Курс "Геометрия 11 класс"

Тема 1. Призма

Цель: Сформировать представление о многогранники. Изучить определение призмы и параллелепипеда и их элементов. Научиться строить изображения многогранников. Научиться решать задачи с использованием призм и параллелепипедов.

1.1. Теория

• Теория.1. Призма и её элементы

Призма - это многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками, находящимися в параллельных плоскостях, а остальные грани - параллелограммами.

Грани, которые находятся в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а остальные грани - боковыми гранями призмы.

В зависимости от основания призмы бывают треугольными (рис. 1), четырёхугольными (рис. 2 и 3), шестиугольными (рис. 4) и др.

  Призма с боковыми рёбрами, перпендикулярными её основаниям, называется прямой призмой (рис. 1 - 4).

 Расстояние между основаниями призмы называется высотой призмы.

Высота прямой призмы совпадает с боковым ребром.  

Высота наклонной призмы видна на рис. 5. Без дополнительных условий невозможно определить, в какую точке проектируется высота наклонной призмы.

Прямая призма называется правильной, если её основания - правильные многоугольники.

• Теория.2. Параллелепипед

Параллелепипед - это четырёхугольная призма, все грани которой являются параллелограммами.  Параллелепипеды - особая группа призм. Как видно на данных рисунках, объёмные рисунки прямых параллелепипедов практически не отличаются. 

Виды параллелепипедов

 Виды прямых параллелепипедов

Специальные случаи прямоугольного параллелепипеда

• Теория.3. Диагонали и диагональное сечение призмы

Диагональ призмы - это отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани.

Диагональ не существует только у треугольной призмы.

Если диагонали основания прямой призмы равны, то диагонали самой призмы тоже равны.

Например, у куба, правильной четырёхугольной призмы, прямоугольного параллелепипеда диагонали равны (DF = EC, т.к. DB = CA), 

а у параллелепипеда, в основании которого находится параллелограмм, диагонали только попарно равны (DF≠EC, т.к. DB≠CA).

Диагональное сечение призмы - это сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Каждое диагональное сечение содержит две диагонали призмы.

Диагональное сечение прямой призмы является прямоугольником.

 Диагональное сечение наклонной призмы - параллелограмм.

Запомните!

У правильного шестиугольника диагонали бывают 2 видов - короткие и длинные. В связи с этим существует два вида диагональных сечений шестиугольной призмы:

 Как найти диагонали правильного шестиугольника, если известна длина его стороны.

 СЕ - одна из коротких диагоналей шестиугольника, ВЕ - одна из длинных диагоналей. Учитывая то, что углы правильного шестиугольника равны  по 120 градусов, легко найти прямоугольный треугольник, в котором есть угол 30 градусов, и использовать соотношения в этом треугольнике.

• Теория.4.  Формула диагонали прямоугольного параллелепипеда

Прямая призма, основанием которой является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.

 Длины трех ребер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

   Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений:

На рисунке: DB₁²=DA²+DC²+DD₁²

Запомните: у прямоугольного параллелепипеда все диагонали равны:                 DB₁=CA₁=AC₁=BD₁

 Формула диагоналей куба

• Теория.5.  Углы, образованные диагоналями призмы и её гранями

При решении задач очень важно уметь обозначать углы, образованные диагоналями призмы и её боковыми гранями.

Угол между наклонной и плоскостью - это угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость.

Чтобы найти угол между наклонной и плоскостью, необходимо:
1) провести наклонную;

2) из конца наклонной провести перпендикуляр к плоскости;

3) провести проекцию наклонной;

4) обозначить угол между наклонной и её проекцией.

Угол между диагональю и плоскостью основания в прямом параллелепипеде

Угол между диагональю и боковой гранью прямоугольного параллелепипеда

Угол, образованный диагональю и плоскостью основания правильной шестиугольной призмы

• Теория.6. Площадь поверхности и обьём призмы

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней призмы.

Площадь боковой поверхности прямой призмы S_бок.=P_осн.⋅H,

где H - высота призмы.

Площадь полной поверхности призмы - сумма площадей всех граней призмы.

Она состоит из площади боковой поверхности и площади оснований

S_полн.=S_бок.+2⋅S_осн.

Все грани куба - квадраты, поэтому рациональнее использовать формулу

S_{полн. пов. куба}=6⋅ a ²

Обьём прямой призмы находится по формуле:

V=Sосн.⋅H

Для прямоугольного параллелепипеда можно использовать формулу V=abc , где a, b, c - измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина, высота).

Для куба используется формула V=a³, где a - ребро куба.

Основанием призмы может быть любой n-угольник, поэтому важно знать формулы вычисления их площадей.

Важные формулы нахождения площади n-угольников

Формула нахождения площади правильного шестиугольника

1.2. Онлайн -ресурсы

• Онлайн калькулятор. Площадь прямоугольного параллелепипеда.              http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_area_1/parallelepiped/
• Онлайн калькулятор. Площадь куба.

    http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_area_1/cube/

• Онлайн калькулятор. Объем призми.

    http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_volume/prism/

• Онлайн калькулятор. Объём параллелепипеда   http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_volume/parallelepiped/
• Онлайн калькулятор. Объем прямоугольного параллелепипеда

    http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/obem-pryamougolnogo-parallelepipeda

• Онлайн калькулятор. Объем куба.

    http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_volume/cube/

• Видеоурок : Объем прямоугольного параллелепипеда

    http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/obem- pryamougolnogo-parallelepipeda

• Видеоурок: Объем прямой призмы

    http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/obem-pryamoj-prizmy

• Видеоурок: Объем наклонной призмы

    http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/obem-naklonnoj-prizmy

• Видеолекция «Параллелепипед и куб»

     http://www.youtube.com/watch?v=LR5jg1q3kPo

• Тест: «Параллелепипед и куб»

     http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-069*page.htm

1.3. Урок

Тема: « Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда»

Цель урока: Ввести понятие объема тела, рассмотреть свойства объемов, теорему об объеме прямоугольного параллелепипеда и следствие об объеме прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник; сформировать умение применять данный материал при решении задач.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Сообщение темы и целей урока, актуальность данной темы

2. Актуализация знаний

Что называется параллелепипедом? прямоугольным параллелепипедом? Какие свойства прямоугольного параллелепипеда вы знаете?

III.     Объяснение нового материала

1) Понятие объема тела

Еще в глубокой древности у людей возникла необходимость в измерении количества различных веществ. Сыпучие вещества и жидкости можно было мерить, наполняя ими сосуды определенной вместимости, т.е. определяя их количество по объему. Понятие объема в стереометрии вводится аналогично понятию площади в планиметрии. В планиметрии мы определяли площадь так: площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник. Сформулировать аналогично данному понятию понятие объема. Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объемом этого тела.

2) Единицы измерения объема

В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, коробки, банки. В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел.
Среди них английские меры:

• Бушель – 36,4 дм³
• Галлон – 4,5 дм³
• Баррель (сухой) – 115,628 дм³
• Баррель (нефтяной) – 158,988 дм³
• Английский баррель для сыпучих веществ 163,65 дм³.

В Киевской Руси существовала мера зерна – кадь. ( Это примерно 230 кг ржи) Жидкости же мерили бочками и ведрами. В XIX в. система мер жидкости имела вид:

• Ведро – 12 дм³
• Бочка – 490 дм³
• Штоф – 1,23 дм³ = 10 чарок
• Чарка – 0,123 дм³=0,1 штофа = 2 шкалика
• Шкалик – 0,06 дм³ = 0,5 чарки.

