Диагональ основания правильной четырёхугольной призмы равна 8 см, а диагональ боковой грани – 7 см. Тогда диагональ призмы равна…

2. Все рёбра наклонной треугольной призмы равны по 4 см. Боковое ребро АА1 составляет с рёбрами оснований углы по 30°.

Тогда площадь боковой поверхности равна…

3. ABCDA1B1C1D1 – прямая призма, АА1 = 6 см. ABCD – параллелограмм, см,

Тогда тангенс угла между плоскостями АВС и АВ1С1 равен…

Ключ  к тесту  по теме: « Призма»

№ п/п вариант

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

В1

В2

В3

1

1

3

3

3

1

1

2

22

90°

4

2

3

2

3

3

1

2

2

9

32

2

 

Тема 2 Пирамида

Цель: Сформировать представление о пирамиде и ее элементы, нахождение площадей боковой и полной поверхностей пирамиды, формировать умения и навыки учащихся решать задачи на использование пирамид.

2.1. Теория

Многогранник, одна грань которого является n-угольником, а остальные грани - треугольники с общей вершиной, называется пирамидой, n-угольник называется основанием пирамиды, а треугольники - боковыми гранями.

Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами пирамиды.

 

В зависимости от количества сторон основания, пирамиды могут быть треугольными, четырёхугольными, пятиугольными и т. д.

 

Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Важно знать, где на плоскости основания находится проекция вершины пирамиды, она может быть в центре основания, на стороне основания, за пределами многоугольника основания. Решение задачи в большей степени зависит от расположения этой точки.

  

Чтобы нарисовать пирамиду, нужно соблюдать определённый порядок:

1) первым рисуется основание, 

2) по условию задачи находится проекция вершины на плоскости основания,

3) вертикально проводится высота,

4) проводятся рёбра.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/93454510-4260-413e-a643-ba438da64e55/TPT%202.JPG

На рисунке изображена четырёхугольная пирамида SABCD

(первой пишут букву вершины).

 

Основание - четырёхугольник ABCD.

 

Вершина проектируется в точку пересаечения диагоналей O - основание высоты или проекция вершины .

 

SA, SB, SC, SD ребра пирамиды,

AB, BC, CD, DA -стороны основания.

 

В курсе школы в основном есть задачи, в которых даны:
-правильная пирамида (вершина проектируется в центр основания);
-пирамида, вершина которой проектируется в центр описанной окружности;
-пирамида, вершина которой проектируется в центр вписанной окружности;
-пирамида, высота которой совпадает с боковым ребром;
-пирамида, высота которой также является высотой боковой грани.

 

Углы пирамиды

  

Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды.

Запомните: двугранный угол образуется двумя перпендикулярами.  На рис. OES.

Чтобы определить этот угол, часто нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах.

Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания.

На рис.OCS.

  

Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды.

  

Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды.

На рис.DSC.

 

Основаые формулы пирамиды

 

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней пирамиды:  S=S1+S2+S3+...

 

Некоторые формулы годятся только для определённых видов пирамиды.

 

Площадь полной поверхности  Sп.п.=S+Sоснования

 

Объём пирамиды V = 1/3Sоснования*H,  где H - высота пирамиды.

 

Формула объёма используется для пирамид любого вида.

Пирамида, основанием которой явялется правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центр основания, называется правильной пирамидой.

Боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

Правильная треугольная пирамида, у которой все рёбра равны, называется тетраэдром.

Все грани тетраэдра - равные равносторонние треугольники.

 

В школе нужно уметь решать задачи, где дана

-правильная треугольная пирамида (рис. 1)

-правильная четырёхугольная пирамида (рис. 2)

-правильная шестиугольная пирамида (рис.3)

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/b435d3ee-5794-4eab-878f-3729ecbc9004/regulara_trijstura_piramida.JPG

Рис. 1.

 Основание правильной треугольной пирамиды - равносторонний треугольник.

Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения медиан. Запомните: BN:NK = 2:1

 

KD - апофема,

 NKD и NLD - двугранные углы при основании пирамиды,

DCN и DBN- углы между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/b9d8a951-1b9b-4609-b850-cca56f58c18a/regulara%20cetrstura%20piramida.JPG

 Рис. 2.

Основание правильной четырёхугольной пирамиды -  квадрат.

Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (квадрата).

ML - апофема,

 

MLO - двугранный угол при основании пирамиды,

MCO - угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/167507ce-d63c-4bdc-8930-951e9a8d0eed/sestura_piramida.JPG

 Рис. 3.

 Основание правильной шестиугольной пирамиды -  правильный шестиугольник.

 Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания (шестиугольника).

 SE = h - апофема,

 OES - двугранный угол при основании пирамиды.

Формулы

  Для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды существуют две формулы:

, где P - периметр основания,

 h - апофема, ϕ - двугранный угол при основании.

Объём пирамиды  V = , где H - высота пирамиды.

 

Не путайте h - апофему с H - высотой пирамиды!

Если боковые рёбра пирамиды с плоскостью основания образуют равные углы, то рёбра пирамиды равны, и вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около многоугольника основания.

Чтобы было легче запомнить, можно представить вид пирамиды сверху

(см. рис.1).

 

 Проекции рёбер равны, через их концы можно провести окружность.

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/2ccae749-e8dc-4de3-aea7-cb88e0c48024/Ar%20lielo%20ri%C5%86%C4%B7i.JPG 

У пирамиды могут быть равны боковые рёбра тогда, когда около многоугольника основания можно описать окружность. 

  http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/7dc32b5b-2c14-4a23-a2d5-f854693c0c47/ar%20lielo%20R.JPG

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c38d0328-5612-4d35-97de-b9371441a515/taisnlenka%20piramida.JPG

 

  Рис. 2                                                         Рис. 3

Главные зависимости для многоугольников, около которых можно описать окружность 

   

Для таких пирамид нельзя использовать формулы правильной пирамиды для вычисления площади боковой поверхности, площадь боковой поверхности находят, сложив площади всех боковых граней пирамиды.

Ss=S1+S2+...

 

Если основание - правильный многоугольник и все боковые грани равны, то пирамида является правильной.

 

Если боковые грани пирамиды с её основанием образуют равные

двугранные углы, то все высоты боковых граней пирамиды равны (у правильной пирамиды это апофемы), и вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания.

Чтобы легче это запомнить, можно представить, что смотрите на пирамиду сверху
(см. рисунок).

 

 Проекции высот боковых граней пирамиды равны, через их концы можно вписать окружность. 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/cb6dfb1b-b8b2-4b68-a4d4-251d1b7f6f16/ar%20mazo%20r.JPG 

  Для таких пирамид при вычислении площади боковой поверхности применяются формулы, которые используются для правильной пирамиды.

  

У пирамиды могут быть равные двугранные углы при основании тогда, когда в многоугольник основания можно вписать окружность.

  http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/a7ffb638-2f83-45bd-8556-7690db7c757d/ar%20mazo%20r%20piramida.JPG

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/564bcc71-4ec5-494b-91bc-f403eae87324/piramida%20ar%20rombu.JPG

 Рис. 2                                                         Рис. 3

 

Отмечая радиус r на рисунке, нужно быть очень внимательным! Радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне.
Например, в произвольном треугольнике он не находится на биссектрисе (рис.2) и в ромбе не параллелен стороне (рис.3).
  

Главные зависимости для многоугольников, в которые можно вписать окружность

  

 

Если у пирамиды одно ребро перпендикулярно плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в одну из вершин основания.

На первом рисунке дана треугольная пирамида с одной гранью, перпендикулярной основанию.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/a3c1958c-a43e-454e-96d6-aafb81f3ead9/piramida.JPG

DA - перпендикулярное основанию ребро,

DA также является высотой,

  Δ DAC и Δ DAB - прямоугольные,

 угол DEA - двугранный угол при основании.

 На втором рисунке дана пирамида, основание которой - прямоугольник.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/464ee290-9bbd-46e3-875d-92a1e5629a3f/PERPENDIKULARA%20SKAUTNE%202.JPG

 

Ребро SB перпендикулярно основанию,

SB также яаляется высотой,

 Δ SBA и Δ SBC - прямоугольные,

    если основание - прямоугольник, то

Δ SAD и SCD - прямоугольные.

 (В задании это нужно доказывать при помощи теоремы о трёх перпендикулярах ТТП).

ТТП - прямая, которая проведена на плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/8b11949c-46bb-4e43-9a08-efad9be3a88c/PERPENDIKULARA%20SKAUTNE%203.JPG

  Если прямая AD перпендикулярна проекции наклонной AB, то она перпендикулярна и наклонной SA.

 

Если прямая CD перпендикулярна проекции наклонной BC, то она перпендикулярна и наклонной SC.

Записываем с помощью символов:

 

 У таких пирамид площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней Ss=S1+S2+...  (нельзя использовать формулу  правильной пирамиды).

 

Формула нахождения обьёма применяется для всех видов пирамид:

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/4e2bc12a-e8ce-4446-88d0-f624c01a858e/Reg.%20%C4%8Detrstura%20prizma.JPGУсечённой пирамидой называется часть пирамиды между её основанием и плоскостью, параллельной ему.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/6c0c971d-dc47-4855-b956-6855e0244ab8/Trijstura%20prizma.JPGУсечённая пирамида, полученная из правильной пирамиды, сечением, параллельным её основанию, называется правильной  усечённой пирамидой.

Правильная усечённая треугольная пирамида ABCKNV,

ABC и KNV - основания пирамиды,
OO1 - высота (H)

Правильная усечённая четырёхугольная пирамида ABCDZVNK,

ABCD и ZVNK - основания,
OO1 - высота (H)

Обьём усечённой пирамиды

 

h - апофема правильной усечённой пирамиды, на данных рисунках это отрезок LF.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c1c96363-995b-4933-8094-8f62b0e7cf76/Trijstura%20pIRAMI2.JPG

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/b55d3577-35da-4bcd-acf1-34cbd9dad2be/Reg.%20%C4%8Detrstura%20prizma2.JPG

2.2. Онлайн -ресурсы

           http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_volume/pyramid/

http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_volume/tetrahedron/

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/ob-em-piramidy

http://rutube.ru/video/00f11d6d2b10df0a02404de488025d8b/?ref=relroll

https://www.youtube.com/watch?v=J7dHXVSeeBk

http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-069*page.htm

 

2.3. Урок


Тема: Объём пирамиды (решение прикладных задач).

Цель: Закрепить знания  обучающихся по теме математики «Объем             пирамиды» и экономики «Финансы и расчеты в бизнесе».

Задачи:

  Обучающая:Изучение понятия «объем пирамиды»  и практическое применение; полученных знаний при решении прикладных задач; умение проводить параллель между экономическими и математическими понятиями.

Развивающая: развитие творческого отношения  обучающихся к применению теоретических знаний к прикладным вопросам математики и экономики; развитие и формирование у обучающихся информационной и коммуникационной  компетенции; развитие внимания, памяти, речи, логического мышления при решении задач, умения анализировать.

   Воспитательная: воспитание и развитие коммуникационных способностей: работа в группе, в паре; воспитание научного отношения к решению жизненных проблем; воспитание самостоятельности, самоконтроля, самооценки.

 

Тип урока: бинарный.

Межпредметные связи: математика, экономика.

Оборудование к уроку:

  •          Модели пирамиды;
  •          Мультимедийный проектор;
  •          Экран, ноутбук;
  •          Презентация;
  •          Раздаточный материал  для обучающихся;
  •          Чертёжные инструменты;

 

Предлагаемые медиоматериалы:

  1. Презентация
  2. Видеоматериалы с Интернета:

        http://video.mail.ru/mail/soltanovskaja/135/24.html

        http://www.videoinet.ru/view.html?id=1X07saF09qw2bUZ 

Ход урока

  1. Организационный момент.

 

  1. Мотивация: Добрый день! Сегодня урок у нас необычный и начать мне его хотелось бы со стариной арабской пословицы XIII века  «Всё на свете боится времени, а время боится пирамид!». Эти слова, как нельзя, кстати.  Пирамиды – это единственное из семи чудес света чудо, дожившее до нашего времени, до эпохи телевидения и компьютерных технологий. И тема нашего урока сегодня «Объем пирамиды (решение прикладных задач)» (запись в тетрадь).
  1. Актуализация знаний.

