Квадратична функція, її графік та властивості

 

Тема. Квадратична функція, її графік та властивості.

 Формування компетентностей

предметна компетеннтність: узагальнити та систематизувати знання учнів з теми «Квадратична функція, її графік та властивості»,  вдосконалити навички побудови  графіка квадратичної функції, вміння проводити елементарне дослідження функції, показати практичне застосування вивченого матеріалу під час розв'язання  задач;

ключові компетентності:

спілкування державною мовою - грамотно висловлюватися рідною мовою, доречно та коректно вживати у мовленні математичну термінологію;

математична компетентність - оперувати геометричними об'єктами в просторі;

уміння вчитися впродовж життя - аналізувати, контролювати, коригувати та оцінювати результати своєї навчальної діяльності; розвивати бажання пізнавати нове, прививати інтерес до математики ; звертати увагу на зв'язок предмета з життям

.Міжпредметні зв’язки: історія, фізика, астрономія.

Вид заняття урок повторення,  узагальнення і систематизації

Підручник: О.С.Істер. Алгебра: Підручник для 9 класів загальноосвітніх навчальних закладів. — К.: Генеза, 2017. — 240 с.:

Очікувані результати

Учень/учениця:

наводить приклади квадратичної функції;

обчислює значення функції в точці

пояснює перетворення графіків функції: f(x)→f(x)+а;  f (x) →f (x+а); f (x) → kf (x), f (x) → – f(x); алгоритм побудови графіка квадратичної функції;

характеризує функцію за її графіком

розв’язує вправи, що передбачають:, побудову графіка квадратичної функції

Передбачувані труднощі: знаходження вершини, послідовність побудови, побудова графіка з модулем,

Хід уроку.

І.  Організаційна частина.

Підготовка класу до навчання

Привітання учнів

Повідомлення теми, мети уроку.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

 Актуалізація опорних знань і вмінь учнів.

 Усне опитування. повторення графіків елементарних функцій

• Від якого коефіцієнта залежить напрям віток параболи?
• Вказати формулу для обчислення абсциси вершини параболи.
• Як знайти ординату вершини параболи.
• Скільки точок перетину з віссю ОХ має парабола, якщо дискримінант відповідного рівняння дорівнює 0?
• Як знайти точку перетину з віссю ОУ квадратичної функції у = ах² + bх + с?

Робота в групах.(здобувачів освіти поділено по групах  кожній дано завдання) Як із графіка функції y = x² за допомогою геометричних перетворень одержати графіки наступних функцій

 у=х²- 1

у= - х²+ 1

у=-х²+3

у=х²-4

у =(х+4)²

у =(х-5)²

 

 

 

 Вказати координати вершин кожної з функцій 1) – 6).

 Задати формулами функції, графіки яких зображені на малюнку (слайд):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для яких із цих функцій (слайд 2) виконується умова:

                    1) a > 0, D > 0;

                    2) a < 0, D > 0;

                   3) a > 0, D < 0;

                   4) a < 0, D = 0;

                   5) a < 0, D < 0?

Перевірка завдань.Обговорення слайду

ІV. Розв’язування  вправ.

1. Побудувати графік функції y = –  x² – 8х – 12.Знайдіть координати вершини, потім точки перетину з ОХ і побудувати графік симетричний осі Х=Хв

А тепер побудуємо графік за допомогою елементарних перетворень графіка функції y = x².

Питання до класу: Які перетворення слід виконати, щоб можна було даний графік побудувати за допомогою елементарних перетворень графіка функції y = x²?

y = –  x² – 8х – 12 = – ( x² + 8х + 12) = – ( x² + 2 · 4х + 16  – 16 + 12) =                     – ((x + 4)² – 4) = – (x + 4)² + 4.