Для того, чтобы определить какая из двух емкостей вместительнее, можно заполнить одну из них водой, а затем проверить, вся ли вода поместится в другую, и если вся, то заполнит ли она ее полностью. Однако решить эту задачу иначе – вычислить объем каждой емкости. Для этого нам нужны единицы объемов. Когда в планиметрии мы вводили единицы площади, то за единицу площади брали квадрат со стороной 1 см (1 см²). Аналогично, за 1см³ принимаем куб с ребром 1 см. Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. Число измерения (единичных кубов) и частей единицы, содержащихся в данном теле, принимается за числовое значение объема при выбранной единице измерения. Это число может быть как рациональным (в частности, целым), так и иррациональным.

3) Свойства объемов

Аналогичны свойствам площадей в планиметрии.

1. Равные тела имеют равные объемы. (Понятие определяется на основе понятия наложения).
2. Объем тела, состоящего из некоторых частей, равен сумме объемов этих частей.
3. Объем куба с ребром а равен а³.

4) Объем прямоугольного параллелепипеда

Поиск формул, позволяющих вычислять объемы различных тел, был долог.
В древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для нахождения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды.
Определять объемы призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки еще задолго до Архимеда. Но только он имел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам ученый определил с помощью своего метода площади, объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. На могильной плите Архимеда, как завещал ученый, был изображен цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда – о том, что объемы этих тел относятся как 3 : 2.Когда Римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в 1 в. до н.э., был в Сицилии, он еще видел этот заросший кустами и терновником памятник с шаром и цилиндром.

Мы будем находить объем прямоугольного параллелепипеда, используя следующую теорему ( давно знакомая вам формула,  попробуйте сформулировать эту теорему):

Теорема: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.      

                                                   V = abc

5) Следствия

Рассмотрим следствия из данной теоремы

 1. Объем прямоугольного параллелепипеда, равен произведению площади основания на высоту.

2. Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту.

IV. Закрепление

1. Учащиеся получают модели прямоугольных параллелепипедов, нужно выполнить нужные измерения,  вычислить диагональ и объем  данного параллелепипеда.

2.               Решение задач

Задача 1

Сколько пакетов с соком войдет в коробку?

Задача 2

Найдите объем тела:

Задача 3

     Сколько литров воды вмещает бак, имеющий форму куба с ребром 6 дм?

Задача 4

     За сутки человек совершает вдох и выдох примерно 23 000 раз. За один вдох в легкие поступает 500 см³  воздуха. Какой объем воздуха ( в литрах) проходит через легкие человека за сутки?

Задача 5

      Больному прописали глазные капли, по 2 капли 3 раза в день в оба глаза. Во флаконе 10 мл лекарства. Объем капли 1/9 мл. Хватит ли одного флакона на неделю?

№ 1. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8 см, 12 см и 18 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему этого параллелепипеда.

Учащиеся решают данную задачу на листочках, затем в рабочую тетрадь записывают только ответ, а листок с решением сдают учителю. После этого решение с ответом отображается на экране, учащиеся проверяют свое решение и ответ.

№ 2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и составляет угол в 30° с плоскостью боковой грани и угол в 45°с боковым ребром. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда.

Учащиеся на местах обдумывают решение, затем один выходит к доске и демонстрирует решение.

V. Итог урока

Что такое объем тела? Какие единицы измерения вы знаете? Какие свойства объема вы знаете? Сформулируйте теорему о объеме прямоугольного параллелепипеда и следствия из нее.

VI. Домашнее задание        п.          №

• Дополнительное задание(по желанию)

• Придумать задачу с практическим содержанием на нахождение объема прямоугольного параллелепипеда, решить ее.
• Сделать модель прямоугольного параллелепипеда, найти его длину, ширину, высоту, диагональ, объем

1.4. Тест

Тест по теме: « Призма»

Вариант №1

Уровень A

№ п/п вариант

А1

А2

А3

А4

А5

А6

А7

В1

В2

В3

1

1

3

3

3

1

1

2

22

90°

4

2

3

2

3

3

1

2

2

9

32

2

Тема 2 Пирамида

Цель: Сформировать представление о пирамиде и ее элементы, нахождение площадей боковой и полной поверхностей пирамиды, формировать умения и навыки учащихся решать задачи на использование пирамид.

2.1. Теория

• Теория.1. Пирамида

Многогранник, одна грань которого является n-угольником, а остальные грани - треугольники с общей вершиной, называется пирамидой, n-угольник называется основанием пирамиды, а треугольники - боковыми гранями.

Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.

Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются рёбрами пирамиды.

В зависимости от количества сторон основания, пирамиды могут быть треугольными, четырёхугольными, пятиугольными и т. д.

Перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Важно знать, где на плоскости основания находится проекция вершины пирамиды, она может быть в центре основания, на стороне основания, за пределами многоугольника основания. Решение задачи в большей степени зависит от расположения этой точки.

Чтобы нарисовать пирамиду, нужно соблюдать определённый порядок:

1) первым рисуется основание, 

2) по условию задачи находится проекция вершины на плоскости основания,

3) вертикально проводится высота,

4) проводятся рёбра.

В курсе школы в основном есть задачи, в которых даны:
-правильная пирамида (вершина проектируется в центр основания);
-пирамида, вершина которой проектируется в центр описанной окружности;
-пирамида, вершина которой проектируется в центр вписанной окружности;
-пирамида, высота которой совпадает с боковым ребром;
-пирамида, высота которой также является высотой боковой грани.

Углы пирамиды

Углы, которые образованы боковой гранью и основанием пирамиды, называются двугранными углами при основании пирамиды.

Запомните: двугранный угол образуется двумя перпендикулярами.  На рис. ∢OES.

Чтобы определить этот угол, часто нужно использовать теорему о трёх перпендикулярах.

Углы, которые образованы боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, называются углами между боковым ребром и плоскостью основания.

На рис.∢OCS.

Угол, который образован двумя боковыми гранями, называется двугранным углом при боковом ребре пирамиды.

Угол, который образован двумя боковыми рёбрами одной грани пирамиды, называется углом при вершине пирамиды.

На рис.∢DSC.

Основаые формулы пирамиды

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней пирамиды:  S=S1+S2+S3+...

Некоторые формулы годятся только для определённых видов пирамиды.

Площадь полной поверхности  Sп.п.=S+Sоснования

Объём пирамиды V = 1/3Sоснования*H,  где H - высота пирамиды.

Формула объёма используется для пирамид любого вида.

• Теория.2. Правильная пирамида

Пирамида, основанием которой явялется правильный многоугольник, и вершина пирамиды проектируется в центр основания, называется правильной пирамидой.

Боковые грани правильной пирамиды - равные равнобедренные треугольники.

Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой.

Правильная треугольная пирамида, у которой все рёбра равны, называется тетраэдром.

Все грани тетраэдра - равные равносторонние треугольники.

В школе нужно уметь решать задачи, где дана

-правильная треугольная пирамида (рис. 1)

-правильная четырёхугольная пирамида (рис. 2)

-правильная шестиугольная пирамида (рис.3)

Формулы

  Для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды существуют две формулы:

, где P - периметр основания,

 h - апофема, ϕ - двугранный угол при основании.

