Рівняння х2 = а. Основна тотожність квадратного кореня.

Тема. Рівняння х² = а. Основна тотожність квадратного кореня.

Мета: повторити та узагальнити знання учнів щодо способу розв'я­зання рівняння виду х² = а (записати алгоритм розв'язання рівняння із використанням знань учнів про арифметичний квадратний корінь з невід'ємного числа); використовуючи означення арифметичного квадратного кореня з невід'ємного числа, сформулювати основну тотожність для квадратного кореня; формувати вміння з використанням запи­саного алгоритму розв'язувати рівняння виду х² = а, а також рівняння, що зводяться до таких шляхом рівносильних перетворень; використову­вати записану тотожність для квадратного кореня для більш раціональ­ного обчислення значень числових виразів, що містять квадратний корінь.

Тин уроку: повторення та узагальнення знань, застосування знань та вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Квадратний корінь та його властивості».

Хід уроку

I. Організаційний стан

II. Перевірка домашнього завдання

В учнів, які потребують додаткової педагогічної уваги, вчитель пере­віряє виконання домашнього завдання, зібравши зошити на перевірку.

Усі учні можуть у разі необхідності (якщо на попередньому уроці самостійна робота була виконана не дуже вдало) виконати корекційну роботу або тестове завдання відповідного змісту.

III. Формулювання мети і завдань уроку

Для встановлення мети уроку достатньо пригадати разом з учнями, які поняття було вивчено на попередніх уроках цього розділу, та спро­бувати встановити логіку вивчення матеріалу: від уявлення про кількість коренів рівняння х² = а (на основі уявлення про графік функції у = х² та можливості його застосування для розв'язування рівнянь з однією змінною графічним способом) – до уявлення про дію над невід'ємними числами, обернену до піднесення до 2-го степеня (добування квадратного кореня з невід'ємного числа).Серед інших пи­тань, які можуть виникнути під час розгляду цього логічного ланцюж­ка, передбачаємо такі:

• як знайти корені рівняння х² = а, використовуючи дію добування квадратного кореня з числа;
• як ще можна використати означення арифметичного квадратного кореня з числа?

Відшукання відповіді на ці питання і становитиме мету уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

 З метою успішного сприйняття учнями навчального матеріалу уроку перед вивченням нового матеріалу слід активізувати такі знання і вміння учнів: найбільш вживані значення квадратів раціональних чисел; добування коренів з раціональних чисел; графічні уявлення про кількість розв'язків рівняння х² = а; основна властивість степеня з цілим показником та її наслідків (зокрема властивості щодо піднесення до степеня добутку), а також властивість парного степеня від'ємного числа.

Виконання усних вправ

1. Визначте сторони квадрата, площа якого дорівнює:

36 см²; 0,81 дм²; 1 м²; 900 мм²?

2. Обчисліть АКК із чисел: 4; 9; 0,25; 0,81; 0,64; ; ; ; 3.
3. Скільки спільних точок має графік функції у = х² із прямою:

а) у = 4; б) у = 0,9; в) у = 0; г) у = -2; д) y = 3?

V. Застосування знань

План вивчення нового матеріалу

1. Доведення того, то при а > 0 корені рівняння х² = а х₁ і х₂ дорів­нюють відповідно .
2. Загальна схема розв'язання рівняння х² = а.
3. Формулювання та доведення основної тотожності для квадратного кореня.

 Традиційно уявлення про існування та спосіб знаходження ко­ренів рівняння х² = а формується у процесі роботи з графіками функцій у = а (а — будь-яке число) та у = х², при цьому спочатку повторюються загальні уявлення про можливу кількість коренів (див. урок 33), а вже потім здійснюється перехід до точного знаходження цих коренів, якщо вони існують. Саме по собі до­ведення твердження, що при а > 0 коренями рівняння х² = а є числа , дають лише можливість записати розв'язки рівнян­ня. Щоб усвідомити, що при а > 0 корені рівняння х² = а, по-перше, існуватимуть і, по-друге, завжди будуть протилеж­ними числами, слід знову звернутись до графічних образів і на них продемонструвати справедливість цих тверджень. Після констатації цього факту доречно хоча б на рівні ознайомлення показати учням, що корені рівняння (тобто вирази виду при а > 0) можуть бути не тільки раціональними (тобто створюється певна мотивація діяльності на наступний урок).

Після вивчення питання про застосування означення арифметич­ного квадратного кореня з невід'ємного числа для розв'язування рівняння х² = а вивчається питання про застосування цього самого означення для перетворення виразу виду (при a ≥ 0). Доведення цієї тотожності не повинно викликати в учнів труднощів (бо здійснюється цілком на основі означення арифметичного квадратного кореня з числа), але застосування цієї властивості разом із властивістю степеня про піднесення до степеня добутку зазвичай викликає певні труднощі в учнів. Тому після формулювання та доведення основної то­тожності для арифметичного квадратного кореня слід розглянути (розібрати та записати розв'язання) кілька прикладів відповідного змісту.