На прошлых занятиях мы рассмотрели одно из Платоновых тел многогранник – пирамида. Мы изучили основные элементы пирамиды, её свойства.  Научились вычислять высоту, площадь основания, площадь полной и  боковой поверхности пирамиды, объём. Сегодня мы с вами ещё раз обратимся к такому понятию как объём пирамиды. Научимся решать задачи с элементами экономики, исследуем экономическую и математическую связь в вычислении объёма пирамид, то есть пополним знания по предмету «математика» и «экономика».

 Предлагаю вам ответить на следующие вопросы (фронтальный опрос):

  1. Какой многогранник называется пирамидой?
  2. Назовите и покажите на рисунке: основание пирамиды, высоту, рёбра, боковые грани, вершину пирамиды.
  3. Какая пирамида называется правильной?
  4. Что такое ось правильной пирамиды?
  5. Назовите формулу для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды, площади полной поверхности.
  6. Назовите формулу для нахождения объёма пирамиды.

 

  1. Основная часть урока: изучение нового материала

Учитель: Давайте еще раз обратимся к истории   создания пирамид и послушаем сообщение вашего товарища (задание для сообщения выдается заранее). 

Ученики: Первые сооружения, имеющие форму пирамиды, были воздвигнуты более 5 тыс. лет назад в Египте из известняка по строго математическим расчётам. Данное сооружение и по сей день  вызывает восхищение, и входило в известные «семь чудес света». Предлагаю вашему вниманию видеофильм о Египетских пирамидах.

 (Видео ролик о Египетских пирамидах: http://video.mail.ru/mail/soltanovskaja/135/24.html )

 Учитель: Сегодня на уроке мы постараемся исследовать математическую и экономическую зависимость в вычислении объёма пирамиды через решение прикладных задач.

 Впервые формулу объёма пирамиды вывел известный древнегреческий учёный из города Сиракуз - Архимед.

 Архимед, впервые выводя формулу объема, разработал следующий метод: высота пирамиды разбивается на n - равных частей, и через точки деления проводят плоскости, параллельные основанию пирамиды. При этом пирамида разбивается на слои. Для каждого такого слоя строятся две призмы, одна из которых содержится в слое, а другая содержит слой. Данный чертеж получил название «Чертовой лестницы» (чертеж выдается каждому обучающемуся ).

 Почему Архимед применил данное название именно к этой модели многогранников. Это понятие мы можем разобрать  с экономической точки зрения.

Учитель экономики: «Чертовой лестница» - это не что иное, как прототип лестницы ведущей к образованию  финансовой пирамиды. Из курса геометрии вы знаете, что основанием математической  пирамиды называют её нижнюю грань. То есть тело в форме пирамиды устойчиво стоит на горизонтальной поверхности.

 Для создания финансовой пирамиды необходимо сформировать ее основание (используется минимальное число боковых граней пирамиды - три). То есть для построение организации на основе финансовой пирамиды достаточно всего три человека,

Итак, значит первая ступень создания финансовой пирамиды – то есть её основания  - это привлечение капитала как минимум трех человек. Эти организаторы начинают своё движение вверх по ступенькам «чертовой лестницы», в целях привлечения клиентов и сбора финансовых средств.

За незначительное время капитал фирмы (т.е. высота пирамиды)  возрастает в десятки раз, при этом объём пирамиды (т.е. финансы организации) увеличивается в сотни раз.  

Но в один прекрасный момент  наращивание капитала прекращается, а значит цель организатора финансовой пирамиды, достигнута (все грани фирмы соединяются  в верхней части пирамиды – вершине).

Пирамида начинает переворачиваться, иначе - становится с ног на голову и

Верхушка пирамиды финансируется за счет расширения основания и привлечения новых участников. Как только основа перестает расширяться, а это неизбежно происходит, то пирамида рушится. При этом те, кто пришел в фирму, построенную по принципу финансовой  пирамиды последним, и не является её руководителем, теряют все. Наступает финансовый крах.

Предлагаем вашему вниманию небольшой видеоролик о том, как работает финансовая пирамида:  http://www.videoinet.ru/view.html?id=1X07saF09qw2bUZ.

  1. Закрепление изученного материала:

Учитель: А теперь перейдем к решению прикладных задач. (В начале урока группа поделена на 2 подгруппы (круглые столы). Обучающимся выдается раздаточный материал, который содержит по 2 задачи, которые надо решить  и сделать экономический вывод по полученным результатам (Приложение к уроку № 2, № 3). (У доски решают задачи 4 человека).

Задачи 1 подгруппы (с решением):

Дано: FABCD  правильная  пирамида,

          АВСД- основание пирамиды (первоначальный капитал фирмы),

          FО – высота (количество привлеченных клиентов в фирму).

  1. Найти объём пирамиды (объем полученного капитала фирмой).
  2. Сравнить результаты 1 и 2 задачи.
  3. Сделать экономический вывод о зависимости объема полученного капитала от количества привлеченных клиентов в фирму.

1 задача

2 задача

                                    F

Scan0025

Дано: AD = 12 ед., FО = 4 ед.

                                       F

Scan0025

 Дано: AD = 12 ед., FО = 10 ед.

Решение:   1) V = So h

2) По условию задачи ABCD – квадрат, то So = а 2,

So = 12 2 = 144 ед 2

3) V = 1444 = 192 см3

Ответ: 192 ед 3

Решение: 1) V = So h

2)По условию задачи ABCD – квадрат, то So = а 2,

So= 12 2 = 144 ед 2

3) V = 14412 = 576 см3

Ответ: 576 ед3

   Учитель: По результатам исследования (решение задач) какой вывод сделает команда 1 подгруппы?

   Ученики  1 подгруппы должны сделать следующий вывод: чем больше высота пирамиды, тем больше её объём. Следовательно, чем больше клиентов будет привлечено в финансовую компанию, тем больший капитал получат от действия организаторы фирмы, работающие по действию финансовой пирамиды.

Задачи 2 подгруппы (с решением):

Дано: FABCD  правильная  пирамида, 

          АВСД – основание (первоначальный капитал),

          FО – высота (период существования фирмы).

  1. Найти объём пирамиды (объем полученного капитала фирмой).
  2. Сравнить результаты 1 и 2 задачи.
  3. Сделать экономический вывод о зависимости объема полученного капитала от периода существования фирмы и начального капитала фирмы.

1 задача

2 задача

FScan0025

Дано: AD = 6 ед., DС = 8ед.,

           FО = 14 ед.

FScan0025

Дано: AD = 3 ед., DС = 4ед.,

           FО = 14 ед.

Решение:  1) V = So h

2) По условию задачи ABCD – прямоугольник, то So = а b ,

So = 68 = 48 ед 2

3) V = 4814 = 224 ед3

Ответ: 224 ед3

Решение: 1) V = So h

2)По условию задачи ABCD – прямоугольник, то So = а b ,

So= 34= 12 ед 2

3) V = 1214 = 56 ед3

Ответ: 56 ед3

Ученики  2 подгруппы должны сделать следующий вывод:  чем больше площадь основания пирамиды тем больше и  итоговый объем пирамиды. Следовательно, чем больше первоначального капитал  организаторов фирмы по типу финансовой пирамиды, тем быстрее и  итоговый капитал фирмы на момент краха.

Преподаватель предлагает обучающимся сделать общий экономический вывод по решению разного вида экономических задач. Обучающие должны сделать следующие выводы:  

  1. Организаторы фирмы, созданной по принципу финансовой пирамиды, которые будут  стремиться к быстрому обогащению должны вложить в первоначальный капитал большее количество финансовых средств.
  2. Организаторы аналогичной фирмы имеющие малый первоначальный капитал будут стремиться к большему привлечение клиентов, то есть данная фирма просуществует дольше, а значит за большее время  финансовые вложения клиентов, которые доверяют данной фирмы увеличится. И этот тип финансовой пирамиды более рационален для организаторов
  1. Подведение итогов урока.  Сегодня на уроке вы убедились в том, что свойства объемов, формулы для вычисления объемов пирамиды могут оказаться полезными при решении прикладных задач.  Подводя итоги урока, мне хотелось бы вам задать вам следующие вопросы:
    1. Кто и когда  ввёл понятие «чертова лестница»?
    2. В чём заключается метод разработанный Архимедом?
    3. С каким экономическим понятием ассоциируется «чёртова лестница»?
    4. На каком математическом принципе основано понятие «финансовая пирамида»?

Вывод по уроку: сегодня, мы закрепили знания по математике и экономике  пользуя понятием «объема пирамиды»,  исследовали зависимость математического и экономического понятия, научились применять теоретические знания по математике к прикладным вопросам экономики.

  1. Рефлексия:  Обучающимся предлагается закончить следующие высказывания:
  • Я задумался сегодня о ……
  • Для меня было неожиданным, новым …..
  • Больше всего мне заполнилось сегодня …
  • Больше всего мне понравилось сегодня ….
  • Основная мысль урока для меня …
  • Мне было интересно, когда …
  • Мне было трудно …
  1. Домашнее задание:
    1. учебник Геометрия. §   ,п.   , №   .
    2. Творческое задание: реферат на тему: Финансовые пирамиды в Украине».

2.4. Тест

Вариант-1

  1. Из данных утверждений выберите верное:

а) все ребра правильной пирамиды равны;
б) площадь поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему;
в) боковые грани усеченной пирамиды – трапеции;
г) утверждения а-в не верны.

  1. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, все грани которой наклонены к основанию под углом 600 , а в основании лежит прямоугольный треугольник с катетами 3см и 6см.

а) 9 см2 б)10 см2 в)12 см2 г) другой ответ.

  1. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 5 см, а плоский угол при вершине пирамиды 600. Найдите боковое ребро пирамиды.

а) 6см,  б)     см,  в) 5см,  г)   см, д) другой ответ

  1. В основании пирамиды SАВС лежит равнобедренный треугольник АВС, в котором ВС=12 см, а АВ=АС=10 см. Найдите площадь сечения АSМ, если оно перпендикулярно плоскости основания, а все боковые ребра пирамиды равны 10см.

а) 3 см2 б) 5  см2 в) 31см г) другой ответ

  1. Боковые ребра пирамиды SАВС равны между собой. SD – высота пирамиды. Точка D лежит внутри треугольника АВС. Треугольник АВС:

а) прямоугольный   б) остроугольный   в) тупоугольный   г) недостаточно данных.

Вариант-2

  1. Из данных утверждений выберите верное:

а) все грани правильной пирамиды равны;
б) площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению суммы периметров оснований на апофему;
в) боковые грани усеченной пирамиды – трапеции;
г) утверждения а-в не верны.

  1. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, все грани которой наклонены к основанию под углом 450 , а в основании лежит квадрат с диагональю, равной 18см.

а) 9 см2 б)10 см2 в)12 см2 г) другой ответ.

  1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4см, а плоский угол при вершине пирамиды 900. Найдите высоту пирамиды.

а) 2см, б) 3см, в) см, г) 4см   д) другой ответ

  1. В основании пирамиды АВСD, все боковые ребра которой равны  см, лежит прямоугольник со сторонами АВ=8 см и ВС=6 см. Найдите площадь сечения МSN, если оно перпендикулярно плоскости основания, а ВМ : МС = 2 : 1.

а) 14 см           б) 14 см     в) 15см   г) другой ответ

  1. Боковые ребра пирамиды SАВС равны между собой. SD – высота пирамиды. Точка D - середина ребра ВС. Треугольник АВС:

а) прямоугольный
б) остроугольный
в) тупоугольный
г) недостаточно данных.


Ответы


1


2


3


4


5


Вариант-1


в


г


в


б


б


Вариант-2


в


а


г


б


б

Тема 3. Цилиндр

Цели: введение понятия цилиндрической поверхности, цилиндра и его элементов; рассмотрение различных видов сечения цилиндра плоскостью;  выведение формул для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра;развитие пространственного мышления.

  1.                 Теория

Цилиндр - тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/498624f0-94e9-4f64-b162-644fc8627927/cilindrs%20%282%29.JPG

Прямоугольник ABOK вращается вокруг стороны OK,
 

OK - ось симметрии цилиндра,
 

OK= H - высота цилиндра,
 

AB - образующая цилиндра,
 

AK= R - радиус цилиндра.

 

 Полученная цилиндрическая плоскость называется боковой поверхностью цилиндра, а круги - основаниями цилиндра.

Осевое сечение цилиндра - это сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через ось цилиндра.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/87c158e2-1576-47c1-abb7-6231e8acce84/cilindrs-aksial.JPG

    ABCD - осевое сечение цилиндра.

 Осевое сечение цилиндра - это прямоугольник, одна сторона которого является высотой цилиндра.