Объём пирамиды  V = , где H - высота пирамиды.

Не путайте h - апофему с H - высотой пирамиды!

• Теория.3. Пирамида с равными боковыми рёбрами

Если боковые рёбра пирамиды с плоскостью основания образуют равные углы, то рёбра пирамиды равны, и вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около многоугольника основания.

У пирамиды могут быть равны боковые рёбра тогда, когда около многоугольника основания можно описать окружность. 

  Рис. 2                                                         Рис. 3

Главные зависимости для многоугольников, около которых можно описать окружность 

Для таких пирамид нельзя использовать формулы правильной пирамиды для вычисления площади боковой поверхности, площадь боковой поверхности находят, сложив площади всех боковых граней пирамиды.

S_s=S₁+S₂+...

Если основание - правильный многоугольник и все боковые грани равны, то пирамида является правильной.

• Теория.4.Пирамиды с равными двугранными углами при основании

Если боковые грани пирамиды с её основанием образуют равные

двугранные углы, то все высоты боковых граней пирамиды равны (у правильной пирамиды это апофемы), и вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в многоугольник основания.

  Для таких пирамид при вычислении площади боковой поверхности применяются формулы, которые используются для правильной пирамиды.

У пирамиды могут быть равные двугранные углы при основании тогда, когда в многоугольник основания можно вписать окружность.

 Рис. 2                                                         Рис. 3

Отмечая радиус r на рисунке, нужно быть очень внимательным! Радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне.
Например, в произвольном треугольнике он не находится на биссектрисе (рис.2) и в ромбе не параллелен стороне (рис.3).
  

Главные зависимости для многоугольников, в которые можно вписать окружность

• Теория.5. Пирамида с боковым ребром, перпендикулярным плоскости основания

Если у пирамиды одно ребро перпендикулярно плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в одну из вершин основания.

На первом рисунке дана треугольная пирамида с одной гранью, перпендикулярной основанию.

 На втором рисунке дана пирамида, основание которой - прямоугольник.

ТТП - прямая, которая проведена на плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Записываем с помощью символов:

 У таких пирамид площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней Ss=S₁+S₂+...  (нельзя использовать формулу  правильной пирамиды).

Формула нахождения обьёма применяется для всех видов пирамид:

• Теория.6. Усеченная пирамида

Усечённой пирамидой называется часть пирамиды между её основанием и плоскостью, параллельной ему.

Усечённая пирамида, полученная из правильной пирамиды, сечением, параллельным её основанию, называется правильной  усечённой пирамидой.

Обьём усечённой пирамиды

h - апофема правильной усечённой пирамиды, на данных рисунках это отрезок LF.

2.2. Онлайн -ресурсы

• Онлайн калькулятор. Объем пирамиды .

           http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_volume/pyramid/

• Онлайн калькулятор. Объем правильного тетраедра.

http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_volume/tetrahedron/

• Видеоурок: Объем пирамиды

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/ob-em-piramidy

• Видеоурок 2: Объем пирамиды

http://rutube.ru/video/00f11d6d2b10df0a02404de488025d8b/?ref=relroll

• Видеолекция «Пирамида»

https://www.youtube.com/watch?v=J7dHXVSeeBk

• Тест "Пирамида"

http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-069*page.htm

2.3. Урок

Тема: Объём пирамиды (решение прикладных задач).

Цель: Закрепить знания  обучающихся по теме математики «Объем             пирамиды» и экономики «Финансы и расчеты в бизнесе».

Задачи:

  Обучающая:Изучение понятия «объем пирамиды»  и практическое применение; полученных знаний при решении прикладных задач; умение проводить параллель между экономическими и математическими понятиями.

Развивающая: развитие творческого отношения  обучающихся к применению теоретических знаний к прикладным вопросам математики и экономики; развитие и формирование у обучающихся информационной и коммуникационной  компетенции; развитие внимания, памяти, речи, логического мышления при решении задач, умения анализировать.

   Воспитательная: воспитание и развитие коммуникационных способностей: работа в группе, в паре; воспитание научного отношения к решению жизненных проблем; воспитание самостоятельности, самоконтроля, самооценки.

Тип урока: бинарный.

Межпредметные связи: математика, экономика.

Оборудование к уроку:

•          Модели пирамиды;
•          Мультимедийный проектор;
•          Экран, ноутбук;
•          Презентация;
•          Раздаточный материал  для обучающихся;
•          Чертёжные инструменты;

Предлагаемые медиоматериалы:

1. Презентация
2. Видеоматериалы с Интернета:

        http://video.mail.ru/mail/soltanovskaja/135/24.html

        http://www.videoinet.ru/view.html?id=1X07saF09qw2bUZ 

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Мотивация: Добрый день! Сегодня урок у нас необычный и начать мне его хотелось бы со стариной арабской пословицы XIII века  «Всё на свете боится времени, а время боится пирамид!». Эти слова, как нельзя, кстати.  Пирамиды – это единственное из семи чудес света чудо, дожившее до нашего времени, до эпохи телевидения и компьютерных технологий. И тема нашего урока сегодня «Объем пирамиды (решение прикладных задач)» (запись в тетрадь).

1. Актуализация знаний.

На прошлых занятиях мы рассмотрели одно из Платоновых тел многогранник – пирамида. Мы изучили основные элементы пирамиды, её свойства.  Научились вычислять высоту, площадь основания, площадь полной и  боковой поверхности пирамиды, объём. Сегодня мы с вами ещё раз обратимся к такому понятию как объём пирамиды. Научимся решать задачи с элементами экономики, исследуем экономическую и математическую связь в вычислении объёма пирамид, то есть пополним знания по предмету «математика» и «экономика».

 Предлагаю вам ответить на следующие вопросы (фронтальный опрос):

1. Какой многогранник называется пирамидой?
2. Назовите и покажите на рисунке: основание пирамиды, высоту, рёбра, боковые грани, вершину пирамиды.
3. Какая пирамида называется правильной?
4. Что такое ось правильной пирамиды?
5. Назовите формулу для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды, площади полной поверхности.
6. Назовите формулу для нахождения объёма пирамиды.

2. Основная часть урока: изучение нового материала

Учитель: Давайте еще раз обратимся к истории   создания пирамид и послушаем сообщение вашего товарища (задание для сообщения выдается заранее). 

Ученики: Первые сооружения, имеющие форму пирамиды, были воздвигнуты более 5 тыс. лет назад в Египте из известняка по строго математическим расчётам. Данное сооружение и по сей день  вызывает восхищение, и входило в известные «семь чудес света». Предлагаю вашему вниманию видеофильм о Египетских пирамидах.

 (Видео ролик о Египетских пирамидах: http://video.mail.ru/mail/soltanovskaja/135/24.html )

 Учитель: Сегодня на уроке мы постараемся исследовать математическую и экономическую зависимость в вычислении объёма пирамиды через решение прикладных задач.

 Впервые формулу объёма пирамиды вывел известный древнегреческий учёный из города Сиракуз - Архимед.

 Архимед, впервые выводя формулу объема, разработал следующий метод: высота пирамиды разбивается на n - равных частей, и через точки деления проводят плоскости, параллельные основанию пирамиды. При этом пирамида разбивается на слои. Для каждого такого слоя строятся две призмы, одна из которых содержится в слое, а другая содержит слой. Данный чертеж получил название «Чертовой лестницы» (чертеж выдается каждому обучающемуся ).