Послідовність побудови:

y = x²              y = – x ²              y = – (x + 4)²                y = – (x + 4)² + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Поки один із учнів виконує вправу на дошці,  групи учнів виконують аналогічну вправу на місцях:

        y = x² – 8x + 7      (для середнього рівня)

       y = 3x² – 12x + 9   (для достатнього рівня)

       y = 0,25x² – 3x + 8   (для високого рівня)

2. Побудувати графік функції  y = 3x² – 12х + 9.

Питання до класу: За яким алгоритмом будується  графік  квадратичної функції?

1. Знаходимо нулі функції:

3x² – 12х + 9 = 0;

 x² – 4х + 3 = 0;

За теоремою Вієта   х₁ = 1; х₂ = 3.

Отже, графік даної функції перетинає вісь х в точках х₁ = 1; х₂ = 3.

2. Знаходимо координати вершини параболи за формулами: ;  

Отже, вершина параболи знаходиться у точці (2; – 3)

3. Знаходимо точку перетину з віссю y:

y(0) = 9.      Отже, (0; 9) – точка перетину з віссю y.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Поки один із учнів виконує вправу на дошці,  групи учнів виконують аналогічну вправу на місцях:

        y = 3x² – 6x      (для середнього рівня)

       y = – 2x² + 8x –  6  (для достатнього рівня)

       y = – 0,5x² – 3x + 2,5  (для високого рівня)

3. Побудувати графік функції  y = |3x² – 12х + 9|

Питання до класу: Як із графіка функції  y = f(x) одержати графік функції         y = |f(x)|?

Послідовність побудови:  y = 3x² – 12х + 9                 y = |3x² – 12х + 9|

 

V.  Повідомлення учня.

 

     Квадратична функція або її графік, парабола, дуже часто зустрічається в різноманітних галузях науки, виробництва і навіть побуті. Наприклад, у геометрії квадратичною функцією виражається залежність площі квадрата від його сторони, площі круга від його радіуса тощо. У фізиці – це, наприклад, залежність пройденого шляху від часу при прямолінійному рівноприскореному русі.

    Широко використовується квадратична функція в економічних розрахунках.

    В астрономії парабола також зустрічається. Відомо, наприклад, що якщо космічному кораблю чи штучному супутнику, який обертається навколо Землі, надати другу космічну швидкість, то його траєкторія руху перетвориться з еліптичної в параболічну, і він зможе покинути Землю.

    Інженерні розрахунки показують, що різні споруди, мости, арки, мають підвищену міцність.

    Ще одне з багатьох застосувань параболи можна побачити на цьому плакаті.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 При обертанні параболи навколо осі симетрії одержуємо поверхню, яка називається параболоїдом обертання. Якщо в фокусі такого дзеркального параболоїда помістити джерело світла, то промені світла, відбившись від параболоїда, підуть пучком променів, паралельним до осі симетрії. Цю властивість широко використовують при виготовленні різноманітних прожекторів. Такі самі параболічні дзеркала застосовують в дзеркальних телескопах: світло від далекої зірки йдучи паралельним пучком, відбивається від дзеркала телескопа і збирається в фокусі. За таким самим принципом працюють і супутникові антени, що теж мають форму параболоїда.

Демонстрація учнями попередньо підготованих презентацій.

 

VІ. Підсумок уроку.

. Рефлексія

1)Сьогодні я дізнався…

2)Було важко…

3)Найважчим було…

4)Я навчилась…

5) Я зміг…

6) Тепер я зможу…

Хвилинка-цікавинка (кожій групі на парту роздаються питання і зразок кросворду) Команда ,що першою розгадала кросворд вписує слова  на дошці.

 розгадай кросворд

1Як називається графік оберненої пропорційності?

2Як називається графік квадратичної функції?

3Як називається координата точки по осі Ох?

4Як називається координата точки по осі Оу?

5Один із способів задання функції.

6Змінна величина, значення якої залежить від зміни другої величини

 

 

VIІ.  Домашнє завдання.

     Підручник, повторити §8-11. Виконати завдання для перевірки знань ст.110.