Арифметичний квадратний корінь з добутку, дробу.

Тема. Арифметичний квадратний корінь з добутку, дробу.

Мета: домогтися засвоєння учнями змісту та схеми доведення властивостей добування арифметичного квадратного кореня з добутку та відношення двох раціональних виразів; сформувати в учнів уміння відтворювати зміст вивчених властивостей, застосовувати їх для пере­творення квадратного кореня з добутку (відношення виразів) у добу­ток (відношення квадратних коренів), а також навпаки - для перетворення добутку (відношення) квадратних коренів у квадратний корінь з добутку (відношення).

Тин уроку: засвоєння знань та вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Арифметичний квад­ратний корінь та його властивості».

Хід уроку

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

Щоб перевірити засвоєння учнями змісту матеріалу попереднього уроку (дійсні числа), вчитель може провести математичний диктант з наступною перевіркою.

В учнів, які потребують додаткової педагогічної уваги, вчитель зби­рає зошити на перевірку.

Математичний диктант

III. Формулювання мети і завдань уроку

З метою створення відповідної мотивації навчальної діяльності учнів можна запропонувати до розв'язання таке завдання:

Не використовуючи калькулятора та довідкового матеріалу, знай­діть значення виразів: ; ; ··.

Учні усвідомлюють, ідо зміст завданім полягає у необхідності обчис­лення значень числових виразів, які містять арифметичний квадратний корінь з добутку кількох точних квадратів, а також корінь з відношення чисел, які є точними квадратами, або добуток та відношення двох ірраціональних виразів виду . Спроба розв'язати завдання, обчислив­ши значення підкореневого виразу, показує учням нераціональність та­кого способу розв'язання (навіть якщо значення підкореневого виразу вручну обчислюється, значення кореня з такого великого числа без вико­ристання довідкових матеріалів неможливе). В останньому випадку такий порядок виконання дій взагалі неможливий: застосування одного лише означення арифметичного квадратного кореня для обчислення значення подібних до розглянутих числових виразів не дає точного значення вира­зу (,,, — ірраціональні числа), тому формулюється проблема: необхідно дослідити питання про існування і способи застосування властивостей арифметичного квадратного кореня, які б можна було ви­користати для розв'язування завдань на обчислення значень числових виразів, що містять арифметичний квадратний корінь із добутку, частки, добутку коренів та частки коренів. Формулювання, доведення цих влас­тивостей та формування первинних умінь їх застосування — це і є ос­новною метою уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

 Для успішного сприйняття учнями навчального матеріалу уроку перед його вивченням слід активізувати такі знання учнів про властивості степеня з цілим показником (зокрема властивість про піднесення до степеня добутку та дробу); формулювання озна­чення арифметичного квадратного кореня з невід'ємного числа та його застосування для доведення того факту, що дане число являє собою арифметичний квадратний корінь з числа; піднесен­ня до квадрата, та навпаки, добування квадратного кореня з точ­них квадратів; застосування основної тотожності для квадратного кореня; розкладання раціональних чисел на множники.

Виконання усних вправ

1. Знайдіть квадрати чисел: 10; -8; ; 0,9.
2. Укажіть, які з чисел ; - 0,9; ; ; π; ; ; ; ; є:

а) раціональними; б) ірраціональними; в) дійсними числами.

3. Обчисліть: ; 2; 0,5; ; ; ; .

V. Засвоєння знань

План вивчення нового матеріалу

1. Формулювання і доведення тотожності (а ≥ 0, b ≥ 0). Наслідок з неї.
2. Формулювання і доведення тотожності (а ≥ 0, b > 0).
3. Приклади застосування доведених тотожностей.

 Опорними для тотожностей, винесених для вивчення на уроці, є означення арифметичного квадратного кореня з числа та основна тотожність для квадратного кореня (), зміст яких повторюється в ході виконання усних вправ.

Доведення властивостей і (для а ≥ 0, b ≥ 0 та для       а ≥ 0 і b > 0) здійснюється за традиційною схемою:

• доводимо існування виразів в правій та лівій частинах тотожностей та той факт, що вони набувають невід'ємних значень;
• виходячи з того, ідо якщо два невід'ємні вирази рівні, то й їх квадра­ти рівні, підносимо обидві частини тотожності, що доводиться, до другого степеня, та, використовуючи тотожність і властивість степеня (степінь добутку або степінь відношення двох ви­разів), робимо висновок про тотожність правої та лівої частин рівностей, які доводяться.

Після вивчення властивості квадратного кореня з добутку доречно буде розглянути прямий наслідок з неї, а саме добування квадратного кореня з добутку трьох і більшої кількості множників, та записати відповідну тотожність: при а ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0: .

Після доведення названих властивостей та розгляду кількох при­кладів їх застосування (зокрема див. приклад № 1 і № 2 із завдання) обов'язково слід обговорити можливість застосування доведених влас­тивостей і в зворотному порядку: найтиповіші приклади (див. приклад № 3 із завдання — як приклад таких завдань) бажано записати в кон­спект як опорні.

VI. Формування вмінь

Виконання усних вправ

1. Знайдіть значення виразів: ; ; ; ; ; .
2. Кожне з наведених чисел піднесіть до квадрата:
   3; -3; ; ; 2; 3.
3. Подайте число у вигляді добутку найбільшого можливого точного
   квадрата та іншого числа.

8; 32; 48; 50; 72.

4. Розв'яжіть рівняння:

х² = 81; х² + 16 = 0; х² – 7 = 0; (х – 1)² = 3; х² – = 0; х² = 1; (x – 1)² = 0.

Виконання письмових вправ

Для реалізації дидактичної мети на цьому уроці слід розв'язати за­вдання такого змісту:

1. Знаходження значень виразів, що містять корені з добутку або час­тки точних квадратів.

1) Знайдіть значення виразу:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

є) ; ж) ; з) ; и) .

2) Знайдіть значення виразу: а) ; б) ; в) .

2. Знаходження значень виразів, що містять добуток коренів або час­тки коренів, які потребують застосування вивчених властивостей у зворотному порядку.

1) Знайдіть значення виразу: а) ·; б) ·; в) ·;

г) ·; д) ·; є) ·.

2) Знайдіть значення виразу: а) ; б) ; в) .

3. Знаходження значень виразів, що мають вигляд кореня з різниці квадратів.

1) Обчисліть значення виразу: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; є) .

2) Знайдіть значення виразу: а) ; б) ; в) .

4. Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів,
   які мають достатній та високий рівні знань.

1) Знайдіть значення кореня:

а) ; б) ; в) ; г) .

2) Відомо, що а < 0 і b < 0. Подайте вираз:

а) у вигляді добутку коренів; б) у вигляді частки коренів.

3) Знайдіть пропущене число:

5. На повторення: розв'язати рівняння виду х² = a, а також рівняння виду та такі, що зводяться до них шляхом рівносильних перетворень.

 У ході виконання учнями як усних, так і письмових вправ слід вимагати від них точного відтворення формулювань властивос­тей, які доводяться, що сприяє прискоренню їхнього за­своєння, а також свідомому застосуванню (зокрема важливо робити акцент на факті існування виразів, що містять арифме­тичний квадратний корінь з числа).

VII. Підсумки уроку

В якому з випадків правильно виконано дію?

а) ; б) ; в) .

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити формулювання і схему доведення властивостей:

(а ≥ 0, b ≥ 0),

(а ≥ 0, b > 0).

2. Розв'язати вправи на застосування вивчених властивостей.
3. На повторення: розв'язування рівнянь х² = а та найпростіших ірраціональних рівнянь, а також рівнянь, то до них зводяться.