 Почему Архимед применил данное название именно к этой модели многогранников. Это понятие мы можем разобрать  с экономической точки зрения.

Учитель экономики: «Чертовой лестница» - это не что иное, как прототип лестницы ведущей к образованию  финансовой пирамиды. Из курса геометрии вы знаете, что основанием математической  пирамиды называют её нижнюю грань. То есть тело в форме пирамиды устойчиво стоит на горизонтальной поверхности.

 Для создания финансовой пирамиды необходимо сформировать ее основание (используется минимальное число боковых граней пирамиды - три). То есть для построение организации на основе финансовой пирамиды достаточно всего три человека,

Итак, значит первая ступень создания финансовой пирамиды – то есть её основания  - это привлечение капитала как минимум трех человек. Эти организаторы начинают своё движение вверх по ступенькам «чертовой лестницы», в целях привлечения клиентов и сбора финансовых средств.

За незначительное время капитал фирмы (т.е. высота пирамиды)  возрастает в десятки раз, при этом объём пирамиды (т.е. финансы организации) увеличивается в сотни раз.  

Но в один прекрасный момент  наращивание капитала прекращается, а значит цель организатора финансовой пирамиды, достигнута (все грани фирмы соединяются  в верхней части пирамиды – вершине).

Пирамида начинает переворачиваться, иначе - становится с ног на голову и

Верхушка пирамиды финансируется за счет расширения основания и привлечения новых участников. Как только основа перестает расширяться, а это неизбежно происходит, то пирамида рушится. При этом те, кто пришел в фирму, построенную по принципу финансовой  пирамиды последним, и не является её руководителем, теряют все. Наступает финансовый крах.

Предлагаем вашему вниманию небольшой видеоролик о том, как работает финансовая пирамида:  http://www.videoinet.ru/view.html?id=1X07saF09qw2bUZ.

3. Закрепление изученного материала:

Учитель: А теперь перейдем к решению прикладных задач. (В начале урока группа поделена на 2 подгруппы (круглые столы). Обучающимся выдается раздаточный материал, который содержит по 2 задачи, которые надо решить  и сделать экономический вывод по полученным результатам (Приложение к уроку № 2, № 3). (У доски решают задачи 4 человека).

Задачи 1 подгруппы (с решением):

   Учитель: По результатам исследования (решение задач) какой вывод сделает команда 1 подгруппы?

   Ученики  1 подгруппы должны сделать следующий вывод: чем больше высота пирамиды, тем больше её объём. Следовательно, чем больше клиентов будет привлечено в финансовую компанию, тем больший капитал получат от действия организаторы фирмы, работающие по действию финансовой пирамиды.

Задачи 2 подгруппы (с решением):

Ученики  2 подгруппы должны сделать следующий вывод:  чем больше площадь основания пирамиды тем больше и  итоговый объем пирамиды. Следовательно, чем больше первоначального капитал  организаторов фирмы по типу финансовой пирамиды, тем быстрее и  итоговый капитал фирмы на момент краха.

Преподаватель предлагает обучающимся сделать общий экономический вывод по решению разного вида экономических задач. Обучающие должны сделать следующие выводы:  

1. Организаторы фирмы, созданной по принципу финансовой пирамиды, которые будут  стремиться к быстрому обогащению должны вложить в первоначальный капитал большее количество финансовых средств.
2. Организаторы аналогичной фирмы имеющие малый первоначальный капитал будут стремиться к большему привлечение клиентов, то есть данная фирма просуществует дольше, а значит за большее время  финансовые вложения клиентов, которые доверяют данной фирмы увеличится. И этот тип финансовой пирамиды более рационален для организаторов

4. Подведение итогов урока.  Сегодня на уроке вы убедились в том, что свойства объемов, формулы для вычисления объемов пирамиды могут оказаться полезными при решении прикладных задач.  Подводя итоги урока, мне хотелось бы вам задать вам следующие вопросы:
   1. Кто и когда  ввёл понятие «чертова лестница»?
   2. В чём заключается метод разработанный Архимедом?
   3. С каким экономическим понятием ассоциируется «чёртова лестница»?
   4. На каком математическом принципе основано понятие «финансовая пирамида»?

Вывод по уроку: сегодня, мы закрепили знания по математике и экономике  пользуя понятием «объема пирамиды»,  исследовали зависимость математического и экономического понятия, научились применять теоретические знания по математике к прикладным вопросам экономики.

5. Рефлексия:  Обучающимся предлагается закончить следующие высказывания:

• Я задумался сегодня о ……
• Для меня было неожиданным, новым …..
• Больше всего мне заполнилось сегодня …
• Больше всего мне понравилось сегодня ….
• Основная мысль урока для меня …
• Мне было интересно, когда …
• Мне было трудно …

6. Домашнее задание:
   1. учебник Геометрия. §   ,п.   , №   .
   2. Творческое задание: реферат на тему: Финансовые пирамиды в Украине».

2.4. Тест

• Тест "Пирамида"

Вариант-1

1. Из данных утверждений выберите верное:

а) все ребра правильной пирамиды равны;
б) площадь поверхности пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему;
в) боковые грани усеченной пирамиды – трапеции;
г) утверждения а-в не верны.

2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, все грани которой наклонены к основанию под углом 60⁰ , а в основании лежит прямоугольный треугольник с катетами 3см и 6см.

а) 9 см² б)10 см² в)12 см² г) другой ответ.

3. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 5 см, а плоский угол при вершине пирамиды 60⁰. Найдите боковое ребро пирамиды.

а) 6см,  б)     см,  в) 5см,  г)   см, д) другой ответ

4. В основании пирамиды SАВС лежит равнобедренный треугольник АВС, в котором ВС=12 см, а АВ=АС=10 см. Найдите площадь сечения АSМ, если оно перпендикулярно плоскости основания, а все боковые ребра пирамиды равны 10см.

а) 3 см² б) 5  см² в) 31см г) другой ответ

5. Боковые ребра пирамиды SАВС равны между собой. SD – высота пирамиды. Точка D лежит внутри треугольника АВС. Треугольник АВС:

а) прямоугольный   б) остроугольный   в) тупоугольный   г) недостаточно данных.

Вариант-2

1. Из данных утверждений выберите верное:

а) все грани правильной пирамиды равны;
б) площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению суммы периметров оснований на апофему;
в) боковые грани усеченной пирамиды – трапеции;
г) утверждения а-в не верны.

2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, все грани которой наклонены к основанию под углом 45⁰ , а в основании лежит квадрат с диагональю, равной 18см.

а) 9 см² б)10 см² в)12 см² г) другой ответ.

3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4см, а плоский угол при вершине пирамиды 90⁰. Найдите высоту пирамиды.

а) 2см, б) 3см, в) см, г) 4см   д) другой ответ

4. В основании пирамиды АВСD, все боковые ребра которой равны  см, лежит прямоугольник со сторонами АВ=8 см и ВС=6 см. Найдите площадь сечения МSN, если оно перпендикулярно плоскости основания, а ВМ : МС = 2 : 1.

а) 14 см           б) 14 см     в) 15см   г) другой ответ

5. Боковые ребра пирамиды SАВС равны между собой. SD – высота пирамиды. Точка D - середина ребра ВС. Треугольник АВС:

а) прямоугольный
б) остроугольный
в) тупоугольный
г) недостаточно данных.