  BA = CD = H

 Вторая сторона прямоугольника - диаметр цилиндра.

AD= D

 

Радиус цилиндра R = AD : 2

 

При сечении цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра (т.е. перпендикулярной основанию), получается прямоугольник.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/bf550c4c-8e33-4937-af64-3a05155cbae8/cilindrs%20-%20paralel%C5%A1%C4%B7%C4%93lums.JPG

 

На рисунке изображен цилиндр, пересечённый плоскостью, которая параллельна оси цилиндра OK,

  

ABCD - прямоугольник.

 

OC = OB = R (радиус),

 
OM - расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения.
Дуга BC равна центральному углу BOC.

Геометрические тела можно расположить одно в другом. Например, призму можно вписать в цилиндр.

 

На первом рисунке призма нарисована внутри цилиндра, но это не означает, что она вписана в цилиндр.

На втором рисунке выполняются все условия для того, чтобы призма была вписанной в цилиндр.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/45255550-dca9-4ebf-941f-c8bf143cf96d/1%20tema%20nepareizais.JPG

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c2b06943-76dd-451b-89ec-bc9d20210c13/1%20tema.JPG

       рис. 1                                                  рис. 2

 

Чтобы решать задачи, в которых даны комбинации геометрических тел, нужно уметь:

   1) описать взаимное расположение тел (знать определения);

2) указать общие точки или элементы;

3) если дан шар, то показать местонахождение его центра;

4) обосновать возможность вписания или описания данного тела;

5) отобразить данную комбинацию тел наиболее удобным способом;

6) сделать выводы о взаимосвязях величин.

  

В курсе средней школы нужно знать:

 

комбинации шара с кубом, цилиндром и конусом;

взаимные комбинации цилиндра и призмы;

взаимные комбинации конуса и пирамиды;

взаимные комбинации конуса и цилиндра.

 Каждую из комбинаций можно выразить двумя способами.

 Шар, описанный около куба - тоже самое, что и куб, вписанный в шар.

Призма, вписанная в пирамиду - то же самое, что и пирамида, описанная около призмы.

При решении задач редко рисуется объёмный рисунок комбинации тел, чаще используются рисунки оснований или сечений.

Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, многоугольники оснований которой вписаны в окружности оснований цилиндра, а боковыми ребрами являются образующие цилиндра.

 

 

 

 

 

 

 

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/6f279ff9-c76f-423a-9597-9733fc609e63/7%20tema.JPGрис. 1

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/daa0a4d6-8dd1-4f2f-bbfd-b7940cf69f43/7%20tema%20otrs.JPG
                          рис. 2

                                                                                            

Цилиндр можно описать только около такой прямой призмы, около основания которой можно описать окружность.

Например, цилиндр можно описать около прямой треугольной призмы (см. рис. 1), около правильной призмы, в основании которой находится квадрат (рис. 2).

 

Рисунок составляется в зависимости от содержания задания, часто достаточно рисунка основания комбинаций этих тел, т.к. высота призмы равна высоте цилиндра.


Окружность основания цилиндра описана около многоугольника основания призмы.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/7cb7a319-d6a8-404a-88b8-2b854b791f0e/7%20tema%203.JPG

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/466ab8e5-8f62-4863-97ab-208f88c53b86/7%20tema%204.JPG

рис. 3                                                             рис. 4

 

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (см. рис. 3), центр окружности, описанной около квадрата является точкой пересечения диагоналей квадрата (см. рис.4).

  Радиус цилиндра - это радиус окружности, описанной около многоугольника основания призмы.

 

Формулы вычисления радиуса R описанной окружности:

   где a,b,c стороны, h - высота, d - диагональ.

 

 Теория 6. Призма, описанная около цилиндра

Призмой, описанной около цилиндра, называется призма, многоугольники оснований которой описаны около окружностей основания цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/a90f24d0-2abf-45f7-8515-a3f5d31aa73f/8%20tema.JPG

 Цилиндр вписан в призму, если окружности оснований цилиндра вписаны в многоугольники оснований призмы.

     рис. 1

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/2929bf6e-4aeb-4b6a-94f0-d8b8321197a1/8%20tema%202.JPG

Цилиндр можно вписать только в такую прямую призму, в многоугольник основания которой можно вписать окружность.

 рис. 2

 

Например, цилиндр можно вписать в прямую треугольную призму (см. рис.1); в правильную призму; в прямую призму, основанием которой является ромб (см. рис. 2).

 

Рисунок создаётся в зависимости от содержания задачи, часто достаточно нарисовать основание комбинации этих тел, т.к. высота цилиндра равна высоте призмы.
Окружность основания цилиндра вписана в многоугольник основания призмы.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/0670ca35-5e8c-4ac8-82bd-1961556ff61b/8%20TEMA%203.JPG

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/0c4b3e9a-bc3a-4fae-a282-8b7993a0e40f/8%20TEMA%204.JPG

                      рис. 3                                                        рис. 4

 

Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника (см. рис.3), центр окружности, вписанной в квадрат, является точкой пересечения диагоналей квадрата (см. рис. 4).

  

Радиус цилиндра - радиус окружности, вписанной в многоугольник основания призмы.

 

 

Формулы вычисления радиуса r вписанной окружности:

 

   где h - высота, S - площадь, p- полупериметр, a - сторона.

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/30566810-a1fa-440a-b112-321ad91663b3/cilindrs.JPG

Площадь поверхности цилиндра состоит из площади боковой поверхности и площади оснований цилиндра.

 

Площадь боковой поверхности цилиндра

S(бок.) = 2πRH,

где R - радиус цилиндра,

H - высота цилиндра.

 

  

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/3aab0b1b-b673-44f1-9eec-eb0cbe666842/taisnst%C5%ABris%20%282%29.JPG

Развёртка боковой поверхности цилиндра на плоскости - прямоугольник.

Одна сторона прямоугольника является  высотой цилиндра.

AB = H

  

Вторая сторона прямоугольника является длиной окружности основания цилиндра.

  

AD = 2πR 

 

Основания цилиндра - круги.   S(круга) = πR2.

 

Площадь полной поверхности цилиндра равна:

S(полн.) = 2S(осн.) + S(бок.) = 2πR2 + 2πRH

 

Объём цилиндра V(цилиндра) = πR2H.

3.2. Онлайн -ресурсы

http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_area_1/cylinder/

http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_volume/cylinder/

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/ob-em-tsilindra

https://www.youtube.com/watch?v=nOIvkNMEy_4

http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-069*page.htm

 

3.3. Урок

Тема: "Тела вращения. Цилиндр"

Цели урока:

  • образовательные: сформировать понятия о телах вращения, цилиндре как теле вращения, об основных элементах цилиндра, закрепить эти понятия и научиться использовать их при решении задач.
  • воспитательные: формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, развивать коммуникативные умения; формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.
  • развивающие: формировать умения анализировать свойства тел на основе знаний, формировать коммуникативные умения, проверить уровень самостоятельности мышления ученика по применению знаний в различных ситуациях, анализировать и делать выводы, развивать умения правильно ставить вопросы и находить на них ответы. Совершенствовать умение наблюдать, строить образ объекта, делать выводы, формировать вычислительные, расчётные навыки, развивать мышление учащихся в ходе решения задач.

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.

Формы обучения: фронтальная, групповая, индивидуадьная.

Тип урока: комбинированный урок.

Оборудование: маркерная доска, компьютер, мультимедиа-проектор, модель цилиндра.

Ход урока

1. Повторение

Окружность и круг

С понятиями окружность и круг вы уже знакомы. Вспомните, какие известные вам предметы имеют форму окружности (слайд №2). Основные понятия, связанные с окружностью - радиус, диаметр, хорда (демонстрируются на слайде). А теперь – примеры предметов, имеющих форму круга (на слайде). Вспоминаем формулы для нахождения длины окружности и площади круга (на слайде). Заполнение предложенной таблицы позволит вспомнить перечисленные понятия и формулы (на слайде).

2. Основная часть

Как получить цилиндр из прямоугольника

Тела вращения – это геометрические тела, полученные при вращении плоских многоугольников вокруг оси.

Возьмём, к примеру, прямоугольник (слайд №3). Если вращать его вокруг одной из сторон, получим тело вращения цилиндр.

Как вы думаете, сколько разных цилиндров можно получить, вращая один и тот же прямоугольник?

Вокруг большей стороны (на слайде);

Вокруг меньшей стороны (на слайде);

Вокруг оси симметрии, параллельной большей стороне (на слайде);

Вокруг оси симметрии, параллельной меньшей стороне (на слайде).

Основные элементы цилиндра

Введём определения основных элементов цилиндра и рассмотрим их на чертеже (слайд №4):

Прямой круговой цилиндр – это тело, получаемое вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон (на слайде).

Сторона прямоугольника, вокруг производилось вращение, называется осью цилиндра (на слайде).

Стороны прямоугольника, примыкающие к оси, описывают при вращении два равных круга- основания цилиндра (на слайде).

Радиус основания является радиусом цилиндра (на слайде).

Расстояние между основаниями цилиндра называется его высотой (на слайде).

Любой отрезок, параллельный оси цилиндра и соединяющий граничные точки его оснований, называется образующей цилиндра (на слайде).

Сечения цилиндра плоскостью

Рассмотрим, какие фигуры получаются при пересечении цилиндра плоскостью (слайд №5):

Секущая плоскость проходит вдоль оси цилиндра.

Сечением является прямоугольник, стороны которого - образующие конуса и диаметры оснований. Такое сечение называется осевым (на слайде).

Секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра.

Сечением является круг (на слайде).

Секущая плоскость параллельна оси цилиндра.

Сечением является прямоугольник (на слайде).

Секущая плоскость наклонена к плоскости основания.

Сечением является эллипс или его часть (на слайде).

3. Закрепление

Письменная работа (слайд №6):

В тетрадях укажите по чертежу основные элементы цилиндра:

Проверяем по слайду

Слайд анимирован, ответы появляются по щелчку мыши во время фронтальной проверки.

 В следующей работе нужно найти значения основных элементов цилиндра:

Самостоятельная работа (слайд №7).

(Работа на 4 варианта с последующей проверкой результатов (слайд №8). Возможный вариант применения: обучающиеся, сидящие рядом или по диагонали, меняются работами с соседями, проверяют работы и сообщают оценку.)

Площадь поверхности и объём цилиндра

Если разрезать боковую поверхность цилиндра (слайд №9) по образующей, получим прямоугольник (на слайде),одной из сторон которого является длина окружности основания,а другая - высота цилиндра. Применив форулу для нахождения площади прямоугольника, получим:

(на слайде)

Для нахождения площади полной поверхности цилиндра прибавим две площади основания (на слайде):

(на слайде)

Для нахождения объёма цилиндра площадь основания нужно умножить на высоту:

  (на слайде)

Решение задач

  1. Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см вокруг его оси симметрии, параллельной большей стороне
  2. Радиус основания цилиндра равен 6 см ,высота в два раза меньше длины окружности основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра
  3. Найдите объём тела, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см вокруг прямой, проходящей через середины его больших сторон.
  4. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
  5. Высота цилиндра равна 6 см, а площадь его боковой поверхности вдвое меньше площади его полной поверхности. Найдите объём цилиндра.

4. Домашнее задание

Проработать конспект.

Решить задачи:

  1. Найдите объём тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см вокруг большей стороны.
  2. Радиус основания цилиндра равен 4 см, высота в 2 раза больше длины окружности основания. Найдите объём цилиндра.
  3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 64 см 2, а его образующая равна диаметру основания.

3.4. Тест

Тест по теме: «Цилиндр»

Вариант №1

1. Цилиндр нельзя получить вращением…

1) треугольника вокруг одной из сторон;

2) квадрата вокруг одной из сторон;

3) прямоугольника вокруг одной из сторон.

 

2. Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить по формуле…

3. Сечением цилиндра плоскостью, перпендикулярной его образующей, является

1) круг;

2) прямоугольник;

3) трапеция.

4. На основаниях цилиндра взяты две  параллельные друг другу хорды, проходящие через центры оснований. Тогда расстояние между хордами…

1) равно высоте цилиндра;

2) больше высоты цилиндра;

3) меньше высоты цилиндра.

 

5. Боковой поверхностью цилиндра высотой H и диаметром основания d является квадрат. Тогда верно, что…

   1) d = H;                                                 

   2)                         

  3)

6. Развёрткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра может быть…

1) прямоугольник;

2) ромб;

3) параллелограмм.