VI. Формування вмінь

Виконання усних вправ

1. Скільки коренів мають рівняння:

х² = 9; х² = -9; х² = 3; х² = 0; х² – 31 = 0; х² = – 31?

2. Із рівнянь виберіть ті, які мають два протилежних:
   а) раціональних корені; б) ірраціональних корені:

х² = 16; х² – 7 = 0; х² + 3= 0; х² – 0,25 = 0; 0,6 – х² = 0; – х² – 5 = 0.

3. Знайдіть корені рівнянь:

х² = 16; у² = 0,81; z² = -4; m² = 5; n² = ; d² = π.

Виконання письмових вправ

Для досягнення основної мети уроку письмово слід розв'язати вправи такого змісту:

1. Визначення, чи має рівняння корені, якщо має, то скільки.

1) Наведіть приклад рівняння вигляду х² = а, яке:

а) має два раціональні корені; б) має два ірраціональні корені;

в) не має коренів.

2) Чи має корені рівняння:

а) х² = 81; б) х² = 18; в) х² = 0; г) х² = -25?

2. Розв'язування рівнянь виду х² = а аналітично і графічно.

1) Розв'яжіть рівняння: а) х² = 121; б) х² = 0,16; в) х² = 5;  г) х² = 0,3;

д) х² = ; є) х² = ; ж) х² = -1; з) х² = 1,44.

2) Розв'яжіть рівняння:

а) 3х² = 48; б) х² + 8 = 57; в) 44 – х² = 8; г) -2х² = 18; д) -0,4х² = -8;

є) х² = 1; ж) 12 + 3х² = 6; з) 2(х² + 1) = 10.

3) Розв'яжіть рівняння за допомогою графіка функції у = х², знай­діть наближенні значення його коренів:

а) х² = 3; б) х² = 5; в) х² = 4,5; г) х² = 8,5.

3. Розв'язування рівнянь, що зводяться до виду х² = а.

1) Розв'яжіть рівняння: а) 2(х² – 3) + 3(2х² + 1) = 5;

б) (2х – 5)² + (2х + 5)² = 62; в) ; г) (5х + 1)² – 2 = 10х.

2) Розв'яжіть рівняння:

а) (х – 3)² = 25; б) (х + 4)² = 9; в) (х – 6)² = 7; г) (х + 2)² = 6.

4. Розв'язування рівняння х² = а з параметром.
5. Знаходження значень виразів вигляду та , де a ≥ 0.

1) Знайдіть значення виразу: а) ; б) ; в) .

2) Знайдіть значення виразу: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) 0,5; є) ; ж) ; з) .

6. Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів,
   які мають достатній та високий рівні знань.

1) Знайдіть значення виразу:

а) ; б) ; в) ;

г) +; д) ; с) .

2) При яких значеннях а і b має зміст вираз:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ?

3) Яке з даних чисел слід вилучити:

; 1,9; ; 1,3; ; ?

7. На повторення: розв'язати рівняння = а.

1) Розв'яжіть рівняння:

а) = 8; б) = 1; в) = - 4; г) ; д) ;

є) + 9 = 7; ж) з) ; и) .

2) Розв'яжіть рівняння: а) ; б) ;

в) += 0; г) += 0.

 Основний зміст письмових вправ складають вправи на форму­вання вмінь застосовувати схему розв'язання рівняння х² = а та рівнянь, що зводяться до такого виду шляхом тотожних пе­ретворень або заміною змінних (можна в неявному вигляді), а також вправи на закріплення знання та застосування основ­ної властивості для квадратного кореня (при цьому на розв'язу­вання рівнянь робиться більший акцент). Після відпрацювання умінь безпомилково застосовувати схему розв'язання рівнянь х² = а в ситуаціях різного рівня складності доречно виконати кілька вправ на розв’язування рівнянь виду = а (вивчених на попередньому уроці), після чого зробити порівняльний аналіз схем розв'язання цих видів рівнянь (досвід показує, що учні часто-густо плутають ці схеми).

І наостанок, у разі успішного опанування питання про розв'язання рівняння х² = а, можна запропонувати до уваги учнів найпростіші рівняння виду х² = а з параметром.

VII. Підсумки уроку

В якому з випадків правильно розв'язано рівняння?

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити теоретичний матеріал уроку (див. конспект).
2. Розв'язати завдання таких видів, як і в класній роботі.
3. Повторити: властивості степеня з натуральним показником (див. 7 клас), виконати вправи на застосування цих властивостей.