Тема 3. Цилиндр

Цели: введение понятия цилиндрической поверхности, цилиндра и его элементов; рассмотрение различных видов сечения цилиндра плоскостью;  выведение формул для вычисления площадей боковой и полной поверхностей цилиндра;развитие пространственного мышления.

1.                 Теория

•  Теория 1.Цилиндр

Цилиндр - тело вращения, которое получается при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

 Полученная цилиндрическая плоскость называется боковой поверхностью цилиндра, а круги - основаниями цилиндра.

•  Теория 2.Осевое сечение цилиндра

Осевое сечение цилиндра - это сечение цилиндра плоскостью, которая проходит через ось цилиндра.

•  Теория 3.Сечение цилиндра плоскостью

При сечении цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра (т.е. перпендикулярной основанию), получается прямоугольник.

•  Теория 4. Общее описание комбинаций геометрических тел

Геометрические тела можно расположить одно в другом. Например, призму можно вписать в цилиндр.

На первом рисунке призма нарисована внутри цилиндра, но это не означает, что она вписана в цилиндр.

На втором рисунке выполняются все условия для того, чтобы призма была вписанной в цилиндр.

       рис. 1                                                  рис. 2

Чтобы решать задачи, в которых даны комбинации геометрических тел, нужно уметь:

   1) описать взаимное расположение тел (знать определения);

2) указать общие точки или элементы;

3) если дан шар, то показать местонахождение его центра;

4) обосновать возможность вписания или описания данного тела;

5) отобразить данную комбинацию тел наиболее удобным способом;

6) сделать выводы о взаимосвязях величин.

В курсе средней школы нужно знать:

комбинации шара с кубом, цилиндром и конусом;

взаимные комбинации цилиндра и призмы;

взаимные комбинации конуса и пирамиды;

взаимные комбинации конуса и цилиндра.

 Каждую из комбинаций можно выразить двумя способами.

 Шар, описанный около куба - тоже самое, что и куб, вписанный в шар.

Призма, вписанная в пирамиду - то же самое, что и пирамида, описанная около призмы.

При решении задач редко рисуется объёмный рисунок комбинации тел, чаще используются рисунки оснований или сечений.

•  Теория 5. Призма, вписанная в цилиндр

Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, многоугольники оснований которой вписаны в окружности оснований цилиндра, а боковыми ребрами являются образующие цилиндра.

Цилиндр можно описать только около такой прямой призмы, около основания которой можно описать окружность.

Например, цилиндр можно описать около прямой треугольной призмы (см. рис. 1), около правильной призмы, в основании которой находится квадрат (рис. 2).

Рисунок составляется в зависимости от содержания задания, часто достаточно рисунка основания комбинаций этих тел, т.к. высота призмы равна высоте цилиндра.

Окружность основания цилиндра описана около многоугольника основания призмы.

рис. 3                                                             рис. 4

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (см. рис. 3), центр окружности, описанной около квадрата является точкой пересечения диагоналей квадрата (см. рис.4).

  Радиус цилиндра - это радиус окружности, описанной около многоугольника основания призмы.

Формулы вычисления радиуса R описанной окружности:

   где a,b,c стороны, h - высота, d - диагональ.

 Теория 6. Призма, описанная около цилиндра

Призмой, описанной около цилиндра, называется призма, многоугольники оснований которой описаны около окружностей основания цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.

     рис. 1

 рис. 2

Например, цилиндр можно вписать в прямую треугольную призму (см. рис.1); в правильную призму; в прямую призму, основанием которой является ромб (см. рис. 2).

Рисунок создаётся в зависимости от содержания задачи, часто достаточно нарисовать основание комбинации этих тел, т.к. высота цилиндра равна высоте призмы.
Окружность основания цилиндра вписана в многоугольник основания призмы.

                      рис. 3                                                        рис. 4

Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения биссектрис треугольника (см. рис.3), центр окружности, вписанной в квадрат, является точкой пересечения диагоналей квадрата (см. рис. 4).

Радиус цилиндра - радиус окружности, вписанной в многоугольник основания призмы.

Формулы вычисления радиуса r вписанной окружности:

   где h - высота, S - площадь, p- полупериметр, a - сторона.

•  Теория 7.Объем и площадь поверхности цилиндра

Основания цилиндра - круги.   S(круга) = πR².

Площадь полной поверхности цилиндра равна:

S(полн.) = 2S(осн.) + S(бок.) = 2πR² + 2πRH

Объём цилиндра V(цилиндра) = πR²⋅H.

3.2. Онлайн -ресурсы

•  Онлайн калькулятор. Площадь цилиндра.

http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_area_1/cylinder/

•  Онлайн калькулятор. Объем цилиндра

http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_volume/cylinder/

•    Видеоурок: Объем цилиндра

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/ob-em-tsilindra

•  Видеолекция «Цилиндр»

https://www.youtube.com/watch?v=nOIvkNMEy_4

•  Тест "Цилиндр"

http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-069*page.htm

3.3. Урок

Тема: "Тела вращения. Цилиндр"

Цели урока:

• образовательные: сформировать понятия о телах вращения, цилиндре как теле вращения, об основных элементах цилиндра, закрепить эти понятия и научиться использовать их при решении задач.
• воспитательные: формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, развивать коммуникативные умения; формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.
• развивающие: формировать умения анализировать свойства тел на основе знаний, формировать коммуникативные умения, проверить уровень самостоятельности мышления ученика по применению знаний в различных ситуациях, анализировать и делать выводы, развивать умения правильно ставить вопросы и находить на них ответы. Совершенствовать умение наблюдать, строить образ объекта, делать выводы, формировать вычислительные, расчётные навыки, развивать мышление учащихся в ходе решения задач.

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.

Формы обучения: фронтальная, групповая, индивидуадьная.

Тип урока: комбинированный урок.

Оборудование: маркерная доска, компьютер, мультимедиа-проектор, модель цилиндра.

Ход урока

1. Повторение

Окружность и круг

С понятиями окружность и круг вы уже знакомы. Вспомните, какие известные вам предметы имеют форму окружности (слайд №2). Основные понятия, связанные с окружностью - радиус, диаметр, хорда (демонстрируются на слайде). А теперь – примеры предметов, имеющих форму круга (на слайде). Вспоминаем формулы для нахождения длины окружности и площади круга (на слайде). Заполнение предложенной таблицы позволит вспомнить перечисленные понятия и формулы (на слайде).

2. Основная часть

Как получить цилиндр из прямоугольника

Тела вращения – это геометрические тела, полученные при вращении плоских многоугольников вокруг оси.

Возьмём, к примеру, прямоугольник (слайд №3). Если вращать его вокруг одной из сторон, получим тело вращения цилиндр.

Как вы думаете, сколько разных цилиндров можно получить, вращая один и тот же прямоугольник?

Вокруг большей стороны (на слайде);

Вокруг меньшей стороны (на слайде);

Вокруг оси симметрии, параллельной большей стороне (на слайде);

Вокруг оси симметрии, параллельной меньшей стороне (на слайде).

Основные элементы цилиндра

Введём определения основных элементов цилиндра и рассмотрим их на чертеже (слайд №4):

Прямой круговой цилиндр – это тело, получаемое вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон (на слайде).