7. Отношение площадей боковой поверхности и осевого
сечения цилиндра равно…

1)                                                       

 2)                                            

  3)

8. Площадь боковой поверхности цилиндра в 2 раза больше площади основания. Тогда отношение равно…

1) 1;

2) 2;

3) 3.

 

Вариант №2

 

  1.               Цилиндр можно получить вращением…

1) трапеции вокруг одного из оснований;

2) ромба вокруг одной из диагоналей;

3) прямоугольника вокруг одной из сторон.

 

2. Площадь боковой поверхности цилиндра нельзя вычислить по формуле…

1) =                     

2)                 

3)

 

3. Сечением цилиндра плоскостью, параллельной его образующей, является

1) круг;

2) прямоугольник;

3) трапеция.

 

  1.               На основаниях цилиндра взяты две перпендикулярные друг другу хорды, проходящие через центры оснований.

Тогда расстояние между хордами…

1) равно образующей цилиндра;

2) больше высоты цилиндра;

3) меньше образующей цилиндра.

 

  1.               Боковой поверхностью цилиндра с высотой H и радиусом основания R является квадрат. Тогда верно, что…

1)                                      

  2)                                  

  3)

 

  1.               Развёрткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра не может быть…

1) прямоугольник;

2) ромб;

3) квадрат.

 

  1. Площадь боковой поверхности цилиндра больше площади осевого сечения цилиндра в…

  1)  раз;                                           

  2) 2 раза;                                      

  3) раз.

 

8. Площадь боковой поверхности цилиндра в 3 раза больше площади основания. Тогда отношение      равно…

 

1) 1;             2) 1,5;         3) 3.

 

Ключ  к тесту по теме: «Цилиндр»

 

№ п/п вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

1

2

1

3

1

2

3

3

2

1

1

2

3

2

 

 

3.5. Практическая  работа :  Объём цилиндра

Цель:  закрепить навык решения практических задач на вычисление объёма цилиндра.

 

Теоретическая часть

Прямым круговым цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси содержащей одну из его сторон.

Описание: cilindr

Боковая поверхность

Описание: \normalsize{S}бок Описание: \normalsize{=2\pi RH,}
где Описание: \normalsize{R}- радиус круга, являющегося основанием,
Описание: \normalsize{H}- высота цилиндра.

Полная поверхность

Описание: \normalsize{S}полн Описание: \normalsize{=2\pi R(R+H)}
Sос.сеч. = 2Н R
 

Объем

Описание: \normalsize{V=\pi R^{\small{2}} H} = Sосн Н

 

Выполните задания

1 вариант

1 уровень

  Ответьте  на вопросы теста,  выбрав  один  или  несколько  правильных  ответов  из  предложенных.

 

Описание: http://festival.1september.ru/articles/509668/img1.jpg1. Какая фигура является основанием  цилиндра:

а) окружность;    б) круг;   в) эллипс.

 

2. Назовите отрезок,  который является радиусом:

а) О2А1;   б) О2О1;   в) А4О2.

 

3. Укажите на рисунке образующую цилиндра:

а) О1О2;   б) А2А3;    в) А1А2.

 

4. Высота цилиндра это:

а) Расстояние между плоскостями его основания;
б) отрезок, который соединяет две любые точки оснований;
в) отрезок, который соединяет центр круга с любой точкой цилиндра.

 

5. Какая фигура является осью цилиндра?

а) прямая О1О2;   б) отрезок О1О2;   в) отрезок А1А2.

 

2 уровень

 

6. Найдите объем цилиндра с высотой   равной  3 см   и   диаметром основания – 6 см.

а)27π см3;           б)9π см3 ;           в)36π см3;         г)18π см3;           д)54π см3.

 

7. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 600. Найдите объем цилиндра, если площадь осевого сечения равна 16 Описание: http://kalasevo.edurm.ru/ur%20gvo15.gifсм3.

а)16π см3;        б)16Описание: http://kalasevo.edurm.ru/ur%20gvo15.gifсм3;               в)32π см3        г)8 м3;    д)16Описание: http://kalasevo.edurm.ru/ur%20gvo15.gifπсм3.

 

8. Площадь осевого сечения цилиндра равна 20 см3, площадь основания  - 25π см2.  Найдите объем цилиндра.

а) 9π см3;        б) 30Описание: http://kalasevo.edurm.ru/ur%20gvo18.gifсм3,      в) 50π см3,       г) 63π см3,      д) 30Описание: http://kalasevo.edurm.ru/ur%20gvo15.gifπ см3.

 

9. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами   4 и 1. Боковые ребра равны Описание: frac{2}{pi }. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

 

3 уровень

10. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке.

11. В цилиндрический сосуд налили  2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в  см3.

Описание: E8C97518A74C425EA3D9D1CD457C93D7/img1.png2 вариант

1 уровень

  Ответьте  на вопросы теста,  выбрав  один  или  несколько  правильных  ответов  из  числа предложенных.

Описание: Описание: http://festival.1september.ru/articles/509668/img1.jpg

1. Какая фигура является  осевым  сечением  цилиндра:

а) треугольник;    б) круг;   в) прямоугольник.

 

2. Назовите   отрезок  который  является  высотой:

а) А2А3;   б) О2О1;   в) А4О2.

 

3. Укажите на рисунке образующую цилиндра:

а) О1О2;   б) А2А3;    в) А1А2.

Описание: b9.253

Описание: CC454186AC544FC784A72C78BB4352x3/img1.png4. Равносторонний цилиндр – это цилиндр, у которого:

а) образующая равна высоте;
б) радиус основания равен высоте цилиндра;
в) диаметр основания равен высоте цилиндра.

 

5. Объем цилиндра вычисляется по формуле:

     а) V = Sосн ;    б)  V = 2πR ;   в)   V = πR2 .

 

2 уровень

 

6. Найдите объем цилиндра с высотой   равной  5 см   и   диаметром основания – 8  см.

а)27π см3;          б)9π см3 ;        в)36π см3;           г) 80π см3;              д)54π см3.

 

7. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания  цилиндра угол 600. Найдите объем цилиндра, если площадь осевого сечения равна  см3.

а)16π см3;       б) 128π см3;       в) 32π см3        г) 8 м3;    д) 16 см3.

 

8. Площадь осевого сечения цилиндра равна  12  см3, площадь основания  -  16π см2.  Найдите объем цилиндра. 

а) 24π см3;     б)31,5Описание: Описание: http://kalasevo.edurm.ru/ur%20gvo18.gifсм3,     в)21π см3,     г) 63π см3,      д) 31,5Описание: Описание: http://kalasevo.edurm.ru/ur%20gvo15.gifπ см3.

 

9. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Описание: b9.245

3 уровень

10. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке.

 

Описание: Описание: E8C97518A74C425EA3D9D1CD457C93D7/img1.png11. В цилиндрический сосуд налили   3000 см 3  воды. Уровень воды при этом достигает высоты 8 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 6 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в  см 3 .

 

 

 

 

Описание: Описание: CC454186AC544FC784A72C78BB4352x3/img1.pngКритерии оценки практической работы

 

Задания

Баллы

Примечание

1 - 5

3

Каждый правильный ответ 0,5 б.

6 - 11

9

Каждый правильный ответ  1,5  б.

 

Максимальный балл за работу12 балла

Тема 4. Конус

Цель: Тема «Конус» знакомит школьников с этим геометрическим телом: содержит его определение, понятие об осевом сечении и сечении плоскостью, понятие усеченного конуса, формулы для вычисления площади боковой и полной поверхности конуса, объёма конуса а также боковой поверхности усеченного конуса.

4.1. Теория.

Конус - тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.

  

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/59cd7250-150e-48c6-9212-5f01260884f2/konus_rotejos_trijsturis.JPG

Треугольник AKO вращается вокруг стороны KO

 KO - ось конуса

 KO= H - высота конуса

 K - вершина конуса

 KA= l - образующая конуса

 Круг с центром O - основание конуса.

 AO= R - радиус основания конуса.

Осевое сечение конуса - это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось конуса.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/e6149817-7b91-4cd3-b7f6-7900e5f33c22/konusa_aksial.JPG  

Осевое сечение конуса - это равнобедренный треугольник.

 AKB - осевое сечение конуса,

 AK = KB = l - образующая конуса,

 OA = OB = R - радиус конуса,

 KO = H - высота конуса,

 KBO =KAO - угол между образующей и основанием конуса.

 Равносторонним конусом называется конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник.

  

При нахождении элементов равностороннего треугольника, можно использовать соотношения прямоугольного треугольника.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/50db53e1-f2d1-43d3-b974-8822678f1de3/reg%20trijst%20apr.jpghttp://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/8aa323ae-f5e2-48e8-9de6-30339dd7ccf0/Trijstura%2030%20gradi.JPG

 Теория 3 .Выражение радиуса конуса из развёртки боковой поверхности конуса

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Длина дуги сектора - это длина окружности основания конуса.

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c3fc11ec-0c4c-4cdf-bf10-c6f790305796/konus%20un%20izklajums.jpg

Длина дуги сектора вычисляется по формуле , где l - радиус сектора или образующая конуса, α - угол сектора.

 

Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле 2πR, где R - радиус конуса.

 

Из этого соотношения можно выразить радиус конуса.

 

 В конусе нельзя обозначить угол развёртки.
На развёртке конуса нельзя обозначить высоту и радиус конуса.

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/f18531a4-7d87-4e5f-9b50-5e2a977f13e5/12%20TEMA.JPG

Цилиндр является описанным около конуса, если одно его основание совпадает с основанием конуса, а в центре второго основания находится вершина конуса.

  

Около любого конуса можно описать цилиндр.

  

Оси конуса и цилиндра совпадают.

 Чертится осевое сечение.

 

H(цилиндра) = H(конуса)

  

R(цилиндра) = R(конуса)

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/64b07972-6618-443a-9157-588ae8435db2/12%20tema2.JPG

 

Даны конус и описанный около него цилиндр. Во сколько раз объем цилиндра больше объема конуса?

V(цилиндра) = πR2H, а V(конуса) =⅓πR2H, H(цилиндра) = H(конуса) и

R(цилиндра) = R(конуса), следовательно, объём любого цилиндра в 3 раза больше объёма вписанного в него конуса.

Цилиндр является вписанным в конус, если одно его основание находится в основании конуса, а второе основание касается всех образующих конуса.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/bea3dbe3-d07e-4020-8137-d62b68bbe05c/11%20TEMA.JPG

В любой конус можно вписать бесконечное множество цилиндров.

 

Чертится осевое сечение.

  Центры оснований конуса и цилиндра совпадают, а высота и радиусы отличаются.

  Чтобы определить зависимость между радиусами или высотами конуса и цилиндра, в задаче должна присутствовать дополнительная информация, например, должно быть дано  отношение радиусов или высот.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/d6a955d0-a5c7-46b8-bab4-2a5466a1c4d9/11%20TEMA%202.JPG

Найдите радиусы цилиндра и конуса, если известно, что их отношение равно 1 : 4, а разность равна 6 м.

Решение:   Радиус конуса обозначаем за x, а радиус цилиндра за y. Составляем систему уравнений:

 

Ответ: радиус конуса равен 8 м, а радиус цилиндра равен 2 м.

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/17c3d61d-b8c7-4e3a-adde-9c51765f4822/10%20TEMA%201.JPG

 Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, основанием которой является многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса.

    

В любую правильную пирамиду можно вписать конус.

 Около конуса можно описать только такую пирамиду, у которой двугранные углы при основании равны.

Двугранные углы при основании равны у правильных пирамид и у таких пирамид, высота которых проектируется в центр вписанной окружности.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/b16bb99d-94b6-4fe2-9636-ecc2c5163807/10%20tema%202.JPG

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/cdda2da8-ae88-428f-bfb8-e17d8b7b36d6/8%20TEMA%204.JPG

                 рис. 2                                                       рис. 3

Окружность основания конуса вписана в многоугольник основания пирамиды.


Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис (см. рис.2), центр окружности, вписанной в квадрат, лежит на пересечении его диагоналей (см. рис. 3).

Радиус конуса - радиус окружности, вписанной в многоугольник основания пирамиды.

Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, многоугольник основания которой вписан в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/b42d1269-2188-401c-9141-72bd47c9dbe1/9%20TEMA%202.JPG

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c0497ea5-2bae-47bf-b1dc-b08181d57b93/9%20TEMA%201.JPG

                             рис. 1                                                       рис. 2

  

В конус можно вписать только такую пирамиду, боковые рёбра которой равны (совпадают с образующими конуса).