Сторона прямоугольника, вокруг производилось вращение, называется осью цилиндра (на слайде).

Стороны прямоугольника, примыкающие к оси, описывают при вращении два равных круга- основания цилиндра (на слайде).

Радиус основания является радиусом цилиндра (на слайде).

Расстояние между основаниями цилиндра называется его высотой (на слайде).

Любой отрезок, параллельный оси цилиндра и соединяющий граничные точки его оснований, называется образующей цилиндра (на слайде).

Сечения цилиндра плоскостью

Рассмотрим, какие фигуры получаются при пересечении цилиндра плоскостью (слайд №5):

Секущая плоскость проходит вдоль оси цилиндра.

Сечением является прямоугольник, стороны которого - образующие конуса и диаметры оснований. Такое сечение называется осевым (на слайде).

Секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра.

Сечением является круг (на слайде).

Секущая плоскость параллельна оси цилиндра.

Сечением является прямоугольник (на слайде).

Секущая плоскость наклонена к плоскости основания.

Сечением является эллипс или его часть (на слайде).

3. Закрепление

Письменная работа (слайд №6):

В тетрадях укажите по чертежу основные элементы цилиндра:

Проверяем по слайду

Слайд анимирован, ответы появляются по щелчку мыши во время фронтальной проверки.

 В следующей работе нужно найти значения основных элементов цилиндра:

Самостоятельная работа (слайд №7).

(Работа на 4 варианта с последующей проверкой результатов (слайд №8). Возможный вариант применения: обучающиеся, сидящие рядом или по диагонали, меняются работами с соседями, проверяют работы и сообщают оценку.)

Площадь поверхности и объём цилиндра

Если разрезать боковую поверхность цилиндра (слайд №9) по образующей, получим прямоугольник (на слайде),одной из сторон которого является длина окружности основания,а другая - высота цилиндра. Применив форулу для нахождения площади прямоугольника, получим:

(на слайде)

Для нахождения площади полной поверхности цилиндра прибавим две площади основания (на слайде):

(на слайде)

Для нахождения объёма цилиндра площадь основания нужно умножить на высоту:

  (на слайде)

Решение задач

1. Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см вокруг его оси симметрии, параллельной большей стороне
2. Радиус основания цилиндра равен 6 см ,высота в два раза меньше длины окружности основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра
3. Найдите объём тела, полученного вращением прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см вокруг прямой, проходящей через середины его больших сторон.
4. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
5. Высота цилиндра равна 6 см, а площадь его боковой поверхности вдвое меньше площади его полной поверхности. Найдите объём цилиндра.

4. Домашнее задание

Проработать конспект.

Решить задачи:

1. Найдите объём тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см вокруг большей стороны.
2. Радиус основания цилиндра равен 4 см, высота в 2 раза больше длины окружности основания. Найдите объём цилиндра.
3. Площадь осевого сечения цилиндра равна 64 см ², а его образующая равна диаметру основания.

3.4. Тест

Тест по теме: «Цилиндр»

Вариант №1

1. Цилиндр нельзя получить вращением…

1) треугольника вокруг одной из сторон;

2) квадрата вокруг одной из сторон;

3) прямоугольника вокруг одной из сторон.

2. Площадь боковой поверхности цилиндра можно вычислить по формуле…

3. Сечением цилиндра плоскостью, перпендикулярной его образующей, является…

1) круг;

2) прямоугольник;

3) трапеция.

4. На основаниях цилиндра взяты две  параллельные друг другу хорды, проходящие через центры оснований. Тогда расстояние между хордами…

1) равно высоте цилиндра;

2) больше высоты цилиндра;

3) меньше высоты цилиндра.

5. Боковой поверхностью цилиндра высотой H и диаметром основания d является квадрат. Тогда верно, что…

   1) d = H;                                                 

   2)                         

  3)

6. Развёрткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра может быть…

1) прямоугольник;

2) ромб;

3) параллелограмм.

7. Отношение площадей боковой поверхности и осевого
сечения цилиндра равно…

1)                                                       

 2)                                            

  3)

8. Площадь боковой поверхности цилиндра в 2 раза больше площади основания. Тогда отношение равно…

1) 1;

2) 2;

3) 3.

Вариант №2

1.               Цилиндр можно получить вращением…

1) трапеции вокруг одного из оснований;

2) ромба вокруг одной из диагоналей;

3) прямоугольника вокруг одной из сторон.

2. Площадь боковой поверхности цилиндра нельзя вычислить по формуле…

1) =                     

2)                 

3)

3. Сечением цилиндра плоскостью, параллельной его образующей, является…

1) круг;

2) прямоугольник;

3) трапеция.

4.               На основаниях цилиндра взяты две перпендикулярные друг другу хорды, проходящие через центры оснований.

Тогда расстояние между хордами…

1) равно образующей цилиндра;

2) больше высоты цилиндра;

3) меньше образующей цилиндра.

5.               Боковой поверхностью цилиндра с высотой H и радиусом основания R является квадрат. Тогда верно, что…

1)                                      

  2)                                  

  3)

6.               Развёрткой боковой поверхности прямого кругового цилиндра не может быть…

1) прямоугольник;

2) ромб;

3) квадрат.

7. Площадь боковой поверхности цилиндра больше площади осевого сечения цилиндра в…

  1)  раз;                                           

  2) 2 раза;                                      

  3) раз.

8. Площадь боковой поверхности цилиндра в 3 раза больше площади основания. Тогда отношение      равно…

1) 1;             2) 1,5;         3) 3.

Ключ  к тесту по теме: «Цилиндр»

3.5. Практическая  работа :  Объём цилиндра

Цель:  закрепить навык решения практических задач на вычисление объёма цилиндра.

Теоретическая часть

Прямым круговым цилиндром называется фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси содержащей одну из его сторон.

Выполните задания

1 вариант

1 уровень

  Ответьте  на вопросы теста,  выбрав  один  или  несколько  правильных  ответов  из  предложенных.

1. Какая фигура является основанием  цилиндра:

а) окружность;    б) круг;   в) эллипс.

2. Назовите отрезок,  который является радиусом:

а) О₂А₁;   б) О₂О₁;   в) А₄О₂.

3. Укажите на рисунке образующую цилиндра:

а) О₁О₂;   б) А₂А₃;    в) А₁А₂.

4. Высота цилиндра это:

а) Расстояние между плоскостями его основания;
б) отрезок, который соединяет две любые точки оснований;
в) отрезок, который соединяет центр круга с любой точкой цилиндра.

5. Какая фигура является осью цилиндра?

а) прямая О₁О₂;   б) отрезок О₁О₂;   в) отрезок А₁А₂.

2 уровень

6. Найдите объем цилиндра с высотой   равной  3 см   и   диаметром основания – 6 см.

а)27π см³;           б)9π см³ ;           в)36π см³;         г)18π см³;           д)54π см³.

7. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания цилиндра угол 60⁰. Найдите объем цилиндра, если площадь осевого сечения равна 16 см³.

а)16π см³;        б)16см³;               в)32π см³        г)8 м³;    д)16πсм³.

8. Площадь осевого сечения цилиндра равна 20 см³, площадь основания  - 25π см².  Найдите объем цилиндра.

а) 9π см³;        б) 30см³,      в) 50π см³,       г) 63π см³,      д) 30π см³.

9. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами   4 и 1. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

3 уровень

10. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке.

11. В цилиндрический сосуд налили  2000 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в  см³.

2 вариант

1 уровень

  Ответьте  на вопросы теста,  выбрав  один  или  несколько  правильных  ответов  из  числа предложенных.

1. Какая фигура является  осевым  сечением  цилиндра:

а) треугольник;    б) круг;   в) прямоугольник.

2. Назовите   отрезок  который  является  высотой:

а) А₂А₃;   б) О₂О₁;   в) А₄О₂.

3. Укажите на рисунке образующую цилиндра:

а) О₁О₂;   б) А₂А₃;    в) А₁А₂.

4. Равносторонний цилиндр – это цилиндр, у которого:

а) образующая равна высоте;
б) радиус основания равен высоте цилиндра;
в) диаметр основания равен высоте цилиндра.

5. Объем цилиндра вычисляется по формуле:

     а) V = S_осн ;    б)  V = 2πR ;   в)   V = πR² .

2 уровень

6. Найдите объем цилиндра с высотой   равной  5 см   и   диаметром основания – 8  см.

а)27π см³;          б)9π см³ ;        в)36π см³;           г) 80π см³;              д)54π см³.

7. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с плоскостью основания  цилиндра угол 60⁰. Найдите объем цилиндра, если площадь осевого сечения равна  см³.

а)16π см³;       б) 128π см³;       в) 32π см³        г) 8 м³;    д) 16 см³.

8. Площадь осевого сечения цилиндра равна  12  см³, площадь основания  -  16π см².  Найдите объем цилиндра. 

а) 24π см³;     б)31,5см³,     в)21π см³,     г) 63π см³,      д) 31,5π см³.

9. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

3 уровень

10. Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке.

11. В цилиндрический сосуд налили   3000 см ³  воды. Уровень воды при этом достигает высоты 8 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 6 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в  см ³ .

Критерии оценки практической работы

Максимальный балл за работу – 12 балла

Тема 4. Конус

Цель: Тема «Конус» знакомит школьников с этим геометрическим телом: содержит его определение, понятие об осевом сечении и сечении плоскостью, понятие усеченного конуса, формулы для вычисления площади боковой и полной поверхности конуса, объёма конуса а также боковой поверхности усеченного конуса.

4.1. Теория.

•  Теория 1.Элементы конуса

Конус - тело вращения, которое получается в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг его катета.

•  Теория 2.Осевое сечение конуса

Осевое сечение конуса - это сечение конуса плоскостью, которая проходит через ось конуса.

 Равносторонним конусом называется конус, осевым сечением которого является равносторонний треугольник.

При нахождении элементов равностороннего треугольника, можно использовать соотношения прямоугольного треугольника.

 Теория 3 .Выражение радиуса конуса из развёртки боковой поверхности конуса

Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор. Длина дуги сектора - это длина окружности основания конуса.

Длина дуги сектора вычисляется по формуле , где l - радиус сектора или образующая конуса, α - угол сектора.

Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле 2πR, где R - радиус конуса.

Из этого соотношения можно выразить радиус конуса.

 В конусе нельзя обозначить угол развёртки.
На развёртке конуса нельзя обозначить высоту и радиус конуса.

•  Теория 4.Цилиндр, описанный около конуса

Даны конус и описанный около него цилиндр. Во сколько раз объем цилиндра больше объема конуса?

V(цилиндра) = πR2H, а V(конуса) =⅓πR2H, H(цилиндра) = H(конуса) и

R(цилиндра) = R(конуса), следовательно, объём любого цилиндра в 3 раза больше объёма вписанного в него конуса.

•  Теория 5. Цилиндр, вписанный в конус

Цилиндр является вписанным в конус, если одно его основание находится в основании конуса, а второе основание касается всех образующих конуса.

В любой конус можно вписать бесконечное множество цилиндров.

Найдите радиусы цилиндра и конуса, если известно, что их отношение равно 1 : 4, а разность равна 6 м.

Решение:   Радиус конуса обозначаем за x, а радиус цилиндра за y. Составляем систему уравнений:

Ответ: радиус конуса равен 8 м, а радиус цилиндра равен 2 м.

•  Теория 6. Пирамида, описанная около конуса

 Около конуса можно описать только такую пирамиду, у которой двугранные углы при основании равны.

Двугранные углы при основании равны у правильных пирамид и у таких пирамид, высота которых проектируется в центр вписанной окружности.

                 рис. 2                                                       рис. 3

Окружность основания конуса вписана в многоугольник основания пирамиды.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис (см. рис.2), центр окружности, вписанной в квадрат, лежит на пересечении его диагоналей (см. рис. 3).

Радиус конуса - радиус окружности, вписанной в многоугольник основания пирамиды.

• Теория 7 . Пирамида, вписанная в конус

Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, многоугольник основания которой вписан в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса.

                             рис. 1                                                       рис. 2

В конус можно вписать только такую пирамиду, боковые рёбра которой равны (совпадают с образующими конуса).

Боковые рёбра равны у любой правильной пирамиды и у таких пирамид, высота которых проектируется в центр описанной окружности.

Рисунки создаются в зависимости от содержания задачи, иногда достаточно изобразить только основания этих тел, т.к. высоты пирамиды и конуса равны.

                               рис. 3                                            рис. 4

Окружность основания конуса описана около многоугольника основания пирамиды.

Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (см. рис. 3), центром окружности, описанной около четырёхугольника является точка пересечения его диагоналей (см. рис. 4).

Радиус конуса - радиус окружности,описанной около многоугольника основания пирамиды.

•  Теория 8. Площадь поверхности и объём конуса

Площадь поверхности конуса состоит из площади боковой поверхности конуса и площади основания (круга).

Площадью боковой поверхности конуса является площадь ее развёртки.

Развёрткой боковой поверхности конуса является круговой сектор.

•  Теория 9. Усечённый конус

Усечённый конус - тело вращения, которое получается при вращении прямоугольной трапеции вокруг меньшей боковой стороны.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса

Sбок.=π⋅l⋅(R₁+R₂) , где R₁и R₂  −радиусы оснований, l - образующая.

Sполн.=Sбок.+S₁+S₂, где S₁, S₂ - площади оснований уеченного конуса.

Объём усечённого конуса
V=1/3π⋅H⋅(R₁²+R₁⋅R₂+R₂²), где H - высота усечённого конуса.

При решении задач чаще вего достаточно нарисовать только осевое сечение усечённого конуса, которое является равнобедренной трапецией.

4.2. Онлайн -ресурсы

•          Онлайн калькулятор. Площадь поверхности конуса

http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_area_1/cone/

• Онлайн калькулятор.Объем конуса.

http://ua.onlinemschool.com/math/assistance/figures_volume/cone/

•  Видеоурок: Объем конуса

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bobyomy-telb/ob-em- konusa

•  Видеолекция «Конус»

https://www.youtube.com/watch?v=33DXdtJBnjc

•  Тест "Конус"

http://free.megacampus.ru/xbookM0001/index.html?go=part-069*page.htm

4.3.   Урок

Тема :  Объём конуса.

Цели урока:

• усвоение всеми учащимися стандартного минимума фактических сведений о вычислении объемов геометрических тел;
• формирование умений: самоанализа, творческого мышления (идет развитие правого полушария, то есть образного восприятия информации, обобщения путем сравнения);
• определение результативности и эффективности само и взаимопроверки усвоения обязательного минимума знаний; приема групповой защиты решения задачи; диалога учащихся.