 

Боковые рёбра равны у любой правильной пирамиды и у таких пирамид, высота которых проектируется в центр описанной окружности.

 

Рисунки создаются в зависимости от содержания задачи, иногда достаточно изобразить только основания этих тел, т.к. высоты пирамиды и конуса равны.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/bcba0eb7-a341-48a0-ac78-8ed06e4c56b7/9%20tema%203.JPG

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/af0b61f6-eb7d-4d93-bf61-cb956ebdbdec/9%20tema%204.JPG

                               рис. 3                                            рис. 4

Окружность основания конуса описана около многоугольника основания пирамиды.

Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (см. рис. 3), центром окружности, описанной около четырёхугольника является точка пересечения его диагоналей (см. рис. 4).

 

Радиус конуса - радиус окружности,описанной около многоугольника основания пирамиды.

Площадь поверхности конуса состоит из площади боковой поверхности конуса и площади основания (круга).

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/284c1da7-59d3-4e04-a551-698846a7cfe8/konuss.JPG

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

S(бок.) = πRl,

где R - радиус конуса,

l - образующая конуса.

 

Площадь основания конуса вычисляется  по формуле S(круга) = πR2

 

Площадь полной поверхности конуса  вычисляется по формуле

S(полн.) = S(бок.) + S(круга) = =πRl + πR2

 

Площадью боковой поверхности конуса является площадь ее развёртки.

Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор.

  

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/52cdcf62-f1aa-46bd-951b-d15200ccd917/konusa%20izklajums.JPG

S(сектора) =  , где

α - градусная мера центрального угла.

 

Радиус этого сектора - образующая конуса

AK = KB = l

Усечённый конус - тело вращения, которое получается при вращении прямоугольной трапеции вокруг меньшей боковой стороны.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/0f028016-db64-4f42-af0d-2909f35e5c22/nno%C5%A1%C4%B7lts%20konuss.JPG

 R2 - радиус меньшего основания
  R1 - радиус большего основания

l - образующая
H - высота

 

Площадь боковой поверхности усечённого конуса

Sбок.=πl(R1+R2) , где R1и R2  −радиусы оснований, l - образующая.

Sполн.=Sбок.+S1+S2, где S1, S2 - площади оснований уеченного конуса.

Объём усечённого конуса
V=1/3πH(R12+R1R2+R22), где H - высота усечённого конуса.


При решении задач чаще вего достаточно нарисовать только осевое сечение усечённого конуса, которое является равнобедренной трапецией.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/3654dd4e-5fb3-4f68-99a2-a439eab0fab3/Tno%C5%A1%C4%B7.%20konuss.JPG

 

4.2. Онлайн -ресурсы

http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_area_1/cone/

  • Онлайн калькулятор.Объем конуса.

http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_volume/cone/

  •  Видеоурок: Объем конуса

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/ob-em- konusa

https://www.youtube.com/watch?v=33DXdtJBnjc

http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-069*page.htm

 

 

4.3.   Урок

Тема :  Объём конуса.

Цели урока:

  • усвоение всеми учащимися стандартного минимума фактических сведений о вычислении объемов геометрических тел;
  • формирование умений: самоанализа, творческого мышления (идет развитие правого полушария, то есть образного восприятия информации, обобщения путем сравнения);
  • определение результативности и эффективности само и взаимопроверки усвоения обязательного минимума знаний; приема групповой защиты решения задачи; диалога учащихся.

Тезис урока:

Что без меня предметы?
Лишь названия.
А я приду – все в действие придет:
Летит ракета, люди строят здания,
Цветут сады, и хлеб в полях растет.

http://festival.1september.ru/articles/639861/img1.jpg

Ход урока

Установление контакта учителя с учениками.

  • Вниманию учеников предлагаются два изображения.

Учитель просит установить связь между этими объектами.

“Конус – шишка” (греческий перевод).

Идет конструктивный разговор о понятиях и формулах, связанных с конусом.

  • Что сегодня мы узнаем? Чему научимся? Что сумеет сделать каждый?
  • Как вы думаете, для чего дамы в средневековье носили длинный конус-колпак на голове?

  

Если вы скажете, что мода такая была, то вы ошибётесь. Ответ прост, они считали, что под колпаком собирается энергия, которая в свою очередь сделает их сильнее и умнее. Водружаем на голову колпак и энергично отправляемся на поиск новой информации о конусе.

Первичная актуализация знаний. Решение задач по готовым чертежам .

1. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 600. Радиус основания r. Вычислить боковую поверхность конуса и его объем.

Решение:

2. В прямоугольном параллелепипеде измерения относятся как 5:3:2. Его объем равен 240 см. Вычислите измерения параллелепипеда.

Решение:

Ответ: 4см; 6см;10см.

3. Прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 см вращается вокруг одного из них. Вычислите объем полученного тела вращения.

Решение:

Или

4. Высота равностороннего цилиндра равна 6 см. В равностороннем цилиндре высота равна диаметру основания. Вычислите боковую поверхность цилиндра и его объем.

Решение.

Системная актуализация. Защита решения задачи.

  • На основании прямого кругового конуса лежат три шара радиуса r . На них лежит четвертый шар того же радиуса. Каждый из этих шаров касается боковой поверхности конуса и трех шаров. Найти высоту конуса и его объем.

Решение математических задач требует от учащихся применения многочисленных мыслительных умений. Они должны анализировать заданную ситуацию; сопоставлять данные и искомые величины; сравнивать решаемую задачу с решенными ранее, выявляя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели; осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать найденные факты, отбирая полезную для решения задачи информацию. Поэтому предлагаю ребятам решение сложных задач готовить заранее в виде групповой защиты своей работы. Группа, защищающая решение задачи, составляется по принципу взаимодополняемости и малоконфликтности. В группе обязательно присутствует сильный лидер, два сильных референта, она работоспособна и управляема.

1. Демонстрируются модели, иллюстрирующие задачу: каркасная, пластилиновая, компьютерный вариант.

2. Предлагается чертеж осевого сечения:

A, B, C – центры шаров, лежащих в основании конуса, D – центр четвертого шара.

Основание конуса параллельно плоскости АВС и удалено от нее на расстоянии r.

Тетраэдр АВСD – правильный со стороной 2r.

Докажем, что высота конуса проходит через точку D и центр треугольника АВС.

Высота тетраэдра АВСD проходит через центр АВС.

Плоскости основания конуса и плоскость АВС параллельны, т. е. высота конуса и высота тетраэдра параллельны между собой.

Пусть K, L, M – проекции точек А, В, С на основание конуса. Ясно, что КLM есть равносторонний треугольник со стороной 2r.

В плоскости сечения конуса, проходящей через его высоту SH и точку А, сечением первого шара будет окружность, вписанная в угол SPH.

Рассмотрим треугольник АPK, где РА – биссектриса угла SPH .

Тогда HK = R – r·ctg (a/2), где R– радиус основания конуса, a – угол SPH.

Равносторонний треугольник вписан в окружность, концентрическую с основанием конуса и имеющую радиус R – r·ctg (a/2). Значит, центр треугольника КLM совпадает с центром основания, а, значит, с центром треугольника АВС.

Вывод: точка D проектируется в центр основания.

Обозначим точки касания сфер с центрами А и D с образующей SP через N и Q.

По условию сферы имеют одинаковый радиус, радиусы перпендикулярны касательной SP, значит, отрезок DK параллелен образующей SP.

= a, где G – центр треугольника АВС.

DG –высота правильного тетраэдра АВСD, т.е.

  • После отчета группы о проделанной работе, учащиеся класса задают им вопросы
  • Какова практическая значимость задачи? (Объём конуса и объём шара подсчитывается при расчете веса мороженого в вафельном стаканчике, для расчета светового потока в конусовидном абажуре, для изучения различных биологических и географических процессов и т.д.)

Можно ли рассчитать объем конуса при заданных условиях или потребуется дополнительные параметры?

  • Применение конуса в кулинарии.

Конус – хищная улитка, притом ядовитая. Охотятся они при помощи зуба – пронзают им жертву, как гарпуном. Питаются морскими червями, моллюсками и небольшими рыбами.

С людьми конусы тоже не сюсюкаются. Могут ужалить ничуть не хуже пчелы – и последствия могут быть довольно неприятными. Возможен даже смертельный исход.

Но зато медики конусов любят. Их яд считается очень перспективным веществом с медицинской точки зрения. Его тщательно изучают и стремятся ввести в широкое производство.

А можно ли использовать эту модель в современной архитектуре?

  • Весь класс в форме активного обучения повторил теорию круглых тел, в классе состоялся активный диалог.

Проверка аналитического восприятия темы. Расчет комфортности жилища.

(Учитель меняет методику закрепления нового материала и предлагает ребятам заняться аналитическим методом восприятия темы “Объемы тел”/)

Расчет комфортности жилища определяется по формуле

равним комфортность нашей классной комнаты с комфортность чума у чукчей.

Намного ли нам комфортнее?

Рассчитаем комфортность классной комнаты. Ее размеры: 7м; 3,5м; 12м.

  • Расчет комфортности чума.

В русском языковом сознании слово “чум” обычно ассоциируется с чукчами, а вообще чумами, чтобы не заморачиваться, зовут все конические шалаши северных жителей. На самом деле, слово это происходит из финно-угорских языков и вовсе не из Сибири. У коми “тсом”, у удмуртов “цум” – это конусовидное лесное или прибрежное хранилище припасов. Так же, к слову, называется мера расстояния – перегон по реке от одного чума до другого. Русские научились этому слову у удмуртов. А когда продвинулись дальше на север и на восток, они увидели, что всякие “дикие сибирские обыватели” в чумах – живут. И саамы, которые лопари, в общем, тоже в них живут, хоть и не сибиряки. Конечно, у всех этих народов жилища назывались, да и выглядели по-разному. Вот, например, кувакса саамов:

http://festival.1september.ru/articles/639861/img19.jpg

Они крыли её мешковиной или брезентом.

А это кота. Тоже саамская. Полностью деревянная.

http://festival.1september.ru/articles/639861/img20.jpg

Чум тунгусов-эвенков назывался дю. Тунгусы были пешими кочевниками, Сибирь они освоили третьими – после палеоазиатов и юкагиров. Возможно, именно они и научили все местные племена строить чумы. А может, наоборот, научились у них. Хотя, по-хорошему, конструкция эта настолько проста, что, скорее всего, просто её придумали одновременно разные люди в разных местах.

А теперь, собственно, к чукчам. Чукчи живут в ярангах. Вот в таких:

http://festival.1september.ru/articles/639861/img21.jpg

Яранга, конечно, немного похожа на чум, но конструкция у неё сложнее, об этом чуть позже, а сейчас рассчитаем комфортность чума.

http://festival.1september.ru/articles/639861/img22.jpghttp://festival.1september.ru/articles/639861/img25.gif

http://festival.1september.ru/articles/639861/img24.gif

http://festival.1september.ru/articles/639861/img25.gif

http://festival.1september.ru/articles/639861/img27.gifhttp://festival.1september.ru/articles/639861/img26.gif

 =  45,05%

Ответ: чум оказался комфортнее классной комнаты.

Как показывают типовые расчеты, коэффициент комфортности всегда меньше единицы. Дома вы сможете просчитать комфортность вашего жилья. Существует единственное геометрическое тело, имеющее коэффициент комфортности, равный единице, это шар. Каждый из нас видел неоднократно, как в холодную ночь кот готовится ко сну. Он поджимает под себя лапы и становится шарообразным.

http://festival.1september.ru/articles/639861/img28.jpg

Но это уже другая история, о ней мы состоится разговор на следующем уроке. Наш разговор пойдет о том, что заварной чайник круглой формы остывает медленнее, чем чайник такого же объема, но другой формы.

http://festival.1september.ru/articles/639861/img29.jpg

  • дивительно, но наш чум оказался комфортнее классной комнаты. Как показывают типовые расчеты, коэффициент комфортности всегда меньше единицы. Дома вы сможете просчитать комфортность вашего жилья. Существует единственное геометрическое тело, имеющее коэффициент комфортности, равный единице, это шар. Каждый из нас видел неоднократно, как в холодную ночь кот готовится ко сну. Он поджимает под себя лапы и становится шарообразным. Но это уже другая история, о ней мы состоится разговор на следующем уроке. Наш разговор пойдет о том, что заварной чайник круглой формы остывает медленнее, чем чайник такого же объема, но другой формы.

Домашнее задание.