Тезис урока:

Что без меня предметы?
Лишь названия.
А я приду – все в действие придет:
Летит ракета, люди строят здания,
Цветут сады, и хлеб в полях растет.

Ход урока

Установление контакта учителя с учениками.

• Вниманию учеников предлагаются два изображения.

Учитель просит установить связь между этими объектами.

“Конус – шишка” (греческий перевод).

Идет конструктивный разговор о понятиях и формулах, связанных с конусом.

• Что сегодня мы узнаем? Чему научимся? Что сумеет сделать каждый?
• Как вы думаете, для чего дамы в средневековье носили длинный конус-колпак на голове?

Если вы скажете, что мода такая была, то вы ошибётесь. Ответ прост, они считали, что под колпаком собирается энергия, которая в свою очередь сделает их сильнее и умнее. Водружаем на голову колпак и энергично отправляемся на поиск новой информации о конусе.

Первичная актуализация знаний. Решение задач по готовым чертежам .

1. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60⁰. Радиус основания r. Вычислить боковую поверхность конуса и его объем.

Решение:

2. В прямоугольном параллелепипеде измерения относятся как 5:3:2. Его объем равен 240 см. Вычислите измерения параллелепипеда.

Решение:

Ответ: 4см; 6см;10см.

3. Прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12 см вращается вокруг одного из них. Вычислите объем полученного тела вращения.

Решение:

Или

4. Высота равностороннего цилиндра равна 6 см. В равностороннем цилиндре высота равна диаметру основания. Вычислите боковую поверхность цилиндра и его объем.

Решение.

Системная актуализация. Защита решения задачи.

• На основании прямого кругового конуса лежат три шара радиуса r . На них лежит четвертый шар того же радиуса. Каждый из этих шаров касается боковой поверхности конуса и трех шаров. Найти высоту конуса и его объем.

Решение математических задач требует от учащихся применения многочисленных мыслительных умений. Они должны анализировать заданную ситуацию; сопоставлять данные и искомые величины; сравнивать решаемую задачу с решенными ранее, выявляя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели; осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать найденные факты, отбирая полезную для решения задачи информацию. Поэтому предлагаю ребятам решение сложных задач готовить заранее в виде групповой защиты своей работы. Группа, защищающая решение задачи, составляется по принципу взаимодополняемости и малоконфликтности. В группе обязательно присутствует сильный лидер, два сильных референта, она работоспособна и управляема.

1. Демонстрируются модели, иллюстрирующие задачу: каркасная, пластилиновая, компьютерный вариант.

2. Предлагается чертеж осевого сечения:

A, B, C – центры шаров, лежащих в основании конуса, D – центр четвертого шара.

Основание конуса параллельно плоскости АВС и удалено от нее на расстоянии r.

Тетраэдр АВСD – правильный со стороной 2r.

Докажем, что высота конуса проходит через точку D и центр треугольника АВС.

Высота тетраэдра АВСD проходит через центр АВС.

Плоскости основания конуса и плоскость АВС параллельны, т. е. высота конуса и высота тетраэдра параллельны между собой.

Пусть K, L, M – проекции точек А, В, С на основание конуса. Ясно, что КLM есть равносторонний треугольник со стороной 2r.

В плоскости сечения конуса, проходящей через его высоту SH и точку А, сечением первого шара будет окружность, вписанная в угол SPH.

Рассмотрим треугольник АPK, где РА – биссектриса угла SPH .

Тогда HK = R – r·ctg (a/2), где R– радиус основания конуса, a – угол SPH.

Равносторонний треугольник вписан в окружность, концентрическую с основанием конуса и имеющую радиус R – r·ctg (a/2). Значит, центр треугольника КLM совпадает с центром основания, а, значит, с центром треугольника АВС.

Вывод: точка D проектируется в центр основания.

Обозначим точки касания сфер с центрами А и D с образующей SP через N и Q.

По условию сферы имеют одинаковый радиус, радиусы перпендикулярны касательной SP, значит, отрезок DK параллелен образующей SP.

= a, где G – центр треугольника АВС.

DG –высота правильного тетраэдра АВСD, т.е.

• После отчета группы о проделанной работе, учащиеся класса задают им вопросы
• Какова практическая значимость задачи? (Объём конуса и объём шара подсчитывается при расчете веса мороженого в вафельном стаканчике, для расчета светового потока в конусовидном абажуре, для изучения различных биологических и географических процессов и т.д.)

Можно ли рассчитать объем конуса при заданных условиях или потребуется дополнительные параметры?

• Применение конуса в кулинарии.

Конус – хищная улитка, притом ядовитая. Охотятся они при помощи зуба – пронзают им жертву, как гарпуном. Питаются морскими червями, моллюсками и небольшими рыбами.

С людьми конусы тоже не сюсюкаются. Могут ужалить ничуть не хуже пчелы – и последствия могут быть довольно неприятными. Возможен даже смертельный исход.

Но зато медики конусов любят. Их яд считается очень перспективным веществом с медицинской точки зрения. Его тщательно изучают и стремятся ввести в широкое производство.

А можно ли использовать эту модель в современной архитектуре?

• Весь класс в форме активного обучения повторил теорию круглых тел, в классе состоялся активный диалог.

Проверка аналитического восприятия темы. Расчет комфортности жилища.

(Учитель меняет методику закрепления нового материала и предлагает ребятам заняться аналитическим методом восприятия темы “Объемы тел”/)

Расчет комфортности жилища определяется по формуле

равним комфортность нашей классной комнаты с комфортность чума у чукчей.

Намного ли нам комфортнее?

Рассчитаем комфортность классной комнаты. Ее размеры: 7м; 3,5м; 12м.

• Расчет комфортности чума.

В русском языковом сознании слово “чум” обычно ассоциируется с чукчами, а вообще чумами, чтобы не заморачиваться, зовут все конические шалаши северных жителей. На самом деле, слово это происходит из финно-угорских языков и вовсе не из Сибири. У коми “тсом”, у удмуртов “цум” – это конусовидное лесное или прибрежное хранилище припасов. Так же, к слову, называется мера расстояния – перегон по реке от одного чума до другого. Русские научились этому слову у удмуртов. А когда продвинулись дальше на север и на восток, они увидели, что всякие “дикие сибирские обыватели” в чумах – живут. И саамы, которые лопари, в общем, тоже в них живут, хоть и не сибиряки. Конечно, у всех этих народов жилища назывались, да и выглядели по-разному. Вот, например, кувакса саамов:

Они крыли её мешковиной или брезентом.

А это кота. Тоже саамская. Полностью деревянная.

Чум тунгусов-эвенков назывался дю. Тунгусы были пешими кочевниками, Сибирь они освоили третьими – после палеоазиатов и юкагиров. Возможно, именно они и научили все местные племена строить чумы. А может, наоборот, научились у них. Хотя, по-хорошему, конструкция эта настолько проста, что, скорее всего, просто её придумали одновременно разные люди в разных местах.

А теперь, собственно, к чукчам. Чукчи живут в ярангах. Вот в таких:

Яранга, конечно, немного похожа на чум, но конструкция у неё сложнее, об этом чуть позже, а сейчас рассчитаем комфортность чума.