“Читал я где – то, что царь однажды воинам своим велел снести земли по горсти в кучу. И гордый холм возвысился, и царь мог с высоты веселье озирать:

И дол, покрытый белыми шатрами, и море, где бежали корабли”.

Как вы думаете, кто из наших соотечественников написал эти строки? Как вы думаете, какие формулы нам потребуются для вычисления массы этого холма?

Запишите домашнее задание: Рассчитать комфортность вашей комнаты и комфортность проживания в яранге, данные возьмите из интернета. Подготовьтесь к самостоятельной работе .

http://festival.1september.ru/articles/639861/img31.gifТест

Тест рассчитан на проверку усвоения учащимися темы урока.

1. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 300. В ответе укажите http://festival.1september.ru/articles/639861/img30.gif.

2. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?

3. Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?

http://festival.1september.ru/articles/639861/img33.jpghttp://festival.1september.ru/articles/639861/img32.gif4. Цилиндр и конус имеют общие основания и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.

5. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на π.

6. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

7. Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на π.

http://festival.1september.ru/articles/639861/img34.gif8. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на π.

9. Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?

Итог урока.

Где бы вы ни очутились после окончания школы, всюду вы встретите круглые тела: кирпич с отверстиями; графитные стержни; резервуары нефтеперерабатывающих заводов, ведра и подшипники, вулканы и их кратеры, воронки для переливания жидкостей и смерчи. Словом, вам придется самостоятельно моделировать жизненные ситуации.Эдгар Дейл в 1969 году выявил наиболее эффективные способы обучения.

http://festival.1september.ru/articles/639861/img35.jpg

Эдгар Дейл пришел к выводу, что:

– слушать лекции на тему или читать материалы по предмету – это наименее эффективный способ выучить что-либо;
– обучать других и использовать изучаемый материал в собственной жизни – это наиболее эффективный способ выучить что-либо.

Результаты исследований он представил в виде схемы “Конус обучения”.

Рефлексия.

  • Какое событие урока поразило вас своей неожиданностью?
  • С какими моментами урока вы не согласны?
  • Какие вопросы сегодняшнего разговора требуют доработки?

4.4.Тест

  • Тест по теме: «Конус»

Вариант №1

1. Конус может быть получен вращением…

1) равностороннего треугольника вокруг его стороны;

2) прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов;

3) прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы.

 

2. Площадь боковой поверхности конуса можно вычислить по формуле…

1)                     2)                  3)

3. Сечением конуса плоскостью, перпендикулярной оси цилиндра, является…

1) треугольник;                     2) прямоугольник;                  3) круг.

4. Расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, проходящей через вершину конуса, равно длине отрезка…

 

1) OB;                         2) OK;                    3) OM.

5. Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой…

1) сегмент;                        2) сектор;                           3) слой.

6. Площадь полной поверхности конуса равна

1)             2)                      3)

7. Наибольший периметр имеет сечение конуса, проходящее через его вершину и хорду, стягивающую дугу в…

1) 60°;                           2) 90°;                       3) 180°.

8. Через вершину конуса и хорду ВС проведена плоскость.

Тогда угол между этой плоскостью и плоскостью основания это угол…

1) ABO;                2) AMO;                  3) BAC.

 

Вариант №2

1. Конус может быть получен вращением…

1) прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы;

2) равнобедренного треугольника вокруг медианы, проведённой к основанию;

3) тупоугольного треугольника вокруг одной из его сторон.

2. Площадь боковой поверхности конуса нельзя вычислить по формуле…

1)             2)                 3) 

3. Сечением конуса плоскостью, проходящей вершину конуса и хорду основания, не может быть…

1) прямоугольный треугольник;

2) равнобедренный треугольник;

3) разносторонний треугольник.

4. Расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, проходящей через вершину конуса, равно длине отрезка…

1) OF;           2) OK;                3) OB.

5. а – образующая конуса, b – высота конуса.

Тогда верно, что…

1) a > b;                                     2) a = b;                                3) a < b.

6. Площадь полной поверхности конуса, у которого осевым сечением является равносторонний треугольник со стороной а, равна

1)                    2)                       3)

7. Наибольшую площадь имеет сечение конуса, проходящее через его вершину и хорду, стягивающую дугу в…

1) 60°;                            2) 90°;                           3) 180°.

8. Через вершину конуса и хорду AB проведена плоскость.

Тогда угол между этой плоскостью и плоскостью основания – это угол…

1) ACB;           2) OAC;             3) CKO.

 

Ключ  к тесту по теме: «Конус»

 

№ п/п вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

1

3

3

2

3

3

2

2

2

1

3

2

1

1

3

3

 

 

4.5. Практическая работа : Объём конуса.

Цель:  закрепить навык решения практических задач на вычисление объёма конуса.

Теоретическая часть

Прямым круговым конусом называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси содержащей один его катет.

Описание: Описание: konus

Боковая поверхность

Описание: Описание: \normalsize{S}бок Описание: Описание: \normalsize{=\pi RL,}
где Описание: Описание: \normalsize{R}- радиус круга, являющегося основанием,
Описание: Описание: \normalsize{L}- образующая конуса.

Полная поверхность

Описание: Описание: \normalsize{S}полн Описание: Описание: \normalsize{=\pi R(R+L)}
Sос. сеч.= H
 

Объем
Описание: Описание: \normalsize{V=\frac{1}{3}\pi R^{\small{2}} H,} 

V =
где Описание: Описание: \normalsize{H}- высота конуса.

 

Выполните задания

1 вариант

1 уровень

  1.Необходимо угадать принцип составления кроссворда  и зашифрованные слова. Слова означают геометрические термины, относящиеся к стереометрии.

Описание: Описание: http://festival.1september.ru/articles/568841/img1.gif

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 уровень

   2. Высота конуса 4 см, радиус основания – 3 см. Найти образующую конуса.
а) 5 см;   б) 4 см;    в) 6 см;    г) 10 cм;     д) 12 см.

3.Осевое сечение конуса – треугольник, все стороны которого равны 10 см. Найти угол наклона образующей к плоскости основании конуса.
    а) 900;   б) 600;    в) 450;   г) 300;    д) 250.

4.Высота конуса 12 см, образующая – 13 см. Найти  объём  конуса.
    а) 12 π см3;    б) 13 π см3;    в) 100 π см3;    г) 24 π см3;   д) 65 π см3.

 5.Найти объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см  вокруг меньшего катета.
   а) 16π см3;   б) 24 π см3;    в) 12 π см3;    г) 9 π см3;   д) 48 π см3.

Описание: Описание: 5C5B1B3B35F646098A8D4EED593828F3/img1.png6.Образующая конуса 4  см и наклонена к плоскости основания под углом 300. Вычислить объём   конуса.

      а) 16π см3;   б) 24 π см3;    в) 12 π см3;    г) 9 π см3;   д) 8 π см3.

3 уровень

Описание: Описание: AB6D7860B3AF415DA6B1A8D1E7568x17/img1.png  7. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

  8. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если    объем конуса равен 16.

 

2 вариант

1 уровень

  1.Необходимо угадать принцип составления кроссвордов и зашифрованные слова. Слова означают геометрические термины, относящиеся к стереометрии.

Описание: Описание: Описание: http://festival.1september.ru/articles/568841/img3.gif

2 уровень

   2. Высота конуса 6 см, радиус основания   – 8 см. Найти  образующую конуса.
а) 5 см;   б) 4 см;    в) 8 см;    г) 10 cм;     д) 12 см.

3.Осевое сечение конуса – прямоугольный  равнобедренный треугольник.  Найти угол наклона    образующей к плоскости основании конуса.
    а) 900;   б) 600;    в) 450;   г) 300;    д) 250.
4.Высота конуса 4  см, образующая – 5 см. Найти  объём  конуса.
    а) 12 π см3;    б) 13 π см3;    в) 15 π см3;    г) 24 π см3;   д) 65 π см3.

 5.Найти объем тела, полученного вращением прямоугольного треугольника с катетом  12 см  и   гипотенузой  13  см  вокруг меньшего катета.
   а) 16π см3;   б) 24 π см3;    в) 12 π см3;    г)240 π см3;   д) 48 π см3.

6. Найдите объем конуса, площадь основания которого равна 2 см2, а образующая равна 6 см  и   наклонена   к  плоскости основания под углом  30Описание: Описание: ^circ.

      а) 16 см3;   б) 2 см3;    в) 12 π см3;    г) 9 см3;   д) 48 π см3.

Описание: Описание: Описание: 5C5B1B3B35F646098A8D4EED593828F3/img1.png3 уровень 

Описание: Описание: Описание: AB6D7860B3AF415DA6B1A8D1E7568x17/img1.png7. Объем конуса равен 120. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

  8. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если    объем конуса равен 81.

 

 

Критерии оценки практической работы

 

Задания

Баллы

Примечание

1

5

 

2 - 8

7

Каждый правильный ответ  1  б.

 

Максимальный балл за работу12  б.

 

Тема 5. Шар

 

Цель: Сформировать представление о шар и ее элементы, сечение шара плоскостью и о касательную плоскость к шару, формировать умения и навыки учащихся решать задачи на использование шара и его элементов. Развивать пространственное воображение, наблюдательность и логическое мышление у учащихся.

5.1. Теория

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.

Поверхность шара называется сферой.

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/9f4c5ee7-2313-4f75-bd2b-fc48553f975e/Ri%C5%86%C4%B7is%20ar%20R.jpg

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/94691859-1f51-4bb2-9e72-b6bf76d738d9/sphere.jpg

 Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара, называется большим кругом.

Для упрощения обычно рисуется не шар, а большой круг шара.

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/d4fa19d6-1c97-4e9e-a03d-c51f136d390c/lode.jpg

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/6d034b28-e3bf-4461-be1f-85e9d22c13a4/lode_prasta.jpg

Изображение шара

OA= R

Большой круг

OA= R

Площадь поверхности шара (т.е. сферы) вычисляется по формуле S(сферы) = 4πR2, где R - радиус шара.

Объём шара вычисляется по формуле V(шара) = , где R - радиус шара.

 

Всякое сечение шара плоскостью есть круг (или точка, если плоскость касается шара).

  

Рисуется большой круг.   http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/209fd847-2b1c-46e2-9db1-445d58c72a30/Lode%20ar%20skelumu.jpg

OA = d - расстояние между центром шара и плоскостью сечения,

 OB = R - радиус шара,

 AB = r - радиус окружности сечения.

  В вычислениях используется теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике AOB :

 

     r2=R2d2

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/272a5d1a-421d-4666-bb2f-88add0aa3b17/cilindrs%203%20tema.JPG

Шар является вписанным в цилиндр, если касается оснований цилиндра и всех его образующих.

   Центр шара O - середина высоты цилиндра.

  Шар можно вписать только в такой цилиндр, в котором диаметр основания равен высоте.

 

Чертится осевое сечение.

Осевое сечение - квадрат с вписанной в него окружностью.

 

Радиус шара равен радиусу цилиндра:  R(шара) = R(цилиндра).

 

Радиус равен половине высоты цилиндра

R = H/2

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/801fbd19-ee6f-44f1-a18d-883434966637/tresa%20tema.JPG

 

Шар является описанным около цилиндра, если окружности оснований цилиндра лежат на  поверхности шара.

  http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/a5540d01-86da-4fd3-b22e-6d01d7d1bd7e/5%20TEMA.JPG

  Центр шара O находится в середине высоты цилиндра.

    Около любого цилиндра можно описать шар.

 

Общие элементы - две окружности.

Чертится осевое сечение.

 

  Радиус шара Rl - половина диагонали осевого сечения цилиндра.

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/f4a42688-b122-49e1-9df5-1047f151b3fa/5%20tema%202.JPG

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/2fa9911b-6e0e-410a-8ede-c7a40ecab9b3/6%20tema.JPG

Шар является описанным около конуса, если вершина конуса и окружность его основания находятся на поверхности шара.

  

  Около любого конуса можно описать шар.

           рис. 1

 

Чертится осевое сечение.

В общем случае осевым сечением является равнобедренный треугольник (рис. 2)

 

Центр шара O находится в точке пересечения высоты конуса и серединного перпендикуляра к  образующей конуса.

 

Чтобы вычислить радиус шара, можно использовать формулу                R =  , где a, b, c, это стороны треугольника (в данном случае это две образующие и диаметр конуса), а S - площадь треугольника.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/2e2aa6e6-2517-485b-9676-a5949b446a46/6%20tema%202.JPG

  рис. 2

 

Если дан равносторонний конус (у которого диаметр равен образующей), то осевым сечением является равносторонний треугольник (рис. 3).

 

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности O лежит на пересечении медиан треугольника.

 

Радиус шара ,

где h - высота треугольника (в данном случае, конуса).

 

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/b84b1021-b088-4b4d-8d0f-f103d961c373/6%20regulars.JPGрис. 3

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/0066135b-eae7-4d3d-9344-9fede59754f2/lode%20kuba.jpg

Шар является вписаннным в куб, если он касается всех его граней.

    

Центр шара O находится в точке пересечения диагоналей куба.

 

 В любой куб можно вписать шар.

 Общие точки шара и куба - центры шести граней куба (точки касания шара и куба). 

Чертится сечение плоскостью, которая параллельна грани куба и проходит через центр шара.

 

Радиус шара - половина стороны куба.

    R= или   a = 2R

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/1db4a97f-3ae1-4609-9885-5ce4119a9cb1/otra%20tema.JPG

 

Определите отношение объёмов куба и вписанного в него шара.

Решение: V(куба) = a3, V(шара) = , зная, что сторона куба равна 2R, записываем отношение объёмов и получаем:                                                         Ответ: V(куба) : V(шара) = 6 : π.

Если значение π принять за 3,14, то видно, что объём куба почти в два рза больше объёма вписанного в него шара.

 

π - иррациональное число, его приблизительное значение можно использовать только в том случае, если в задании указано оно само, или в задаче указывается, с какой точностью нужно вычислить величину.

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/3fdcda84-b24d-47ba-976b-912a07354431/4%20tema.JPG

 

Шар является описанным около куба, если все вершины куба находятся на поверхности шара.

 Центр шара O - точка пересечения диагоналей куба.

Около любого куба можно описать шар.

 Общие точки шара и куба - восемь вершин куба.

 

Чертится диагональное сечение.

  

AC и BD - диагонали куба,

Точка O - центр шара.

 

Радиус шара равен половине  диагонали куба

R =

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/8cf4c07e-080b-4686-8a61-aae34b23eecc/4%20temai.JPG

 

При решении задач, в которых дан шар, описанный около куба, часто необходимо вычислять диагональ куба.

Формула для вычисления диагонали прямоугольного параллелепипеда: d2=a2+b2+c2, где a, b, c  - измерения прямоугольного параллелепипеда.

У куба a = b = c, поэтому его диагональ можно вычислить с помощью формулы d=a√3, где а - ребро куба.

 

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.

Рисуется большой круг.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/a78cbe07-d7db-4f92-8b83-1a4509aacc7b/NOGRIEZTS%20SEGMENTS.jpg

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/223be287-7400-4e5c-87ba-1d9585d642b8/Lode%20ar%20skelumu_krasains%20-%20Copy.jpg

 

Круг с центорм A - основание шарового сегмента. AC = r - радиус основания шарового сегмента,

AB = H - высота шарового сегмента,

OC = R - радиус шара.

 

Площадь сферического сегмента вычисляется по формуле

S(сегм.) = 2πRH

 

Объём шарового сегмента вычисляется по формуле

V(сегм.) = , где R - радиус шара, H - высота шарового сегмента.

 

В формулах для сегмента не используется радиус основания сегмента, а используется радиус шара.

 

5.2. Онлайн -ресурсы

  •  Онлайн калькулятор. Площадь шара.

http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_area_1/sphere/

  •  Онлайн калькулятор. Объем шара

http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_volume/sphere/

  •  Видеоурок: Площадь сферы

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/ploschad-sfery

  •  Видеоурок: Объем шара

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/ob-em-shara

  •  Видеоурок: Объем шарового сегмента, шарового слоя, шарового сектора

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/ob-em-sharovogo-segmenta-sharovogo-sloya-sharovogo-sektora

  •  Видеолекция «Шар и сфера»

https://www.youtube.com/watch?v=nLSwF0idE94

  •  Тест "Шар"

http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-069*page.htm

 

5.3. Урок

Цели урока:

образовательные:

  • обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Тела вращения”;
  • вывести формулу объема шара.

Воспитательные:

  • показать, что источник возникновения изучаемой темы – реальный мир, что она возникла из практических потребностей; воспитание вычислительных навыков;
  • показать связь с историей; воспитание самостоятельности; воспитание стремления к самореализации.

Развивающие: совершенствование, развитие, углубление знаний, умений и навыков по теме; развитие пространственного воображения; развитие мыслительной деятельности: умения анализировать, обобщать, классифицировать.

Оборудование: учебник геометрии; компьютер; мультимедейный проектор; модели геометрических фигур (шар, цилиндр); презентация.

 

Ход урока

I. Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация опорных знаний.

1) Устная работа. Соотнесите название фигуры и формулу объема и площади поверхности тел.

  1. Цилиндр.
  2. Конус.
  3. Усеченный конус.
  4. Шар.

2) Проверка творческой домашней работы.

III. Изучение новой темы.

Сегодня мы с вами выведем формулу для вычисления объема шара.

Вспомните, определение шара и его элементов. (Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.)

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара. Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара).

Теорема: Объем шара равен

Доказательство:

Мы уже знаем, что можно вычислять объемы тел с помощью интегральной формулы

Давайте посмотрим, как это можно сделать для вывода формулы объема шара.

(Учитель объясняет вывод формулы объема шара с помощью формулы, ученики делают записи в тетрадях.)

Рассмотрим шар радиуса R с центром в точке О и выберем ось ОХ произвольным образом. Сечение шара плоскостью, перпендикулярной к оси ОХ и проходящий через точку М этой оси, является кругом с центом в точке М.. Обозначим радиус этого круга через r, а его площадь через S(х), где х абсцисса точки М. Выразим S(х) через х и R. Из прямоугольного треугольника ОМС находим

Заметим, что эта формула верна для любого положения точки М на диаметре АВ, т.е. для всех х, удовлетворяющих условию

  Применяя основную формулу для вычисления объемов тел при а= -R, b=R, получим

Теорема доказана.

Физкультминутка (для глаз).

IV. Формирование умений и навыков учащихся.

Проблемная задача. При уличной торговле арбузами весы отсутствовали. Однако выход был найден: арбуз диаметром 3 дм приравнивали по стоимости к трем арбузам диаметром 1 дм.

Что вы возьмете? Правы ли были продавцы?

Задача (Архимеда):

Дано: в цилиндр вписан шар.

Найти: отношение объемов цилиндра и шара.

Ответ: 1,5.

Одним из своих наивысших достижений Архимед считал доказательство того, что объем шара в полтора раза меньше объема описанного около него цилиндра. Недаром шар, вписанный в цилиндр, был высечен на надгробии Архимеда в Сиракузах. (Небольшое сообщение учащихся об Архимеде.)

Задачи:

1. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

Решение: (Опираемся на открытие Архимеда.)

Ответ: 12

2. Площадь поверхности шара уменьшили 9 раз. Во сколько раз уменьшился объем шара?

Решение:

Пусть радиус первого шара R, а уменьшенного r.

V. Итог урока.

Оценить работу учащихся на уроке и выставить оценки.

Диагностика (рефлексия).

На сегодняшнем уроке мы с вами вывели формулу объема шара, выяснили, что данные тела имеют широкое практическое применение и сделали небольшое открытие, которое еще в 3 веке до нашей эры сделал Архимед.

Беседа по следующим вопросам:

 

Что было интересного сегодня на уроке?

Что вызвало трудности?

Какие умения приобрели сегодня?

Где могут пригодиться эти умения?

 

Домашнее задание.

 

5.4.  Практическая  работа

Цель:  закрепить навык решения практических задач на вычисление объёма шара.

Теоретическая часть

 

  Сферой называется множество точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии Описание: \normalsize{\:R}, называемом радиусом сферы, от заданной точки Описание: \normalsize{\:O}, называемой центром сферы.
  Шаром называется множество точек пространства, находящихся от заданной точки Описание: \normalsize{\:O}  на расстоянии, не большем заданного расстояния Описание: \normalsize{\:R}.

Описание: shar

Площадь сферы

Описание: \normalsize{S=4\pi R^{\small 2}}


Объем шара

Описание: \normalsize{V=\frac{4}{3}\pi R^{\small 3}} 

 

Части шара

Описание: shar_sektorШаровой сектор

Описание: \normalsize{S}полн 

 

Описание: \normalsize{=\pi R(2H+\sqrt{2RH-H^{\small 2}})}

Описание: \normalsize{V=\frac{2}{3}\pi R^{\small 2}H}
 

 

Шаровой сегмент

Описание: \normalsize{S}бок  Описание: \normalsize{=2\pi RH}

Описание: \normalsize{V=\frac{1}{3}\pi H^{\small 2}(3R-H)}
Описание: shar_segment 

 

Выполните задания

1 вариант

1 уровень

 

Ответьте на вопросы теста, выбрав один ответ из числа  предложенных.

1. Сколько диаметров у сферы?

       а) 1;      б) 3;      в)2;     г) бесконечно много.

 2. Какой фигурой является сечение шара плоскостью?

    а) отрезком;    б) кругом;     в) окружностью;   г) сферой.

3. Если радиус сферы увеличить в 2 раза,  то объём увеличиться.

а) в 2 раза;    б) в 8 раз;     в) в 4 раза;   г) в 16 раз.

4. По формуле вычисляется   объём

     а) шара;    б) цилиндра;       в) конуса;            г) шарового сектора.

 

5. Радиус шара равен 3 см. Найдите объём шара.

    а)36π см3;    б)  12π см3;       в) 36 см3;            г) 45π см3.

 

2 уровень

6. Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения, если объём шара равен 288π, а площадь

    сечения  равна  27π.

      а) 2√3;    б) 3;    в) 4;    г) 6;    д) 3√2.

7. Найдите объём шара, площадь поверхности которого равна 108π см2.

      а) 108π см3;  б) 108π√2 см3;   в) 81√3 π см3;  г) 81π см3;  д) 108√3 π см3.

 

8. Диаметр одного шара равен радиусу другого. Найдите отношение объёмов этих шаров.

      а) 1 : 2;  б) 2 : 1;  в) 4 : 1;  г) 1 : 8;  д) 8 : 1.

9. Площадь большого круга шара равна 3π см2. Найдите  объём  шара.

      а)  π см3;   б) 4√2π см3;  в) 81√3 π см3;   г) 81π см3;   д) 4π см3.

 

3 уровень

10. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса Описание: 7,5.  

Описание: 5D4DBBE57DA1430B9AB263AB44028x14/img1.png      Найдите его объем.

11. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их   объемов.

12. Найдите объём шарового сектора, если радиус шара равен 3√2 см, а радиус окружности     основания - √10 см.

       а) 36√2 π см3; б) 12√2 π см3; в) 6√2 π см3; г) 8√2 π см3; д) 4√2 π см3.

 

2 вариант

1 уровень

 

Ответьте на вопросы теста, выбрав один ответ из числа  предложенных.

 

1. Сколько радиусов  у  сферы?

       а) 1;      б) 3;      в)2;     г) бесконечно много.

 2. Какой фигурой является сечение шара плоскостью?

    а) отрезком;    б) кругом;     в) окружностью;   г) сферой.

3. Если радиус сферы увеличить в 3  раза то объём увеличиться

а) в 2 раза;    б) в 8 раз;     в) в 27  раз;   г) в 16 раз.

4. По формуле вычисляется   площадь

     а) сферы;    б) цилиндра;       в) конуса;            г) шарового сектора.

5. Радиус шара равен 6 см. Найдите объём шара.

   а)36π см3;    б)  12π см3;       в) 36 см3;            г) 288π см3.

 

2 уровень

6. Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения, если объём шара равен  288π, а площадь

    сечения  равна  16π.

      а) 2√5;    б) 3;    в) 4;    г) 6;    д) 3√2.

7. Объем шара равен 36π. Найти площадь его поверхности.

      а) 108π см2; б) 108π√2 см2; в) 81√3 π см2; г) 36π см2; д) 108√3 π см2.

8. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

      а) в 27 раз;   б) в 9 раз;   в) в 3 раза;   г)  в 2 раза; д) в 4 раза.

9. Площадь большого круга  шара равна 9π см2. Найдите  объём  шара.

      а) π см3; б) 4√2π см3; в) 81√3 π см3; г) 81π см3; д) 36π см3.

3 уровень

10. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса  9,5.  

Описание: Описание: 5D4DBBE57DA1430B9AB263AB44028x14/img1.png      Найдите его объем.

11. Радиусы трех шаров равны 3, 4 и 5. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их   объемов.

12. Определить объём шарового сектора, если радиус окружности его основания  равен 60 см, а 

       радиус шара равен 75 см.

       а)  125π см3; б) 112500 π см3; в) 1125π см3; г) 2500 π см3; д) 112550 π см3.

 

Критерии оценки практической работы

 

Задания

Баллы

Примечание

1 - 5

5

Каждый правильный ответ 1 б.

6 - 12

7

Каждый правильный ответ  1  б.

 

Максимальный балл за работу12 б.

 

Тема 6. Итогоая

6.1.  Урок: Решение практических задач на вычисление объёмов тел вращения.

6.2.Зачетная работа 

Вариант1

 

1. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

 

2. Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

 

3. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту.

Вычислите объем цилиндра, если объем конуса 78.

 

4. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем конуса, если объем цилиндра 51.

 

5. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 78. Найдите объем шара.

 

6. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 86. Найдите объем цилиндра.

 

7. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара 104. Найдите объем конуса.

 

8. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса 25. Найдите объем шара.

Вариант2

 

1. В куб с ребром 15 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

 

2. Около куба с ребром описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на .

 

3. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса 60.

 

4. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем конуса, если объем цилиндра 111

 

5. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 93. Найдите объем шара.

 

6. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 14. Найдите объем цилиндра.

 

7. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара 80. Найдите объем конуса.

 

8. Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса 5. Найдите объем шара

Ответы         1В. 4,5; 5989,5; 234; 17; 52; 129; 26; 100.

                     2В.  562,5; 288; 180; 37; 62; 21; 20; 20.

 

6.3  Практическая работа   Тела вращения.

Цель:  закрепить навык решения практических задач на вычисление объёмов и площадей  тел  вращения.

Теоретическая часть

Тело

Объём

Площадь боковой поверхности

Площадь полной поверхности

 

Цилиндр

 

V=πR 2H

 

 

Sбок=2πRH

 

Sп=2πR(H +R)

 

Конус

 

 

Sбок=πRl

 

 

Sп=πR (R+l),

 

Сфера и шар

 

S=4πR2

 

 

Выполните задания

1 вариант

1 уровень

 

  1. Цилиндром называется тело, ограниченное  поверхностью:                                        

      А. Конической;           Б. Концентрической;              В. Цилиндрической;    Г. Сферической.

  1. Осевым сечением цилиндра  является:   

      А. Треугольник;       Б. Круг;       В. Прямоугольник;             Г. Трапеция.

  1. Площадь боковой поверхности цилиндра определяется по формуле, где l – образующая,

R – радиус, H – высота: 

     А. 2πRl;             Б. ;       В. ;         Г. πRl.

  1. Назовите элемент, не принадлежащий конусу:  

      А. Образующая;                Б. Ось;               В. Высота;             Г. Медиана.

  1. Сфера является поверхностью:  

      А. Конуса;              Б. Усеченного конуса;                     В. Цилиндра;          Г. Шара.

  1. Площадь поверхности сферы определяется по формуле, где R – радиус сферы:   

      А. ;                     Б. ;                   В. ;                     Г. .

7.Сколько можно провести диаметров через точку, произвольно взятую внутри шара?

      А. Одну.      Б. Ни одной.            В. Две.           Г. Бесконечно много.

8. Проекцией тела в горизонтальной плоскости является круг, а в вертикальной плоскости –   равнобедренный треугольник. Определите форму тела.

      А. Цилиндр;                 Б. Пирамида;                    В. Конус;                      Г. Шар.

9. Как изменится объем шара, если радиус увеличить в 2 раза?    

      А. Увеличится в 8 раз;     Б. Не изменится;   В. Увеличится в 4 раза;    Г. Увеличится в 2 раза.

10. Радиус шара 1 м. Вычислите объем шара.    

      А.  м3;        Б.    м3;    В. π  м3;      Г. 4π м3.

2 уровень

11. Если высота конуса 15 см, а радиус основания 8 см, то образующая конуса равна:

А. 14 см;                Б. 17 см;                В. 13 см;                Г. 6 см.

12.Секущая плоскость удалена от центра шара на расстояние 8 см, а радиус шара равен     10 см.  Вычислите площадь сечения шара.  

      А.   см;             Б.   см;           В.   см;                Г.   см;

13.Образующая конуса равна 10 см, а диаметр основания – 12 см. Вычислите площадь осевого сечения конуса.      

А. 24 см;                  Б. 12 см;                В. 26 см;                  Г. 48 см.

14.Образующая конуса равна 7 см, а высота –  6 см. Вычислите объем конуса.   

      А. см;                Б. см;              В. см;                 Г. см.

15. Равнобедренный треугольник с основанием 8 см и боковыми сторонами по 5 см вращается вокруг высоты, проведенной к основанию. Вычислите объем тела вращения.

А. см;             Б. см;            В. см;             Г. см.

16.В цилиндрическую банку диаметром 10 см опустили в жидкость деталь. Вычислите объем детали, если высота жидкости в банке поднялась на 4 см.   

     А. см;           Б. см;              В. см;            Г. см.

17.Прямоугольник со сторонами 5 см и 4 см вращается вокруг большей стороны. Вычислите объем тела вращения.  

      А. см;         Б. см;         В. см;            Г. см.

 

3 уровень

18. Образующая конуса равна 4 дм и наклонена к основанию под углом 60. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.         

      А. дм;     Б. 8 дм;     В. 6 дм;        Г. 4 дм.

19.Объем и площадь поверхности шара выражены одним и тем же числом. Вычислите радиус шара.   

      А. 3;        Б. 4;             В. 5;         Г. 6.

20.В шар вписан прямоугольный параллелепипед с измерениями 6 см, 3 см и 2 см. Вычислите радиус шара.         

      А. 1,5 см;           Б. 2 см;      В. 3 см;                 Г. 3,5 см.

21.Диаметр цилиндра равен 6 см, а высота –   10 см. Вычислите площадь его боковой поверхности.  

      А. 30 см;       Б. 60 см;         В. 20 см;       Г. 40 см;

22. Высота цилиндра равна 10 см, а радиус его основания – 5 см. Плоскость пересекает цилиндр параллельно его оси и удалена от нее на 4 см. Вычислите площадь сечения.

А. 60 см;          Б. 50 см;              В. 40 см;                Г. 30 см.

 

2 вариант

1 уровень

 

  1. Назовите элемент, не принадлежащий цилиндру: 

      А. Апофема;               Б. Высота;              В. Образующая;         Г. Радиус.

  1. Боковая поверхность конуса определяется по формуле, где l – образующая, R – радиус,

H - высота: 

      А. ;            Б. ;       В. ;          Г. .

  1. Конус не может быть получен вращением:

      А. Прямоугольника вокруг одной из сторон;  Б. Равностороннего треугольника вокруг  медианы;     В. Прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов;     Г. Равнобедренного треугольника вокруг высоты.

  1. Выявите формулу, не относящуюся к вычислению площади поверхности или объема конуса, где

l – образующая, R – радиус, H – высота:     

      А. ;             Б. ;             В. ;             Г. .

  1. Сфера и плоскость не могут иметь:    

      А. Одну общую точку;  Б. Ни одной общей точки;  В. Две общие точки;  Г. Много общих точек.

  1. Объем конуса определяется по формуле, где - площадь основания, H – высота, R – радиус:             А. .      Б. .      В. .          Г. .
  2. Площадь большого круга равна 1 м2. Вычислите площадь поверхности шара.

А. 2 м2;    Б. 3 м2;       В. 4 м2;       Г. 5 м2 .

  1. Сколько осей симметрии у цилиндра?  

      А. Одна.       Б. Ни одной.         В. Две.         Г. Бесчисленное множество.

9. В горизонтальной и вертикальной плоскости проекциями тела являются круги.

    Определите форму тела.                    

      А. Конус;              Б. Цилиндр;            В. Шар;                 Г. Усеченный конус.

10. Радиус цилиндра увеличили в два раза, а высоту уменьшили в два раза. Как изменится объем

       цилиндра?                  

      А. Увеличится в 2 раза.   Б. Уменьшится в 2 раза.  В. Не изменится. Г. Увеличится в 4 раза.

 

2 уровень

 

11. Радиус основания конуса равен 6 см, а высота – 8 см. Вычислите его образующую.

А. 10 см;                Б. 20 см;             В. 15 см;                Г. 25 см.

12. Радиус шара 12 см. На касательной плоскости лежит точка  К, которая удалена от точки касания   на 5 см. На каком расстоянии находится точка К от поверхности шара?

А. 1 см;                Б. 2 см;                 В. 0,5 см;             Г. 13 см.

13. Образующая конуса равна 12 см и наклонена к основанию под углом 30. Вычислите высоту конуса.                

     А. 8 см;                Б. 6 см;             В. 10 см;              Г. 4 см.

14. Высота равностороннего цилиндра равна  10 см. Вычислите его объем.

А. см;         Б. см;        В. см;            Г. см.

15. Площадь осевого сечения цилиндра равна  S. Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра.

А. 2S;      Б. 3S;          В. 3,5S;          Г. .

16. Как изменится площадь поверхности шара, если радиус увеличить в 3 раза?

А. Увеличится в 3 раза;  Б. Не изменится;  В. Увеличится в 9 раз; Г. Уменьшится в 9 раз.

17. Прямоугольник со сторонами 6 см и 4 см вращается сначала вокруг меньшей стороны, а затем – большей. Одинаковы ли объемы тел вращения?          

      А. Да;          Б. Нет;

 

3уровень

18. Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны 2 см, 4 см и 4 см описана сфера. Вычислите площадь поверхности сферы.

А. см;          Б. см;         В. см;             Г. см.

19.Через середину высоты  конуса  и перпендикулярно ей  построено сечение плоскостью. Площадь сечения равна 8 см. Вычислите площадь основания  конуса. 

      А. 23 см;             Б. 32 см;             В. 46 см;             Г. 64 см.

20.Образующая конуса наклонена к основанию под углом 60. Радиус основания конуса r. Вычислите площадь боковой поверхности конуса. 

А. ;               Б. ;                   В. ;                  Г. .

21.Высота равностороннего цилиндра равна   6 дм. Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра.

А. 16 дм;              Б. 26 дм;            В. 36 дм;              Г. 6 дм.

22. На окраску шара диаметром 2 дм  требуется 20 г краски. Сколько краски потребуется для окраски шара диаметром 6 дм?

А. 60 г;                        Б. 120 г;                   В. 180 г;                     Г. 240 г.

 

Критерии оценки практической работы

 

Задания

Баллы

Примечание

1 - 10

5

Каждый правильный ответ  0,5 б.

11 - 22

6

Каждый правильный ответ  0,5 б.

 

Максимальный балл за работу11 б.

 

6.4 . Урок-зачет по теме «Объемы тел»


Цели: проверить усвоение материала по данной теме; развивать навыки решения стереометрических задач; продолжить подготовку к сдаче ДПА, ЗНО.

Оборудование: карточки для проведения зачета

Ход урока.

I.Организационный  момент.

II.Зачет

Билет 1.

1.Понятие объема. Свойства объемов.

2.Теорема об объеме шара.

3.Задача.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4,а угол между боковой гранью и основанием равен 450 Найти объем пирамиды.

Билет 2.

1.Понятие призмы вписанной в цилиндр, описанной около цилиндра .Формула для нахождения объема цилиндра.

2.Теорема об объеме прямой призмы.

3.Задача

В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого?

 

Билет 3.

1.Понятие шарового сегмента. Объем шарового сегмента.

2.Теорема об объеме пирамиды.

3. Задача.

Найти объем V конуса, образующая которого равна 10 и наклонена к плоскости основания под углом 30. В ответе укажите V/π

 

Билет 4.

1.Понятие шарового слоя. Объем шарового слоя.

2.Теорема об объеме конуса.

3. Задача.

Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны . Найдите объем параллелепипеда.

 

Билет  5

1.Понятие шарового сектора. Объем шарового сектора.

2.Теорема об объем цилиндра.

3. Задача.

Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды , больше объема конуса ,вписанного в эту пирамиду.

 

Билет 6.

1.Объем прямоугольного параллелепипеда.

2.Теорема об объеме наклонной призмы.

3.Задача.

Объем куба равен 150. Найдите объем четырех угольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной - центр куба.

 

III .Итог урока

Вопросы для подготовки к зачету.

1.Понятие объема.

2.Свойства объемов.